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DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA.
I.E.S. “JULIO REY PASTOR”
CURSO 2011/2012: 4º ESO.
TEMA 2. “ELECTRÓNICA II. PUERTAS LÓGICAS ”
TEMA 2. ELECTRÓNICA DIGITAL. PUERTAS LÓGICAS.
1. INTRODUCCIÓN.
Los circuitos digitales requieren para su construcción una serie de elementos que materialicen los
principios del álgebra de Boole, base matemática de la electrónica digital. Esta realización digital la constituyen las
denominadas puertas lógicas. Dichas puertas son circuitos electrónicos que tienen unas entradas en las que se
presentan unos valores eléctricos (valores lógicos), de tal forma que en la salida aparece otro valor lógico, que es el
resultado de realizar la operación lógica que marca la puerta con los valores de las entradas.
2. ÁLGEBRA DE BOOLE.
George Boole desarrolló un álgebra que lleva su nombre, y cuyo objetivo consiste en representar las formas
de razonamiento lógico, sistematizarlas y profundizar en el conocimiento de sus mecanismos. El álgebra de Boole
manejaba variables que representaban posiciones que podían adoptar dos valores; verdadero y falso. Estos dos
valores se representan simbólicamente con los signos 1 y 0, respectivamente. Estos símbolos no representan
números, sino dos estados de las variables binarias.
2.1. LÓGICA DE NIVELES.
En los circuitos digitales hay que adoptar un sistema de representación para diferenciar los estados lógicas
0 y 1. Para ello, se utiliza el procedimiento denominada lógica de niveles que establece una correspondencia entre
los niveles de tensión y los elementos de información binaria.
Existen dos tipos de lógica, positiva y negativa. En la lógica positiva
al nivel de tensión más elevado se le asigna el estado 1, mientras que al nivel
más bajo se le establece el estado lógico cero.
Por el contrario, en lógica negativa el nivel más bajo de tensión se
corresponde con el estado lógico 1, mientras que al nivel más alto se le asocia
el estado lógico 0.
3. FUNCIÓN LÓGICA. TABLA DE LA VERDAD.
Se llama función lógica a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión algebraica formada
por otras variables binarias que están relacionadas entre sí por las operaciones + y · .
Ejem:
S=a+b·c
Una tabla de verdad se utiliza para reflejar la ecuación y el comportamiento de las distintas operaciones y
circuitos lógicos. Esta constituida por dos zonas diferenciadas. La zona de entrada (datos, situada a la izquierda de
la tabla) reúne las condiciones o datos lógicos de entrada en función de los cuales se obtienen los consecuentes
estados de salida (zona derecha de la tabla).
Cada fila de la tabla representa un grupo de datos o condiciones particulares, así
como su correspondiente salida.
El número de combinaciones posibles será 2 n, siendo “n” el número de variables
de entrada.
Los datos y las salidas aparecen representados por 0 y 1. La situación del bit que
expresa el estado lógico por una X, supone que éste no está definido o que es indefinido
(0 y 1).
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4. PUERTAS LÓGICAS BÁSICAS.
4.1. PUERTAS OR (O).
Es una puerta lógica con dos variables de entrada “a” y “b” que realiza la función OR, denominada también
función suma o función unión. La expresión matemática de dicha función para dos variables y, la representación
simbólica, son las siguientes:
El signo + representa la conjunción o. En términos lógicos, la lectura de la función se puede hacer de la
siguiente manera: la salida S será verdadera cuando la variable “a” o la variable “b” lo sean. Es evidente que, si las
dos variables son verdaderas a la vez, la salida es verdadera. La tabla de la verdad es la siguiente:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
S
0
1
1
1
Para comprender el comportamiento de una función es habitual materializarla con un circuito por
contactos, de manera que cada uno de ellos representa una variable. Un contacto abierto se debe interpretar como
un 0 lógico y un contacto cerrado como un 1 lógico. Los dos contactos están conectados en paralelo y si ambos
permanecen abiertos ( 0 lógico ) la lámpara no es ilumina, mientras que si alguno de ellos, o los dos a la vez, se
cierran ( 1 lógico) la lámpara se ilumina.
