Download TEMA 3 - trelabartero
Document related concepts
Transcript
Escuela Universitaria Politécnica UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Teoría de Circuitos. Curso 2008-2009 - Teoría TEMA 3. CIRCUITOS SIMPLES 3.1. Introducción En este capítulo, estudiaremos las leyes básicas que son fundamentales para el análisis de circuitos simples. Dichas leyes, son la Ley de Ohm, estudiada en el capítulo anterior, ley de Kirchoff de la intensidad (L.K.I) ó (1ª L.K.) y ley de Kirchoff de la tensión (L.K.V) ó (2ªL.K). Así como los conceptos básicos de asociación serie y paralelo de elementos, divisor de tensión e intensidad y transformadores de impedancia. La razón para resolver estos circuitos sencillos, antes de presentar técnicas más elegantes para el análisis, es que nos da la oportunidad de familiarizarnos con las leyes que sirven de base para los métodos más elaborados, y muy importantes en el dominio de temas subsecuentes en el campo de la Ingeniería eléctrica. 3.2. Leyes de Kirchoff Los circuitos que hemos considerado con anterioridad, constaban de una sola resistencia, y fueron analizados usando la Ley de Ohm. En este punto comenzamos a aumentar nuestras capacidades para manejar redes más complicadas, que resultan de la unión de dos o más elementos simples. Dichas conexiones se realizarán mediante conductores perfectos. Al tener circuitos más complejos, aparecen nuevas formas que debemos definir con anterioridad, así pues: • • • Nodo. Punto de conexión de dos o más elementos simples del circuito Malla. Cualquier trayectoria cerrada a través del circuito donde ningún nodo se encuentra más de una vez Rama. Parte del circuito que sólo contiene un elemento y los nodos a cada extremo. Podemos establecer lo siguiente: Ley de Kirchoff de la Corriente. La suma algebraica de todas las corrientes en cualquier nodo de un circuito es igual a cero. V1 R1 b + a Para la correcta aplicación de la L.K.I. debe + + R3 i1 asignarse un sentido algebraico a cada corriente en el V2 + V i i S 2 3 nodo, es decir, si se asigna un signo positivo a una V3 - iS R2 corriente que sale de un nodo, es necesario asignar un c signo negativo a una corriente que entra a un nodo, y a la inversa. Figura 3.1 En el circuito de la figura 3.1 podemos aplicar la L.K.I. en cada uno de los nudos, asi: • • • Nudo ( A ) i1-iS = 0 Nudo ( B ) i2 + i3 – i1 = 0 Nudo ( C ) iS – i2 – i3 = 0 32 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría De las ecuaciones deducidas de la aplicación de la L.K.I. podemos comprobar que las ecuaciones no son linealmente independientes, es decir, que cualquiera de ellas, se puede deducir de las anteriores, por lo que tendremos un conjunto de n-1 ecuaciones linealmente independientes. Donde ‘n’ es el número de nudos existentes en el circuito. Ejemplo 3.1. 