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Circuitos Eléctricos I
II
Circuitos Resistivos
Circuitos Resistivos
Objetivos:
o Definir la ley de Ohm
o Analizar y comprender lo que son mallas y nodos
o Cultivar la importancia y el fundamento de las leyes de Kirchhoff en los circuitos
eléctricos
o Interpretar los métodos de divisor de voltaje y divisor de corriente
o Discutir sobre la resistencia equivalente en las redes resistivas
o Memorizar el código de colores de la Resistencia de un Resistor
o Practicar a medir voltaje, diferencia de potencial y corriente eléctrica
Introducción
Las leyes importantísimas en el análisis de circuitos eléctricos son presentadas en este
capítulo, como son la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, que no olvidarán durante toda
su carrera profesional. Tratamos ahora con circuitos resistivos, cuyo elemento de red es el
Resistor y su característica importante que lo identifica como es la resistencia. También
explicaremos como saber distinguir cuando los elementos se encuentran en serie y en
paralelo, al mismo tiempo aprenderemos a encontrar la resistencia equivalente entre dos
terminales de un circuito resistivo. También veremos como utilizar los métodos de divisor
de voltaje y divisor de corriente. Incluimos una explicación sobre las transformaciones de
estrella (Y) a delta (∆) y de delta (∆) a estrella (Y). También explicaremos como analizar
problemas con fuentes dependientes y un importe principio de medición de Resistencias
como es el Puente de Wheatstone.
2.1
Ley de OHM
La ley de Ohm establece que la intensidad de la corriente eléctrica que
circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia
de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del
mismo.
También puede ser dicho que el voltaje a través de una Resistencia es
directamente proporcional a la corriente que fluye a lo largo de esta. La
Resistencia es medida en Ohms (Ω) y es la constante proporcionalidad
entre el voltaje y la corriente.
Georg Simon Ohm
(1787-1854), físico alemán
conocido sobre todo por
su investigación de las
corrientes eléctricas.
i(t) = (1/R)v(t) para R≥0, que escrita de otra forma v(t) = Rv(t). La
Figura 2.1 ilustra la ley de Ohm para un Resistor, con dos símbolos para R
20
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
I
A
IR =
V A − VB
, o V A − VB = R I R
R
+
V
-
R
R
B
Figura 2.1.1
2.1.1 Elementos de circuito
El rasgo distintivo de un elemento de circuito es
que su comportamiento eléctrico esta descrito en
términos de alguna relación corriente-voltaje entre
sus terminales. También llamada ley del elemento,
esta relación puede ser matemáticamente derivada
a través de las leyes de la física, o puede ser
determinada experimentalmente vía mediciones
punto apunto. En ambos casos, esta relación puede
ser graficada en un papel o puede ser mostrada en
un tubo de rayos catódico para una visualización
fotográfica del comportamiento del elemento.
Algunos Elementos de circuitos
La característica i-v de un dispositivo
Esta característica informa sobre la relación que existe entre i y v en un dispositivo y
constituye todo lo que hay que saber de un dispositivo para poder estudiar su
comportamiento y efectos al insertarlo en un circuito dado. Esta relación puede presentarse
en forma de tabla, dando pares de valores v-i. También puede presentarse en forma gráfica
dando i como función de v o viceversa.
Una ley del elemento puede ser expresada como i = i(v) donde v es referido como la
variable independiente e i como la variable dependiente. Físicamente nos referimos a v
como la causa e i como el efecto, puesto que el voltaje produce un campo eléctrico, y el
campo eléctrico transforma, el grupo de cargas en movimiento, vÆ EÆi.
La ecuación i = i(v) es llamada la característica i-v del elemento.
Cuando es graficado en el plano i-v, esta característica será una curva de cualquier forma.
Mientras procedemos, encontramos que un parámetro de significado particular es la
pendiente de esta curva
g=
di
dv
Puesto que sus dimensiones son amperios/voltios, o Siemens, las cuales son dimensiones de
conductancia, g es llamada la conductancia dinámica del elemento bajo consideración. La
pendiente es frecuentemente expresada como el recíproco de un parámetro denotado como
r,
21
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
1 di
=
r dv
Claramente i = 1/g . Puesto que sus dimensiones voltios/amperios, u Ohms, las cuales son
dimensiones de resistencia, r es llamada la resistencia dinámica del elemento.
Como una regla general, la pendiente de una curva i-v es siempre el recíproco de alguna
resistencia llamada la resistencia dinámica. Como una regla general, la pendiente de la
curva i-v es siempre el recíproco de alguna resistencia llamada la resistencia dinámica.
i
La figura 2.1.2 muestra un circuito para
encontrar experimentalmente la característica
i-v de un elemento X desconocido, así como v
también la curva i-v del elemento.
+
-
i
1/r
X
0
v
0
Figura 2.1.2
La característica v-i de un dispositivo
Como las variables del circuito, el voltaje y la corriente pueden ser intercambiables en el
sentido que a veces puede resultar ser más conveniente para considerar voltaje como la
causa y corriente como el efecto, también puede considerarse la corriente como la causa y
el voltaje como el efecto. Al seguir el segundo punto de vista, expresamos una ley del
elemento como v = v(i) donde ahora i es la variable independiente y v la variable
dependiente.
La ecuación v = v(i) es llamada la característica v-i del elemento.
Note que la pendiente de la curva v-i es el recíproco de la curva i-v.
v
1 dv
r= =
g di
+
i
La figura 2.1.3 muestra un circuito para
encontrar experimentalmente la característica
v-i de un elemento X desconocido, así como
también la curva i-v del elemento
v
r
X
0
0
Figura 2.1.3
En general la característica i-v o v-i será una curva de cualquier forma y la pendiente
variará de un punto a otro punto sobre la curva. Cuando este es el caso ,se dice que el
elemento es no-lineal. Ejemplos comunes de dispositivos no-lineales son los diodos y
transistores, que son elementos básicos de los equipos electrónicos modernos.
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i
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Circuitos Resistivos
2.1.2 El Resistor (Resistencia)
Un Resistor es un elemento de circuito que consiste de un rodo
de material conductivo tal como la composición de carbón,
aunque son comunes una variedad de otros materiales (Figura
2.1.4.a). La Figura 2.1.4.b muestra el símbolo de circuito para
la Resistencia, a lo largo sus polaridades para la corriente y el
voltaje los cuales son los de la convención de signo pasivo.
R
A
A
+
l
I
V
(a)
B
-
Algunos Resistores
(b)
Figura 2.1.4
La Resistencia denotada como R, es la característica del resistor que representa la habilidad
para oponerse al flujo de corriente. Los elementos de circuito específicamente diseñados
para proveer esta función son llamados Resistores.
(R) = (V/A)
IR = (VA – VB) / R o (VA – VB) = R(IR)
Par un cortocircuito R = 0 y para un circuito abierto R = ∞
Para un conductor rectilíneo con sección transversal uniforme (A) y longitud (l) su
Resistencia R es:
R = ρ*l / A donde ρ (Ω*m) es la resistividad.
La ley de Ohm también puede escribirse como:
I = G V donde G es el recíproco de la Resistencia y se le llama Conductividad.
(G) 0 (Siemens, S) o mhos.
Entonces la potencia disipada por un Resistor es dada por:
P = V*I = (I*R)*I = I2 * R, así: P = I2 * R
También
P = V*I = V*(V / R) = V2 / R así P = V2 / R
La característica i-v para un resistor es una línea recta ya que en este dispositivo la corriente
es linealmente proporcional a la tensión aplicada a sus extremos (o, a la inversa, el voltaje
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Circuitos Resistivos
desarrollado entre los extremos del elemento es proporcional a la corriente que lo atraviesa,
esto puede ser visto en la figura 2.1.5
Figura 2.1.5
El Código de colores para un Resistor de 4 bandas se muestra a continuación:
Color de
la banda
Valor de la Valor de la
Coeficiente
1°cifra
2°cifra
Multiplicador Tolerancia
de
significativa significativa
temperatura
Negro
-
0
1
-
-
Marrón
1
1
10
±1%
100ppm/ºC
Rojo
2
2
100
±2%
50ppm/ºC
Naranja
3
3
1 000
-
15ppm/ºC
Amarillo
4
4
10 000
-
25ppm/ºC
Verde
5
5
100 000
±0,5%
-
Azul
6
6
1 000 000
-
10ppm/ºC
Violeta
7
7
-
-
5ppm/ºC
Gris
8
8
-
-
-
Blanco
9
9
-
-
1ppm/ºC
Dorado
-
-
0.1
±5%
-
Plateado
-
-
0.01
±10%
-
Ninguno
-
-
-
±20%
-
La forma de cómo utilizar el código se muestra a continuación
24
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Circuitos Eléctricos I
2.2
Circuitos Resistivos
Definiciones de malla y nodo
-
Ramas:
+
Cada elemento de un circuito en una red V1
constituye una rama.
