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Sistemas de ecuaciones lineales
A) Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando alternativamente los métodos de:
Sustitución
Igualación
Eliminación de Gauss
Determinantes
Gráfico
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. −2 + = −4
− 2 = −1
8. 2 − = 9 3 + 4 = 2
3 − 5 = 12 10. −4 + 3 = 13
2 − 5 = −4 17. 8 + 15 = 54
−3 − 2 = −2
12. 7 + 5 = −6
− =1
19. −16 + 15 = −17
2 + = 5 − + = 2
– − = −1
+ 2 = 3
−2 − 3 = 2
3 + 4 = −2
3 − 5 = 4 −2 + 3 = −3
− + 2 = 7
2 + 3 = 0
9. − + 2 = −3
2 − 3 = 4
−3 + 4 = −4
2 + 2 = 5
−5 + 4 = −13
11. 6 − 3 = 12
2 − 4 = 16
13. 3 + 5 = 2
3 + 7 = 20 14. 12 + 9 = 42
8 − 25 = −9 15. −16 + 15 = −17
−12 − 8 = −12
16. 30 + 5 = 15
− 3 − 2 = 0 18. 3 + 4 + 2 = 0
8 − 25 = −9
20. + =3
2 − = 5
21. + =1
22. Hallar el valor de y para que la solución del sistema sea = −2 = 3
2 + 3 = −2
3
3
= 15
− +
5
2
23. Hallar el valor de y patra que la solución del sistema sea 1; 4
−3 + 2 = 10
3
5
=1
− +
4
2
24. Determine el valor de k tal que el siguiente sistema lineal no sea compatible determinado, y halle para
ese valor de k el conjunto solución.
+ 7 = 10 8 + 28 = 41
Justifique su respuesta.
Rta: = 2 = ∅
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25. Determine el conjunto solución del siguiente
eliminación de Gauss
sistema de ecuaciones, utilizando el método de
2 − 8 + 90 = 3 − 2 + 6 + 3 = 58 + = 11 ; 15
26. Determine los valores reales de la constante k para los cuales el sistema dado es incompatible.
Justifique su respuesta.
+ = 1
19 + − 30 = 3 ! − 12
= −3 ∨ = −2 ∨ = 5
Problemas que se resuelven mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
27. La suma de un número más el triple de otro es igual a 17; si del triple del primero se resta el duplo del
segundo se obtiene 7. ¿Cuáles son los números?
28. La suma de dos números es -3 y si al primero se le resta el cuádruplo del segundo se obtiene 42.
¿Cuáles son los números?
29. Compré en Tower Records dos CD de distinto precio. El primero cuesta 20 $ menos que el doble de lo
que cuesta el segundo y éste vale 4 $ más que el primero. ¿Cuál es el precio
de cada CD?
30. Dividir el número 358 en dos partes tales que su diferencia sea 125. ¿Cuáles son esos dos números?
31. Dos números son tales que la tercera parte del primero es el duplo del segundo y su suma es -21.
¿Cuáles son los números?
32. La suma de dos números es 11 y su cociente es 5/6. ¿Cuáles son los números?
33. Si se aumenta en 2cm el largo y el ancho de un rectángulo, el perímetro resulta de 24cm. Si el largo se
disminuye en 2cm resulta un cuadrado. ¿Cuál es la dimensión de la base y de la altura del rectángulo ?
34. Julio tiene la mitad de la edad que tendrá Pedro dentro de 5 años y Pedro tiene la mitad de las dos
edades más 5 años. ¿Cuáles son las edades de c/u?
35. En un colegio mixto hay 1300 alumnos. Si se hubieran inscripto 50 mujeres más, el número de mujeres
hubiera triplicado al de varones. ¿Cuántas mujeres y varones hay en el colegio?
36. Si al numerador de una fracción se le suma 1 y al denominador de dicha fracción se le resta 2 dicha
fracción se convierte en 1.Si al numerador de esa fracción se le resta 1 y al denominador de esa fracción se
le suma 1 dicha fracción se convierte en 1/6. Hallar cuál es esa fracción.
37. La suma de dos números es –9 . Si al doble del primero se le resta el triple del segundo se obtiene -2 .
¿Cuáles son los números?
