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2/19/2010 Universidad Interamericana Recinto de Barranquitas Programa de Carreras Cortas Matemática Comercial Básica Unidad 1 Números Enteros Profa. Gloria Rivera Lectura y escritura de números enteros Para leer números enteros de varios dígitos siga estos pasos: 1. Empezando por la derecha, separe el número en grupos de tres usando comas. El último grupo marcado y que queda en el extremo izquierdo puede tener menos de tres dígitos. Ejemplos 2. Empezando por la izquierda, lea el primer grupo como si estuviera solo y entonces lea el nombre del grupo. Continúe de la misma manera hasta el fin leyendo cada grupo de tres y seguidamente el nombre del grupo. El nombre del grupo de la unidades no se lee. (a) Lea y escriba el número 22694735. (1) Separe en grupos de tres: 22,694,735 (2) Léalo y escribalo como: veintidós millones, seiscientos noventa y cuatro mil, setecientos treinta y cinco. VALOR RELATIVO (b) Lea y escriba el número 90001052006. (1) Separe en grupos de tres: 90,001,052,006. (2) Léalo y escríbalo como: noventa billones, un millón, cincuenta y dos mil seis. 1,000,000,000 100,000,000 10,000,000 1,000,000 100,000 10,000 1,000 , 100 10 1 billón* centena de millón decena de millón millón centena de millar decena de millar millar centenas decenas unidades . ( se lee “y “) .1 décimas .01 centésimas .001 milésimas .0001 diezmilésimas .00001 cienmilésimas .000001 millonésimas billón millón millón mil Nota: Hemos usado el sistema de numeración corto, usado en E.U. Un billón equivale a mil millones en el sistema largo. 1 2/19/2010 Redondeo y Estimado Los hombres de negocios usan estimados para hallar el costo aproximado de una operación, para hacer comparaciones y para predecir futuros negocios, etc. Un estimado es una aproximación a la respuesta correcta; no es una respuesta exacta. Los números para el cálculo del estimado son redondeados para tener una idea cercana al resultado verdadero. Hasta aquí ha sido necesario redondear una respuesta a cierto número de cifras decimales. El mismo procedimento se usa para redondear a la unidad, decena, centena, etc., mas próxima. Redondeo a la unidad más cercana Examine el dígito a la derecha de esta posición. Este es el dígito de las que 5,, no haga g décimas. Si es menor q cambio en las unidades, y elimine todos los lugares decimales. El número redondeado sera el mismo que la parte entera original. Si el lugar de las décimas es 5 o más, sume 1 a las unidades y elimine todos los lugares decimales. El número redondeado es 1 más q que la parte entera del original. Redondear una cantidad de dinero al dolar mas cercano es lo mismo que redondear la cantidad a la unidad más cercana. Ejemplos Redondee a la unidad más cercana. (a) 175.4675 = 175 El lugar de las décimas es :4. Como 4 es menor que 5, .4675 se desecha y no se hace ningún cambio. (b) 267.58 = 268 El lugar de las décimas es .5. Como este es 5, se añade ñ 1 a las unidades, 7, para convertirlas en 8 y el .58 se desecha. 2 2/19/2010 Redondeo a la decena, centena, millar, etc. más cercana (c) $359.61 = $360 El lugar de las décimas es .6. Como este es mayor que 5, se añade ñ 1 a las unidades, 9, para convertirlas en 10. Redondeo a determinado número de cifras significativas Ejemplos 4,543 a la unidad de millar ,más cercana es 5,000 22,998 a la decena de millar más cercana es 20,000 26,298 26 298 a la decena de millar más cercana es 30,000 649,999.99 a la centena de millar más cercana es 600,000 7,443,210 al millón más cercano es 7,000,000 650,000,000 a la centena de millon más cercana es 700,000,000 7,543,210 al millón más cercano es 8,000,000 Exprese el numero de cifras significativas indicadas. una dos tres cuatro 12,175.4 6,799.55 84.6997 .17054 .0086045 10,000 7,000 80 .2 .009 12,000 6,800 85 .17 .0086 Cuando estimamos resultados, los números de los cálculos deben ser redondeados a cierto número de cifras de modo que el cálculo pueda ser mentalmente, o con muy poco trabajo. En la mayoría de los casos, esto requiere redondear a una o dos cifras significativas. Una cifra significativa es la que nos da la mayor información acerca de la magnitud del número en el caso considerado. Estimado de sumas y diferencias Ejemplos (a) (b) (c) (d) (e) La misma regla general se rige para redondear números a la decena, centena, millar, etc., mas cercano. Examine el lugar despues del lugar requerido para el redondeo. Si es 5 o más, sume 1 al lugar requerido sin ocuparnos de si hay o no cambio, todos los dígitos a la derecha del lugar requerido que redondeamos, son ceros, y todos los lugares decimales quedan eliminados. 