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Escuela Universitaria Politécnica
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
Teoría de Circuitos.
Curso 2008-2009 - Teoría
TEMA 3. CIRCUITOS SIMPLES
3.1. Introducción
En este capítulo, estudiaremos las leyes básicas que son fundamentales para el análisis de
circuitos simples. Dichas leyes, son la Ley de Ohm, estudiada en el capítulo anterior, ley de Kirchoff
de la intensidad (L.K.I) ó (1ª L.K.) y ley de Kirchoff de la tensión (L.K.V) ó (2ªL.K). Así como los
conceptos básicos de asociación serie y paralelo de elementos, divisor de tensión e intensidad y
transformadores de impedancia.
La razón para resolver estos circuitos sencillos, antes de presentar técnicas más elegantes para
el análisis, es que nos da la oportunidad de familiarizarnos con las leyes que sirven de base para los
métodos más elaborados, y muy importantes en el dominio de temas subsecuentes en el campo de la
Ingeniería eléctrica.
3.2. Leyes de Kirchoff
Los circuitos que hemos considerado con anterioridad, constaban de una sola resistencia, y
fueron analizados usando la Ley de Ohm. En este punto comenzamos a aumentar nuestras
capacidades para manejar redes más complicadas, que resultan de la unión de dos o más elementos
simples. Dichas conexiones se realizarán mediante conductores perfectos.
Al tener circuitos más complejos, aparecen nuevas formas que debemos definir con
anterioridad, así pues:
•
•
•
Nodo. Punto de conexión de dos o más elementos simples del circuito
Malla. Cualquier trayectoria cerrada a través del circuito donde ningún nodo se encuentra
más de una vez
Rama. Parte del circuito que sólo contiene un elemento y los nodos a cada extremo.
Podemos establecer lo siguiente:
Ley de Kirchoff de la Corriente. La suma algebraica de todas las corrientes en cualquier nodo
de un circuito es igual a cero.
V1 R1
b
+
a
Para la correcta aplicación de la L.K.I. debe
+
+ R3
i1
asignarse un sentido algebraico a cada corriente en el
V2
+
V
i
i
S
2
3
nodo, es decir, si se asigna un signo positivo a una
V3
- iS
R2 corriente que sale de un nodo, es necesario asignar un
c
signo negativo a una corriente que entra a un nodo, y a
la inversa.
Figura 3.1
En el circuito de la figura 3.1 podemos aplicar la L.K.I. en cada uno de los nudos, asi:
•
•
•
Nudo ( A ) i1-iS = 0
Nudo ( B ) i2 + i3 – i1 = 0
Nudo ( C ) iS – i2 – i3 = 0
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De las ecuaciones deducidas de la aplicación de la L.K.I. podemos comprobar que las ecuaciones
no son linealmente independientes, es decir, que cualquiera de ellas, se puede deducir de las
anteriores, por lo que tendremos un conjunto de n-1 ecuaciones linealmente independientes.
Donde ‘n’ es el número de nudos existentes en el circuito.
Ejemplo 3.1.
1
I1
El diagrama topológico que muestra la figura
3.2 representa un circuito eléctrico. Deseamos encontrar
las corrientes desconocidas de la red.
2
6A
I4
3
4A
I6
Respuesta:
2A
I5
4
3A
5
Aplicando la L.K.I. en cada uno de los nudos y
Figura 3.2
suponiendo que las corrientes que salen de los nudos son positivas.
•
•
•
•
Nudo ( 1 ) – I1 + 6 + 2 = 0
Nudo ( 2 ) I1 + I6 – I4 = 0
Nudo ( 3 ) I4 + 4 – 6 – I5 = 0
Nudo ( 4 ) I5 – 2 – 3 = 0
No es necesario plantear la ecuación del nudo 5 por ser linealmente dependiente de las anteriores.
De la ecuación del nudo ( 1 ) I1 = 8A
De la ecuación del nudo ( 4 ) I5 = 5A
De la ecuación del nudo ( 3 ) I4 = 7A
De la ecuación del nudo ( 2 ) I6 = -1A
Ley de Kirchoff de las tensiones. La suma de tensiones a lo largo de cualquier camino
cerrado (malla), en un circuito es igual a cero.
Para la correcta aplicación de la L.K.V, si se asigna un signo positivo a un aumento de
tensión, es necesario asignar un signo negativo a una disminución de tensión, y a la inversa.