4.2. PUERTAS AND ( Y ).
Es una puerta lógica con dos variables de entrada “a” y “b” que realiza la función AND, denominada
también función producto o intersección. La expresión matemática de dicha función para dos variables y, la
representación simbólica, son las siguientes:
El signo · se interpreta como la conjunción y. En términos lógicos, la lectura de la función se puede hacer
de la siguiente manera: la salida S será verdadera cuando la variable “a” y la variable “b” lo sean. La tabla de
verdad es la siguiente:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
S
0
0
0
1
Los dos contactos están en serie y, si ambos permanecen abiertos ( 0 lógico ), o simplemente uno de ellos,
la lámpara no se ilumina. Para que este fenómeno se produzca, es necesario que los dos contactos estén cerrados
simultáneamente.
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4.3. PUERTAS NOT (NO).
Es una puerta lógica con una variable de entrada “a” que realiza la función NOT, denominada función
negación o complementación. La expresión matemática de dicha función para una variable y la representación
simbólica, son las siguientes:
La notación
se puede leer como “a negada” o “complemento de a”, y se utiliza para indicar que la
salida niega la entrada o que aquélla está complementada respecto a la primera. Su función es la de negar el dato
que recibe en la entrada, es decir, si la entrada es un cero su salida será un uno y, si recibe un uno pondrá en ella un
cero. La tabla de verdad es la siguiente:
a
0
1
S
1
0
También recibe el nombre de inversor.
5. PUERTAS LÓGICAS COMPLEJAS.
5.1. PUERTA NOR ( NO O).
Es una puerta lógica con dos variables de entrada “a” y “b” que realiza la función NOR, denominada
también función O negada o función O complemento. La expresión matemática de dicha función para dos
variables y, la representación simbólica son las siguientes:
En términos lógicos, la lectura de la función se puede hacer de la siguiente manera: la salida S será
verdadera cuando las variables “a” y “b” sean falsas. La tabla de la verdad será la siguiente:
a b
0 0
0 1
1 0
1 1
S
1
0
0
0
5.2. PUERTA NAND ( NO Y ).
Es una puerta lógica con dos variables de entrada “a” y “b” que realizada la función NAND, denominada
también función Y negada o función Y complemento: La expresión matemática de dicha función para dos
variables y, la representación simbólica son las siguientes:
En términos lógicos, la lectura de la función se puede hacer de la siguiente manera: la salida S será
verdadera cuando sea falsa la variable “a”, la variable “b” o ambas a la vez. La tabla de la verdad será la
siguiente:
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a b
S
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
A las puertas NOR y NAND se las denomina también puertas universales debido a que todas las funciones
lógicas se pueden construir con ellas.
5.3. PUERTA OR - EXCLUSIVA ( O - EXCLUSIVA ).
Es una puerta lógica de dos variables entrad a “a” y “b” que realizada la función OR – exclusiva. La
expresión matemática de dicha función de dos variables y, la expresión simbólica son las siguientes:
El signo
es el que se utiliza específicamente para enlazar las variables de una función OR – exclusiva.
La lectura que se debe hacer en un caso elemental como el que se muestra en la anterior función será: a orexclusiva de b. En términos lógicos, la lectura de la función se puede hacer de la siguiente manera: la salida S será
verdadera cuando lo sea exclusivamente la variable “a” ó la variable “b”. La tabla de la verdad de la función será
la siguiente:
a b
0 0
0 1
1 0
1 1
S
0
1
1
0
Existen puertas de este tipo con más de dos variables de entradas. En general, la salida de una función OR –
exclusiva tendrá valor uno cuando el número de unos de la combinación correspondiente sea impar. Por el
contrario, valdrá cero cuando el número de unos sea par.
6. POSTULADOS, PROPIEDADES Y TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE.
6.1. POSTULADOS.
Postulado 1: La suma lógica de una variable más un 1 lógico equivale a un 1 lógico:
a+1=1
Postulado 2: La suma lógica de una variable más un 0 lógico es igual al valor de la variable:
a+0=a
Postulado 3: El producto lógico de una variable por un 1 lógico es igual al valor de la variable.
a·1=a
Postulado 4: El producto lógico de una variable por un 0 lógico es igual a 0.
a·0 =0
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Postulado 5: La suma lógica de dos variables iguales equivale al valor de dicha variable.
a +a =a
Postulado 6: El producto lógico de dos variables iguales equivale al valor de dicha variable.
a · a = a
Postulado 7: La suma lógica de una variable más la misma variable negada equivale a un 1 lógico.
