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PUERTAS LÓGICAS. TÉCNICAS DE
DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE
FUNCIONES LÓGICAS.
TEMA
PUERTAS LÓGICAS. TÉCNICAS DE DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS.
ÍNDICE
0
0.- INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................................................... 2
1
1.- ELECTRÓNICA DIGITAL ........................................................................................................................................................... 3
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.................................................................................................................................................. 3
1.2. SEÑAL DIGITAL BINARIA........................................................................................................................................................ 3
1.3. SISTEMAS LÓGICOS.................................................................................................................................................................. 3
1.4. LÓGICA DE CONTACTOS......................................................................................................................................................... 3
2
2.- ÁLGEBRA DE BOOLE O ÁLGEBRA LÓGICA ........................................................................................................................ 4
2.1. OPERACIONES BÁSICAS. ......................................................................................................................................................... 4
2.2. TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE. .............................................................................................................................. 5
3
3. PUERTAS LÓGICAS....................................................................................................................................................................... 5
4
4. TÉCNICAS DE DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS. .......................................................................... 7
4.1. TABLA DE VERDAD. .................................................................................................................................................................. 7
4.2.- FORMA CANÓNICA DE LA FUNCIÓN. ................................................................................................................................. 7
4.2.1. TIPOS. ......................................................................................................................................................................................... 7
4.2.2. DEDUCCIÓN DE LA FORMA CANÓNICA. ......................................................................................................................... 7
4.3. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES ........................................................................................................................................ 8
4.3.1.MÉTODO ALGEBRAICO: ........................................................................................................................................................ 8
4.3.2. MÉTODO DE TABULACIÓN DE QUINE –Mc CLUSKEY ................................................................................................. 8
4.3.3. MAPAS DE KARNAUGH. ........................................................................................................................................................ 8
4.3.3.1. Simplificación de funciones incompletas. ............................................................................................................................. 10
4.4. HOMOGENIZACIÓN DE CIRCUITOS................................................................................................................................... 10
4.4.1.- HOMOGENIZACIÓN DE CIRCUITOS CON PUERTAS NAND..................................................................................... 10
4.4.2.- HOMOGENIZACIÓN DE CIRCUITOS CON PUERTAS NOR. ...................................................................................... 10
Pedro J. Labella
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0.- INTRODUCCIÓN
Hoy en día se ha hecho imprescindible la utilización de métodos de control electrónico cada vez más
sofisticados, debido a la creciente complejidad de los procesos industriales y de los elementos necesarios que
forman parte de dichos procesos.
La electrónica digital y, por tanto, los circuitos digitales se emplean en todo tipo de sistemas de
control industrial, procesos de datos, y otros muchos equipos, como pueden ser los dispositivos de seguridad,
equipos de navegación, electrodomésticos, telefonía, etc.
Con la reciente llegada de la electrónica digital, los equipos han aumentado en fiabilidad y en
prestaciones. Los errores de estos equipos son prácticamente nulos y las posibilidades se han multiplicado.
Un ejemplo de todo esto es la televisión digital, que nos permite tener unas posibilidades impresionantes. El
pasado de este tipo de tecnología es escaso, el presente es rico, pero el futuro no tiene límites. Con esta
tecnología todo es realizable.
Estos circuitos requieren para su construcción una serie de elementos que materialicen los principios
del álgebra de Boole, base matemática de la electrónica digital. Esta realización física la constituyen las
denominadas puertas lógicas.
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1.- ELECTRÓNICA DIGITAL
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
SISTEMA DECIMAL: es un sistema en base 10 (necesitamos 10 cifras : 0,1...9).
Ejemplo: 1.264= 1 x 103 + 2 x 102+ 6 x 101 + 4 x 100
SISTEMA BINARIO: es un sistema en base 2 (necesita sólo dos cifras para representar un número: 0 y 1).
Ejemplo: 10011 = 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19
Palabra o código. (Ejemplo: Cinco bit)
Bit es un dígito binario (cero o uno), un grupo de varios bit con significado es una palabra o código.