Aplicando la L.K.V. para el circuito de la figura 3.1, tomando como positivo la caída de
tensión en sentido horario, y cogiendo los tres posibles caminos cerrados.
•
•
•
Malla ( 1 ) V1 + V2 – Vg = 0
Malla ( 2 ) V3 – V2 = 0
Malla ( 3 ) V1 + V3 – Vg = 0
De las ecuaciones deducidas de la aplicación de la L.K.V. podemos comprobar que al igual que las
deducidas de la L.K.I. las ecuaciones no son linealmente independientes, es decir, que cualquiera
de ellas se puede deducir de las dos anteriores.
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R1
Ejemplo 3.2.
- +
+ V1 -
En el circuito de la figura 3.3 los valores de caída
de tensión; V1 = 18V, V2 = 12V. Calcular VR3.
5V
+
-
30V
R2
V2
15V + -
- V3 +
Respuesta:
+
R3
Aplicando L.K.V. y suponiendo positivas las
caídas de tensión en sentido horario:
Figura 3.3
V1 – 5 + V2 – 15 + V3 – 30 = 0; V3 = 20 V
V1
+
Ejemplo 3.3.
+
R1
Considerando el circuito de la figura 3.4,
+
24V -
+
V2
R2
-
+
16 V -
demostrar que solo dos de las tres ecuaciones
R3
V3
-
+
-
8V
posibles de mallas son linealmente independientes.
Figura 3.4
Respuesta:
Aplicando L.K.V. a las tres posibles trayectorias cerradas. La malla izquierda, malla derecha,
la malla exterior. Suponiendo positivas las caídas de tensión en sentido horario.
Malla Izquierda; -24 + V1 + V2 + 16 = 0
Malla Derecha; -16 – V2 + V3 + 8 = 0
Malla Exterior; -24 + V1 + V3 + 8 = 0
Comprobamos que la tercera, es suma de las dos anteriores, por lo tanto no es
linealmente independiente.
3.3. Asociación de Resistencias
R1
a
b
R2
R3
c
d
3.3.1 Serie
Se considera que los elementos del circuito, por los VS
que circula la misma corriente, están conectados en serie.
+
-
iS
h
Figura 3.5
i1
i2
R7 g
R6 f
i7
i6
i3
i4
R5
R4
e
i5
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Aplicando la L.K.I. en los nudos de la figura 3.5, se puede comprobar que por todas las
resistencias circula la misma intensidad.
iS = i1 = −i2 = i3 = i4 = −i5 = −i6 = i7
(3.1)
Es decir que conociendo una intensidad son conocidas todas las demás, por lo tanto
para encontrar la intensidad que circula aplicamos la L.K.T. a la malla completa
considerando las caídas de tensión en el sentido is.
− VS + iS R1 + iS R2 + iS R3 + iS R4 + iS R5 + iS R6 + iS R7 = 0
(3.2)
VS = iS ⋅ (R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6 + R7 )
(3.3)
Si sustituimos las siete resistencias por una única resistencia, cuyo valor numérico sea la
suma de las resistencias individuales, es decir:
Req = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6 + R7
(3.4)
De forma que:
VS = is ⋅ Req
(3.5)
En general, si se conectan k resistencias en serie, la resistencia equivalente, tiene un
valor igual a la suma de las k resistencias.
k
Req = ∑ Ri = R1 + R2 + .... + Rk
(3.6)
i =1
3.3.2 Paralelo
Los elementos que se conecten en paralelo,
tendrán la misma caída de tensión entre sus terminales.
VS
+
-
Si denominamos las intensidades i1, i2, i3, i4 a
cada una de las intensidades de las resistencias,
aplicando L.K.I, podemos escribir que:
iS = i1 + i2 + i3 + i4
R1
R2
R3
R4
Figura 3.6
(3.7)
Por lo tanto y según la Ley de Ohm.