I2
V2 +
X2
X1
I1
+
I4
+
V3
X3
-
I3
V4 X4
I5
+
V5
-
X5
+
V6
-
I6
X6
Figura 2.2.1
La red mostrada en la figura 2.2.1 tiene 6
ramas, etiquetadas X1 hasta X6. El rasgo distintivo de cada rama es que a cualquier instante
hay algunas corrientes a través de esta, llamada la corriente de rama y algún voltaje a través
de este, llamado voltaje de rama.
Es buena práctica siempre etiquetar los voltajes y corrientes de interés. Ejemplo: iR, vR, vis
o ivs. Puesto que los voltajes y corrientes son cantidades orientadas, además de las etiquetas,
debemos también usar flechas para indicar la dirección de la corriente y signos “+” y “-“
para indicar polaridades de los voltajes.
Nodos o Nudos:
A
La unión de dos o más elementos a través de sus
X2
hilos se le llama nodo. El circuito anterior ha
X1
sido redibujado en la figura 2.2.2 para mostrar
que este tiene 4 nodos etiquetados A, B, C y D.
Si solo dos hilos convergen a un nodo, como es
el caso del nodo A entonces tenemos un nodo
simple. Si el número de hilos es más grande que
2, entonces enfatizaremos las conexiones con puntos.
C
B
X4
X3
X5
Figura 2.2.2
D
El rasgo distintivo de un nodo es que todos los hilos convergiendo a éste, están al mismo
potencial llamado potencial del nodo.
Es buena práctica etiquetar todos los nodos en un circuito antes de comenzar a analizarlo.
Esto también le ayudará a identificar nodos redundantes (como el nodo D).
Nodo de Referencia:
Debido a que solo las diferencias de potencial o voltajes tienen sentido, es conveniente
referir todos los potenciales del nodo en un circuito al potencial de un nodo común
llamado nodo de referencia o nodo dato. Este nodo es identificado por el símbolo
y su potencial es cero por definición. Cuando los potenciales del nodo son
referenciados al nodo dato, son referidos simplemente como voltajes de nodo. Dada nuestra
tendencia para visualizar el potencial alto, una lógica de escogencia para el nodo de
referencia es el nodo de la parte baja de un diagrama de circuito, tal como el nodo D de la
figura anterior. Sin embargo, algunas veces podría resultar más conveniente designar el
nodo con el mayor número de conexiones como el nodo de referencia porque esto puede
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C.R. Lindo Carrión
X6
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
simplificar el análisis del circuito. Esto es también consistente con el hecho de que los
circuitos prácticos incluyen un blindaje de tierra al cual muchos elementos son conectados
A + VAB -
Ejemplo: Observemos el circuito mostrado +
en la Figura 2.2.3
VA
-
VA
B
X2
X2
+
X3
X1
VB
X3
X1
VB
-
(b)
(a)
Figura 2.2.3
No se debe confundir voltaje de rama con voltaje de nodo.
vAB = vA – vB quiere decir el voltaje del nodo A referido al voltaje del nodo B
vBA = vB – vA quiere decir el voltaje del nodo B referido al voltaje del nodo A
Es importante comprender que no más que un nodo en un circuito puede ser seleccionado
como nodo de referencia, y que los voltajes de rama no son afectados por esta escogencia.
Ejemplo 2.2.1
A
Para el circuito de la Figura 2.2.4,
Muestre los voltajes de nodo si el nodo dato es: a) el nodo D
b) el nodo C
+
1V
- 4V +
X2
+
X4
5V
X1
-
+ 3V -
B
C
X3
-
X5
D
- 2V +
Figura 2.2.4
Solución:
5V
1V
(a) Como el nodo de referencia es el nodo D, entonces los
voltajes de los nodos restantes serán: Para el nodo C 2V, para
el nodo B 5V, para el nodo A 1V, esto esta ilustrado en la
Figura 2.2.5
(b) Como el nodo de referencia es el nodo C, entonces los
voltajes de los nodos restantes serán: Para el nodo D -2V, para
el nodo B 3V, para el nodo A -1V, esto esta ilustrado en la
Figura 2.2.6
X2
X1
X4
2V
X3
X5
Figura 2.2.5
3V
-1V
X2
X1
X4
X3
X5
-2V
Figura 2.2.6
Lazos y Malla:
Un lazo es una ruta cerrada tal que ningún nodo es atravesado más que una vez. Una malla
es un lazo que no contiene otros lazos. Lazos son conocidos en otras literaturas como
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C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
supermallas, de las cuales hablaremos más adelante. Lazos y mallas son identificados en
términos de las ramas que ellos atraviesan.
X4
X2
La red de la figura 2.2.7 tiene 6 lazos:
1
X1X2X3
2
X3X4X5
3
X5X6
4
X1X2X4X5
5
X1X2X4X6
6
X3X4X6
X1
1
X3
4
2
6
X5
3
X6
5
Figura 2.2.7
De estos solo los tres primeros son mallas.
2.3
Leyes de Kirchhoff
También referidas como las leyes del circuito o las leyes de
conexión, leyes de Kirchhoff llamadas así por el físico Alemán
Gustav Kirchhoff (1824-1887), establece una relación entre todas
las corrientes de rama asociadas con un nodo y una relación de
todos los voltajes de rama asociados con un lazo.
Estas leyes contienen los principios de conservación de carga y
conservación de energía respectivamente.
Ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC por las siglas en
español y KCL por las siglas en inglés)
Gustav Robert Kirchhoff
(1824-1887) físico alemán
Considera las corrientes de rama asociadas con un nodo n dado. En cualquier instante
algunas de estas corrientes fluirán al nodo, otras saldrán del nodo. Estas corrientes
obedecen a lo siguiente:
En cualquier instante la suma de todas las corrientes entrando a un nodo deben ser igual
a la suma de todas las corrientes saliendo de ese nodo.
∑i
ENTRANDO
n
= ∑ i SALIENDO
n
Otras literaturas enuncian esta ley de otra manera, como sigue:
A cualquier instante la suma algebraica de todas las corrientes asociadas con un nodo debe
ser cero, que expresada matemáticamente es:
∑i
ENTRANDO
∑i
SALIENDO
n
n
− ∑ i SALIENDO = 0 , de otra manera
n
− ∑ i ENTRANDO = 0
n
27
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Ambas expresiones matemáticas son iguales que la primera expresión, sin embargo en las
dos últimas, se les pone signos negativos a las corrientes que salen (como se puede apreciar
en la primera ecuación) o a las corrientes que entran (como se puede apreciar en la segunda
ecuación). En lo personal recomiendo utilizar la primera definición, puesto que a ninguna
de las corrientes se le pone un signo, lo cual facilitará el aprendizaje a los principiantes en
esta materia. De la experiencia hemos aprendido que la mayoría de los errores cometidos
por los estudiantes de Circuitos Eléctricos I se encuentran en los signos de las ecuaciones
formadas por las leyes de Kirchhoff, por esta razón recomiendo utilizar la primera
definición.
Para aplicar exitosamente KCL, primero debemos etiquetar todas las corrientes de rama de
interés e indicar sus direcciones de referencia por medio de flechas.
Vamos a tomar el siguiente ejemplo, Veamos el circuito de la Figura 2.3.1:
X2
A
Aplicando LKC al nodo:
A:
B:
C:
D:
X4
B
I4
I2
X1
I1 = I2
I2 = I3 + I4
I4 = I5 + I6
I3 + I5 + I6 = I1
I1
C
X3
I3
X5
I5
X6
D
Figura 2.3.1
Si una corriente es desconocida, su magnitud y dirección debe ser encontrada. Hasta ahora,
nosotros asumimos arbitrariamente una dirección de referencia para la corriente
desconocida y aplicamos LKC para encontrar su valor. Si este resultado produce un valor
positivo, nuestra escogencia de la dirección de referencia fue verdaderamente correcta; por
el contrario si el valor resultó ser negativo, la corriente realmente fluye en sentido opuesto a
la dirección asumida. Para hacer que un valor de corriente negativo se vuelva positivo,
simplemente se invierte la flecha en el diagrama del circuito.
Ejemplo: Consideremos el circuito anterior en las siguientes condiciones:
a) Si I2 = 5A e I3 = 2A entonces I4 = ¿Cuánto vale?
b) Si I2 = 6A e I3 = 7A entonces I4 = ¿Cuánto vale?
Solución:
a) Aplicando LKC al nodo B obtenemos: I2 = I3 + I4 despejando I4 obtenemos:
I4 = I2 - I3 y sustituyendo valores I4 = 5 – 2 = 3A
Este resultado indica que la dirección de la corriente, es la correcta.
b) Como es el mismo caso anterior, procedemos de igual manera y entonces I4 = 6 – 7 = 1A
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C.R. Lindo Carrión
I6
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Este resultado indica que la dirección de la corriente, no es la correcta y que su dirección es
contraria. Aquí podemos proceder de dos maneras, si el resultado va ha ser utilizado más
adelante: 1) podemos dejar la dirección que tiene y conservamos el signo de la respuesta (es
decir el signo negativo); 2) podemos cambiar la dirección de la corriente en el circuito y por
ende su signo (es decir, el valor se vuelve positivo).
Ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV por las siglas en español y KVL por las siglas
en inglés)
Considera los voltajes de rama asociados a un lazo dado. Mientras recorremos el lazo, los
voltajes a través de cada uno de sus ramas pueden aparecer como una subida de voltaje (es
decir, si en el recorrido pasamos de un potencial mas bajo “-” a un potencial más alto “+”)
o como una caída de voltaje (es decir, si en el recorrido pasamos de un potencial mas alto
“+” a un potencial más bajo “-”). Por ejemplo, si VA = 3V y VB = 7V, si nos movemos de A
hacia B entonces experimentamos una subida 4V. Inversamente, si VA = 6V y VB = 1V, si
nos movemos de A hacia B ahora experimentamos una caída de 5V. Los voltajes de rama
alrededor del lazo obedecen la siguiente ley:
A cualquier instante la suma de todas las subidas de voltaje alrededor de un lazo debe ser
igual a la suma de todas las caídas de voltajes alrededor de ese lazo.
∑V
SUBIDAS
l
= ∑ VCAIDAS
l
Otras literaturas enuncian esta ley de otra manera, como sigue:
∑V
SUBIDAS
l
∑V
CAIDAS
l
− ∑ VCAIDAS = 0 , de otra manera
l
− ∑ VSUBIDAS = 0
l
Ambas expresiones matemáticas son iguales que la primera expresión, sin embargo en las
dos últimas, se les pone signos negativos a las caídas de voltaje (como puede ser visto en la
primera ecuación) o a las subidas de voltaje (como puede ser visto en la segunda ecuación).
En lo personal recomiendo utilizar la primera definición, puesto que a ninguno de los
voltajes se le pone un signo, lo cual facilitará el aprendizaje a los principiantes en esta
materia. Al igual que la definición de la ley de Kirchhoff de las corrientes, de la experiencia
hemos aprendido que la mayoría de los errores cometidos por los estudiantes de Circuitos
Eléctricos I se encuentran en los signos de las ecuaciones formadas por las leyes de
Kirchhoff, por esta razón recomiendo utilizar la primera definición.
Para aplicar exitosamente LKV, primero debemos etiquetar todos los voltajes de rama de
interés e indicar sus polaridades de referencia por medio de los signos “+” y “-“.
Vamos a tomar el siguiente ejemplo Veamos el circuito mostrado en la Figura 2.3.2:
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C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
-
Apli8cando LKV al lazo:
1
2
3
4
5
6
X1X2X3:
X3X4X5:
X5X6:
X1X2X4X5:
X1X2X4X6:
X3X4X6:
+
V1
-
V1 + V2 = V3
V3 = V4 + V5
V5 = V6
V1 + V2 = V4 + V5
V1 + V2 = V4 + V6
V3 = V4 + V6
V2 +
X2
X1
+
+
V3
V4 X4
X3
-
+
V5
-
X5
+
V6
-
Figura 2.3.2
La dirección en la cual sea atravesado un lazo no importa mientras esté sobre el lazo entero
(es decir, no importa si se hace en sentido horario o en sentido antihorario).
Si un voltaje es desconocido, su magnitud y polaridad debe ser encontrado. Como con las
corrientes, arbitrariamente asumimos una polaridad y entonces usamos LKV para encontrar
el valor del voltaje desconocido. Si el resultado produce un valor positivo, indica que
nuestra escogencia de la polaridad de referencia fue verdaderamente correcta; por el
contrario si el valor resultó ser negativo significa que la polaridad de referencia del voltaje
es sentido opuesto a la asumida. Para hacer que un valor de voltaje negativo se vuelva
positivo, simplemente se invierte la polaridad del voltaje en el diagrama del circuito.
Ejemplo: Consideremos el circuito anterior en las siguientes condiciones:
a) Si en un cierto instante V1 = 7V y V3 = 9V entonces V2 = ¿Cuánto vale?
b) Si en otro instante V1 = 8V y V3 = 5V entonces V2 = ¿Cuánto vale?
Solución:
a) Aplicando LKV alrededor del lazo X1X2X3: obtenemos V1 + V2 = V3 y despejando V2
obtenemos: V2 = V3 - V1 y sustituyendo valores V2 = 9 – 7 = 2V
Este resultado indica que la polaridad del voltaje asumida, es la correcta.
b) Como es el mismo caso anterior, procedemos de igual manera y entonces V2 = 5 – 8 = 3V
Este resultado indica que la polaridad del voltaje, no es la correcta y que su polaridad es
contraria. Aquí podemos proceder de dos maneras, si el resultado va ha ser utilizado más
adelante: 1) podemos dejar la polaridad que tiene y conservamos el signo de la respuesta
(es decir el signo negativo); 2) podemos cambiar la polaridad del voltaje en el circuito y por
ende su signo (es decir, el valor se vuelve positivo).
Para aplicar las leyes de Kirchhoff es importante recordar que los voltajes tienen
polaridades y las corrientes tienen direcciones. Ya que es indiferente el uso de signos es una
de las causas más frecuentes de error en el análisis de circuitos, es importante no dar
importancia a los valores de voltajes y corrientes como puros números, sino como números
precedidos de signos.
30
C.R. Lindo Carrión
X6
Circuitos Eléctricos I
2.4
Circuitos Resistivos
Conservación de Potencia
En un circuito algunos elementos entregarán potencia y otros absorberán potencia. Debido
a que la energía y por lo tanto la potencia no puede ser creada o destruida, la suma de todas
las absorciones de potencia deben a cualquier instante ser igual a la suma de todas las
entregas de potencia.
∑P
ABSORBIDA
= ∑ PENTREGADAS
Frecuentemente usamos esta ecuación para chequear los cálculos involucrados con voltajes
y corrientes de rama.
+ 6V -
Ejemplo 2.5.1
En el circuito mostrado en la figura 2.4.1, se supone que
X2 entrega potencia y PX2 = 20W y que X3 absorbe 1A
potencia y PX3 = 18W, a) Calcule todos los voltajes y
corrientes de rama, b)use el chequeo de potencia para
verificar sus cálculos.
X3
X1
X2
X4
Figura 2.4.1
Solución:
Puesto que X3 absorbe potencia, su corriente debe fluir hacia la derecha y su valor será:
I X3 =
PX 3
VX3
=
18W
= 3A
6V
Aplicando LKC al nodo de arriba, donde unen los tres elementos, IX2 = IX1 + IX3 = 1 + 3 0
4A con dirección hacia arriba, puesto que X2 entrega potencia, y la polaridad de su voltaje
debe ser positivo arriba.
Consecuentemente,
VX2 =
PX 2
I X2
=
20W
= 5V con el terminal positivo arriba.
4A
Luego aplicando LKC al nodo donde se unen los elemento 3 y 4, IX3 = IX4 = 3A hacia
abajo.
Si aplicamos un LKV lo largo de la malla X2X3X4 y nos movemos en sentido horario
encontramos una subida de voltaje de 5V en el elemento X2 VX2 = 5V y luego una caída de
voltaje de 6V en elemento X3 VX3 = 6V, entonces el voltaje a través del elemento 4 VX4
debe ser una subida de voltaje con valor VX4 = VX3 - VX2 = 6 – 5 = 1V con el terminal
31
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
positivo hacia abajo. Resultado que se obtiene de despejar
de la ecuación: VX2 + VX4 - VX3. Los resultados pueden ser
vistos en la Figura 2.4.2
+ 6V -
+
1A
b) Puesto que X1 esta conforme con la convención de signo
pasivo, este absorbe potencia y
X1 5V
-
3A X3
X2
4A
1V
+
X4
Figura 2.4.2
PX1 = VX1*IX1 = 5*1 = 5W y como X4 esta conforme con la convención de signo activo,
este entrega potencia y PX4 = VX4*IX4 = 1*3 = 3W
Así aplicando la ley de conservación de potencia,
PX1 + PX3 = PX2 + PX4
5 + 18 = 20 + 3
23 = 23 Por tanto el chequeo de potencia es satisfactorio.
I
2.5
Método del Divisor de Voltaje
R1
Veamos el circuito mostrado en la figura 2.6.1, trataremos de V
encontrar los voltajes de cada Resistor, para ello aplicamos KVL a la
única malla
R2
Figura 2.5.1
V = VR1 + VR2 = R1I + R2I = I(R1 + R2)
Si ahora despejamos I, obtenemos:
I=
V
, y la sustituimos en la ecuación de VR1 obtenemos:
R1 + R 2
V R1 = R1 I =
R1
R2
V y V R 2 = R2 I =
V
R1 + R2
R1 + R2
La fuente de voltaje V esta dividida entre las resistencias R1 y R2 en proporción directa a
sus resistencias.