1 I1 El diagrama topológico que muestra la figura 3.2 representa un circuito eléctrico. Deseamos encontrar las corrientes desconocidas de la red. 2 6A I4 3 4A I6 Respuesta: 2A I5 4 3A 5 Aplicando la L.K.I. en cada uno de los nudos y Figura 3.2 suponiendo que las corrientes que salen de los nudos son positivas. • • • • Nudo ( 1 ) – I1 + 6 + 2 = 0 Nudo ( 2 ) I1 + I6 – I4 = 0 Nudo ( 3 ) I4 + 4 – 6 – I5 = 0 Nudo ( 4 ) I5 – 2 – 3 = 0 No es necesario plantear la ecuación del nudo 5 por ser linealmente dependiente de las anteriores. De la ecuación del nudo ( 1 ) I1 = 8A De la ecuación del nudo ( 4 ) I5 = 5A De la ecuación del nudo ( 3 ) I4 = 7A De la ecuación del nudo ( 2 ) I6 = -1A Ley de Kirchoff de las tensiones. La suma de tensiones a lo largo de cualquier camino cerrado (malla), en un circuito es igual a cero. Para la correcta aplicación de la L.K.V, si se asigna un signo positivo a un aumento de tensión, es necesario asignar un signo negativo a una disminución de tensión, y a la inversa. Aplicando la L.K.V. para el circuito de la figura 3.1, tomando como positivo la caída de tensión en sentido horario, y cogiendo los tres posibles caminos cerrados. • • • Malla ( 1 ) V1 + V2 – Vg = 0 Malla ( 2 ) V3 – V2 = 0 Malla ( 3 ) V1 + V3 – Vg = 0 De las ecuaciones deducidas de la aplicación de la L.K.V. podemos comprobar que al igual que las deducidas de la L.K.I. las ecuaciones no son linealmente independientes, es decir, que cualquiera de ellas se puede deducir de las dos anteriores. 33 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría R1 Ejemplo 3.2. - + + V1 - En el circuito de la figura 3.3 los valores de caída de tensión; V1 = 18V, V2 = 12V. Calcular VR3. 5V + - 30V R2 V2 15V + - - V3 + Respuesta: + R3 Aplicando L.K.V. y suponiendo positivas las caídas de tensión en sentido horario: Figura 3.3 V1 – 5 + V2 – 15 + V3 – 30 = 0; V3 = 20 V V1 + Ejemplo 3.3. + R1 Considerando el circuito de la figura 3.4, + 24V - + V2 R2 - + 16 V - demostrar que solo dos de las tres ecuaciones R3 V3 - + - 8V posibles de mallas son linealmente independientes. Figura 3.4 Respuesta: Aplicando L.K.V. a las tres posibles trayectorias cerradas. La malla izquierda, malla derecha, la malla exterior. Suponiendo positivas las caídas de tensión en sentido horario. Malla Izquierda; -24 + V1 + V2 + 16 = 0 Malla Derecha; -16 – V2 + V3 + 8 = 0 Malla Exterior; -24 + V1 + V3 + 8 = 0 Comprobamos que la tercera, es suma de las dos anteriores, por lo tanto no es linealmente independiente. 3.3. Asociación de Resistencias R1 a b R2 R3 c d 3.3.1 Serie Se considera que los elementos del circuito, por los VS que circula la misma corriente, están conectados en serie. + - iS h Figura 3.5 i1 i2 R7 g R6 f i7 i6 i3 i4 R5 R4 e i5 34 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría Aplicando la L.K.I. en los nudos de la figura 3.5, se puede comprobar que por todas las resistencias circula la misma intensidad. iS = i1 = −i2 = i3 = i4 = −i5 = −i6 = i7 (3.1) Es decir que conociendo una intensidad son conocidas todas las demás, por lo tanto para encontrar la intensidad que circula aplicamos la L.K.T. a la malla completa considerando las caídas de tensión en el sentido is. − VS + iS R1 + iS R2 + iS R3 + iS R4 + iS R5 + iS R6 + iS R7 = 0 (3.2) VS = iS ⋅ (R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6 + R7 ) (3.3) Si sustituimos las siete resistencias por una única resistencia, cuyo valor numérico sea la suma de las resistencias individuales, es decir: Req = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6 + R7 (3.4) De forma que: VS = is ⋅ Req (3.5) En general, si se conectan k resistencias en serie, la resistencia