i1 R1 = i2 R2 = i3 R3 = i4 R4 = VS
(3.8)
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Entonces:
i1 =
VS
V
V
V
, i2 = S , i3 = S , i4 = S
R3
R4
R1
R2
(3.9)
Sustituyendo la ecuación 3.9 3n la ecuación 3.7
⎛ 1
1
1
1 ⎞
iS = VS ⋅ ⎜⎜ +
+
+ ⎟⎟
⎝ R1 R2 R3 R4 ⎠
(3.10)
De la ecuación 3.10 deducimos que:
iS
1 ⎛ 1
1
1
1 ⎞
=
= ⎜⎜ +
+
+ ⎟⎟
VS Req ⎝ R1 R2 R3 R4 ⎠
(3.11)
Es decir las cuatro resistencias de la figura 3.6 pueden ser reemplazadas por un sola resistencia
equivalente de la forma:
k
1
1 1
1
1
1
=∑ = +
+
+
Req i =1 Ri R1 R2 R3 R4
(3.12)
Para el caso más simple, donde solo encontramos dos resistencias conectadas en paralelo, la
expresión 3.12 se reduce:
Req =
R1 R2
(3.13)
R1 + R2
Ejemplo 3.4.
En el circuito eléctrico que representa la
figura 3.7.encontrar las intensidades iS, i1 e i2.
Respuesta:
4Ω
120 V
+
-
3Ω
is
i1
18Ω
i2
6Ω
Figura 3.7
Resolvemos el problema utilizando simplificaciones serie-paralelo, así pues:
La resistencia de 3Ω en serie con 6Ω, por lo que
RSERIE = 3+6 = 9Ω
Esta resistencia serie queda en paralelo con la resistencia de 18Ω. RPARALELO =
9 ⋅18
= 6Ω
9 + 18
Esta resistencia RPARALELO queda en serie con la resistencia de 4Ω RTOTAL = 6 +4 = 10Ω
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En la figura 3.8 quedaría el circuito con su resistencia
equivalente, y aplicando la Ley de Ohm, podemos conocer el valor
de iS.
120 V
+
-
is
10Ω
Figura 3.8
iS =
120V
= 12 A
10
4Ω
+
+
120 V
-
Antes de calcular las intensidades de las otras ramas, nos
quedaremos en el segundo cambio y calculamos las tensiones de
las ramas paralelo.
6Ω
VPAR
-
Figura 3.9
VPARALELO = iS⋅6Ω = 12V⋅6Ω = 72 V
4Ω
Al estar en paralelo todos los elementos están al mismo
potencial, quedándonos en el primer cambio, según la figura 120 V +
3.10
Por lo que ya podemos calcular las intensidades i1, i2,
aplicando Ley de Ohm.
i1 =
is
+
is
VPAR
18Ω
9Ω
-
Figura 3.10
VPAR 72V
V
72V
=
= 4 A; i2 = PAR =
= 8A
18
18
9
9
3.4. Asociación de Inductancias
Así como las combinaciones de resistencias en serie y en paralelo se pueden reducir a una
resistencia equivalente, las combinaciones de inductores en serie y paralelo, también se pueden
reducir a un solo inductor.
3.4.1 Serie
Conexión en serie de inductores, por la que circula
la misma corriente. figura 3.11.
V1 = L1 ⋅
L1
L2
L3
+ V 1
+ V2 -
+ V3 -
i
Figura 3.11
di
di
di
, V 2 = L 2 ⋅ , V 3 = L3 ⋅
dt
dt
dt
(3.14)
La tensión en la conexión .
V = V1 + V 2 + V3 = (L1 + L2 + L3 ) ⋅
di
dt
(3.15)
En general. Si se conectan k inductancias en serie, la inductancia equivalente tiene un valor
igual a la suma de las k inductancias.
K
∑L
j =1
i
= L1 + L2 + .... + L K
(3.16)
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i
3.4.2 Paralelo
+
Los inductores en paralelo, tienen la misma tensión
entre sus terminales, figura. 3.12. Y sus corrientes vienen
determinadas por.
+
+
i1
+
i2
V
V1
L1 V2
L2 V3
-
-
-
-
i3
L3
Figura 3.12
i1 = i1 (t 0 ) +
1
L1
∫
t
t0
V ( x) dx, i 2 = i 2 (t 0 ) +
1
L2
∫
t
t0
V ( x) dx, i3 = i3 (t 0 ) +
1
L3
t
∫ V ( x) dx
t0
(3.17)
Aplicando la L.K.I
i = i1 + i 2 + i3
(3.18)
Sustituyendo la ecuación 3.17 en 3.18
⎛ 1
1
1 ⎞ t
⎟⎟ ⋅ ∫ V ( x) dx
+
i = i1 (t 0 ) + i 2 (t 0 ) + i3 (t 0 ) + ⎜⎜ +
t0
L
L
L
2
3 ⎠
⎝ 1
(3.19)
Si interpretamos la ecuación 3.19, en términos de un solo inductor.
i = i (t 0 ) +
t
1
⋅ ∫ V ( x) dx
t
Leq 0
(3.20)
Los resultados que muestra la ecuación 3.20, se puede entender a k inductores conectados en
paralelo.
