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Factorización de
polinomios
Profa. Anneliesse Sánchez y Profa. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico
Introducción
• Factorizar un polinomio es hallar factores de éste.
Ejemplo:
Como 2x (x + 3) = 2x2 + 6x decimos que
2x y x + 3 son factores de 2x2 + 6x.
• Cuando un polinomio sólo tiene como factores a 1 y
a él mismo, decimos que es un polinomio irreducible
o primo.
• Factorizar completamente un polinomio es hallar
todos los factores irreducibles o primos del
polinomio.
Ejemplo numérico
Cuando multiplicamos, obtenemos un único resultado.
Sin embargo, puede haber varias formas de factorizar
un número.
Ejemplo: Escriba factorizaciones para 24
24 = (8)(3)
24 = (2)(2)(2)(3)
24 = (12)(2)
Esta última es la
factorización prima de
24, lo que significa que el
número ya no se puede
seguir factorizando.
24 = (6)(4)
24 = (4)(2)(3)
24 = (6)(2)(2)
Polinomio irreducible
Al igual que los números, los polinomios se pueden
factorizar de varias formas.
Ejemplo: Escriba factorizaciones para 3𝑥 2 + 12x
𝟑𝒙
𝟏𝟐𝒙 == 3𝑥(𝑥
𝟑𝒙(𝒙+
+4)
𝟒)
3𝑥 2𝟐 + 12𝑥
3𝑥 2 + 12𝑥 = 3 (𝑥 2 + 4𝑥)
3𝑥 2 + 12𝑥 = x(3𝑥 + 12)
1
2
3𝑥 + 12𝑥 = 𝑥(6𝑥 + 24)
2
La primera forma se conoce
como factorización por
factores irreducibles, por
que los factores 3x y x+4 no
se pueden factorizar más.
Un polinomio está completamente factorizado si
• se expresa como el producto de polinomios
con coeficientes enteros.
• todos los polinomios que forman la
factorización son irreducibles
Factorización de polinomios
FACTORIZACION POR MÁXIMO
COMÚN DIVISOR
Factorizacion por máximo
común divisor
La propiedad distributiva,
ab + ac = a(b + c),
nos permite remover, de cada término de
un polinomio, un factor repetido.
Ese factor repetido se conoce como el
máximo común divisor del polinomio.
Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más
polinomios, se compone del
• máximo común divisor de los
coeficientes
• multiplicado por la potencia más
grande de las variables que es común
a todas las expresiones dadas.
Ejemplo: Determinar el
máximo común divisor
mcd(24x5, 40x3, 56x4) =
Solución: Expandir cada expresión
• 24x5 = 8∙ 3 x3 ∙ x2
• 40x3 = 8∙ 5 ∙ x3
• 56x4 = 8∙ 7 ∙ x3x
• El máximo común divisor es
• 8x3
Factorice mediante factor común.
a) 22pq – 33qr
b) 7xy – 14xy2 + 21x2y
c) 20w3z4 – 25w4z7 – 15 w5z3
d) 12b3 −88ab2 + 28ab4 – 36a2b2
Factores binomiales
Ejemplo: Factorice el polinomio:
𝑥 𝑦 + 2 + 3(𝑦 + 2)
• Remover el binomio común y formar,
en paréntesis, un segundo factor
binomial con los factores que quedan
en cada término.
• Esto es,
• 𝑥 𝑦 + 2 + 3 𝑦 + 2 = (y + 2)( 𝑥 + 3 )
Factores binomiales
Ejemplo: Factorice cada polinomio:
a) 3x(a − b) − 5(a − b)
b) 2x(a−b) + 5(b−a)
c) 12xy x + 5 − 15x 2 y x + 5 + 3xy 2 x + 5
Práctica
6.1 pg.
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Factorización de polinomios
FACTORIZACION POR AGRUPACION
Factorización por agrupación
Técnica que consiste en agrupar dos o más
términos del polinomio usando algún
criterio; por ejemplo, un criterio puede ser:
agrupar dos o más términos que tengan
algún factor común.
Ejemplo:
2a  6b  ac  3bc
Note que entre los
primeros dos términos hay
un factor de 2 en común,
mientras que en los
últimos dos hay un factor
de c en común.
Factorización por agrupación
Factorice : 2a  6b  ac  3bc
Factorización por agrupación
Ejemplo 2: Factorice 3a2 + 12a – 2ab – 8b
Factorización por agrupación
Ejemplo 3: 4x – 3y – 12ax + 9ay
Factorice completamente
3x2 + 6x −5xy −10y
Práctica
Ejercicios: Factorice completamente cada
polinomio.
1) y2 – 4y + 3yz – 12z
2) ab – c – ac + b
3) 9ab + 9ac – b – c
Práctica
Soluciones:
1) y2 – 4y + 3yz – 12z
= (y2 – 4y) + (3yz – 12z)
= y (y – 4) + 3z (y – 4)
= (y – 4)(y + 3z)
2) ab – c – ac + b
= (ab – ac) + (b – c)
= a(b – c) + 1(b – c)
= (b – c)(a + 1)
3) 9ab + 9ac – b – c
=(9ab + 9ac) – (b + c)
=9a(b + c) – 1(b + c)
=(b + c) (9a – 1)
EJEMPLOS ADICIONALES
Teorema fundamental de la
aritmética
Todo número entero positivo tiene una
factorización de números primos única,
excepto por el orden.
Factorización prima
• Teorema de factorización única:
• Todo número compuesto se puede expresar
como un producto de números primos de una
forma única, sin tomar en cuenta el orden de
los factores.
72 = 36 × 2
De éstos, sólo 2 es un factor primo.
72 = 6 x 6 × 2
De éstos, sólo 2 es un factor primo.
72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2
factorizacion prima
Factorización prima
• La factorizacion prima se puede escribir
usando exponentes.
72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2
Primero, ordenamos los factores
72 = 3 × 3× 2 × 2 × 2
Luego, usamos exponenciación para
representar la multiplicación repetida.
72 = 32 × 23
factorizacion prima en notación exponencial
Árbol de factores
• Un árbol de factores es un diagrama que ayuda
a determinar la factorizacón prima de un número.