Para generalizar este concepto mostraremos dos circuitos; en el primer circuito tendremos
varias fuentes de voltajes que pueden reducirse a una sola fuente y en el segundo circuito
tendremos varias resistencias que pueden reducirse a una equivalente en serie en una sola
malla.
Para el circuito mostrado en la Figura 2.5.2.a trataremos de demostrar que podemos
reducirlo al circuito de la figura 2.5.2.b
32
C.R. Lindo Carrión
3A
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
V2
VR1
V1
I
I
V3
V5
R1
⇒
V
R2
VR2
V4
(a)
(b)
Figura 2.5.2
Si aplicamos un LKV alrededor de la malla obtenemos:
V1 + V3 = VR1 + V2 + VR2 + V4 + V5 = IR1 + IR2 + V2 + V4 + V5
Si V = V1 - V2 + V3 - V4 - V5 entonces obtenemos
V = I(R1 + R2) que es equivalente al circuito de la figura 2.5.2.b
Ahora consideremos el otro circuito mostrado en al
Figura 2.5.3 en el cual V puede ser una fuente
equivalente, como la del ejemplo anterior, trataremos
de encontrar el voltaje a través de una resistencia V
cualquiera.
I
+VR1-
+VR2-
+VR3-
R1
R2
R3
R5
RN
Al aplicar LKV al circuito mostrado en la figura
obtenemos:
R4
+
VR4
+
VR5
-
-VRN+
Figura 2.5.3
V = VR1 + VR2 + VR3 + … + VRN = IR1 + IR2 + IR3 +… + IRN
V = I(R1 + R2 + R3 +… + RN)
V = IRS donde RS = R1 + R2 + R3 +… + RN así I = V / RS
Por lo tanto el voltaje a través del resistor Ri es:
VRi =
Ri
V
RS
Esta es la propiedad del divisor de voltaje para múltiples Resistencias en serie. La que
puede ser explicado como, el voltaje a través de la Resistencia Ri es igual a la razón de la
Resistencia Ri donde se quiere el voltaje, entre la Resistencia equivalente serie Rs
multiplicado por el voltaje de la fuente V.
33
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Ejemplo 2.5.1
100Ω
560Ω
Para el circuito mostrado en la figura 2.5.4, encuentre el
voltaje Vo, es decir el voltaje a través del resistor de 24V
330Ω.
330Ω
+
Vo
-
220Ω
Solución:
Figura 2.5.4
Como tenemos una sola malla, y se nos esta pidiendo el
voltaje a través de un resistor, podemos aplicar el método del divisor de voltaje, así Vo será:
330
⎛
⎞
Vo = ⎜
⎟ 24 = 6.55V
⎝ 100 + 560 + 330 + 220 ⎠
2.6
Método del Divisor de Corriente
+
Veamos el siguiente circuito mostrado en la Figura 2.6.1 y I
tratemos de encontrar la corriente a través de cualquier
Resistor, para ello apliquemos LKC al nodo de arriba.
R2
V
I1
I2
-
Figura 2.6.1
I = I1 + I2
I=
R1
1 ⎞
V V ⎛1
V
donde Rp es
+
= ⎜⎜ + ⎟⎟V =
R1 R2 ⎝ R1 R2 ⎠
Rp
1
1
1
=
+
, o bien
R p R1 R2
R R
R1 R2
, entonces V = IRp, o V = 1 2 I , por lo tanto I1 e I2 son:
R1 + R2
R1 + R2
R2
R1
I1 =
I , e I2 =
I
R1 + R2
R1 + R2
Rp =
Que son las ecuaciones que demuestran el divisor de corriente.
I2
Ejemplo 2.6.1
Para el circuito mostrado en la figura 2.6.2
0.9mA
encontremos I1, I2, y Vo
40KΩ
+
I1
60KΩ
80KΩ
Vo
-
Figura 2.6.2
34
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Solución:
I2
Este circuito puede ser redibujado de la siguiente
forma, como es mostrado en la Figura 2.6.3
I1
40KΩ
0.9mA
40 K + 80 K
⎤
⎡
I1 = ⎢
⎥ (0.9m ) = 0.6mA
⎣ 60 K + 40 K + 80 K ⎦
60KΩ
80KΩ
60 K
⎡
⎤
I2 = ⎢
⎥ (0.9m ) = 0.3mA
⎣ 60 K + 40 K + 80 K ⎦
+
Vo
-
Figura 2.6.3
Vo = (80K)(I2) = (80K)(0.3m) = 24V
Para generalizar el concepto de divisor de corriente utilizaremos dos circuitos; el primero
un circuito con varias fuentes de corrientes en paralelo, como el mostrado en la Figura 2.6.4
que pueden reducirse a una sola fuente equivalente y el segundo circuito con N Resistores
conectados en paralelos o reducidos a un equivalente paralelo, mostrado en la Figura 2.6.1
I5
I2
+
V
-
I1
I3
R1
I4
R2
I6
Figura 2.6.4
Aplicando LKC al nodo de arriba obtenemos:
I1 + I4 = I2 + I3 + I5 + I6 despejando y sustituyendo obtenemos:
I1 + I 4 − I 3 − I 6 =
V V
, si hacemos I = I1 - I3 + I4 - I6, obtenemos:
+
R1 R2
⎛1
1 ⎞
I = ⎜⎜ + ⎟⎟V
⎝ R1 R2 ⎠
Esta ecuación es idéntica a la del circuito de la figura 2.6.1 donde definimos el divisor de
corriente.
Ahora consideremos el circuito, mostrado en la Figura 2.6.5, con una fuente de corriente
que puede ser una fuente equivalente, como la del caso anterior en paralelo con N
Resistores y trataremos de encontrar la corriente en el Resistor j (es decir cualquier
resistor), para generalizar el divisor de corriente.
+
V
-
I1
I
R1
I2
R235
IN
RN
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Si aplicamos LKC al nodo de arriba obtenemos:
I = I1 + I2 + … + IN
⎛1
1
1 ⎞⎟
1
1 ⎛⎜ 1
1
1 ⎞⎟ N 1
+L+
=
+
+L+
I =⎜ +
V =
V , donde
=
⎜R R
⎟
⎜ R1 R
⎟ ∑
R
R
R
R
p
N
1
N
p
⎝
⎠
⎝
⎠ i =1 Ri
Entonces la corriente en el elemento j será:
Ij =
Rp
V
=
I , que también puede escribirse como:
Rj Rj
Ij =
Gj
Gp
I , donde G p =
1
es la conductancia equivalente del paralelo.
Rp
Esta ecuación representa la propiedad del divisor de corriente para múltiples Resistencias
en paralelo. Esto puede ser expresado como la corriente en el Resistor Rj será igual a la
razón de la Resistencia equivalente del Paralelo Rp entre la Resistencia donde se quiere la
corriente Rj multiplicado por la corriente de la fuente. O dicho en términos de
conductancia, la corriente en la Resistencia Rj es igual a la razón de conductancias Gj entre
la conductancia Gp (del equivalente paralelo) multiplicado por la corriente de la fuente.
Ejemplo 2.6.2
Para el circuito mostrado en la figura 2.6.6, encuentre IL usando el principio del divisor de
corriente.
IL
18KΩ
1mA
9KΩ
4mA
12KΩ
2mA
RL = 12KΩ
Figura 2.6.6
Solución:
36
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Si las tres fuentes de corrientes la reducimos a una sola fuente y las tres resistencias a una
sola, sin meter la carga, entonces tendremos el siguiente circuito, mostrado en la Figura
2.6.7:
IL
IL
18KΩ
1mA
9KΩ
12KΩ
RL = 12KΩ
1mA
4KΩ
12KΩ
Figura 2.6.7
1 ⎛ 1
1
1 ⎞
1
, entonces Rp = 4K por lo tanto IL será:
=⎜
+
+
⎟=
R p ⎝ 18 K 9 K 12 K ⎠ 4 K
4K
⎛
⎞
I L = −⎜
⎟ 1m = −0.25mA .
⎝ 4 K + 12 K ⎠
Si se observa aparece un signo negativo, ya que cuando obtuvimos la ecuación del divisor
de corriente, la fuente de corriente estaba con la flecha hacia arriba y ahora el caso es
contrario, la fuente de 1mA se encuentra con la flecha hacia abajo, entonces se procede a
cambiar de signo.
2.7
Conexiones Serie y Paralelo de Resistores (Resistencia equivalente)
Conexión serie
A
Dos o más elementos de circuito se dice que están conectados en
serie si ellos llevan la misma corriente. Para estar en serie, dos
elementos deben compartir un nodo simple, como puede ser visto
en la figura 2.7.1.