K
1
1
1
1
1
=∑ =
+
+ .... +
Leq i =1 Li L1 L2
L3
(3.21)
3.5. Asociación de Condensadores
3.5.1 Serie
Conexión en serie de inductores, por la que circula la
misma corriente. figura 3.13.
V1 = V1 (t 0 ) +
1
C1
∫
t
t0
i ( x) dx, V2 = V2 (t 0 ) +
1
C2
∫
t
t0
C1
C2
C3
+V -
+ V2 -
+ V3 -
1
i ( x) dx, V3 = V3 (t 0 ) +
i
Figura 3.13
1
C3
∫
t
t0
i ( x) dx (3.22)
La tensión en la conexión aplicando L.K.V.
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⎛ 1
1
1 ⎞ t
⎟⎟ ∫ i ( x) dx
+
+
V = V1 (t 0 ) + V2 (t 0 ) + V3 (t 0 ) + ⎜⎜
⎝ C1 C 2 C 3 ⎠ t 0
(3.23)
Interpretando la ecuación 3.23 en términos de un solo condensador.
V = V (t 0 ) +
1
C eq
∫
t
t0
i ( x) dx
(3.24)
Los resultados que muestra la ecuación 3.24, se puede entender a k condensadores conectados en serie.
K
1
1
1
1
1
=∑
=
+
+ .... +
C eq i =1 C i C1 C 2
C3
(3.25)
3.5.2 Paralelo
i
Los condesadores en paralelo, tienen la misma tensión
entre sus terminales, figura. 3.14. Y sus corrientes vienen
determinadas por
+
+
i1
+
i2
+
V
V1
C1 V2
C2 V3
-
-
-
-
i3
C3
Figura 3.14
i1 = C1 ⋅
dV
dV
dV
, i2 = C 2 ⋅
, i3 = C 3 ⋅
dt
dt
dt
(3.26)
Aplicando la L.K.I
i = i1 + i 2 + i3 = (C1 + C 2 + C 3 ) ⋅
dV
dt
(3.27)
Si interpretamos la ecuación 3.27, en términos de un solo capacitor.
i = C eq ⋅
dV
dt
( 3.28)
Los resultados que muestra la ecuación 3.28, se puede entender a k condensadores conectados
en paralelo.
K
∑C
j =1
i
= C1 + C 2 + .... + C K
(3.29)
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Ejemplo 3.5.
Los valores iniciales de i1 e i2 en el circuito de la figura 3.15. son respectivamente –2A, 4A.
El voltaje en los terminales de los inductores en paralelo para t ≥ 0 es -40⋅e-5t. Determinar:
a) Si los inductores en paralelo se sustituyen por un solo
i(t)
inductor, ¿Cuál es la inductancia equivalente?
+
b) ¿Cuál es la corriente inicial y su dirección de referencia en
+
i1 +
i2
el inductor equivalente?
V V1
L1 V2
L2
c) Usar el inductor equivalente para determinar el valor de
i(t)
d) Encuentre i1(t) e i2(t). Comprobar que las soluciones
Figura 3.15
satisfacen las leyes de Kirchoff.
Respuesta:
a) La inductancia equivalente viene determinada por la ecuación 3.21
K
5 ⋅ 20
1
1
1
1
1
=∑ =
+
+ .... +
; ⇒ L eq =
= 4H
5 + 20
Leq i =1 Li L1 L2
L3
b) Corriente inicial i(t) = i1 + i2 = 2
c) Aplicando la ecuación de definición de la bobina a la inductancia equivalente calculada
i (t ) = i (t 0 ) +
1
L1eq
t
1
t
∫ V ( x) dx = 2 + 4 ∫ − 40 ⋅ e
t0
−5 x
0
dx = 2 ⋅ e −5t
d) Aplicando la ecuación de definición de la bobina a cada una de las inductancias.
i1 (t ) = i1 (t 0 ) +
1
L1
∫
i 2 (t ) = i 2 (t 0 ) +
1
L2
∫ V ( x) dx = 4 + 20 ∫ − 40 ⋅ e
t
t0
t
t0
V ( x) dx = −2 +
1 t
− 40 ⋅ e −5 x dx = −3.6 + 1.6e − 5t
∫
0
5
1
t
0
−5 x
dx = 3.6 + 0.4e −5t
40
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Ejemplo 3.6.
