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2. FACTORIZACIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
OBJETIVOS
OBJETIVOS
1. Conocer con claridad el concepto de expresión algebraica
(polinomios) y las operaciones entre ellos.
2. Factorizar totalmente cualquier polinomio.
3. Identificar el concepto de potencia, sus propiedades y
operaciones.
4. Distinguir los radicales, sus propiedades y la forma de
extraer cualquier raíz y su aporte en el álgebra.
Fundamentos matemáticos
2
2.1. Expresiones algebraicas y sus operaciones (polinomios)
2.1.1. Operaciones algebraicas básicas
Para el desarrollo de este tema se requiere de algunos conceptos básicos
así:
Expresión algebraica
Está formada por la combinación de números, letras (llamadas variables) y
símbolos de operación.
Ejemplos:
3 x2 – 5 xy + √2 y2
5 mnp + (3 m n )2
p–3
Éstas son expresiones algebraicas.
Términos
La parte de la expresión algebraica separada con un más (+) o un menos (-)
se llama término. Dependiendo del número de términos se habla de
Fundamentos matemáticos
3
monomio, binomio, trinomio, según tenga uno, dos o tres términos y, más
general, polinomio.
Ejemplo:
3x2 + 5 x – 3
Trinomio
5a + (7b)2
Binomio
4 x3 – 5 x2 + 7x – 10
Polinomio
Factor
Son términos formados por números y variables multiplicados entre sí:
2x,
9xyz
Coeficiente
Cuando uno de los factores de un término es un número, se denomina
coeficiente.
Ejemplo:
Para los términos 5 x2y3, 9 √xy; los coeficientes son; 5 y 9
Términos semejantes
Los términos que sólo difieren en sus coeficientes numéricos se denominan
términos semejantes.
Fundamentos matemáticos
4
Ejemplos:
a) 3 x2yz; 1 x2yz
4
b) 4 m2n2p; √5 m2n2p
c) 3 (x + y); 17 (x + y)
d) –8 (a + b)2; 7 (a + b)2
5
Son términos semejantes.
Potencias
Recordar que xn, con n Є N, indica un producto donde “x” aparece como
factor “n” veces. A “x” se le llama base y “n” exponente de la potencia. Por
lo tanto:
x1 = x
x2 = x.x
x3 = x.x.x
xn = x.x.x.x.x….x “n” veces.
Además, recordar las siguientes propiedades de la potencia:
P – 1 xm . xn = xm+n
P – 2 xm = xm-n
xn
P – 3 (Xm)n = Xm.n
Fundamentos matemáticos
5
P – 4 (x . y)m = xm . ym
Ejemplos:
-
a3. a2 = a5
-
m6 = m4
m2
-
(m3)2 = m6
-
(a.b.c)3 = a3 b 3c 3
Valor numérico de una expresión
En algún momento es necesario sustituir, en una expresión algebraica, un
número por una letra para obtener un resultado numérico.
Se escribe la expresión y se remplaza la letra por el número.
Ejemplo: Si x = 2 y la expresión es 6x2 – 9x = 6 (2)2 -9 (2)
= 6. (4) – 18
= 24 – 18
=6
2.1.2. Términos semejantes - operaciones
Los términos semejantes se pueden sumar o restar, porque poseen las
mismas variables elevadas al mismo exponente.
Fundamentos matemáticos
6
Ejemplos:
a. 2x + x + x = 4x
b. 4x2 + 5x2 – 3x2 = 6x2
c.
5a2b + 9a2b – 4a2b = 10a2b
Sólo se pueden sumar o restar términos que sean semejantes.
2/5 ma + 1/5 + 2ma =
3ma  10ma 13ma

5
5
3/5 ma + 2ma/1 =
2.1.3. Polinomios y operaciones con polinomios
Se hallarán polinomios con una sola variable.
Ejemplo:
P(x) = x3 – 7x – 14x +8
Y polinomios con distintas variables.
Ejemplo:
P(x, y) = 4x3y2 + 5xy3 – 3x2y2+9
5
Suma y resta de polinomios
Fundamentos matemáticos
7
Los polinomios cumplen las mismas propiedades de los números reales.
Para sumar dos polinomios o más se deben sumar términos semejantes
entre sí hasta reducir a un solo polinomio, ordenado de mayor a menor.
Para restar, se cambian los signos del sustraendo y se procede, luego, igual
que en la suma.
Ejemplo 1:
Efectúe la suma de los siguientes polinomios
4x
4x
4x
 