1.2. SEÑAL DIGITAL BINARIA.
Sólo son posibles dos valores:
Uno de alta tensión y otro de baja.
1.3. SISTEMAS LÓGICOS.
La lógica de niveles establece una correspondencia entre los niveles de tensión y los elementos de
información binaria (0, 1).
LÓGICA POSITIVA: al nivel de tensión más elevado le asigna el 1 (la más usada).
LÓGICA NEGATIVA: al nivel de tensión más alto le asigna el 0 (la menos usada).
1.4. LÓGICA DE CONTACTOS.
Nos indica:
"0" circuito abierto.
"1" circuito cerrado.
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2.- ÁLGEBRA DE BOOLE O ÁLGEBRA LÓGICA
La desarrolló George Boole en las primeras décadas del S. XIX. Mientras que el álgebra opera con
relaciones cuantitativas el Álgebra de Boole opera con relaciones lógicas.
El álgebra de Boole opera con variables que admiten únicamente dos valores que, de forma
convencional, se designan por 0 y 1.
Téngase presente que estos símbolos aquí no representan números, sino dos estados diferentes de un
dispositivo. Por ejemplo, si la variable L representa el estado de una lámpara, se puede representar el hecho
de que dicha lámpara esté encendida asignando un 1 a la variable L, y, si está apagada, un 0.
2.1. OPERACIONES BÁSICAS.
Se definen tres tipos de operaciones con las variables booleanas:
SUMA LÓGICA: (se representa por +)
"A + B": adopta el valor 1 cuando A o B valen 1. Se asimila a conexión en paralelo. (En una rama
del paralelo un interruptor "A" y en la otra rama un interruptor "B")
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A+B
0
1
1
1
PRODUCTO LÓGICO: (se representa por *)
"A * B": adopta el valor 1 cuando A y B valen 1. Se asimila a un circuito en serie. (Se colocan dos
interruptores "A" y "B" en serie).
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A+B
0
0
0
1
COMPLEMENTACIÓN: (A: A)
Se aplica a una sola variable, se coloca una ralla en la parte superior de la letra.
A
0
1
A
1
0
Ejemplo : A se lee de varias formas :
No A
A negado
A invertido
"FUNCIÓN LÓGICA" : es todo conjunto de variables relacionadas entre sí por cualquiera de las
tres operaciones básicas del álgebra de Boole. f=f(A,B,C...)
Ejemplo : A*B*C + A*B*C
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2.2. TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE.
TEOREMA
1
PROPIEDAD
SUMA
PRODUCTO
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano
es otra variable del sistema, y este resultado es único
2
IDEMPOTENCIA
A+A = A
A*A =A
3
VARIABLE DOBLEMENTE NEGADA
4
PROPIEDAD CONMUTATIVA
A+B=B+A
A*B = B*A
5
PROPIEDAD ASOCIATIVA
A+(B+C) = (A+B)+C
A* (B*C) = (A*B)*C
6
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
A*(B+C) = A*B+A*C
7
ABSORCIÓN
A + A*B = A
A*(A+B) = A
8
EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO
A+0 = A
A*1=A
9
EXISTENCIA DEL COMPLEMENTARIO
A+A= 1
A*A = 0
10
LEYES DE MORGAN
A+B+C …= A*B*C …
A=A
A*B*C … = A+B+C …
3. PUERTAS LÓGICAS
Las puertas lógicas son los componentes electrónicos, presentados en forma de circuito integrado,
mediante los cuales pueden realizarse las funciones lógicas elementales.
Toda función lógica puede quedar definida de tres formas diferentes: por su expresión matemática,
por un símbolo lógico, y por una tabla denominada tabla de verdad que define su comportamiento.
Algunas de ellas permiten emplear un símil eléctrico sencillo basado en el empleo de interruptores.
Las funciones básicas son el resultado de la tecnología de fabricación de circuitos, los factores
económicos y de calidad nos indicarán con que elementos debemos realizar las funciones lógicas ya que
estas se podrán implementar con diferentes circuitos.