C1
Los cuatro condensadores del circuito de la figura 3.16, se conectan a los
terminales de un circuito en el instante t = 0, se sabe que la corriente
resultante ‘i’ para t ≥ 0 es
i = -5⋅e-5t
Si los valores iniciales V1 = -20V, VD = 250V,
V4 = -30V, C1 = 5F, C2= 0.8F, C3 = 0.2F C4 = 1.25F.
Encontrar los valores de V1(t), V4(t), VD(t), VB(t), i1(t),
i2(t). Así como el valor del capacitor equivalente.
i
+ V1 +
i3 C3 VD C2 i2 VB
+
- V4 +
Figura 3.16
C4
B
Respuesta:
C3 en paralelo con C2 viene determinada por;
C1 en serie con CP en serie con C4 viene determinada por;
CP = C2 + C3 = 1F
1
C Total
=
1 1 4
+ + = 2F
5 1 5
La tensión VB = -V1 - VD - V4
B
1 t
1 t
1
i ( x) dx = −20 + ∫ − 5 ⋅ e −5 x dx = −20.2 + e −5t
∫
5 t0
5
C1 t 0
1 t
1 t
V D = V D (t 0 ) +
i ( x) dx = 250 + ∫ − 5 ⋅ e −5 x dx = 249 + e −5t
∫
1 t0
C P t0
1 t
4 t
4
V 4 = V 4 (t 0 ) +
i ( x) dx = 250 + ∫ − 5 ⋅ e −5 x dx = −30.8 + e −5t
∫
5 t0
5
C 4 t0
V1 = V1 (t 0 ) +
VB = 198 -2⋅e-5t
B
Para las intensidades de la rama paralelo.
dU D
= 0.2 ⋅ −5e −5t = −e −5t
dt
dU D
i2 = C 2 ⋅
= 0.8 ⋅ −5e −5t = −4e −5t
dt
i2 = C 2 ⋅
Comprobando que se cumple la L.K.I. donde i = i2 + i1
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3.6. Transformaciones Estrella – Triángulo (Υ ⇔ Δ)
Cuando intentamos reducir el circuito a una resistencia equivalente ‘R’, encontramos que en
ningún lado hay una resistencia en serie o en paralelo con otra. Por tanto, no podemos atacar el
problema directamente usando las técnicas de los apartados anteriores. Podemos, sin embargo,
reemplazar una parte de la red con un circuito equivalente, y esta conversión nos permitirá, con
facilidad, reducir la combinación de resistencias a una sola resistencia equivalente. Esta conversión es
la denominada Υ⇔Δ.
a
b
a
b
RC
RA
R2
R1
RC
RB
b a
a
RA
RB
c
Figura 3.17
R1
R3
c
c
Configuración Triángulo (Δ)
b
R2
R3
c
Configuración Triángulo (Y)
En cualquier circuito eléctrico que se presente cualquiera de las formas de estrella o triángulo
como muestra la figura 3.17, se puede transformar en su equivalente triángulo o estrella, relacionando
R1, R2, R3 con RA, RB, RC.
La relación se hará de forma que la resistencia entre terminales no varíe en ninguna de las dos
redes. Por consiguiente igualamos las resistencias para cada configuración.
B
RC ⋅ ( R A + R B )
R A + R B + RC
R ⋅ ( RC + R B )
Rbc = R2 + R3 = A
R A + R B + RC
R ⋅ (R A + RC )
Rca = R1 + R3 = B
R A + RB + RC
Rab = R1 + R2 =
(3.30)
(3.31)
(3.32)
Resolviendo el sistema de tres ecuaciones para R1, R2, R3. Conversión Δ⇒Υ
RC ⋅ R B
R A + R B + RC
RC ⋅ R A
R2 =
R A + R B + RC
R A ⋅ RB
R3 =
R A + R B + RC
R1 =
(3.32)
(3.33)
(3.34)
De la misma forma las ecuaciones 3.30, 3.31 y 3.32, se pueden resolver para RA, RB, RC.
Realizando la conversión de Υ⇒Δ, quedando las ecuaciones de la forma.