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38. Averiguar dos números sabiendo que la diferencia de ellos es 7 y que si al triple del primero se le suma
el doble del segundo se obtiene seis.
39. La suma de un número más el quíntuplo de otro es igual a 12. Si al triple del primero se resta la mitad
del segundo se obtiene 1. ¿Cuáles son los números?
40. La suma de dos números es 6 y su diferencia es 4. ¿Cuáles son los números?
41. La resta de dos números es 12 y su suma es 2. ¿Cuáles son los números?
42. La suma de dos números es 19 y su resta es 11. ¿Cuáles son los números?
43. Una fábrica produce dos tipos de aceites comestibles. El tipo A contiene 70% de aceite de girasol y 30%
de aceite de soja; el tipo B contiene el 90% de aceite de girasol y 10% de aceite de soja. Si se disponen de
620 litros de aceite de girasol y 180 litros de aceite de soja, ¿ cuántos litros de cada tipo se producirán?
Rta: 500 litros del tipo A y 300 litros del tipo B
44. El anticongelante A contiene 18% de alcohol, el anticongelante B contiene 10% de alcohol. ¿ Se pueden
obtener 20 litros de anticongelante, mezclando los del tipo A y B, para que la mezcla posea 9% de alcohol?
Justifique analíticamente su respuesta.
Rta: no se puede obtener esa mezcla
B) Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
45. Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones y determine el conjunto solución utilizando el método de
eliminación de Gauss.
++# =1
− + 2 + # = 2
2 − = 1
&
!
Rta: $%− ', 1 − ', ') , ' ∈ ℝ,
46. Determinar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de
eliminación de Gauss. Justifique su respuesta.
− + 3# = 4
2 − 3 + # = −2
− 2 − 2# = 3
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Rta: = ∅
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Problemas que se resuelven con sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
47. Una colección de monedas de 40 monedas de 5, 10 y 25 centavos tiene un valor de 4,60 pesos. Si el
número de monedas de 5 centavos es igual a tres veces el número de monedas de 25 centavos .
¿ Cuántas monedas de cada tipo hay?
Rta:
12, 20 y 8
48. En una alcancía hay 65 monedas que suman $ 8,75. El número de piezas de 20 centavos es el doble del
número de piezas de 5 centavos y las restantes son monedas de 10 centavos. ¿ Cuántas monedas hay de
cada clase?
Rta: 20, 15 y 20
49. La suma de las tres cifras de un número natural es 12. La suma de las cifras de las centenas y decenas
excede en 2 a la cifra de las unidades. Si al número se le suma 198 , el nuevo número obtenido tiene las
mismas cifras en orden inverso. Determine el número.
Rta: 345
50. En un número natural de tres cifras la cifra de las centenas es el duplo de la cifra de las unidades.
La cifra de las unidades excede en uno a la cifra de las decenas. Si del número se resta 297 se obtiene otro
número con las mismas cifras en orden inverso. ¿ Cuál es el número?
Rta: 623
51. La suma de las edades de Ana, Juan y Fernando es 60 años. Ana es mayor que Juan en el mismo
número de años que Juan es mayor que Fernando. Cuando Juan tenga la edad que tiene Ana actualmente,
su edad triplicará a la que Fernando tiene ahora. ¿ Cuáles son sus edades?
Rta: Ana: 30 años, Juan: 20 años y Fernando: 10 años
52. Luis fue a una ferretería y compró 1 kg de cada uno de los tres tamaños de clavos: pequeños, medianos
y grandes.
Después de haber realizado cierta parte del trabajo observó que había subestimado la cantidad de clavos
pequeños y grandes que necesitaba. Así, compró otra vez la misma cantidad de clavos pequeños y el doble
de lo que había comprado de los grandes. Luego de haber avanzado un poco más en su trabajo le
volvieron a faltar clavos por lo que necesitó comprar otro kilogramo de clavos pequeños y medianos
respectivamente. Cuando vio la factura de la ferretería observó que le habían cobrado $ 60 la primera vez,
$ 65 la segunda y $ 35 la tercera.
Los precios de los clavos varían de acuerdo con su tamaño. Encuentre dichos precios. Justifique su
respuesta utilizando el método de eliminación de Gauss.
Rta: pequeños $15/kg , mediano $ 20/kg y grandes $ 25/kg
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