equivalente, tiene un valor igual a la suma de las k resistencias. k Req = ∑ Ri = R1 + R2 + .... + Rk (3.6) i =1 3.3.2 Paralelo Los elementos que se conecten en paralelo, tendrán la misma caída de tensión entre sus terminales. VS + - Si denominamos las intensidades i1, i2, i3, i4 a cada una de las intensidades de las resistencias, aplicando L.K.I, podemos escribir que: iS = i1 + i2 + i3 + i4 R1 R2 R3 R4 Figura 3.6 (3.7) Por lo tanto y según la Ley de Ohm. i1 R1 = i2 R2 = i3 R3 = i4 R4 = VS (3.8) 35 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría Entonces: i1 = VS V V V , i2 = S , i3 = S , i4 = S R3 R4 R1 R2 (3.9) Sustituyendo la ecuación 3.9 3n la ecuación 3.7 ⎛ 1 1 1 1 ⎞ iS = VS ⋅ ⎜⎜ + + + ⎟⎟ ⎝ R1 R2 R3 R4 ⎠ (3.10) De la ecuación 3.10 deducimos que: iS 1 ⎛ 1 1 1 1 ⎞ = = ⎜⎜ + + + ⎟⎟ VS Req ⎝ R1 R2 R3 R4 ⎠ (3.11) Es decir las cuatro resistencias de la figura 3.6 pueden ser reemplazadas por un sola resistencia equivalente de la forma: k 1 1 1 1 1 1 =∑ = + + + Req i =1 Ri R1 R2 R3 R4 (3.12) Para el caso más simple, donde solo encontramos dos resistencias conectadas en paralelo, la expresión 3.12 se reduce: Req = R1 R2 (3.13) R1 + R2 Ejemplo 3.4. En el circuito eléctrico que representa la figura 3.7.encontrar las intensidades iS, i1 e i2. Respuesta: 4Ω 120 V + - 3Ω is i1 18Ω i2 6Ω Figura 3.7 Resolvemos el problema utilizando simplificaciones serie-paralelo, así pues: La resistencia de 3Ω en serie con 6Ω, por lo que RSERIE = 3+6 = 9Ω Esta resistencia serie queda en paralelo con la resistencia de 18Ω. RPARALELO = 9 ⋅18 = 6Ω 9 + 18 Esta resistencia RPARALELO queda en serie con la resistencia de 4Ω RTOTAL = 6 +4 = 10Ω 36 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría En la figura 3.8 quedaría el circuito con su resistencia equivalente, y aplicando la Ley de Ohm, podemos conocer el valor de iS. 120 V + - is 10Ω Figura 3.8 iS = 120V = 12 A 10 4Ω + + 120 V - Antes de calcular las intensidades de las otras ramas, nos quedaremos en el segundo cambio y calculamos las tensiones de las ramas paralelo. 6Ω VPAR - Figura 3.9 VPARALELO = iS⋅6Ω = 12V⋅6Ω = 72 V 4Ω Al estar en paralelo todos los elementos están al mismo potencial, quedándonos en el primer cambio, según la figura 120 V + 3.10 Por lo que ya podemos calcular las intensidades i1, i2, aplicando Ley de Ohm. i1 = is + is VPAR 18Ω 9Ω - Figura 3.10 VPAR 72V V 72V = = 4 A; i2 = PAR = = 8A 18 18 9 9 3.4. Asociación de Inductancias Así como las combinaciones de resistencias en serie y en paralelo se pueden reducir a una resistencia equivalente, las combinaciones de inductores en serie y paralelo, también se pueden reducir a un solo inductor. 3.4.1 Serie Conexión en serie de inductores, por la que circula la misma corriente. figura 3.11. V1 = L1 ⋅ L1 L2 L3 + V 1 + V2 - + V3 - i Figura 3.11 di di di , V 2 = L 2 ⋅ , V 3 = L3 ⋅ dt dt dt (3.14) La tensión en la conexión . V = V1 + V 2 + V3 = (L1 + L2 + L3 ) ⋅ di dt (3.15) En general. Si se conectan k inductancias en serie, la inductancia equivalente tiene un valor igual a la suma de las k inductancias. K ∑L j =1 i = L1 + L2 + .... + L K (3.16) 37 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría i 3.4.2 Paralelo + Los inductores en paralelo, tienen la misma tensión entre sus terminales, figura. 