X1
i
X2
Figura 2.7.1
Se ha demostrado anteriormente que las Resistencias en serie se suman, es decir, si tenemos
N Resistencias en serie, la podemos sustituir por una sola y la denominamos Resistencia
equivalente serie Rs
Rs = R1 + R2 + …+ RN
A
Conexión paralelo
X1
37
+
v
X1
-
C.R. Lindo
Carrión
B
Figura 2.3.2
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Dos o más elementos de circuito se dice que están conectados en paralelo si ellos están
expuestos al mismo voltaje. Para estar en paralelo, los elementos deben compartir el mismo
par de nodos, como puede ser visto de la figura 2.3.2.
También fue demostrado que las Resistencias en paralelo pueden ser sustituidas por una
sola Resistencia equivalente paralelo Rp, en donde Rp, será igual al inverso de la sumatoria
de los inversos de cada Resistencia en paralelo.
1 ⎛⎜ 1
1
1 ⎞⎟ N 1
=
+
+L+
=∑
R p ⎜⎝ R1 R
RN ⎟⎠ i =1 Ri
Ejemplo 2.7.1
Determine
la
Resistencia
equivalente entre las terminales AB de la red que se muestra en la
figura.2.7.1
2KΩ
2KΩ
A
6KΩ
4KΩ
RAB
10KΩ
6KΩ
B
1KΩ
6KΩ
2KΩ
9KΩ
Figura 2.7.1
Solución:
Las resistencias 2K y 1K están en serie y el resultado 3K se encuentra en paralelo con la
resistencia de 6K, entonces como resultado tenemos 3K⎪⎪6K = 2K, esa resultante de 2K
queda en serie con la resistencia de 2K, entonces tendremos 2K + 10K = 12K, esta
resultante queda en paralelo con la resistencia de 6K, entonces tenemos 12K⎪⎪6K = 4K, esa
resultante de 4K se encuentra en serie con la resistencia de 2K y obtenemos 4K + 2K = 6K
y esa resultante de 6K queda en paralelo con la resistencia de 6K, entonces tenemos
6K⎪⎪6K = 3K y esa resultante queda en serie con la resistencia de 9K, así 3K * 9K = 12K,
ahora 12K queda en paralelo con la resistencia de 4K, entonces 12K⎪⎪4K = 3K y esa
resultante queda en serie con la resistencia de 2K entre las terminales A-B, así obtenemos
3K + 2K = 5K, que es la resistencia equivalente entre las terminales A-B.
Ejemplo 2.7.2
I1
9KΩ
Encuentre todos los voltajes y
corrientes etiquetados en la red de 12V
escalera que se muestra en la
figura 2.7.2.
I3
+
I2
Va
-
6KΩ
I5
3KΩ
+
Vb
-
9KΩ
I4
+
4KΩ
Vc
-
3KΩ
Figura 2.7.2
Solución:
38
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Para resolver este tipo de redes en escalera, es necesario reducir el circuito, haciendo
resistencias equivalentes series y paralelo, hasta obtener un circuito al cual si se le pueda
calcular alguna variable desconocida, para este caso es reducir el circuito hasta la forma de
la figura 2.7.3.b.
I1
I3
9KΩ
I2
+
12V
6KΩ
Va
-
I1
3KΩ
9KΩ
+
Vb
3KΩ
+
Va
-
12V
-
(a)
Figura 2.7.3
3KΩ
(b)
Para ese circuito más pequeño tenemos dos variables que si podemos calcular, los cuales
son: la corriente I1 y el voltaje Va.
Para calcular I1 podemos hacer uso de LKV y encontraremos I1 en función del voltaje de la
fuente conocido y las resistencias conocidas, así:
Aplicando LKV a la única malla tenemos:
12 = I1 ( 9K) + I1 ( 3K) = I1 (9K +3K) entonces I1 = 12 / 12K = 1mA y tenemos la primera
respuesta, hora ya conociendo I1, podemos conocer Va aplicando la ley de Ohm:
Va = I1 (3K) = (1m)(3K) = 3V, obteniendo así la segunda variable buscada.
Sin embargo, pudimos haber decidido encontrar primero Va a través de un divisor de
voltaje y luego I1 aplicando la ley de Ohm. Esto lo haremos ahora:
3K
12 = 3V que el valor que obtuvimos, del análisis anterior. Luego como I1 es
3K + 9 K
la misma corriente que pasa por 3K, entonces aplicando la ley de Ohm, tenemos que:
Va =
I1 = Va / 3K = 1mA, que es el resultado que obtuvimos anteriormente con el otro análisis.
Para continuar con nuestro análisis del circuito, ahora haremos uso del circuito mostrado en
la figura 2.8.3.b, que es una ampliación del circuito del análisis anterior o una reducción del
circuito original.
Como anteriormente encontramos el voltaje Va, podemos directamente calcular la corriente
I2, aplicando la ley de Ohm, así tenemos:
Va
3
1
=
= mA , obteniendo así la tercera variable buscada. Luego podemos
6K 6K 2
calcular I3, aplicando LKC al nodo donde se unen las tres resistencias (9K, 6K. y 3K), así
tenemos que I1 = I2 + I3, donde I1 e I2 son conocidos y despejamos I3,
I2 =
39
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
1
1
I 3 = I1 − I 2 = 1m − m = mA , obteniendo de esta forma la cuarta variable buscada. Luego
2
2
podemos calcular Vb usando la ley de Ohm, ya que I3 es la misma corriente que pasa por la
resistencia de 3K, así Vb será:
3
Vb = I 3 (3K ) = V , obteniendo así la quinta variable desconocida. Sin embargo pudimos
2
haber calculado Vb usando un divisor de voltaje, ya que Va es conocido, es decir:
3K
3
3
Va = (3) = V , que es el mismo resultado que se obtuvo usando la ley de
3K + 3K
6
2
ohm. Luego para hacer el resto de cálculos, utilizaremos el circuito original. Podemos
calcular I4, aplicando la ley de ohm,, ya que el voltaje Vb es conocido, así tenemos:
Vb =
3
Vb
3
= 2 = mA , así obtenemos la sexta variable desconocida. Luego aplicando
4K 4K 8
LKC al nodo donde se unen las tres resistencias (3K, 4K. y 9K), podemos calcular I5, así
tenemos que I3 = I4 + I5, donde I3 e I4 son conocidos y despejamos I5,
I4 =
1
3
1
m − m = mA , obteniendo así la séptima variable desconocida y ahora
2
8
8
podemos calcular el voltaje Vc, haciendo uso de la ley de Ohm, ya que I5 es la misma
corriente que pasa por la resistencia de 3K, entonces,
I5 = I3 − I4 =
1
3
m (3K ) = V , de esta manera obtenemos la octava y última variable
8
8
desconocida en la red. Sin embargo pudimos haber calculado Vc usando un divisor de
voltaje, ya que Vb es conocido, es decir:
Vc = I 5 (3K ) =
3K
3 3
3
Vb = ( ) = V , que es el mismo resultado que se obtuvo usando la ley de
3K + 9 K
12 2
8
Ohm. Podemos concluir que para resolver este tipo de redes en escalera, hay que reducir la
red al mínimo circuito equivalente, donde podamos calculara alguna de las variables y
luego las variables restantes desconocidas, se obtienen de manera similar a las obtenidas
previamente.
Vc =
2.8
Circuitos con fuentes dependientes
I1
Ejemplo 2.8.1
12V
40
3KΩ
2000I1
5KΩ
+
Vo
-
Figura 2.8.1
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Para el circuito mostrado en la figura 2.8.1 encuentre el voltaje de salida Vo
Solución:
Para resolver estos tipos de problemas con fuentes dependientes, se procede de la misma
manera que como si fueran independientes y luego se sustituye el valor de la variable en la
fuente controlada.
Para el circuito mostrado observemos que el circuito consta de una sola malla, podemos
aplicar LKV y de allí encontrar el valor de I1 para luego encontrar a través de la ley de Ohm
nuestro objetivo que el voltaje Vo
Así aplicando LKV obtenemos:
12 + 2000I1 = I1 (3K) + I1 (5K) = I1 (8K) entonces despejando tenemos:
12 = I1 (8K – 2K) = I1 (6K) entonces I1 = 12 / (6K) = 2mA, ahora podemos calcular Vo
Vo = I1 (5K) = (2m) (5K) = 10V obteniendo así nuestro resultado.