B
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R1 R2 + R2 R3 + R1 R3
R1
R R + R2 R3 + R1 R3
RB = 1 2
R2
R R + R2 R3 + R1 R3
RC = 1 2
R3
RA =
(3.35)
(3.36)
(3.37)
Si consideramos que R1 = R2 = R3 y RA = RB = RC, Las ecuaciones anteriores se reducen a
B
1
RΔ
3
RΔ = 3RY
RY =
(3.38)
(3.39)
Los dos circuitos son equivalentes a su comportamiento terminal, por eso ambos
circuitos introducidos en una caja negra, no pueden ser identificada la conexión Y ó Δ desde
mediciones exteriores.
a
Ejemplo 3.7.
5Ω
125Ω
100Ω
Encontrar la resistencia equivalente ‘R’ de la red eléctrica
de la figura 3.18.
b
c
25Ω
40Ω
37.5Ω
Respuesta:
d
Figura 3.18
La parte superior del circuito de la figura 3.18, es una conexión en triángulo, la
formada por los nudos a-b-c, y la formada por los nudos b-c-d. Pasemos este primer triángulo
a estrella.
Ra =
100 ⋅ 125
= 50Ω
250
125 ⋅ 25
Rb =
= 12.5Ω
250
100 ⋅ 25
Rc =
= 10Ω
250
a
5Ω
50Ω
10Ω
12.5Ω
c
b
40Ω
37.5Ω
d
Figura 3.19
43
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Lo que da lugar al circuito equivalente de la figura 3.19, donde quedan una suma en
paralelo mas una suma serie de resistencias.
Req =
(40Ω + 10Ω ) ⋅ (37.5Ω + 12.5Ω ) + 50Ω + 5Ω = 80Ω
(40Ω + 10Ω ) + (37.5Ω + 12.5Ω )
3.7. Divisor de Tensión, divisor de intensidad.
En un circuito, constituido por una fuente de tensión, en serie con
tres resistencias, de la forma indicada en la figura 3.20. vamos a calcular
la tensión en la resistencia R2; divisor de tensión.
R1
+
VS
-
+
-
+
R2
-
La aplicación de la L.K.V. en la malla de la figura.
i
R3
+
-
Figura 3.20
V S = V1 + V2 + V3
(3.40)
Al circular por la malla la misma intensidad ‘i’, y aplicando la Ley de Ohm a la
ecuación 3.40.
VS = R1i + R2 i + R3 i
(3.41)
VS
R1 + R 2 + R3
(3.42)
Despejando i
i=
Para calcular ahora V2, volvemos a hacer uso de la Ley de Ohm donde V2=i⋅R2, de
forma que
V2 =
VS R2
R1 + R2 + R3
(3.43)
De la ecuación 3.43, podemos deducir que la tensión en la resistencia en cuestión es
igual al valor de esta resistencia dividido por la resistencia de todo el circuito serie y
multiplicada por la tensión aplicada al circuito.
Podemos escribir que; Para k resistencias conectadas en serie a una tensión VS, siendo
RN una de las resistencias conectadas, La tensión en dicha resistencia, VN valdrá:
VN =
VS R N
K
∑R
i =1
(3.44)
i
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Al igual que existe un divisor de tensión para un grupo de resistencias en serie al que se
le aplica una tensión, existe el divisor de intensidad, para un grupo de conductancias
conectadas en paralelo a las que se les aplica una intensidad.
i
En un circuito, constituido por una fuente de
intensidad, en paralelo con tres conductancias, de la forma
indicada en la figura 3.21. vamos a calcular la intensidad en
la conductancia G2.
i1
iS
G1
G2
i2
i3
G3
Figura 3.21
Aplicamos la L.K.I. en el nudo de manera que:
i S = i1 + i 2 + i3
(3.45)
Al estar en paralelo sometidas todas las conductancias a la misma tensión, aplicando
la Ley de Ohm a la ecuación 3.45
i S = V ⋅ G1 + V ⋅ G 2 + V ⋅ G3
(3.46)
Despejando V:
V=
iS
G1 + G 2 + G3
(3.47)
Para calcular ahora i1, volvemos a hacer uso de la Ley de Ohm donde i1 =V⋅G1, de
forma que
i1 = V ⋅ G1 =
i S ⋅ G1
G1 + G 2 + G3
(3.48)
De la ecuación 3.48, podemos deducir que la intensidad total entregada a la red en
paralelo se divide entre las conductancias G1, G2, G3 en proporción a su valor dividido por la
suma total de las conductancias en paralelo.