Postulado 8: El producto lógico de una variable por la misma variable negada equivale a un 0 lógico.
Postulado 9: Si una variable es negada dos veces, ésta no varia. Este postulado es válido para cualquier número par
de inversiones.
Postulado 10: Si se invierten los dos miembros de una igualdad, ésta no sufre ninguna variación.
6.2. PROPIEDADES.
De la misma forma que en la matemática ordinaria, en el álgebra de Boole se cumplen las propiedades que
exponemos a continuación:
· Propiedad conmutativa:
a + b = b +a
a · b = b ·a
· Propiedad asociativa:
a + b + c = a + ( b + c ) = ( a + b) + c
a ·b ·c = a (b·c) = (a·b)c
· Propiedad distributiva:
a(b +c) = a ·b + a ·c
a + (b · c) = (a + b) · ( a + c)
6.3. TEOREMAS.
-Teorema 1: Ley de absorción.
a)
a +a · b = a
Demostración: a + a b = a; sacando factor común, a ( 1 + b ) = a · 1 = a
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b) a ( a + b ) = a
Demostración: a ( a + b) = a · a + a · b = a + a · b = a
-Teorema 2:
-Teorema 3: Leyes de Morgan
- Teorema 4:
7. OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN LÓGICA A PARTIR DE LA TABLA DE LA VERDAD.
Para la resolución de circuitos lógicos combinacionales, normalmente se sigue un proceso, cuyo primer
paso consiste en la confección de la tabla de la verdad que establece todas las combinaciones posibles de entrada, y
determina, para cada una de ellas, el estado de la salida según el planteamiento del problema.
A partir de la tabla de la verdad podemos obtener la función lógica de dos formas distintas:
-
Primera forma canónica o suma de productos o MINTERMS.
-
Segunda forma canónica o productos de sumas o MAXTERMS.
Recibe el nombre de forma canónica de una función lógica es todo producto de sumas o toda suma de
productos en las que aparecen todas las variables en cada uno de los términos que constituyen la expresión. Estas
variables pueden aparecer de forma directa o de forma negada o complementada.
La primera forma canónica, se deduce sumando todos los productos lógicos que dan a la función el valor
1. El número de términos de la función será igual al de unos lógicos que aparezcan en la columna de la salida.
Cuando, en cada uno de los términos, la variable vale 1 aparece tal cual, pero cuando vale 0 aparece de forma
negada, ya que para que un sumando valga 1, es necesario que cada uno de los factores que lo forman sea también
1.
La segunda forma canónica, se deduce multiplicando todas las sumas lógicas que dan a la función valor 0.
El número de términos de la función será igual al de ceros lógicos de la columna de la salida. Cuando la variable
vale 0, aparece de forma directa, pero, cuando toma el valor 1, lo hace de forma negada, porque para que cada
término valga 0, es necesario que cada uno de los sumandos que lo forman valga 0 también.
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8. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES.
El proceso que había que seguir para resolver los circuitos combinacionales, indicando que en primer lugar
debíamos realizar la tabla de la verdad y, a continuación, obtener la ecuación en forma canónica, bien en su primera
forma, bien en su segunda. Una vez llegados a este punto, el siguiente paso consiste en simplificar todo lo posible
la ecuación resultante.
Existen varios métodos para simplificar las funciones lógicas, entre los que destacan:
-
Método algebraico.
-
Método gráfico de Karnaugh.
8.1. MÉTODO ALGEBRAICO.
Con el fin de utilizar el menor número de puertas, es conveniente simplificar la expresión, utilizando, en
este caso, todos los postulados, propiedades y teoremas que sean necesarios. Este proceso de simplificación de la
función no es una técnica precisa, pudiendo elegir, en la mayoría de los casos, varios caminos para llegar a un
resultado común. Su empleo requiere dominio matemático y experiencia sobrada: pero, a pesar de todo, es
necesario una gran dosis de suerte para llegar a un resultado satisfactorio.
8.2. MÉTODO GRÁFICO DE KARNAUGH.
Esta herramienta para simplificar funciones es uno de los métodos más fáciles que existen si el número de
variables a simplificar no es muy elevado.
