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UNIDAD DIDACTICA #3 MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) El mínimo común múltiplo de varios números es el producto de los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. Se expresa simbólicamente como mcm. Ejemplo #1: Encuentre el mínimo común múltiplo 15, 20 y 12. 15 15 15 5 1 mcm = 22 x 3 x 5 mcm = 4 x 3 x 5 = 60 mcm (15, 20, 12) = 60 2 12 2 10 6 2 5 3 3 5 1 5 1 Ejemplo #2 Analizar el siguiente problema. Wendy da una vuelta al estadio en ocho minutos, Carlos lo hace en doce y José en quince. Si mantienen el mismo ritmo y corren no menos de dos horas, ¿Es posible que coincidan en el punto de partida? ¿A los cuantos minutos? Observa que para contestar las preguntas debes calcular el mcm (8, 12, 15); y para ello tienes que expresar cada número como un producto de sus factores primos. 8 2 12 2 15 3 4 2 6 2 55 2 2 3 3 1 1 1 El mcm es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Entonces el mcm Entonces el mcm de (8, 12, 15) es: (8, 12, 15) = 23 x 3 x 5 =8x3x5 = 120 8 = 23 12 = 22 x 3 15 = 3 x 5 De manera que los atletas coinciden en el punto de partida a los 120 minutos. De esto además se concluye que: Wendy da quince vueltas Toma nota Cuando dos o más números son primos, el mcm es igual el producto de los números dados. IMPORTANTE Para determinar el MCD de dos números se obtienen: - Los divisores de cada número. Los divisores comunes a los dos números. El mayor de los divisores comunes es el MCD. 8 x 15 = 120 Carlos da diez vuelta 12 x 10 = 120 y José da ocho vueltas 15 x 8 = 120 MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor de varios números es el producto de los factores comunes elevados al exponente menor. El máximo común divisor se expresa simbólicamente como MCD. Determinar el MCD de 56, 32 y 24. 56 2 32 2 24 2 56= 23 x 28 2 16 2 12 2 32= 23 x 22 14 2 82 62 7 7 42 33 1 22 1 7 24= 23 x 23 MCD= 23=8 1 Los números que no tienen divisores comunes (salvo el 1), se llaman “primos entre sí”. Por ejemplo el 72 y el 55, el 8 y el 9, el 15 y el 16. 3 Calcular el m.c.m y el M.C.D. Comenzamos por descomponer los números en factores primos: 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 55 1 1 2 12=2 ·3 30=2·3·5 m.c.m (12,30) = 22 ·3·5 = 60 M.C.M (12,30) = 2·3 = 6 HOJA DE EVALUACIÓN Encontrar el mcm y el MCD de los siguientes números. 1- Encontrar el MCM a) 128 y 192 b) 5, 24 y 180 c) 30, 12 y 60 d) 192, 240 y 224 2- Calcula el MCD de los siguientes números. a) 12, 38 y 40 b) 9, 18 y 24 c) 30, 40 y 60 d) 40 y 18 3- Resolver los siguientes problemas aplicando el mcm ó el MCD. a) Los encargados de mantenimiento de un centro recreativo limpian la piscina para adultos cada 15 días, y la de los niños cada 8 días. Si hoy limpiaron ambas. ¿En cuánto tiempo volverán a coincidir en la fecha de limpieza de las dos piscinas? b) Carlos y Alejandra son primos. Carlos visita a su abuela cada 18 días, y Alejandra cada 24 días. Si hoy coincidieron en la visita, ¿después de cuantos días volverán a encontrarse en la casa de su abuela? c) Ana viene a la biblioteca del instituto, abierta todos los días, incluso festivos, cada 4 días y Juan, cada 6 días. Si han coincidido hoy. ¿Dentro de cuántos días vuelven a coincidir? d) María y Jorge tienen 30 bolas blancas, 27 azules y 42 rojas y quieren hacer el mayor número posible de hileras iguales. ¿Cuántas hileras pueden hacer? BIBIOGRAFÍA Santillana (2006) Matemáticas 9º Estrategias Honduras Editorial Santillana