Ejemplo 2.8.2
Para el circuito mostrado en la figura
10 mA
2.8.2 encuentre el voltaje Vo
3KΩ
4KΩ
Solución:
+
2KΩ
+
Vo
-
4 Io
Io
Vs
-
Figura 2.8.2
Observemos primero detenidamente durante unos pocos minutos el circuito, podremos
observar que estamos en presencia de una red paralelo y que si obtenemos el valor de Vs, a
través de un divisor de voltaje tendremos nuestro objetivo el voltaje Vo
Así Vo será:
Vo =
4K
2
Vs = Vs
4K + 2K
3
Para calcular Vs aplicaremos LKC al nodo de arriba de la red y entonces obtenemos:
4 I o = 10m + I o +
Vs
V
, que puede ser reducida a: 3I o = 10m + s
6K
6K
luego aplicando la ley de ohm para obtener Io = Vs / 3K y sustituyéndola en la ecuación del
LKC, obtenemos:
41
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Vs
V
= 10m + s , entonces multiplicando por 1K y sacando factor común se obtiene:
1K
6K
⎡ 1⎤
Vs ⎢1 − ⎥ = 10 , resolviendo la resta y despejando obtenemos Vs = 12V
⎣ 6⎦
Ahora estamos dispuestos para calcular Vo, insertando el valor de Vs, así
Vo =
2.9
2
2
Vs = (12) = 8V , que es lo que necesitamos encontrar.
3
3
Transformaciones Y - ∆ y ∆ - Y
R2
R
1
Consideremos el circuito de la figura 2.9.1,
cuando intentamos reducir el circuito a una
R3
R
resistencia equivalente R, encontramos que
en ningún lado hay una resistencia en serie o
en paralelo con otra. Por tanto, no podemos
R4
resolver el problema directamente usando las
R5
técnicas que hasta aquí hemos aprendido.
Podemos sin embargo, reemplazar una parte
de la red con un circuito equivalente, y esta
Figura 2.9.1
conversión nos permitirá, con facilidad
reducir la combinación de resistencias a una sola resistencia equivalente. Esta conversión se
llama Y a delta (∆) o delta a Y, Como puede ser apreciado en las Figuras 2.10.2 (a) y (b)
a
a
Ra
R1
Rc
R2
Ra
R1
Rc
Rb
b
(a)
Rb
R3
R3
c
R2
c
b
(b)
Figura 2.9.2
De ambos circuitos tomemos las siguientes resistencias:
Rab = Ra + Rb =
R2 (R1 + R3 )
R2 + R1 + R3
Rbc = Rb + Rc =
42
R3 (R1 + R2 )
R3 + R1 + R2
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Rca = Rc + Ra =
Circuitos Resistivos
R1 (R2 + R3 )
R1 + R2 + R3
Ahora si resolvemos este conjunto de ecuaciones para Ra, Rb y Rc, obtenemos:
Ra =
R1 R2
R1 + R2 + R3
Rb =
R2 R3
R1 + R2 + R3
Rc =
R1 R3
R1 + R2 + R3
Una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de ∆ - Y es: insertar la Y
dentro de la ∆ y la resistencia que se busca, será igual al producto de la resistencia entre las
cuales se encuentra (en la ∆) dividido entre la suma de las tres resistencias.
De manera similar, si resolvemos ahora para R1, R2 y R3 obtenemos:
R1 =
Ra Rb + Rb Rc + Ra Rc
Rb
R2 =
Ra Rb + Rb Rc + Ra Rc
Rc
R3 =
Ra Rb + Rb Rc + Ra Rc
Ra
Al igual que en el caso anterior, una forma sencilla para recordar este procedimiento para
pasar de Y -∆ es: insertar la ∆ en la Y y la resistencia que se busca, será igual a la suma de
los producto de las combinaciones de dos resistencias (de la Y) dividido entre la resistencia
del lado opuesto a la que se esta encontrando (de la Y).
Para el caso balanceado en que Ra = Rb = Rc y R1 = R2 = R3 entonces
RY =
1
R∆ y R∆ = 3 RY
3
Ejemplo 2.9.1
20KΩ
Encuentre la Resistencia equivalente para
el circuito mostrado en la Figura 2.9.3
a
6KΩ
18KΩ
12KΩ
R
b
c
Solución:
12KΩ
Tenemos dos opciones, transformar la delta
de arriba (nodos a,b,c) o la delta de abajo
(nodos b,c,d) a Y como se muestra en la
figura 2.9..4.
20KΩ
12KΩ
d
Figura 2.9.3
20KΩ
a
3KΩ
2KΩ
a
6KΩ
18KΩ
b
c
6KΩ
R
R
b
c
12KΩ
43
4KΩ
4KΩ
C.R. Lindo Carrión
12KΩ
4K
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Si tomamos el delta de arriba y convertimos de delta a Y, como se muestra en la Figura
2.9.4.a, obtendremos:
Ra =
(6 K ) (18 K )
(18 K ) (12 K )
(6 K ) (12 K )
= 3K Rb =
= 6 K Rc =
= 2K
6 K + 18 K + 12 K
6 K + 18 K + 12 K
6 K + 18 K + 12 K
Ahora si podemos calculara la resistencia equivalente R
R = 20 K + 3K +
(2 K + 12 K )(6 K + 12 K ) = 30.875 KΩ
2 K + 12 K + 6 K + 12 K
También pudimos haber escogido transformar el delta de abajo a Y, como se muestra en la
Figura 2.10.3.c, que era la manera más fácil ya que las tres resistencias son iguales, eso
daría como resultado que Ra = Rb = Rc = 4K y el resultado sería:
R = 20 K + 4 K +
2.10
(6 K + 4 K )(18K + 4 K ) = 30.875 KΩ
6 K + 4 K + 18 K + 4 K
Puente Wheatstone
Es un dispositivo preciso para medir
resistencia, donde las resistencias R1,
R2 y R3 son conocidas y Rx es la
resistencia desconocida.
R1
R2
I1
I2
Vs
G
IG
I3
Ix
R3
Rx
El
dispositivo
central
es
un
Galvanómetro utilizado para medir
corriente.
Figura 2.10.1
El puente se usa de la siguiente manera: la resistencia desconocida Rx se conecta como es
mostrado en la figura 2.10.1 y entonces se ajusta R3 hasta que no hay corriente en el
Galvanómetro. En este punto se dice que el puente esta balanceado. Bajo esta condición
balanceada, IG = 0 y de aquí aplicando LKC en los nodos centrales del puente
I1 = I3 e I2 = Ix
44
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Además, como IG = 0, no hay caída de voltaje a través del Galvanómetro y por lo tanto
aplicando LKV tenemos que:
I1*R1 = I2*R2 e
I3*R3 = Ix*Rx, luego dividiendo ambas expresiones, obtenemos
I1 R1 I 2 R2
, ahora retomando que I1 = I3 e I2 = Ix y despejando para Rx, obtenemos
=
I 3 R3 I x Rx
⎛R ⎞
Rx = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ R3
⎝ R1 ⎠
Como puede ser observado Rx no depende de la fuente de voltaje. Este puente es usado por
los Ingenieros para medir la deformación en un material sólido.
2.11 Problemas Resueltos
Ejemplo 2.11.1:
a
- 1V + - Vx=2V +
c
b
Para el circuito mostrado en la figura 2.11.1,
4Vx
encuentre: Vad y el Vce.
12V
e
Solución:
+ 1V -
d
Figura 2.11.1
Para encontrar el voltaje Vad tenemos dos caminos: uno recorriendo el camino a-b-c-d ó
haciendo el recorrido a-e-d.
Aplicando LKV al recorrido a-b-c-d, tenemos:
Vad + 1 + 2 = 12, entonces Vad = 12 -3 = 9V
Ahora aplicando LKV al recorrido a-e-d, tenemos:
4Vx + 1 = Vad, como Vx = 2V, entonces Vad = 9V
Para encontrar el voltaje Vce tenemos también dos caminos: uno recorriendo el camino c-ba-e ó haciendo el recorrido c-d-e.
Aplicando LKV al recorrido c-b-a-e, tenemos:
Vce = 2 + 1 + 8 = 11V
Ahora aplicando LKV al recorrido c-d-e, tenemos:
45
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Vce + 1 = 12, entonces Vce = 11V
Obviamente debemos escoger el camino corto para llegar obtener la respuesta.
Ejemplo 2.11.2:
10KΩ b 20KΩ
a
c
Para el circuito mostrado en la figura 2.11.2,
6V
encuentre el voltaje Vac.
30KΩ
d
Solución:
Figura 2.11.2
Si observamos el circuito, para encontrar el voltaje Vac, podemos reducir la resistencia de
10K con la 20K ya que están en serie y luego aplicar un divisor de voltaje para encontrar el
voltaje buscado, así:
Vac =
30 K
(6) = 3V
30 K + 30 K
Ejemplo 2.11.3
6mA
Para el circuito mostrado en la figura 2.11.3
8KΩ
encuentre la corriente Io.
