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UNIDAD DIDACTICA #3
MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
El mínimo común múltiplo de varios números es el producto de los factores
comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. Se expresa
simbólicamente como mcm.
Ejemplo #1:
Encuentre el mínimo común múltiplo 15, 20 y 12.
15
15
15
5
1
mcm = 22 x 3 x 5
mcm = 4 x 3 x 5 = 60
mcm (15, 20, 12) = 60
2 12 2
10 6 2
5
3 3
5
1 5
1
Ejemplo #2
Analizar el siguiente problema.
Wendy da una vuelta al estadio en ocho minutos, Carlos lo hace en doce y José
en quince. Si mantienen el mismo ritmo y corren no menos de dos horas, ¿Es
posible que coincidan en el punto de partida? ¿A los cuantos minutos?
Observa que para contestar las preguntas debes calcular el mcm (8, 12, 15); y
para ello tienes que expresar cada número como un producto de sus factores
primos.
8 2
12 2
15 3
4 2
6 2
55
2 2
3 3
1
1
1
El mcm es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor
exponente.
Entonces el mcm
Entonces el mcm de (8, 12, 15) es:
(8, 12, 15) = 23 x 3 x 5
=8x3x5
= 120
8 = 23
12 = 22 x 3
15 = 3 x 5
De manera que los atletas coinciden en el punto de partida a los 120 minutos.
De esto además se concluye que:
Wendy da quince vueltas
Toma nota
Cuando dos o más números
son primos, el mcm es igual el
producto de los números
dados.
IMPORTANTE
Para determinar el MCD de
dos números se obtienen:
-
Los divisores de cada
número.
Los divisores comunes
a los dos números.
El mayor de los
divisores comunes es
el MCD.
8 x 15 = 120
Carlos da diez vuelta
12 x 10 = 120 y
José da ocho vueltas
15 x 8 = 120
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor de varios números es el
producto de los factores comunes elevados al
exponente menor.
El máximo común divisor se expresa simbólicamente
como MCD.
Determinar el MCD de 56, 32 y 24.
56 2
32 2
24 2
56= 23 x
28 2
16 2
12 2
32= 23 x 22
14 2
82
62
7 7
42
33
1
22
1
7
24= 23 x
23
MCD= 23=8
1
Los números que no tienen
divisores comunes (salvo el
1), se llaman “primos entre
sí”. Por ejemplo el 72 y el 55,
el 8 y el 9, el 15 y el 16.
3
Calcular el m.c.m y el M.C.D.
Comenzamos por descomponer los números en
factores primos:
12 2
30 2
6 2
15 3
3 3
55
1
1
2
12=2 ·3
30=2·3·5
m.c.m (12,30) = 22 ·3·5 = 60
M.C.M (12,30) = 2·3 = 6
HOJA DE EVALUACIÓN
Encontrar el mcm y el MCD de los siguientes números.
1- Encontrar el MCM
a) 128 y 192
b) 5, 24 y 180
c) 30, 12 y 60
d) 192, 240 y 224
2- Calcula el MCD de los siguientes números.
a) 12, 38 y 40
b) 9, 18 y 24
c) 30, 40 y 60
d) 40 y 18
3- Resolver los siguientes problemas aplicando el mcm ó el MCD.
a) Los encargados de mantenimiento de un centro recreativo limpian la
piscina para adultos cada 15 días, y la de los niños cada 8 días. Si hoy
limpiaron ambas. ¿En cuánto tiempo volverán a coincidir en la fecha de
limpieza de las dos piscinas?
b) Carlos y Alejandra son primos. Carlos visita a su abuela cada 18 días, y
Alejandra cada 24 días. Si hoy coincidieron en la visita, ¿después de
cuantos días volverán a encontrarse en la casa de su abuela?
c) Ana viene a la biblioteca del instituto, abierta todos los días, incluso
festivos, cada 4 días y Juan, cada 6 días. Si han coincidido hoy. ¿Dentro de
cuántos días vuelven a coincidir?
d) María y Jorge tienen 30 bolas blancas, 27 azules y 42 rojas y quieren hacer
el mayor número posible de hileras iguales. ¿Cuántas hileras pueden
hacer?
BIBIOGRAFÍA
Santillana (2006) Matemáticas 9º Estrategias Honduras Editorial Santillana