Una función lógica o de conmutación está completamente especificada si a cada una de las posibles
combinaciones de las variables de entrada corresponde un valor único y definido de la función. Una función
es incompleta si a una o más combinaciones de entrada se le puede asignar a la función lógica el valor "O" ó
"1" indistintamente.
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FUNCIÓN
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SÍMBOLO
AMERICANO
SÍMBOLO
EUROPEO
ECUAC.
LÓGICA
ESQUEMA
ELÉCTRICO
TABLA DE
ESTADOS
COMENTARIOS
Puerta NO
INVERT (no
inversor) o
IGUALDAD
S=A
Utilizada para
el
acoplamiento
de circuitos sin
inversión de la
señal de
entrada
Puerta
INVERT
(inversor) o
NOT
_
S=A
Invierte el
estado de la
señal aplicada a
su entrada
Puerta OR
(suma lógica)
S=A+B
La salida es “0”
cuando todas las
entradas son “0”
Puerta AND
(producto
lógico)
S=A*B
La salida es “1”
cuando todas las
entradas son “1”
Puerta NOR
(suma negada)
_____
S=A+B
La salida es “1”
solo cuando
todas las
entradas son “0”
Puerta NAND
(producto lógico
negado)
_____
S=A*B
La salida es “0”
cuando todas las
entradas son “1”
Puerta EXOR
(OR exclusiva)
S = A⊕B =
__ __
A*B + A*B
La salida es “0”
cuando todas las
entradas son
iguales
Puerta
EXNOR (NOR
exclusiva)
______
S = A⊕B =
__ __
A*B + A*B
La salida es “1”
cuando todas las
entradas son
iguales
Las puertas NOR y NAND son las puertas universales, pues aplicando las Leyes de Morgan se puede
realizar con ellas cualquier ecuación y resolver cualquier automatismo. Se obtienen circuitos más simples y
con menor posibilidad de error.
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4. TÉCNICAS DE DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS.
4.1. TABLA DE VERDAD.
Es una forma de representación, en la que se calcula el valor que toma la función para cada una de
las combinaciones de sus variables.
f=f(A, B)
N° Combinaciones = 2
n = n°de vanables
.
A
B
A+B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
4.2.- FORMA CANÓNICA DE LA FUNCIÓN.
Es el producto de sumas o la suma de productos, en los que en cada término aparecen todas las
variables de la función (bien en forma directa o negada).
4.2.1. TIPOS.
MIMTERMS o suma de productos lógicos.
Ejemplo: f = (A * B * C) + (A * B * C) + (A * B * C)
MAXTERMS o producto de sumas lógicas.
Ejemplo: f = (A+B+C ) * (A+B+C) * (A+B+C)
Dos expresiones F1 y F2 son equivalentes, es decir, F1 = F2 si y solo si describen la misma función de
conmutación, funciones equivalentes conducen a circuitos de conmutación distintos aunque realicen la misma función.
4.2.2. DEDUCCIÓN DE LA FORMA CANÓNICA.
A PARTIR DE UNA FUNCIÓN NO CANÓNICA
Aplicando las leyes del álgebra de Boole toda función no canónica se puede pasar a Minterms o Maxterms.
Para pasar a primera forma canónica o Minterms, multiplicamos los términos incompletos por los
que faltan, más su complementario
Eje: f= abc+ab= abc + ab (c + c) = abc + abc+ abc = abc + abc
Para pasar a la segunda forma canónica o Maxterms le sumamos cero a cada uno de los términos
incompletos y aplicamos la propiedad distributiva
A PARTIR DE LA TABLA DE LA VERDAD
De la Tabla de la verdad de una función lógica se pueden deducir las formas canónicas de una función.