Su principio de funcionamiento se basa en la determinación, a partir de a tabla de verdad, de unas tablas
denominadas tablas de Karnaugh, cuya forma depende del número de variables de entrada que se usan. Es
necesario construir, para cada función, un cuadrilátero que a su vez se divide en 2 n cuadrados elementales. El
exponente “n” se corresponde con el número de variables de la función.
Las variables de la función se reparten entre los dos ejes de coordenadas tomando como referencia el
vértice superior izquierdo. En cada uno de los ejes y haciéndolas coincidir con una de las casillas, deben aparecer
todas las combinaciones que se pueden elaborar con las variables correspondientes a cada eje. El orden de
colocación de las combinaciones debe ser tal que, de una a la siguiente, sólo cambie el valor de una variable, se
dice que entre dos casillas consecutivas existe adyacencia algebraica. En los casos de dos, tres y cuatro variables,
se produce una total coincidencia entre la adyacencia gráfica y la algebraica. La primera casilla, tanto en sentido
vertical como horizontal, es adyacente a la última.
Una vez construido el cuadrilátero, se coloca un 1 en cada una
de las casillas donde exista la función. Para saber donde existe la
función es necesario utilizar la tabla de la verdad de la función, en la
que se hace corresponder casillas y términos de la función. Es
conveniente señalar que la casilla de la tabla que hay que ocupar es la
que se identifica con el término de la función, ya se trate de la primera
o de la segunda forma canónica. En las casillas donde no existe
función se dejan en blanco o con un 0. En el caso de términos
indefinidos (X) se representarán como más interese.
Para obtener la expresión más sencilla, es necesario realizar el mínimo número de agrupaciones con el
mayor número de unos posibles, siendo imprescindible que los unos se encuentren en casillas adyancentes,
entendiendo que la adyacencia debe ser algebraica. No existe una forma única de agrupamiento; el objetivo es
construir el menor número de grupos, con la mayor cantidad de unos posible, atendiendo a la exigencia de que
cumplan la ley señalada, es decir, que sean potencias de 2. Un 1 puede formar parte de varios grupos.
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El procedimiento a seguir para agrupar los unos será el siguiente:
1. Se toman todos los unos que no pueden formar parte de un grupo de dos por no ser adyancentes con
ninguno.
2. Se forman los grupos de dos unos que no puedan formar parte de un grupo de cuatro.
3. Se forman los grupos de cuatro que no puedan formar parte de un grupo de ochos.
4. Cuando se cubran todos los unos se detiene el proceso.
Una vez hechas las agrupaciones, hay que realizar el proceso de simplificación. Las funciones reducidas se
infieren de los gráficos de Karnaugh de tal manera que cada grupo de unos se obtiene un término. Además, se
eliminan las variables que a lo largo o ancho de cada grupo adquieren el doble valor (0 y 1) al menos una vez.
Cuando el valor de la variable es el mismo en cada una de las casillas que configuran el grupo, aquélla es
irreducible.
Los términos de la función reducida se obtienen representando las variables de forma directa cuando el
valor es 1 y de forma negada cuando el valor es 0.
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9. IMPLEMENTACIÓN DE FUNCIONES CON PUERTAS NAND Y NOR.
Hemos aprendido a diseñar circuitos con puertas lógicas AND, OR y NOT. Ahora bien, los fabricantes
suelen diseñar gran cantidad de circuitos integrados con puertas NAND, debido fundamentalmente a su bajo coste.
Esta razón y el hecho de que, como decíamos en apartados anteriores, la puerta NAND recibe el nombre de puerta
universal, ha llevado a los diseñadores de circuitos digitales a que éstos se construyan principalmente con puertas
NAND.
Para poder realizar un circuito digital con puertas NAND, hay que aplicar los teoremas de Morgan tantas
veces como sea necesario, hasta que toda la función se exprese en forma de productos negados.
1. En primer lugar, debe aplicarse a las expresiones una doble inversión.
2. Si la expresión es una suma de productos, como ocurre en el primer caso, se elimina una de las
inversiones aplicando el teorema de Morgan:
3. Si, como en el segundo caso, la expresión es un producto, las negaciones quedan tal cual y se continúa,
invirtiendo los términos o partes de la función donde aparezcan sumas, hasta convertirlos en productos negados:
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EJERCICIOS DEL TEMA 2. “PUERTAS LÓGICAS”.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
¿En qué se basa el álgebra de Boole?.
¿Qué es la lógica de niveles y, cuáles existen?.