3.12. Y sus corrientes vienen determinadas por. + + i1 + i2 V V1 L1 V2 L2 V3 - - - - i3 L3 Figura 3.12 i1 = i1 (t 0 ) + 1 L1 ∫ t t0 V ( x) dx, i 2 = i 2 (t 0 ) + 1 L2 ∫ t t0 V ( x) dx, i3 = i3 (t 0 ) + 1 L3 t ∫ V ( x) dx t0 (3.17) Aplicando la L.K.I i = i1 + i 2 + i3 (3.18) Sustituyendo la ecuación 3.17 en 3.18 ⎛ 1 1 1 ⎞ t ⎟⎟ ⋅ ∫ V ( x) dx + i = i1 (t 0 ) + i 2 (t 0 ) + i3 (t 0 ) + ⎜⎜ + t0 L L L 2 3 ⎠ ⎝ 1 (3.19) Si interpretamos la ecuación 3.19, en términos de un solo inductor. i = i (t 0 ) + t 1 ⋅ ∫ V ( x) dx t Leq 0 (3.20) Los resultados que muestra la ecuación 3.20, se puede entender a k inductores conectados en paralelo. K 1 1 1 1 1 =∑ = + + .... + Leq i =1 Li L1 L2 L3 (3.21) 3.5. Asociación de Condensadores 3.5.1 Serie Conexión en serie de inductores, por la que circula la misma corriente. figura 3.13. V1 = V1 (t 0 ) + 1 C1 ∫ t t0 i ( x) dx, V2 = V2 (t 0 ) + 1 C2 ∫ t t0 C1 C2 C3 +V - + V2 - + V3 - 1 i ( x) dx, V3 = V3 (t 0 ) + i Figura 3.13 1 C3 ∫ t t0 i ( x) dx (3.22) La tensión en la conexión aplicando L.K.V. 38 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría ⎛ 1 1 1 ⎞ t ⎟⎟ ∫ i ( x) dx + + V = V1 (t 0 ) + V2 (t 0 ) + V3 (t 0 ) + ⎜⎜ ⎝ C1 C 2 C 3 ⎠ t 0 (3.23) Interpretando la ecuación 3.23 en términos de un solo condensador. V = V (t 0 ) + 1 C eq ∫ t t0 i ( x) dx (3.24) Los resultados que muestra la ecuación 3.24, se puede entender a k condensadores conectados en serie. K 1 1 1 1 1 =∑ = + + .... + C eq i =1 C i C1 C 2 C3 (3.25) 3.5.2 Paralelo i Los condesadores en paralelo, tienen la misma tensión entre sus terminales, figura. 3.14. Y sus corrientes vienen determinadas por + + i1 + i2 + V V1 C1 V2 C2 V3 - - - - i3 C3 Figura 3.14 i1 = C1 ⋅ dV dV dV , i2 = C 2 ⋅ , i3 = C 3 ⋅ dt dt dt (3.26) Aplicando la L.K.I i = i1 + i 2 + i3 = (C1 + C 2 + C 3 ) ⋅ dV dt (3.27) Si interpretamos la ecuación 3.27, en términos de un solo capacitor. i = C eq ⋅ dV dt ( 3.28) Los resultados que muestra la ecuación 3.28, se puede entender a k condensadores conectados en paralelo. K ∑C j =1 i = C1 + C 2 + .... + C K (3.29) 39 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría Ejemplo 3.5. Los valores iniciales de i1 e i2 en el circuito de la figura 3.15. son respectivamente –2A, 4A. El voltaje en los terminales de los inductores en paralelo para t ≥ 0 es -40⋅e-5t. Determinar: a) Si los inductores en paralelo se sustituyen por un solo i(t) inductor, ¿Cuál es la inductancia equivalente? + b) ¿Cuál es la corriente inicial y su dirección de referencia en + i1 + i2 el inductor equivalente? V V1 L1 V2 L2 c) Usar el inductor equivalente para determinar el valor de i(t) d) Encuentre i1(t) e i2(t). Comprobar que las soluciones Figura 3.15 satisfacen las leyes de Kirchoff. Respuesta: a) La inductancia equivalente viene determinada por la ecuación 3.21 K 5 ⋅ 20 1 1 1 1 1 =∑ = + + .... + ; ⇒ L eq = = 4H 5 + 20 Leq i =1 Li L1 L2 L3 b) Corriente inicial i(t) = i1 + i2 = 2 c) Aplicando la ecuación de definición de la bobina a la inductancia equivalente calculada i (t ) = i (t 0 ) + 1 L1eq t 1 t ∫ V ( x) dx = 2 + 4 ∫ − 40 ⋅ e t0 −5 x 0 dx = 2 ⋅ e −5t d) Aplicando la ecuación de definición de la bobina a cada una de las inductancias. i1 (t ) = i1 (t 0 ) + 1 L1 ∫ i 2 (t ) = i 2 (t 0 ) + 1 L2 ∫ V ( x) dx = 4 + 20 ∫ − 40 ⋅ e t t0 t t0 V ( x) dx = −2 + 1 t − 40 ⋅ e −5 x dx = −3.6 + 1.6e − 5t ∫ 0 5 1 t 0 −5 x dx = 3.6 + 0.4e −5t 40 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría Ejemplo 3.6. C1 Los cuatro condensadores del circuito de la figura 3.16, se conectan a los terminales de un circuito en el instante t = 0, se sabe que la corriente resultante ‘i’ para t ≥ 0 es i = -5⋅e-5t Si los valores iniciales V1 = -20V, VD = 250V, V4 = -30V, C1 = 5F, C2= 0.8F, C3 = 0.2F C4 = 1.25F. Encontrar los valores de V1(t), V4(t), VD(t), VB(t), i1(t), i2(t). Así como el valor del capacitor equivalente. i + V1 + i3 C3 VD C2 i2 VB + - V4 + Figura 3.16 C4 B Respuesta: C3 en paralelo con C2 viene determinada por; C1 en serie con CP en serie con C4 viene determinada por; CP = C2 + C3 = 1F 1 C Total = 1 1 4 + + = 2F 5 1 5 La tensión VB = -V1 - VD - V4 B 1 t 1 t 1 i ( x) dx = −20 + ∫ − 5 ⋅ e −5 x dx = −20.2 + e −5t ∫ 5 t0 5 C1 t 0 1 t 1 t V D = V D (t 0 ) + i ( x) dx = 250 + ∫ − 5 ⋅ e −5 x dx = 249 + e −5t ∫ 1 t0 C P t0 1 t 4 t 4 V 4 = V 4 (t 0 ) + i ( x) dx = 250 + ∫ − 5 ⋅ e −5 x dx = −30.8 + e −5t ∫ 5 t0 5 C 4 t0 V1 = V1 (t 0 ) + VB = 198 -2⋅e-5t B Para las intensidades de la rama paralelo. dU D = 0.2 ⋅ −5e −5t = −e −5t dt dU D i2 = C 2 ⋅ = 0.8 ⋅ −5e −5t = −4e −5t dt i2 = C 2 ⋅ Comprobando que se cumple la L.K.I. donde i = i2 + i1 41 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría 3.6. Transformaciones Estrella – Triángulo (Υ ⇔ Δ) Cuando intentamos reducir el circuito a una resistencia equivalente ‘R’, encontramos que en ningún lado hay una resistencia en serie o en paralelo con otra. Por tanto, no podemos atacar el problema directamente usando las técnicas de los apartados anteriores. Podemos, sin embargo, reemplazar una parte de la red con un circuito equivalente, y esta conversión nos permitirá, con facilidad, reducir la combinación de resistencias a una sola resistencia equivalente. Esta conversión es la denominada Υ⇔Δ. a b a b RC RA R2 R1 RC RB b a a RA RB c Figura 3.17 R1 R3 c c Configuración Triángulo (Δ) b R2 R3 c Configuración Triángulo (Y) En cualquier circuito eléctrico que se presente cualquiera de las formas de estrella o triángulo como muestra la figura 3.17, se puede transformar en su equivalente triángulo o estrella, relacionando R1, R2, R3 con RA, RB, RC. La relación se hará de forma que la resistencia entre terminales no varíe en ninguna de las dos redes. Por consiguiente igualamos las resistencias para cada configuración. B RC ⋅ ( R A + R B ) R A + R B + RC R ⋅ ( RC + R B ) Rbc = R2 + R3 = A R A + R B + RC R ⋅ (R A + RC ) Rca = R1 + R3 = B R A + RB + RC Rab = R1 + R2 = (3.30) (3.31) (3.32) Resolviendo el sistema de tres ecuaciones para R1, R2, R3. Conversión Δ⇒Υ RC ⋅ R B R A + R B + RC RC ⋅ R A R2 = R A + R B + RC R A ⋅ RB R3 = R A + R B + RC R1 = (3.32) (3.33) (3.34) De la misma forma las ecuaciones 3.30, 3.31 y 3.32, se pueden resolver para RA, RB, RC. Realizando la conversión de Υ⇒Δ, quedando las ecuaciones de la forma. B 42 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 R1 R R + R2 R3 + R1 R3 RB = 1 2 R2 R R + R2 R3 + R1 R3 RC = 1 2 R3 RA = (3.35) (3.36) (3.37) Si consideramos que R1 = R2 = R3 y RA = RB = RC, Las ecuaciones anteriores se reducen a B 1 RΔ 3 RΔ = 3RY RY = (3.38) (3.39) Los dos circuitos son equivalentes a su comportamiento terminal, por eso ambos circuitos introducidos en una caja negra, no pueden ser identificada la conexión Y ó Δ desde mediciones exteriores. a Ejemplo 3.7. 