12,200 6,800 84.7 .171 .00860 12,180 6,800 84.70 .1705 .008605 En suma y resta, un estimado muestra solamente, el alcance general de la suma o de la diferencia. Cuando estimamos una suma, generalmente, todos los sumandos son redondeados de acuerdo con la cantidad mayor a una cifra significativa. Haciendo esto, algunos de los números menores pueden convertirse en ceros. Como un estimado nos da una respuesta aproximada, eso no importa. El redondeo se hace según se vayan sumando los números mentalmente. 3 2/19/2010 Ejemplos (b) Redondee al ciento más cercano. Estime las sumas. (a) Redondee a las decenas: $ 68.33 _ _ _ 100 595 24 _ _ _ 600 595.24 36.42 _ _ _ 000 129.87 _ _ _ 100 + 1,468.01 _ _ _ 1,500 $2,297.79 _ _ _ 2,300 $85.07 _ _ _ 90 $ 43.29 _ _ _ 40 7.38 _ _ _ 10 62.59 _ _ _ 60 + 1.46 _ _ _ 00 $199.79 _ _ _ 200 (c) Redondee al millar más cercano. Ejercicios De Practica $10,425.93 _ _ _ 10,000 68 24 _ _ _ 68.24 000 1.37 _ _ _ 000 611.55 _ _ _ 1,000 + 432.50 _ _ _ 000 $11,539.59 _ _ _ 11,000 Alineación de dígitos por su lugar Alineación de dígitos Suma : Alinea los números 300 y 29 luego suma. suma Alineación incorrecta 300 + 29 590 Suma de Números enteros Alineación correcta + 300 29 329 939 + 147 + 265 Solución 12 939 147 + 265 1,351 4 2/19/2010 Desarrollo de la Adición Sumando por agrupación Suma : 13 + 49 + 52 Para sumar 13 + 49 + 52, primero suma 13 + 40 + 50 = 103. Luego suma 103 + 9 = 112 + 2 = 114 13 49 +52 Suma : 96 + 54 + 63 + 12 + 55 13 40 50 103 + 9 = 112 112 + 2 = 114 Sumando grupos Suma : 57 36 48 + 24 1 5 7 3 6 4 1 2 4 6 5 Suma 386 159 514 + 212 1 3 8 6 1 5 9 5 1 4 2 1 2 2 7 1 Estimando respuestas en la suma EJERCICIOS DE PRACTICA Estimar respuestas en la suma a descubrir errores obvios en los computos. Tener disponible las respuestas es especialmente importante cuando se usan calculadoras. 5 2/19/2010 Ejemplo Una forma de estimar las respuestas en problemas de suma es redondeando cada numero al mayor lugar. lugar Luego suma los numeros redondeados. El estimado debe estar cerca del resultado real. Estime la suma: 322 + 576 + 349 + 105. Determina la suma real. SOLUCION Estimado 300 600 300 100 1.300 Real 322 576 349 105 1,352 Resta de Numeros Enteros Ejercicios de P Practica ti Objetivos de aprendizaje Hallar la diferencia entre dos numeros. Verificar la sustraccion utilizando la suma. Sustraccion En la sustraccion, cada digito en el sustraendo es sustraído del dígito en el mismo lugar (que es, tener el mismo valor de lugar) en el minuendo. El resultado de la sustracción se llama la diferencia. Si el digito del sustraendo es mayor que el dígito de abajo, es necesario reagrupar antes de sustraer. Ejemplo Resta : 74 – 56 74 - 56 18 Minuendo Sustraendo Diferencia 6 2/19/2010 Ejemplo Resta : Resta : 801 - 642. 9 325 - 158 9 9 71011 71011 71011 71011 71011 801 801 801 801 801 - 642 - 642 -642 -642 -642 9 59 159 Resta : 306 – 42. Verificando la Sustracción Verifica la sustracción por medio de sumar el sustraendo t d y la l diferencia, dif i la suma debe ser igual que el minuendo. 9 Ejemplo SUSTRAE, 4,580 DE 7,870. Verifica tu respuesta. SOLUCION 717 7,780 - 4,580 3,290 Minuendo Sustraendo Diferencia Resta : 1,398 - Verificacion V ifi i 4,580 Sustraendo + 3,290 Diferencia 7,870 Minuendo 799. Verifica tu respuesta. Estimando Respuestas en Sustracción EJERCICIOS DE PRACTICA Las respuestas en los problemas de sustracción se estiman mediante redondeo de cada numero al lugar mayor y luego restando los numeros redondeados. El estimado debe estar cerca de la respuesta real. 7 2/19/2010 Ejemplo Estime la diferencia : 29,689 – 12,271 Solucion: Estimado 30,000 - 10,000 20,000 Real 29,689 - 12,271 17,418 Estime la diferencia : 39,872 - 6,819. Luego halla la respuesta real. Multiplicacion : Halla el Producto Ejercicios De Practica Objetivos : Halla el producto de dos numeros enteros. Halla productos de dinero y de numeros enteros. Multiplicacion de Numeros Enteros El numero por el cual tu multiplicas es el multiplicador, el numero que es multiplicado es el multiplicando, y el resultado del cómputo es el producto. Cuando el multiplicador tienen dos o mas digitos, el multiplicando es multiplicado separadamente por cada digito del multiplicador. Estos productos son añadidos para hallar el producto final. Es importante alinear los subproductos apropiadamente para que la respuesta correcta se obtenga cuando los productos sean sumados. 