4KΩ
Io
4KΩ
8KΩ
Solución:
Figura 2.11.3
Si observamos bien el circuito podremos notar que
Io se puede calcular de un simple divisor de
corriente de la fuente de corriente de 6mA, así:
Io =
4K
( −6m) = −2mA
4 K + 8K
12KΩ
Ejemplo 2.11.4:
Para el circuito mostrado en la figura 2.11.4, encuentre
la Resistencia equivalente entre las terminales A-B
A
RAB
6KΩ
6KΩ
9KΩ
18KΩ
B
Solución:
Figura 2.11.4
46
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
Para comenzar debemos buscar los elementos que podemos reducir, en el circuito
mostrado, las resistencias de 9K y 18K se encuentran en paralelo y podemos reducirlas a
una equivalente:
9K||18K = (9K*18K)/(27K) = 6K, así el circuito queda como el que se muestra en la figura
2.11.4.1.a
12KΩ
6KΩ
6KΩ
6KΩ
3KΩ
6KΩ
6KΩ
(b)
(a)
(c)
Figura 2.11.4.1
Ahora las dos resistencias de 6K se encuentran en serie y se pueden reducir a una sola de
12K, la cual queda en paralelo de con la de 12K de arriba, entonces 12K||12K = 6K, ahora
el circuito queda como el que se muestra en la figura 2.11.4.1..b, como vemos las dos
resistencia de 6K se encuentran en paralelo y la resultante será: 6K||6K = 3K, por lo tanto la
resistencia equivalente entre las terminales A-B, es de 3KΩ como se muestra en la figura
2.11.4.1.c.
Ejemplo 2.11.5
a
Para el circuito mostrado en la figura 2.11.5,
I1
encuentre el valor de la corriente I1.
I
b
4mA
12mA
c
Solución:
2mA
Figura 2.11.5
Para encontrar la corriente I1 haremos uso de la LCK aplicado al nodo a, así
12m = I + I1
Pero como no sabemos el valor de I hacemos uso de la LKC en el nodo b, así
I = 4m + 2m = 6mA
Por lo tanto I = 12m – I = 12m – 6m = 6mA.
Sin embargo una alternativa rápida de solución y es en lo que nosotros estamos interesados
es, hacer LKC en el nodo c, así
I1 + 4m +2m= 12m, entonces despejamos I1,
I1 = 12m – 2m -4m = 6mA
47
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
8mA
Ejemplo 2.11.6
Para el circuito mostrado en la figura 2.11.6 encuentre
a
la corriente Io.
b
c
I2
I1
4mA
2mA
Io
Solución:
d
Como andamos buscando Io, hacemos LKC al nodo a,
así
Figura 2.11.6
Io + I1 = 8m, pero desconocemos I1, entonces aplicamos LKC al nodo b, así
I2 = 4m + I1, pero desconocemos I2, entonces aplicamos LKC al nodo c, así
8m = 2m + I2, así I2 = 8m – 2 m = 6mA, entonces I1 = 6m – 4m = 2mA, por lo tanto Io es:
Io = 8m – 2m = 6mA.
Sin embargo una alternativa de solución rápida y es la que nosotros estamos interesados es,
aplicando LKC al nodo d, así
Io = 4m + 2m = 6mA
2.12
Problemas Propuestos
2.12.1 Para los circuitos mostrados en la figura 2.12.1, encuentre la potencia que es
absorbida o suministrada por los elementos del circuito.
2A + 16V -
1A + 4V 1
12V
2
1A
+
8V
-
2A
1
24V
1A
Figura 2.12.1
8V
2A
Respuesta:
Circuito de la izquierda
P1 = 4W, absorbida
P2 = 8W, absorbida
Pf12V = 12W, suministrada
Circuito de la derecha
P1 = 32W, absorbida
Pf8V = 16W, absorbida
Pf24V = 48W, suministrada
48
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
2.12.2 Para los circuitos mostrados en la figura 2.12.2, encuentre la potencia que es
absorbida o suministrada por lo elementos del circuito.
24V 2A + 16V -
Ix = 2A + 8V - 2A
Ix = 2A
2A
1
12V
2Ix
+
12V
-
2Ix
2A
2A
Figura 2.12.2
Respuesta:
Circuito de la izquierda
P1 = 16W, absorbida
Pfdep = 8W, absorbida
Pf12V = 24W, suministrada
Circuito de la derecha
P1 = 32W, absorbida
P2 = 24W, absorbida
Pfdep = 8W, suministrada
Pf24V = 48W, suministrada
24V
2A + 12V -
2.12.3 Para el circuito mostrado en la Figura
2.12.3 encuentre el voltaje Vx
+ Vx -
+ 16V 18V
6V
Respuesta: Vx = 8V
Figura 2.12.3
2A
2.12.4 Encuentre Vx en la red que se muestra
en la figura 2.12.4
Respuesta: Vx = 8V
6A
8V
1
24V
4A
2
3
3A
Io
5
4Ix
6
4
16V
1
Vx
3
2
- 8V +
+
4V
6A
4A
4
6V
+
Figura 2.12.4
Ix = 2A
10V
6V
2V
+
6V
2.12.5 Encuentre Io en la red mostrada en la
figura 2.12.5
6V
1A
Respuesta: Io = 3A
8V
2A
Figura 2.12.5
2.12.6 Dados los
valores de corrientes de rama del circuito que se muestra en la
figura 2.12.6 use la LKC para encontrar las magnitudes y
direcciones de las corrientes de rama restantes del circuito.
B
A
1
4
13A
10A
C
Respuesta:
8
5
3
2
D
7
E
9
49
5A
C.R. Lindo
Carrión
Figura
2.12.6
6
F
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
I2 = 3A, sentido de D hacia A
I3 = 1A, sentido de A hacia B
I4 = 6A, sentido de B hacia E
I6 = 7A, sentido de F hacia E
I9 = 12A, sentido de C hacia F
1A
A
2.12.7 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.7:
+
(a) Encuentre todos los voltajes y corrientes de rama 1V
desconocidos.
(b) Verifique sus datos con la conservación de potencia.
3A
6
+
6V 4
-
2 3V +
3
C
Respuesta:
1
5
-
B
D
2A
Figura 2.12.7
I2 = 6A, sentido de C hacia A
I5 = 5A, sentido de A hacia D
I6 = 4A, sentido de B hacia C
+ -3V -
+ 2V -
V1 = VBA = 5V
V3 = VDC = 4V
V4 = VBD = 2V
Pentregada (32W) = Pabsorbida (32W)
2.12.8 Para el circuito mostrado en la figura 2.12.8. Diga:
¿Cuál es la potencia entregada al elemento a? y ¿Cuál es la
potencia entregada al elemento b?
1A
a
+
4V
-
+ b
1V
-
3A
-2A
Figura 2.12.8
Respuesta: Pa = 1W, absorbida
Pb = 8W, suministrada
2Ω
2Ω
2.12.9 Examine el divisor de voltaje que muestra la figura
2.12.9. Se desea que la potencia absorbida por R = 4Ω sea 8W. Vf
Calcule Vf necesario en la fuente
R
4Ω
Respuesta: Vf = 16.97V
Figura 2.12.9
110Ω
+
24V
180Ω
220Ω
250Ω
Vsal
-
2.12.10
Calcule el voltaje Vsal aplicando el
principio del divisor de voltaje al circuito
mostrado en la figura 2.12.10.
Respuesta: Vsal = 6.09V
Figura 2.12.10
2.12.11
Use el método de divisor de voltaje
o corriente para encontrar la señal desconocida indicada en el circuito mostrado en la figura
2.12.11
20Ω
15Ω
20Ω
Respuesta: Ix = 2.5A,
Vx = 0.666V
Ix
5A
20Ω
10Ω
+
5V
10Ω
5Ω
Vx
-
6.7Ω C.R. Lindo Carrión
50
Figura 2.12.11
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
2.12.12
Use el método de divisor de voltaje o corriente para encontrar la señal
desconocida indicada en el circuito mostrado en la figura 2.12.12.
1Ω
60Ω
1Ω
Respuesta: Vx = 2.5V, Ix
= 0.6A
Ix
+
5A
1Ω
1.5Ω
100V
Vx
30Ω
20Ω
28Ω
-
Figura 2.12.12
A
2KΩ
12KΩ
4KΩ
RAB
2.12.13
Para el circuito mostrado en la figura
2.12.13, encuentre la resistencia equivalente entre
las terminales A-B.
3KΩ
6KΩ
Respuesta: RAB = 18KΩ
B
12KΩ
Figura 2.12.13
A
2.12.14
Encuentre
la
resistencia
equivalente entre las terminales A-B, A-C, A-D,
B-C, B-D, y C-D para el circuito que se muestra
en la figura 2.12.14.
80Ω
B
Respuesta: RAB = 100Ω, RAC = 70Ω, RAD =
65Ω, RBC = 90Ω, RBD = 85Ω, RCD = 55Ω
30Ω
C
80Ω
60Ω
25Ω
Figura 2.12.14
D
2.12.15
Para el circuito mostrado
en la figura 2.12.15, si la Resistencia
equivalente Req es 15Ω, encuentre el
valor de R
4Ω
A
12Ω
Req
R
24Ω
8Ω
Respuesta: R = -12Ω
B
51
5Ω
C.R. Lindo Carrión
Figura 2.12.15
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
6Ω
a
3Ω
2.12.16
Para el circuito mostrado en la
figura 2.12.16, determine la Resistencia
2Ω equivalente entre a-b (Req a-b) y la corriente I
si el voltaje Vab = 40V
5Ω
12Ω
Req a-b
20Ω
b
I
Respuesta: Req a-b = 8Ω, I = -(5/6)A.