5Ω 125Ω 100Ω Encontrar la resistencia equivalente ‘R’ de la red eléctrica de la figura 3.18. b c 25Ω 40Ω 37.5Ω Respuesta: d Figura 3.18 La parte superior del circuito de la figura 3.18, es una conexión en triángulo, la formada por los nudos a-b-c, y la formada por los nudos b-c-d. Pasemos este primer triángulo a estrella. Ra = 100 ⋅ 125 = 50Ω 250 125 ⋅ 25 Rb = = 12.5Ω 250 100 ⋅ 25 Rc = = 10Ω 250 a 5Ω 50Ω 10Ω 12.5Ω c b 40Ω 37.5Ω d Figura 3.19 43 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría Lo que da lugar al circuito equivalente de la figura 3.19, donde quedan una suma en paralelo mas una suma serie de resistencias. Req = (40Ω + 10Ω ) ⋅ (37.5Ω + 12.5Ω ) + 50Ω + 5Ω = 80Ω (40Ω + 10Ω ) + (37.5Ω + 12.5Ω ) 3.7. Divisor de Tensión, divisor de intensidad. En un circuito, constituido por una fuente de tensión, en serie con tres resistencias, de la forma indicada en la figura 3.20. vamos a calcular la tensión en la resistencia R2; divisor de tensión. R1 + VS - + - + R2 - La aplicación de la L.K.V. en la malla de la figura. i R3 + - Figura 3.20 V S = V1 + V2 + V3 (3.40) Al circular por la malla la misma intensidad ‘i’, y aplicando la Ley de Ohm a la ecuación 3.40. VS = R1i + R2 i + R3 i (3.41) VS R1 + R 2 + R3 (3.42) Despejando i i= Para calcular ahora V2, volvemos a hacer uso de la Ley de Ohm donde V2=i⋅R2, de forma que V2 = VS R2 R1 + R2 + R3 (3.43) De la ecuación 3.43, podemos deducir que la tensión en la resistencia en cuestión es igual al valor de esta resistencia dividido por la resistencia de todo el circuito serie y multiplicada por la tensión aplicada al circuito. Podemos escribir que; Para k resistencias conectadas en serie a una tensión VS, siendo RN una de las resistencias conectadas, La tensión en dicha resistencia, VN valdrá: VN = VS R N K ∑R i =1 (3.44) i 44 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría Al igual que existe un divisor de tensión para un grupo de resistencias en serie al que se le aplica una tensión, existe el divisor de intensidad, para un grupo de conductancias conectadas en paralelo a las que se les aplica una intensidad. i En un circuito, constituido por una fuente de intensidad, en paralelo con tres conductancias, de la forma indicada en la figura 3.21. vamos a calcular la intensidad en la conductancia G2. i1 iS G1 G2 i2 i3 G3 Figura 3.21 Aplicamos la L.K.I. en el nudo de manera que: i S = i1 + i 2 + i3 (3.45) Al estar en paralelo sometidas todas las conductancias a la misma tensión, aplicando la Ley de Ohm a la ecuación 3.45 i S = V ⋅ G1 + V ⋅ G 2 + V ⋅ G3 (3.46) Despejando V: V= iS G1 + G 2 + G3 (3.47) Para calcular ahora i1, volvemos a hacer uso de la Ley de Ohm donde i1 =V⋅G1, de forma que i1 = V ⋅ G1 = i S ⋅ G1 G1 + G 2 + G3 (3.48) De la ecuación 3.48, podemos deducir que la intensidad total entregada a la red en paralelo se divide entre las conductancias G1, G2, G3 en proporción a su valor dividido por la suma total de las