Download factor-comun-y-agrupacion_estud
Document related concepts
Transcript
Factorización de polinomios Profa. Anneliesse Sánchez y Profa. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico Introducción • Factorizar un polinomio es hallar factores de éste. Ejemplo: Como 2x (x + 3) = 2x2 + 6x decimos que 2x y x + 3 son factores de 2x2 + 6x. • Cuando un polinomio sólo tiene como factores a 1 y a él mismo, decimos que es un polinomio irreducible o primo. • Factorizar completamente un polinomio es hallar todos los factores irreducibles o primos del polinomio. Ejemplo numérico Cuando multiplicamos, obtenemos un único resultado. Sin embargo, puede haber varias formas de factorizar un número. Ejemplo: Escriba factorizaciones para 24 24 = (8)(3) 24 = (2)(2)(2)(3) 24 = (12)(2) Esta última es la factorización prima de 24, lo que significa que el número ya no se puede seguir factorizando. 24 = (6)(4) 24 = (4)(2)(3) 24 = (6)(2)(2) Polinomio irreducible Al igual que los números, los polinomios se pueden factorizar de varias formas. Ejemplo: Escriba factorizaciones para 3𝑥 2 + 12x 𝟑𝒙 𝟏𝟐𝒙 == 3𝑥(𝑥 𝟑𝒙(𝒙+ +4) 𝟒) 3𝑥 2𝟐 + 12𝑥 3𝑥 2 + 12𝑥 = 3 (𝑥 2 + 4𝑥) 3𝑥 2 + 12𝑥 = x(3𝑥 + 12) 1 2 3𝑥 + 12𝑥 = 𝑥(6𝑥 + 24) 2 La primera forma se conoce como factorización por factores irreducibles, por que los factores 3x y x+4 no se pueden factorizar más. Un polinomio está completamente factorizado si • se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros. • todos los polinomios que forman la factorización son irreducibles Factorización de polinomios FACTORIZACION POR MÁXIMO COMÚN DIVISOR Factorizacion por máximo común divisor La propiedad distributiva, ab + ac = a(b + c), nos permite remover, de cada término de un polinomio, un factor repetido. Ese factor repetido se conoce como el máximo común divisor del polinomio. Máximo común divisor El máximo común divisor de dos o más polinomios, se compone del • máximo común divisor de los coeficientes • multiplicado por la potencia más grande de las variables que es común a todas las expresiones dadas. Ejemplo: Determinar el máximo común divisor mcd(24x5, 40x3, 56x4) = Solución: Expandir cada expresión • 24x5 = 8∙ 3 x3 ∙ x2 • 40x3 = 8∙ 5 ∙ x3 • 56x4 = 8∙ 7 ∙ x3x • El máximo común divisor es • 8x3 Factorice mediante factor común. a) 22pq – 33qr b) 7xy – 14xy2 + 21x2y c) 20w3z4 – 25w4z7 – 15 w5z3 d) 12b3 −88ab2 + 28ab4 – 36a2b2 Factores binomiales Ejemplo: Factorice el polinomio: 𝑥 𝑦 + 2 + 3(𝑦 + 2) • Remover el binomio común y formar, en paréntesis, un segundo factor binomial con los factores que quedan en cada término. • Esto es, • 𝑥 𝑦 + 2 + 3 𝑦 + 2 = (y + 2)( 𝑥 + 3 ) Factores binomiales Ejemplo: Factorice cada polinomio: a) 3x(a − b) − 5(a − b) b) 2x(a−b) + 5(b−a) c) 12xy x + 5 − 15x 2 y x + 5 + 3xy 2 x + 5 Práctica 6.1 pg. 235 Factorización de polinomios FACTORIZACION POR AGRUPACION Factorización por agrupación Técnica que consiste en agrupar dos o más términos del polinomio usando algún criterio; por ejemplo, un criterio puede ser: agrupar dos o más términos que tengan algún factor común. Ejemplo: 2a 6b ac 3bc Note que entre los primeros dos términos hay un factor de 2 en común, mientras que en los últimos dos hay un factor de c en común. Factorización por agrupación Factorice : 2a 6b ac 3bc Factorización por agrupación Ejemplo 2: Factorice 3a2 + 12a – 2ab – 8b Factorización por agrupación Ejemplo 3: 4x – 3y – 12ax + 9ay Factorice completamente 3x2 + 6x −5xy −10y Práctica Ejercicios: Factorice completamente cada polinomio. 1) y2 – 4y + 3yz – 12z 2) ab – c – ac + b 3) 9ab + 9ac – b – c Práctica Soluciones: 1) y2 – 4y + 3yz – 12z = (y2 – 4y) + (3yz – 12z) = y (y – 4) + 3z (y – 4) = (y – 4)(y + 3z) 2) ab – c – ac + b = (ab – ac) + (b – c) = a(b – c) + 1(b – c) = (b – c)(a + 1) 3) 9ab + 9ac – b – c =(9ab + 9ac) – (b + c) =9a(b + c) – 1(b + c) =(b + c) (9a – 1) EJEMPLOS ADICIONALES Teorema fundamental de la aritmética Todo número entero positivo tiene una factorización de números primos única, excepto por el orden. Factorización prima • Teorema de factorización única: • Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos de una forma única, sin tomar en cuenta el orden de los factores. 72 = 36 × 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = 6 x 6 × 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2 factorizacion prima Factorización prima • La factorizacion prima se puede escribir usando exponentes. 72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2 Primero, ordenamos los factores 72 = 3 × 3× 2 × 2 × 2 Luego, usamos exponenciación para representar la multiplicación repetida. 72 = 32 × 23 factorizacion prima en notación exponencial Árbol de factores • Un árbol de factores es un diagrama que ayuda a determinar la factorizacón prima de un número.