Deducción de la primera forma canónica o Minterms a partir de la tabla de verdad:
Se suman todos los productos lógicos que tienen salida "1" en la tabla de verdad Asignando al estado
"0" la variable inversa y "1" a la variable directa
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Deducción de la segunda forma canónica o Maxterms, a partir de la tabla de verdad:
Se multiplican todas los sumas lógicas que tienen salida "0" en la tabla de verdad Asignando al
estado "1" la variable inversa y "0" a la variable directa
4.3. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES
Criterio: Debemos de obtener una función que tenga un número mínimo de términos y con el menor
número posible de variables
Los diferentes métodos para simplificar las funciones booleanas, se pueden resumir en:
Método algebraico
Métodos numéricos, como el método de Quine-McCluskey
Método gráfico de Karnaugh
4.3.1.MÉTODO ALGEBRAICO:
La simplificación matemática no es nada sistemática y por lo tanto, dependerá de la habilidad del
diseñador, además el proceso se dificulta enormemente para funciones con más de tres variables, no siendo
posible asegurar que el resultado obtenido sea una expresión irreducible. En definitiva se trata de simplificar
la función utilizando los teoremas del álgebra de Boole.
4.3.2. MÉTODO DE TABULACIÓN DE QUINE –Mc CLUSKEY
Se utiliza para simplificar funciones que tienen cinco o más de cinco variables
Además es susceptible de ser tratado con ordenador.
4.3.3. MAPAS DE KARNAUGH.
Es uno de los métodos más fáciles para simplificar funciones, pudiéndose emplear hasta incluso con
seis variables.
Dicho método es una forma gráfica de representar la tabla de la verdad de una función lógica,
construyendo una tabla donde a cada valor de la tabla de la verdad se le asigna una casilla.
La tabla se construye situando como entradas verticales las combinaciones posibles de las variables
de las que depende la función que se intenta simplificar, y encabezando cada columna por la combinación
binaria correspondiente, de forma que de una columna a la contigua cambie sólo una variable de valor.
Como entradas horizontales se disponen las combinaciones posibles de las variables restantes, de
forma que entre las combinaciones binarias correspondientes a dos filas contiguas cambie de valor también
sólo una variable.
En las tablas de las figuras siguientes se representan los mapas de Karnaugh para funciones de dos,
tres, cuatro, cinco y seis variables, respectivamente.
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A
B
0
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AB
C
1
00
01
11
AB
CD
10
0
0
00
1
1
01
00
01
11
10
001
011
010
110
11
10
ABC
000
DE
001
011
010
110
111
101
100
ABC
000
DEF
00
000
01
001
11
011
10
010
111
101
100
110
111
101
100
Cada cuadrícula puede corresponder a un término canónico (producto o suma) compuesto por las
variables que se indican en el vértice superior izquierdo de la tabla y con expresión directa o complementada
según en la combinación binaria asociada aparezca un 1 o un 0, respectivamente.
Para representar una función en esta tabla se parte de su forma canónica y se escribe un 1 en las
cuadrículas correspondientes a los términos que estén presentes. Los demás se dejan en blanco.
También se puede partir de la tabla de verdad y entonces el criterio de representación es obvio,
puesto que la tabla de Karnaugh no es sino la tabla de verdad representada de distinta forma.
Por haber empleado el código cíclico para las combinaciones de filas y columnas vemos que las
celdas vecinas (las que tienen un lado en común, teniendo en cuenta que los lados derecho e izquierdo están
unidos, al igual que los lados inferiores y superiores), difieren en el valor de una sola variable, ésta es la
clave de la simplificación.
Si las celdas adyacentes tienen un “1”, tendremos dos términos canónicos que difieren en una sola
variable apareciendo ésta en un término en forma directa y en el otro en forma negada, por lo que dicho
término se puede eliminar ya que su valor no va a influir en el resultado de la función:
F = a*b*c* + a*b*c = a*b (c + c) = a*b
Si se asocian cuatro celdas adyacentes en un solo término, se eliminan las variables que cambian de
valor y se mantienen las que permanecen invariables.
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Por lo tanto, se deben agrupar todos los unos en agrupaciones de celdas contiguas de 2n términos, sin
dejar ningún “1” suelto e intentando que las agrupaciones sean lo más grandes posibles.