conductancias en paralelo. Podemos escribir que; Para k conductancias conectadas en paralelo alimentadas por una intensidad iS, siendo GN una de las conductancias conectadas, La intensidad circulante en dicha inductancia, iN valdrá: iN = iS G N K ∑G i =1 (3.49) i Para una red de dos conductancias en paralelo, sería muy fácil deducir la ecuación 3.48 en función de las resistencias y no de las conductancias. Aplicando divisor de intensidad según la ecuación 3.48: 45 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría 1 1 iS ⋅ i ⋅R i ⋅G R1 R1 = = S 2 i1 = S 1 = 1 1 ( R1 + R2 ) ⋅ R1 R2 R1 + R 2 G1 + G 2 + R1 R2 iS ⋅ (3.50) Ejemplo 3.8. i iX Hallar las intensidades iX e i0, de la figura 3.22. 5A Respuesta: 20Ω 20Ω i0 10Ω Figura 3.22 Hacemos el paralelo de las dos ramas de la derecha y aplicamos divisor de intensidad para calcular iX. RP = 10 ⋅ 20 20 = Ω 10 + 20 3 Aplicando divisor de intensidad según la ecuación 3.50 20 i ⋅ RP 3 = 100 = 10 A iX = S = 20 80 8 R1 + R P 20 + 3 5⋅ Para calcular i0 realizamos el paralelo de las dos ramas de la izquierda RP = 20 ⋅ 20 = 10Ω 20 + 20 aplicando nuevamente divisor de intensidad. i0 = iS ⋅ RP 5 ⋅ 10 50 5 = = = A R 2 + R P 10 + 10 20 2 46 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría 3.8. Transformador adaptador de impedancias. El transformador ideal, se puede usar para reducir o aumentar el nivel de impedancia de una carga. En el circuito que representa la figura 3.23, la impedancia en la fuente de tensión VS viene determinada por V1/I1. Al ser un transformador ideal, la tensión y la corriente en los terminales de la carga (V2 e I2) están relacionados con V1 e I1 a través de la relación de transformación, donde recordamos de la ecuación 2.55 que. i2 i1 + + a:1 + V 1 - R V2 L2 L1 - V1 = a ⋅V 2 - Figura 3.23 1 I1 = − I 2 a Por la Ley de Ohm, podemos decir que -V2/I2 = R Por lo tanto la impedancia en la fuente es R Eq = − V2 V1 a ⋅ V2 = = a2 ⋅ = a2 ⋅ R 1 I1 I2 − ⋅ I2 a (3.51) Sin embargo, no es igual para el caso de que la impedancia conectada sea sustituida por un condensador ya que la ecuación 3.51 se modifica al aplicar la ecuación de definición de elemento ideal 2.11. ya que C = I2/DV2, Quedando. 1 ⋅ I2 I1 I 1 1 a = = = − 2 ⋅ 2 = 2 ⋅C DV1 a ⋅ DV2 a DV2 a − C Eq (3.52) Queda por parte del alumno comprobar que para el caso de una bobina se cumple la ecuación 3.53. L Eq = a 2 ⋅ L (3.53) Ejemplo 3.9. 10Ω Encontrar la potencia media suministrada a la resistencia de 4kΩ del circuito de la figura 3.24. 0.4:1 + 100⋅senwt 1/4:1 4kΩ Figura 3.24 Respuesta: Pasamos la resistencia de 4kΩ del terciario al secundario donde: 2 R Eq.Sec. 1 ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ 4kΩ = kΩ 4 ⎝4⎠ 47 Escuela Universitaria Politécnica Teoría de Circuitos. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Curso 2008-2009 - Teoría Pasamos la resistencia de ¼ kΩ del secundario al primario donde: 2 R Eq.Sec. ⎛ 1 ⎞ 1 =⎜ kΩ = 0.04kΩ ⎟ ⎝ 2.5 ⎠ 4 El circuito de la figura 3.24 queda reducido al primario con una resistencia en serie de 40Ω con la de 10Ω de forma que la intensidad que circula será: I= 100 sen wt = 2 sen wt 50 Si la potencia en una resistencia está determinada por la expresión de la ecuación 2.8 p = i 2 ⋅ R = 160 sen 2 wt 48