8 2/19/2010 Ejemplo Practica Halla el producto : 43 x 52 Halla el producto : SOLUCION 43 x 52 86 21 5 2,2 3 6 Multiplicando Multiplicador 104 x 85 Producto Multiplicando con Dinero $ Ejercicios De Práctica Ejemplo Halla el producto : $43.85 x 23 Cuando multiplicamos una cantidad de dinero dada en dólares y centavos por un número entero,, la respuesta p p es también escrita en términos de dolares y centavos. Recuerda los centavos no son números enteros pero sí decimales. Practica Halla el producto : SOLUCION $43.85 x 23 13255 8770 $1008.55 $192.39 x 56 9 2/19/2010 Verifica la efectividad de la Multiplicación Ejercicios De Practica Al verificar la efectividad de la multiplicacion, intercambia los factores ( el multiplicador y el multiplicando) y multiplica nuevamente. El producto debe ser el mismo sin importar el orden de los factores que se multipliquen. Ejemplo SOLUCION Multiplica : 597 x 63. Verifica intercambiando los factores 597 x 63 1791 3582 37,611 Verifica 63 x 597 441 567 315 37,611 Practica Multiplica : 318 x 274 Ejercicios De Practica Verifica intercambiando los factores. 10 2/19/2010 Estimando respuestas en Multiplicación Las respuestas en los problemas de multiplicación se pueden estimar redondeando el multiplicador y el multiplicando usualmente al dígito multiplicando, mayor, y luego multiplicando los números redondeados. La respuesta obtenida debe estar cerca de la respuesta real. No redondee dígitos de números sencillos. Ejemplo Multiplica : 432 por 29 SOLUCION ESTIMADO 400 x 30 12,000 ACTUAL 432 x 29 12,528 Practica Estima el producto : 28 975 x 22 28,975 Ejercicios De Practica Luego halla el producto actual. Division de Números Enteros Dividir un numero entero por otro. Division de Números Enteros En división, el dividendo es dividido por el divisor.El resultado del proceso de la división es el cociente. Si el cociente no es un número entero, la parte fraccionaria es expresada como un residuo (R). En el siguiente ejemplo, el divisor (25) se divide entre el dividendo(76) 3 veces con un residuo de 1 (R1): 11 2/19/2010 Ejemplo Residuo Cociente 3 Divisor 25 76 Divide : 69 ÷ 34 R1 Dividendo -75 75 SOLUCION 2 1 Al dividir, estima cuantas veces el primer dígito en el divisor cabe en el primer digito del dividendo. Escribe este estimado en el cociente y multiplica el mismo por el divisor. Luego resta el producto del dividendo, como se ilustra en el ejemplo. 34 69 68 1 R1 6 ÷ 3 = 2 ; como estamos dividiendo 69 entre 34, escribimos 2 sobre el 9. Practica Divide : 388 ÷ 26 Ejercicios De Practica Estimando respuestas en División Las respuestas en los problemas de división se pueden estimar de redondeando el divisor y el dividendo, usualmente al primer digito. No es necesario redondear el divisor si este es un numero sencillo de un solo digito. Cuando el segundo digito del numero es 5 o mas, es usualmente mas recomendable redondear el segundo digito antes que el primero. Por ejemplo, es mas conveniente estimar 17,784 ÷ 152 hallando 18,000 ÷ 150. Esto también te ayuda a usar una comparativa de números – numeros que se pueden dividir facilmente. 12 2/19/2010 Ejemplo Por ejemplo, estima 14,124 ÷ 428, porque 12 y 8 son compatibles. Estima : 6 192 ÷ 48. 6,192 48 Halla H ll lla respuesta real. SOLUCION Real Estimada 129 48 6,192 Practica 120 50 48 Estima : 6,000 960 ÷ 8. 139 96 Luego halla la respuesta real. 432 432 Computando Promedios Problemas De Aplicación Objetivo: Computar el promedio de un grupo de numeros. 13 2/19/2010 Computo de Promedios El promedio de un grupo de números se determina mediante la di isión de la suma división s ma del grupo g po de números por el numero de “items” del grupo. El promedio es también llamado la media de los números. Ejemplo Durante un periodo de 3 años, un representante de ventas pago de impuestos $28 $28,900;$32,450; 900;$32 450; y $38,526. Halla el promedio anual del impuestos durante ese periodo. Practica SOLUCION $28,900 32,450 38,526 $99,876 $99,876 ÷ 3 Investigadores iniciales en negocios en Coulterville obtuvieron $36,645; $51,000; $44,500; $50,125; y $55,300. Halla el promedio de investigaciones. Total de impuestos en 3 años = $ 33,293 Promedio anual de impuestos Problemas De Aplicación 14