 
 
 

 x  4 
2
 5x  7 ; 3x 2  6x  3 ; 2x 2  x  4 , entonces queda:
2
 5 x  7  3 x 2  6 x  3  2x 2
2
 3x 2  2x 2   5x  6x  x   27  3  4 

9x 2  8
Ejemplo 2:
Efectúe la resta de los polinomios:
4 x 3  5x 2  3
4x
3
con
 
x 3  5x 2  7

queda:
 5x 2  3  x 3  5x 2  7 
4 x 3  5x 2  3 - x 3  5 x 2  7 
x 3  4
Fundamentos matemáticos
8
Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se aplica repetidamente la propiedad
distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio por todos los del
segundo y, luego, se suma o resta. Además, se debe tener en cuenta el
producto de potencias de igual base.
Ejemplo:
Realizar el producto de:
a.
4x  9  x 2  7 x  5 
12 x 3  28x 2  20 x  27 x 2  63x  45 
12 x 3  x 2  43x  45


b. 4 x x  8x  9 
2
12 x 3  32 x 2  36 x
Efectúe la siguiente operación y simplifique:
3x  12x 2  x  2  6x 3  x 2  2 
6 x 3  3x 2  6 x  2 x 2  2 x 2  x  2  6 x 3  x 2  2  5 x
Cociente de polinomios o división de polinomios
División de monomios
Fundamentos matemáticos
9
Se dividen los coeficientes aplicando la ley de signos para la división y, a la
parte literal, se le aplica la propiedad para dividir potencias de igual base,
antes expuesta.
Ejemplos:
Dividir
a.
b.
x5
3

X
x2
 24 x 4 y 3 z 4
2
2 2


8
X
Y
Z
2
2
3 X YZ
División de un polinomio por un monomio
Se divide cada término del polinomio por el monomio.
Ejemplos:
Dividir
9a 3  24a 9a 3 24a


 3a 2  8
3a
3a 3a
18x 5  9 x 3  24 x 4 18x 5
9x 3
24 x 4



 3x 2
 3x 2  3x 2  3x 2
 6 x 3  3x  8x 2
Fundamentos matemáticos
10
División de un polinomio por otro polinomio
Pasos a seguir:
 Se ordenan los polinomios de manera decreciente.
 Se divide el primer término del dividendo por el primer término del
divisor, para obtener el primer término del cociente.
 Se multiplica este primer término del cociente por cada uno de los
términos del divisor y el resultado se resta del dividendo; así se
obtiene un dividendo parcial.
 Continuamos a partir de este dividendo parcial, conforme se indicó en
los dos pasos anteriores, hasta obtener un residuo de menor
exponente que el divisor.
 Si el residuo es cero la división es EXACTA.
Ejemplo:
Efectúe las siguientes divisiones:
a.
m
2
 

 1  4m  m 6  4m 4  m 5  m 2  4m  m 3  1
Fundamentos matemáticos
11
m 6  m 5  4m 4  0m 3  m2  4m  1
m 3  m 2  4m  1
m3  1
 m6  m5  4m4  m3
m3  m2  4m  1
 m3  m 2  4m  1
0
b.
3x
5
 