¿Qué es una función lógica?.
Escribe la función, el nombre, la tabla de la verdad, dibuja el circuito con interruptores y el símbolo de las
tres puertas lógicas básicas.
Escribe la función, el nombre, la tabla de la verdad, dibuja el circuito con interruptores y el símbolo de las
tres puertas lógicas complejas.
¿Cuáles son los postulados del álgebra de Boole?.
¿Cuáles son las propiedades del álgebra de Boole?.
¿Cuáles son los teoremas del álgebra de Boole?.
¿Qué es una forma canónica?.
¿Qué es un minterms y maxterms?.
¿Cuáles son los métodos que se pueden utilizar para simplificar las formas canónicas?
¿En qué consiste el método algebraico?.
Dado el circuito, escribe la función y la tabla de la verdad del mismo:
14. Dada la función, dibuja el circuito de interruptores y escribe la tabla de la verdad correspondiente.
L = (P1 + P3) · P2
15. Dada la tabla de la verdad, dibuja el circuito y escribe la función del mismo.
P1
0
0
0
0
1
1
1
1
P2
0
0
1
1
0
0
1
1
P3
0
1
0
1
0
1
0
1
L
0
0
0
0
0
1
1
1
16. Deseamos automatizar la luz (L) en una cabina de teléfonos. Para ello hemos colocado un pulsador P 1 en la
puerta que detecta que está esta cerrada y otro en el suelo de la misma P2 que detecta que hay alguien
dentro que quiere llamar. La bombilla sólo se encenderá cuando haya alguien en la cabina (P 2 cerrado) y la
puerta esté cerrada ( P1 cerrado). Realiza la tabla de la verdad, diseña el circuito que hace que esto sea
posible y escribe la función correspondiente.
17. Ante la propuesta del área de Tecnología de realizar un juego, un grupo de alumnos han decidido realizar
una máquina que simule el juego de pares e impares. En la máquina solo podrán jugar dos jugadores que
elegirán cada uno una opción, Después, cada uno de ellos dispondrá de un pulsador P1 y P2 oculto a la vista
del otro pulsador, de forma que si solo de ellos pulsa su pulsador el resultado será impar y se encenderá una
lámpara L, y si los dos lo hacen o no lo hace ninguno el resultado será par y no se encenderá la lámpara.
Realiza la tabla de verdad, diseña el circuito que hace que esta sea posible y escribe la función
correspondiente.
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18. Hallar una función booleana que describa el siguiente circuito eléctrico:
19. Establecer un circuito eléctrico que, utilizando interruptores, responda a la siguiente expresión lógica.
F = (A + B) · C + (D · E)
20. Determina la función booleana para el siguiente circuito lógico:
21. Escribe la función, el nombre, la tabla de la verdad, dibuja el circuito con interruptores y el símbolo de las
tres puertas lógicas NAND, NOR y OR-EXCLUSIVA.
22. Hallar la función booleana para el siguiente circuito lógico.
23. Determina la función booleana para el siguiente circuito lógico:
24. Usando únicamente las tres puertas básicas, dibuja el logigrama correspondiente a la siguiente expresión:
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25. Utilizar las tres puertas básicas, la puerta NOR Y NAND, dibuja el logigrama correspondiente a la
expresión:
26. Ejercicio 9 de la pág. 56 del libro de 4º ESO. Halla la función “f “ y “g”.
27. Implementa, utilizando las puertas lógicas AND, OR y NOT, la función lógica dada por la siguiente
expresión algebraica:
28. Los cronogramas son una forma gráfica de representar el funcionamiento de un circuito digital. En ellos se
pueden observarse simultáneamente, y en función del tiempo, los valores que toman las variables de
entrada y el valor que para cada una de sus combinaciones, toman las funciones lógicas correspondientes a
las salidas del circuito.
Deduce, tras observar el cronograma adjunto, la tabla de la verdad de la función f en función de las
variables A y B. Además, deduce la función lógica e implementa la función con cualquier tipo de puertas
lógicas.
29. Obtén la primera forma canónica de la función lógica g definida mediante la siguiente tabla de la verdad
e implementa la función lógica.
Variable
Función
A B C
g
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
30. Obtén la segunda forma canónica de la función lógica h e implementa la función lógica:
Variable
A B C
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Función
h
1
1
1
0
1
1
0
1
12