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28 de Junio de 2011 TRANSFORMACIONES LINEALES (Clase 01) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1 Puntos a tratar 1. Transformación lineal 2. Propiedades 3. Representación matricial 4. Núcleo e imagen 5. Nulidad y rango 6. Inyectividad y sobreyectividad Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 2 Transformación lineal Sea T una aplicación de Rn en Rm ; T: Rn Rm T se llama Transformación Lineal si se cumple: Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Transformación lineal 1. T ( V1 + V2 ) = T( V1 ) + T ( V2 ) 2. T ( c V ) = c T( V ) , c: escalar Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Ejemplos de transformaciones lineales Reflexión respecto al eje Y. En R2 consideremos la aplicación f tal que f( f(x,y x,y)=( )=(--x,y x,y)). Es fácil probar que es una transformación lineal. Álgebra Lineal y Geometría Analítica (-x,y) (x,y) José Luis Quintero Ejemplos de transformaciones lineales Operadores de proyección. La aplicación definida por: T( T(x,y,z x,y,z)=(x,y,0) )=(x,y,0) proyecta un vector de R3 a un vector que está en el plano XY z (x,y,z) y x Álgebra Lineal y Geometría Analítica (x,y,0) José Luis Quintero Ejemplos de transformaciones lineales Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Ejercicios Probar si las siguientes aplicaciones son Transformaciones Lineales: 1. T: R2 R2 , T(x,y) = (3x ; x-y ) 2. T: R2 R2 , T(x,y) = (x+y ; y2) Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Ejercicios Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Puntos a tratar 1. Transformación lineal 2. Propiedades 3. Representación matricial 4. Núcleo e imagen 5. Nulidad y rango 6. Inyectividad y sobreyectividad Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 10 Propiedades de las transformaciones lineales 1) 2) 3) T(0R n ) = 0R m T(a V1+ b V2 ) = a T ( V1 ) + b T( V2 ) T(a V + a V +... + a V ) = a T ( V ) + a T( V ) + 1 1 2 2 k k 1 1 2 2 + ... + a T ( V ) k k La aplicación T(x;y)=(x-y ; y+x+2) NO es una Transformación Lineal , ya que: T(0;0)=(0;2) Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Puntos a tratar 1. Transformación lineal 2. Propiedades 3. Representación matricial 4. Núcleo e imagen 5. Nulidad y rango 6. Inyectividad y sobreyectividad Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 12 Representación matricial de una transformación lineal TEOREMA: n m Toda T.L. de R a R se puede representar matricialmente como T( X ) = A m x n X de forma única. Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Representación matricial de una transformación lineal T(x;y)=(2x+y ; 3x+4y) puede escribirse como x 2 x + y 2 1 x T = = y 3 x + 4 y 3 4 y Observar que Álgebra Lineal y Geometría Analítica 1 2 T(i) = T( j) = 3 4 José Luis Quintero Puntos a tratar 1. Transformación lineal 2. Propiedades 3. Representación matricial 4. Núcleo e imagen 5. Nulidad y rango 6. Inyectividad y sobreyectividad Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 15 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Puntos a tratar 1. Transformación lineal 2. Propiedades 3. Representación matricial 4. Núcleo e imagen 5. Nulidad y rango 6. Inyectividad y sobreyectividad Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 18 Nulidad y rango de una transformación lineal Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Nulidad y rango de una transformación lineal Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Puntos a tratar 1. Transformación lineal 2. Propiedades 3. Representación matricial 4. Núcleo e imagen 5. Nulidad y rango 6. Inyectividad y sobreyectividad Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 21 Inyectividad y sobreyectividad de una transformación lineal Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero Pensamiento de hoy “La gente no se resiste al cambio. Se resiste a ser cambiada”. Peter Senge Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 23