Figura 2.12.16
2.5Ω
2.12.17
Para el circuito mostrado en la
figura 2.12.17, encuentre la potencia
100V
absorbida para cada uno de los resistores..
6Ω
30Ω
Respuesta: P2.5 = 250W, P30 = 187.5W, P6
=337.5W, P5 = 180W, P20 = 45Ω.
Is
4Ω
2Ω
1Ω
3Ω
5Ω
+
Vx
-
5Ω
20Ω
Figura 2.12.17
2.12.18
Para el circuito mostrado en
la figura 2.12.18, encuentre: a) Is si Vx =
10V, b) Vx si Is = 50A, c) la razón Vx/Is.
Respuesta: a) Is = 42A, b= Vx = 11.90V, c)
Vx/Is = 0.238Ω.
Figura 2.12.18
2.12.19Para el circuito mostrado en la
figura 2.12.19 encuentre: V1, I2, y la
potencia disipada por la fuente de 7V.
4A
I2 7V
3V
4Ω
1Ω
3A
2A
2Ω
+ V1 -
7A
2Ω
10Ω
Respuesta: V1 = 8V, I2 = -6A, P7V = 42W.
Figura 2.12.19
2.12.20ara el circuito mostrado en la
figura 2.12.20encuentre Io.
Respuesta: Io = -(8/3)mA.
2KΩ
12KΩ
6KΩ
6mA
12mA
Io
12KΩ
Figura 2.12.20
52
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
4V
1.5KΩ
2.12.21Para el circuito mostrado en la figura
2.12.21 encuentre Vs.si Vo =2V
+
2KΩ
6KΩ
Vs
Vo=2V
Respuesta: Vs = 9V.
-
Figura 2.12.21
2.12.22
ara el circuito mostrado en la
figura 2.12.22 encuentre Vs.si Vo =4V
Vs
Respuesta: Vs = 36V.
6V
2KΩ
3KΩ
+
12KΩ
3KΩ
I
12V
Vo=4V
-
Figura 2.12.22
6Ω
2.12.23
Para el circuito mostrado en la
figura 2.12.23, encuentre las corrientes I e I1.
I1
4Ω
1KΩ
2mA
4Ω
6Ω
1Ω
Respuesta: I = 2A, I1 = -(3/4)A.
10Ω
3Ω
Figura 2.12.23
6Ω
2.12.24
Para el circuito mostrado en
20V
la figura 2.12.24 encuentre el valor del
Resistor R si V=2V.
-
2.4V
2S
I
V
+
Figura 2.12.24
6S
3S
15Ω
R
Respuesta: Vo = 2Ω.
8S
10Ω
8Ω
12S
2.12.25
Para el circuito mostrado en
la figura 2.12.25 encuentre la corriente I.
Respuesta: I = 1.6A.
2.12.26
Para el circuito mostrado en
la figura 2.12.26, encuentre: el voltaje Vo y la
2mA
6KΩ
2KΩ
corriente I.
Figura 2.12254
12KΩ
Respuesta: I = -2/3mA, V = -8/3V
9KΩ
3KΩ
I
Figura 2.12.26
53
C.R. Lindo Carrión
4KΩ
+
Vo
-
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
6V
+
Vo
-
4KΩ
4KΩ
3KΩ
2.12.27
Para el circuito mostrado
en la figura 2.12.14, encuentre el
voltaje Vo.
4KΩ
12KΩ
Respuesta:. Vo = 2V
6KΩ
12V
Figura 2.12.27
Ix
20Ω
2.12.28
Para el circuito mostrado en la 2A
figura 2.12.28, encuentre el voltaje Vx e Ix.
2.2KΩ
Vx 1.5KΩ
3.3KΩ
1KΩ
Vx
15Ω
-
Figura 2.12.28
1KΩ
Vy
2.12.29
Para el circuito mostrado en la
figura 2.12.29, encuentre el voltaje Vx y Vy.
-
Respuesta:. Vx = 3.09V, Vy = 9.21V
+
12V
+
30Ω
10Ω
Respuesta:. Vx = 3.33V, Ix = 0.444A
+
15Ω
3.3KΩ
Figura 2.12.29
+ Vx -
2.12.30
Para el circuito mostrado en la
figura 2.12.30, determine el voltaje Vx y la
corriente Ix.
20Ω
10Ω
20Ω
5A
20Ω
20Ω
10Ω
Ix
Respuesta:. Vx = -12.5V, Ix = -1.25A
Figura 2.12.30
2.12.31
Para el circuito mostrado en la figura
2.12.31, encuentre el voltaje Vx y la corriente Ix.
1Ω
2Ω
+
1Ω
Ix
Vx
Respuesta:. Vx = 1.67V, Ix = 0.833A
5V
-
2Ω
1.5Ω
Figura 2.12.31
54
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
4V
8Ω
I
2.12.32
Para el circuito mostrado en
figura 2.12.32, encuentre: el voltaje V,
V corriente I y la potencia absorbida por
- elemento desconocido, si la potencia de
fuente de 16V es 8W.
+
16V
12Ω
la
la
el
la
Figura 2.12.22
Respuesta: V = 8V, I = -1/6A, P = 4/3W
entregada
+ V -
2.12.33
Para el circuito mostrado en la figura
2.12.16, encuentre el valor de R1 cuando la razón Vf
V/Vf = 0.5
R1
Respuesta: R1 = 5,028.3Ω
Figura 2.12.33
8.2KΩ
13KΩ
2.12.34
Para el circuito mostrado en la figura 2.12.34 encuentre la corriente I y la
potencia absorbida por el Resistor de 12KΩ.
I
20Ω
Respuesta: I = 2.178mA, 8V
P12K = 6.326mW
50mA
12KΩ
6KΩ
90mA
4KΩ
Figura 2.12.34
2.12.35
Para el circuito mostrado en la figura 2.12.35, encuentre la potencia
absorbida por el circuito.
6KΩ
Respuesta: P = 63mW
21V
6KΩ
12KΩ
2KΩ
18KΩ
Figura 2.12.35
2.12.36
Para el circuito mostrado en la figura
2.12.32, encuentre el voltaje V1.
4mA
5V
+
1KΩ
55 Vo
-
Figura 2.12.37
2V1mA
Figura 2.12.36
2KΩ
Vo
2K
-
1KΩ
9mA
Respuesta: V1 = 3V.
6KΩ
+ V1
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
2.12.37
Circuitos Resistivos
Para el circuito mostrado en la figura 2.12.37 encuentre el voltaje Vo.
Respuesta: Vo = 4V.
2.12.38
Para el circuito mostrado en la figura 2.12.38, encuentre la potencia
absorbida por el resistor de 12KΩ.
Respuesta: P12 = 0.75mW.
4KΩ
6mA
12KΩ
Vx
2K
2KΩ
+
Vx
+
Vo
3KΩ
-
-
Figura 2.12.38
2KΩ
1KΩ
2/5 V1 mA
+
V1
-
3KΩ
4KΩ
2.12.39
Para el circuito mostrado en
la figura 2.12.39, encuentre los voltajes V1
y V.
2KΩ
Respuesta: V1 = 4V, V = 5V
- V +
1.4mA
Figura 2.12.39
2.12.40
Para el circuito mostrado en la figura 2.12.40, encuentre al razón Vo/Vs.
Rs
Respuesta: Vo/Vs = -160
2KΩ
Rent
8KΩ
Vs
+
V
-
+
V/100
Ro
100KΩ
RL
25KΩ
Vo
-
Figura 2.12.40
2.12.41
Para el circuito
mostrado en la figura 2.12.41, encuentre la razón Vo/Vs.
5KΩ
100Ω
Respuesta:
Vo/Vs = -56.81
Vs
250mV
5KΩ
35*105Ib
500Ω
Ib
50Ω
+
Vo
-
Figura 2.12.41
56
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Resistivos
2.12.42
Determine la Resistencia de carga Rc si v = 6 V en el circuito de mostrado en
la figura 2.12.42. Este circuito es un modelo de un amplificador de transistores con una
carga Rc.
20Ω
30Ω
Respuesta: Rc = 10Ω
+
v1
15V
80Ω
v1
60
-
v
+
120Ω
Rc
Figura 2.12.42
2.12.43
En la figura 2.12.43 aparece el modelo de un amplificador de transistores de
Emisor Común. Calcule el voltaje vsal si el voltaje vf = 1mV.
20Ω
-
Respuesta: Vo = 4V
vf
Ib
44Ib
20KΩ
2KΩ
vsal
+
Figura 2.12.43
57
C.R. Lindo Carrión