El proceso de simplificación no es único, ya que a veces se pueden realizar diferentes
agrupamientos, por lo tanto habrá que seleccionar la expresión más simplificada.
4.3.3.1. Simplificación de funciones incompletas.
Resulta frecuente considerar en los circuitos lógicos ciertos valores de las variables que nunca se
darán (valores prohibidos) y otras en el que el circuito se inhibe. En estos casos a estas combinaciones de
valores que nunca se darán podremos darles el valor "0" ó "1" según nos interese; de esta forma la
simplificación puede ser más eficaz.
4.4. HOMOGENIZACIÓN DE CIRCUITOS.
Para construir circuitos que tengan solo una clase de puertas seguiremos los siguientes pasos:
4.4.1.- HOMOGENIZACIÓN DE CIRCUITOS CON PUERTAS NAND.
Si aplican dos inversiones.
Si la operación más externa es suma se opera una inversión.
Si la operación más externa es producto no se opera ninguna inversión.
Si en el interior existen sumas se aplican dos inversiones y se opera una de ellas.
4.4.2.- HOMOGENIZACIÓN DE CIRCUITOS CON PUERTAS NOR.
Si aplican dos inversiones.
Si la operación más externa es producto se opera una inversión.
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Si la operación más externa es suma, se aplican dos inversiones más y se opera una de ellas.
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0.- INTRODUCCIÓN
1.- ELECTRÓNICA DIGITAL
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
SISTEMA DECIMAL: 1.264= 1 x 103 + 2 x 102+ 6 x 101 + 4 x 100
SISTEMA BINARIO: 10011 = 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19
Bit es un dígito binario (cero o uno), un grupo de varios bit con significado es una palabra o código.
1.2. SEÑAL DIGITAL BINARIA. Sólo son posibles 2 valores: Uno alta tensión y otro baja.
1.3. SISTEMAS LÓGICOS. La lógica de niveles establece una correspondencia entre los niveles de tensión y los
elementos de información binaria (0, 1).
LÓGICA POSITIVA: al nivel de tensión más elevado le asigna el 1 (la más usada).
LÓGICA NEGATIVA: al nivel de tensión más alto le asigna el 0 (la menos usada).
1.4. LÓGICA DE CONTACTOS."0" circuito abierto.
"1" circuito cerrado.
2.- ÁLGEBRA DE BOOLE O ÁLGEBRA LÓGICA
El álgebra de Boole opera con variables que admiten únicamente dos valores que, de forma convencional, se
designan por 0 y 1.
2.1. OPERACIONES BÁSICAS.
SUMA LÓGICA: (se representa por +)
PRODUCTO LÓGICO: (se representa por *)
COMPLEMENTACIÓN: (A: A)
"FUNCIÓN LÓGICA" : es todo conjunto de variables relacionadas entre sí por cualquiera de las tres
operaciones básicas del álgebra de Boole. f=f(A,B,C...)
2.2. TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE.
TEOREMA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PROPIEDAD
SUMA
PRODUCTO
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano
es otra variable del sistema, y este resultado es único
IDEMPOTENCIA
A+A = A
A*A =A
VARIABLE DOBLEMENTE NEGADA
A=A
PROPIEDAD CONMUTATIVA
A+B=B+A
A*B = B*A
PROPIEDAD ASOCIATIVA
A+(B+C) = (A+B)+C
A* (B*C) = (A*B)*C
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
A*(B+C) = A*B+A*C
ABSORCIÓN
A + A*B = A
A*(A+B) = A
EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO
A+0 = A
A*1=A
EXISTENCIA DEL COMPLEMENTARIO
A+A= 1
A*A = 0
LEYES DE MORGAN
A+B+C …= A*B*C …
A*B*C … = A+B+C …
3. PUERTAS LÓGICAS
Las puertas lógicas son los componentes electrónicos, presentados en forma de circuito integrado, mediante
los cuales pueden realizarse las funciones lógicas elementales.