 11x 4  15x 2  7 x  9  x 2  2x  1
3x 5  11x 4  0 x 3  15x 2  7 x  9
x 2  2x  1
cociente
3 x 3  5 x 2  13 x  6
 3x 5  6x 4  3x 3
 5 x 4  3 x 3  15 x 2
 5 x 4  10 x 3  5 x 2
 13 x 3  20 x 2  7 x
 13x 3  26 x 2  13x
6 x 2  20 x  9
 6 x 2  12 x  6
 8x  3residuo
2.2. Factorización y simplificación de expresiones algebraicas
2.2.1. Factorización y simplificación de polinomios
Fundamentos matemáticos
12
Antes de abordar la factorización de polinomios consideremos los siguientes
productos notables así:
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
binomio al cuadrado
(a-b)2 = a2 -2ab+b2
Ejemplos:
Efectuar:
a. (x+3)2 = x2 +6x+32
= x2+6x+9
(2a-3b)2 = (2a)2 – 2(2a)(3b)+(3b)2
= 4a2 -12ab +9b2
b. (a+b) (a-b) = a2-b2 suma por diferencia
Ejemplo:
(x+7) (x-7) = x2 -72
= x2 – 49
2.2.2. Factorización de polinomios
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de otros polinomios
se le da el nombre de factorización.
Fundamentos matemáticos
13
Cuando un polinomio no puede factorizarse en un determinado conjunto
numérico se dice que es primo en dicho conjunto numérico. Consideremos
varios casos de factorización:
Factor común
El factor común de un polinomio es el máximo común divisor (M.C.D.) de los
términos del polinomio. Para obtener el otro factor se divide el polinomio
dado por el factor común.
Ejemplos:
Factorizar los siguientes polinomios:
a. 8b2m2 + 32b2m + 6bm2 = 2bm (4bm+16b + 3m)
b. 26a4 -39a3x +13a3 = 13a (2a-3x+1)
c. 5y (3x+7) – 2m(3x+7) = (3x+7) (5y -2m)
Factor común por agrupación de términos
Se aplica cuando no hay un factor común monomio y el número de términos
sea cuatro o mayor que cuatro y se agrupan en parejas o tríos que tengan
una característica común.
Ejemplos:
Fundamentos matemáticos
14
Factorizar los siguientes polinomios:
a. max +mby + mbx +may =
(max +mbx) + (may + mby) =
mx (a+b) + my (a+b) =
(a+b) (mx+my) =
(a+b) (mx+my)
b. 36am -45an + 4m -5n =
(36am +4m) – (45an + 5n) =
4m (9a + 1) – 5n (9a + 1) =
(9a + 1) (4m – 5n)
Trinomio cuadrado perfecto
Se reconoce porque tiene tres términos, donde el primero y el último son
positivos y tienen raíz cuadrada exacta, y el término de la mitad es el doble
producto de las dos raíces.
Ejemplo:
Factorice los siguientes polinomios:
a. x2 + 18x + 81 = (x+9)2
x
9
2 (x) (9)
Fundamentos matemáticos
15
b. 9x2 - 48xy + 64y2 = (3x-8y)2
3x
8y
2 (3x) (8y)
c.
a2b2 - 20ab + 100 = (ab – 10)2
ab
10
2 (ab) (10) – 10
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces cuadradas de
los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas.
a2 – b2 = (a+b) (a-b)
Ejemplo:
Factorice los siguientes polinomios
a. x2 – 81 = (x +9) (x-9)
b. 16A2 – 25B2 = (4A + 5B) (4A- 5B)
9 X 2 y 2  3x yb  3x yb 
 