Podemos escribir que; Para k conductancias conectadas en paralelo alimentadas por
una intensidad iS, siendo GN una de las conductancias conectadas, La intensidad circulante en
dicha inductancia, iN valdrá:
iN =
iS G N
K
∑G
i =1
(3.49)
i
Para una red de dos conductancias en paralelo, sería muy fácil deducir la ecuación 3.48
en función de las resistencias y no de las conductancias.
Aplicando divisor de intensidad según la ecuación 3.48:
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1
1
iS ⋅
i ⋅R
i ⋅G
R1
R1
=
= S 2
i1 = S 1 =
1
1
( R1 + R2 ) ⋅ R1 R2 R1 + R 2
G1 + G 2
+
R1 R2
iS ⋅
(3.50)
Ejemplo 3.8.
i
iX
Hallar las intensidades iX e i0, de la figura 3.22.
5A
Respuesta:
20Ω
20Ω
i0
10Ω
Figura 3.22
Hacemos el paralelo de las dos ramas de la derecha y aplicamos divisor de intensidad
para calcular iX.
RP =
10 ⋅ 20 20
=
Ω
10 + 20 3
Aplicando divisor de intensidad según la ecuación 3.50
20
i ⋅ RP
3 = 100 = 10 A
iX = S
=
20 80
8
R1 + R P
20 +
3
5⋅
Para calcular i0 realizamos el paralelo de las dos ramas de la izquierda
RP =
20 ⋅ 20
= 10Ω
20 + 20
aplicando nuevamente divisor de intensidad.
i0 =
iS ⋅ RP
5 ⋅ 10
50 5
=
=
= A
R 2 + R P 10 + 10 20 2
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3.8. Transformador adaptador de impedancias.
El transformador ideal, se puede usar para reducir o
aumentar el nivel de impedancia de una carga. En el circuito
que representa la figura 3.23, la impedancia en la fuente de
tensión VS viene determinada por V1/I1. Al ser un
transformador ideal, la tensión y la corriente en los terminales
de la carga (V2 e I2) están relacionados con V1 e I1 a través de
la relación de transformación, donde recordamos de la
ecuación 2.55 que.
i2
i1
+
+
a:1
+ V
1
-
R
V2
L2
L1
-
V1 = a ⋅V 2
-
Figura 3.23
1
I1 = − I 2
a
Por la Ley de Ohm, podemos decir que -V2/I2 = R
Por lo tanto la impedancia en la fuente es
R Eq =
− V2
V1
a ⋅ V2
=
= a2 ⋅
= a2 ⋅ R
1
I1
I2
− ⋅ I2
a
(3.51)
Sin embargo, no es igual para el caso de que la impedancia conectada sea sustituida por un
condensador ya que la ecuación 3.51 se modifica al aplicar la ecuación de definición de elemento
ideal 2.11. ya que C = I2/DV2, Quedando.
1
⋅ I2
I1
I
1
1
a
=
=
= − 2 ⋅ 2 = 2 ⋅C
DV1 a ⋅ DV2
a DV2 a
−
C Eq
(3.52)
Queda por parte del alumno comprobar que para el caso de una bobina se cumple la ecuación
3.53.
L Eq = a 2 ⋅ L
(3.53)
Ejemplo 3.9.
10Ω
Encontrar la potencia media
suministrada a la resistencia de 4kΩ del
circuito de la figura 3.24.
0.4:1
+
100⋅senwt
1/4:1
4kΩ
Figura 3.24
Respuesta:
Pasamos la resistencia de 4kΩ del terciario al secundario donde:
2
R Eq.Sec.
1
⎛1⎞
= ⎜ ⎟ 4kΩ = kΩ
4
⎝4⎠
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Pasamos la resistencia de ¼ kΩ del secundario al primario donde:
2
R Eq.Sec.
⎛ 1 ⎞ 1
=⎜
kΩ = 0.04kΩ
⎟
⎝ 2.5 ⎠ 4
El circuito de la figura 3.24 queda reducido al primario con una resistencia en serie de 40Ω con
la de 10Ω de forma que la intensidad que circula será:
I=
100 sen wt
= 2 sen wt
50
Si la potencia en una resistencia está determinada por la expresión de la ecuación 2.8
p = i 2 ⋅ R = 160 sen 2 wt
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