FUNCIÓN
SÍMBOLO
AMERICANO
SÍMBOLO
EUROPEO
ECUAC.
LÓGICA
ESQUEMA
ELÉCTRICO
TABLA DE
ESTADOS
COMENTARIOS
Puerta NO
INVERT (no
inversor) o
IGUALDAD
S=A
Utilizada para el
acoplamiento de
circuitos sin
inversión de la
señal de entrada
Puerta INVERT
(inversor) o
NOT
_
S=A
Invierte el estado
de la señal aplicada
a su entrada
Puerta OR (suma
lógica)
S=A+B
La salida es “0”
cuando todas las
entradas son “0”
Puerta AND
(producto lógico)
S=A*B
La salida es “1”
cuando todas las
entradas son “1”
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Puerta NOR
(suma negada)
_____
S=A+B
La salida es “1” solo
cuando todas las
entradas son “0”
Puerta NAND
(producto lógico
negado)
_____
S=A*B
La salida es “0”
cuando todas las
entradas son “1”
Puerta EXOR
(OR exclusiva)
S = A⊕B =
__ __
A*B + A*B
La salida es “0”
cuando todas las
entradas son iguales
Puerta EXNOR
(NOR exclusiva)
______
S = A⊕B =
__ __
A*B + A*B
La salida es “1”
cuando todas las
entradas son iguales
Las puertas NOR y NAND son las puertas universales, pues aplicando las Leyes de Morgan se puede realizar
con ellas cualquier ecuación y resolver cualquier automatismo. Se obtienen circuitos más simples y con menor
posibilidad de error.
4. TÉCNICAS DE DISEÑO Y SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS.
4.1. TABLA DE VERDAD.
4.2.- FORMA CANÓNICA DE LA FUNCIÓN.
Es el producto de sumas o la suma de productos, en los que en cada término aparecen todas las variables de
la función (bien en forma directa o negada).
4.2.1. TIPOS.
MIMTERMS o suma de productos lógicos.
MAXTERMS o producto de sumas lógicas.
4.2.2. DEDUCCIÓN DE LA FORMA CANÓNICA.
A PARTIR DE UNA FUNCIÓN NO CANÓNICA
A PARTIR DE LA TABLA DE LA VERDAD
4.3. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES
4.3.1.MÉTODO ALGEBRAICO:
En definitiva se trata de simplificar la función utilizando los teoremas del álgebra de Boole.
4.3.2. MÉTODO DE TABULACIÓN DE QUINE –Mc CLUSKEY
Se utiliza para simplificar funciones que tienen cinco o más de cinco variables. Además es susceptible de ser
tratado con ordenador.
4.3.3. MAPAS DE KARNAUGH.
Dicho método es una forma gráfica de representar la tabla de la verdad de una función lógica, construyendo
una tabla donde a cada valor de la tabla de la verdad se le asigna una casilla.
4.3.3.1. Simplificación de funciones incompletas.
Resulta frecuente considerar en los circuitos lógicos ciertos valores de las variables que nunca se darán
(valores prohibidos) y otras en el que el circuito se inhibe. En estos casos a estas combinaciones de valores que nunca se
darán podremos darles el valor "0" ó "1" según nos interese; de esta forma la simplificación puede ser más eficaz.
4.4. HOMOGENIZACIÓN DE CIRCUITOS.
4.4.1.- HOMOGENIZACIÓN DE CIRCUITOS CON PUERTAS NAND.
Si aplican dos inversiones.
Si la operación más externa es suma se opera una inversión.
Si la operación más externa es producto no se opera ninguna inversión.
Si en el interior existen sumas se aplican dos inversiones y se opera una de ellas.
4.4.2.- HOMOGENIZACIÓN DE CIRCUITOS CON PUERTAS NOR.
Se aplican dos inversiones.
Si la operación más externa es producto se opera una inversión.
Si la operación más externa es suma, se aplican dos inversiones más y se opera una de ellas.
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