 2   
c.
a
a
a2
b



Fundamentos matemáticos
16
d. x4 – 81 = (x2 +9) (x2 – 9)
= (x2 + 9) (x + 3) ( x-3)
e. (2x – 5)2 – (3x – 5)2 =
[(2x – 5) + (3x -5)] [(2x – 5) + (3x -5)] =
[2x – 5 + 3x -5] [2x – 5 - 3x -5] =
[5x – 10] [- x]
Trinomio de la forma x2 + bx +c
Un trinomio de esta forma se resuelve con dos paréntesis, donde se coloca
en ambos la raíz del término cuadrático, y hallando dos números, que
multiplicados, den el valor de c y su suma o diferencia dé el valor de b.
Ejemplo:
Factorice los siguientes polinomios:
a. x2 – 5x - 66 = (x - 11) (x + 6)
b. x2 - 29x + 204 = (x – 17) (x – 12)
c. x2y2 – 3xyz – 10z2 = (xy – 5z) (xy + 27)
d. a4 + 30ª + 81b2 = (a + 27b) (a + 3b)
Fundamentos matemáticos
17
e. (x –1)2 + 3(x – 1) – 108 =
[(x – 1) + 12] [(x – 1) - 9]
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Se diferencia del caso anterior en el coeficiente del término cuadrático, o sea,
el valor de “a” que es diferente de 1.
Para su solución, se utiliza el método de tanteo, que consiste en
descomponer el primer término y el último en dos factores, de tal forma que
al hacer el producto en cruz y luego sumar o restar dé el término de la mitad;
luego, se escribe la factorización con dos paréntesis.
Ejemplos:
Factorizar los siguientes polinomios:
a. 5x2 – 17x + 6 = (5x – 2) (x – 3)
5x
-2
-15x – 2x = -17x
x
-3
Fundamentos matemáticos
18
b. 10x2 + 79x - 8 = (10x – 1) (x + 8)
10x
-1
80x – x = 79x
x
c.
+8
6x2 – 13xm – 15m2 = (6x + 5m) (x – 3m)
6x
+ 5m
- 18xm + 5xm = -13xm
x
- 3m
d. 8q2 – 38q – 33 = (4q + 3) (2q – 11)
4q
+3
- 44q + 6q = -38q
q
-11
Suma o diferencia de cubos
La suma o resta de cubos es igual al producto de un binomio por un trinomio.
Fundamentos matemáticos
19
El binomio está formado por la suma o la resta de las raíces cúbicas de cada
término.
El trinomio consta de: el cuadrado de la primera raíz, el producto de las dos
raíces y el cuadrado de la segunda raíz.
Los signos del trinomio son:
a. para la suma: (+), (-), (+)
b. para la diferencia: (+), (+), (+)
a3 + b3 = (a +b) (a2 – ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Ejemplo:
Factorice los siguientes polinomios
a. 8x3 + 27y3 = (2x + 3y) (4x2 – 6xy + 9y2)
b.
p 3 q 3  p q  p 2 pq q 2 

   

 
64 125  4 5  16 20 25 
c.
x  a 3  b 3  ( x  a)  b
d.
216  1000Y 3  (6  10Y)(36  60Y  100Y 2 )
(x  a)
2
 b( x  a)  b2

Véase ahora algunos ejercicios combinados:
Fundamentos matemáticos
20
a.
4a 2 x 2  25x 2  x 2 (4a 2  25)
 x 2 (2a  5) (2a  5)
b. a  x  6 x  9  a  ( x  6 x  9)
2
2
2
2
 a 2  ( x  3) 2
 a  ( x  3)a  ( x  3
c. x3 + x2 – 42x = x (x2 + x – 42)
= x (x + 7) (x – 6)
d. 3c3 + c2 – 2c = c (3c2 + c – 2)
= c (3c - 2) (c + 1)
2.2.3. Simplificación de expresiones algebraicas
Al igual que las fracciones aritméticas, se dice que una fracción algebraica
está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen más
factor común que la unidad.
Por lo anterior, se debe factorizar tanto numerador como denominador y,
luego, se cancelan los factores comunes.
Simplificar:
Fundamentos matemáticos
21
a.
8 x  16 8( x  2)

 x2
8
8
x 2  25
4x  8
x

x 2  7 x  10 x 2  2 x  15
b.
( x  5)( x  5)
4( x  2)
4
x

( x  5)( x  2) ( x  5)( x  3) x  3
a 2  8a  7 a 2  36 a 2  a  42


a 2  11a  30 a 2  1 a 2  4a  5
c.
(a  7)( a  1) (a  6)( a  6) (a  5)( a  1)


1
(a  6)( a  5) (a  1)( a  1) ( a  7)( a  6)
x 1
2x  6
x 1
 2

2
x  9 x  x 1 x  3
d.
( x  1)( x 2  x  1)
2( x  3)
x3
x 2
x
2
( x  3)( x  3)
( x  x  1) x  1
2.3. Potencias y radicales
Propiedades y operaciones de las potencias y los radicales
Potencias
Fundamentos matemáticos
22
Se tienen en cuenta las leyes de los exponentes así.
si x, y son números reales y m, n, son números naturales, entonces:
1. xm.xn
2.
= xm+n
xm
mn

x
 conx  0 ym n
n
x
3.
(xm)n = xmn
4.
(xy)m = xmyn
m
x
xm
   n , cony  0
5.  
y
 y
6.
7.
x n 
1
xn
xº = 1
Ejemplo:
Simplificar utilizando ley de exponentes:
Fundamentos matemáticos
23
a. (6x3yz) (4x4y5) = 24x7y6z
(5 x 8 ) 2 52 x16 25 x1612 25 4



x
b.
8
8
(2 x 4 ) 3 2 3 x12
c. 42 + 32 – 5º = 16 + 9- 1 = 24
2
d.
2
 2  4 a 1b 2 
 4a 2 b 2 b 
 4ab 3 

  
  

1
 2 1 
4
16
4

a
b
2
a






 ab 3
 
 4
2
2

a 2b 6
 
16

2.2 3n  4.4 n
2.2 3n  2.2n

e.
(2.2n )3  8.2 2n1 2 3.2 3n  2 3.2 2n.2
2.2 2n (2n  2)
2
1 1



2 3.2 2n (2n  2) 2 3 2 2 4
Radicales
Se representan de la forma
4,….
n
xm  x m / n
donde n =índice de la raíz = 2, 3,
xm = número al cual se halla raíz. La raíz cuadrada de un número “x”
es otro número “a” que elevado al cuadrado dé el valor de “x”.
Fundamentos matemáticos
24
Si
x  a entonces x = a2
Si fuera raíz cúbica de un número “x” sería otro número “a” que elevado a la
tres reproduce el número “x”.
Cuando se requiere hallar la raíz de un número, se aconseja descomponerlo
en sus factores primos y luego se convierte en potencia para que la solución
sea xm/n.
Cuando “n” es par y x es un número negativo no se obtendrán raíces reales,
sino complejas.
Cuando “n” es impar, entonces, sólo existe una raíz real, así x sea positiva o
negativa.
Evalúe las siguientes raíces:
1024  210  25  32
a.
b.
c.
d.
3
 125  3  53  5
5
 32  2
4
2401  7
Fundamentos matemáticos
porque 32X32 = 1024
25
16  no existe
e.
Conversión de un radical a potencia
x  x 1/ 2
a.
b.
c.
3
x2  x2/3
5
x 1  x 1 / 5
Simplificación de radicales
Suma y resta
a.
3
45  20  7 5 
3
9x5  4x5  7 5 
9 5 2 5 7 5 
14 7
b.
23 189  33 875  73 56 
23 33 x7  33 53  73 53 x7 
63 7  153 7  143 7 
73 7
Fundamentos matemáticos
26
Producto
a.
3
4 xy  3 2 x 2 y 2  3 8 x 3 y 3  2 xy
b. 8 12.3 24  24 12.24
 24 22.22.3 2.2  288 2
c. 53 128x23 432  10 2 .2 .2.2 .2.3  6
3
3
3
3
3
 10x8x33 4  2403 4
Cociente
a.
108
2 2 x3 2 x3


6
3
3
3
108
3
b.
3
108 3 2 2.3 2.3
1


3
2
24
2
2 .2 .3
24
108
3
Racionalización de radicales
Racionalizar radicales significa eliminar las raíces del denominador de la
fracción algebraica. Para hacerlo se multiplican numerador y denominador de
la fracción; el denominador se convierte en una diferencia de cuadrados.
La conjugada de
x  3 es
Fundamentos matemáticos
x 3
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Racionalizar los denominadores:
a.
b.
5

5
1
1 3
3
5
5

.
.
5
5
1

.
5 5
( 5) 2
1 3
1 3 1 3
2 5
2 5 2 5



5 5
 5
5
1 3
1  ( 3) 2
3(2  5)
4  ( 5)
2


1 3 1 3

1 3
2
3(2  5 )
45
c.

3(2  5)
 3(2  5 )
1
Fundamentos matemáticos
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Bibliografía
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Antioquia.
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