Download Algebra en los números reales

CAPÍTULO
1
A
lgebra
en los
números
reales
1.1
Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico se basa en el uso de letras y relaciones
matemáticas para generalizar diferentes situaciones.
Ejemplos:
• El perímetro P de un cuadrado de lado a P = 4a.
• El área A de un cuadrado de lado a
A = a2.
• El área A de un triángulo de base b y altura h
A=b•h
2
Cada una de las letras involucradas en las fórmulas anteriores
es una variable; a cada variable se le pueden asignar diferentes
valores.
En general, una variable es cualquier letra involucrada en una
expresión algebraica.
Expresemos en lenguaje algebraico:
1. El doble de un número
2. El triple de un número
3. La mitad de un número
4.
5.
6.
7.
El cuadrado de p
a aumentado en b
a disminuido en b
El producto entre a y b
2a, 2x, 2m, ...
3x, 3y, 3b, ...
p q z
,
,
, ...
2 2 2
p2
a+b
a–b
a•b
Si en alguna expresión no está especificado el término, podemos
asignar cualquier variable para representar el enunciado, como se
puede ver en los ejemplos 1, 2, 3 y 4.
Álgebra en los números reales
En general,
• Son múltiplos de a:
el doble
el triple
el cuádruple
el quíntuple
:
:
2a
3a
4a
5a
• Son fracciones de a:
un medio (o la mitad)
a o 1
2
2
•
a
un tercio (o la tercera parte)
a o 1
3
3
•
a
un cuarto (o la cuarta parte)
a o 1
4
4
•
a
a o 1
5
5
•
a
un quinto (o la quinta parte)
:
:
• Son potencias de a:
el cuadrado
el cubo
la cuarta potencia (o a la cuarta)
la quinta potencia (o a la quinta)
:
:
• Otras expresiones algebraicas:
un número par
un número impar
a2
a3
a4
a5
2n
2n – 1
Ejercicios resueltos
Expresemos en lenguaje algebraico:
1.El doble de un número, aumentado en la mitad del mismo
número.
Aquí el “número” no está determinado; asignémosle la variable
x; nos queda:
x
2x +
2
2.El doble de a, aumentado en b
2a + b
3.El doble de a aumentado en b
2 (a + b)
Observe los ejemplos 2 y 3. ¿Cuál es la diferencia?
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
4.La mitad de a más el triple de b.
Aquí ya están asignadas las variables, son a y b. Nos queda:
a
+ 3b
2
5.El doble del cuadrado de a.
2 a2
6.El cuadrado del doble de a.
(2a)2
Observe la diferencia entre los ejercicios 5 y 6.
7.La cuarta parte del triple del cuadrado de b.
3 b2
4
8.El triple de la cuarta parte del cuadrado de b.
3
( b42 )
9.El cuadrado de la cuarta parte del triple de b.
3b 2
4
( )
Observe las diferencias entre los ejercicios 7, 8 y 9.
10. La diferencia entre el quíntuple de x y la mitad de y.
y
5x –
2
11. La suma de tres números pares consecutivos.
(2n) + (2n +2) + (2n + 4)
o
(2n – 2) + (2n) + (2n + 2)
Observe la diferencia entre ambas.
12. Tres impares consecutivos.
2n – 1, 2n + 1, 2n + 3
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5
Observe la diferencia entre ambas y exprese esos tres números
de una manera distinta.
13. La semisuma entre a y b.
a+b
2
14. La semidiferencia entre a y b.
a–b
2
15. El producto entre un número y su antecesor.
x (x – 1)
16. El producto entre un número y su sucesor.
x (x + 1)
Álgebra en los números reales
Ejercicios
I.
Asigne variables y exprese en lenguaje algebraico:
1. La mitad de un número.
2. El triple de a, aumentado en el doble de b.
3. El doble del cociente entre a y b.
4. El cubo de la diferencia entre x e y.
5. La diferencia entre el cubo de x y el cuadrado de y.
6. El cuadrado de a equivale a la suma entre el cuadrado de x y el cuadrado
de y.
7. La suma de tres números consecutivos es 213.
8. La suma de tres pares consecutivos es 168.
9. El cubo del cuadrado de la diferencia entre x e y.
10. La cuarta parte del producto entre el cuadrado de a y el cubo de b.
11. El triple de un número equivale al doble del mismo número aumentado en 15.
12. El volumen de una esfera de radio r equivale al producto entre cuatro tercios de p y el cubo del radio.
13. La superficie de un rectángulo cuyos lados miden (a + 3) y (a – 3).
14. El volumen de un cubo de arista 2a – 1.
15. El volumen del paralelepípedo de la figura:
16. La superficie lateral del paralelepípedo de la figura.
17. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos.
18. El cuadrado de la suma de tres números consecutivos.
10
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Soluciones
1.
3
2
10. a • b
a
2
4
2.3a + 2b
3.2
a
b
4. (x – y)3
5. x3– y2
6. a2 = x2 + y2
7.(a – 1) + a + (a + 1) = 213
a + (a + 1) + (a + 2) = 213
11. 3x = 2x + 15
12. V =
4
p • r3
3
13. S = (a + 3) (a – 3)
14. V = (2a – 1)3
15. V = 2a(2a + 3)(2a + 1)
16. S = 2(2a (2a + 3) + 2a(2a + 1))
8.(2n – 2) + 2n + (2n + 2) = 168
17. x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2
9. [(x – y)2]3
18. [x + (x + 1) + (x + 2)]2
Definición: Se llama término (algebraico) a un conjunto de
números y letras que se relacionan entre sí por medio de la
multiplicación y/o división.
3a
5 2 2
Ejemplo: 2a2 b , p , –
x y z.
El término algebraico consta de un FACTOR NUMÉRICO, un
FACTOR LITERAL y un GRADO.
El grado es la suma de los exponentes de las letras que aparecen
en el término.
12 6 4 2
Ejemplo: En el término –
a b c el coeficiente numérico es
17
12
–
; el factor literal es a6b4c2 y el grado es 12 (6+4+2).
17
Observación 1: Si el coeficiente numérico no está escrito, entonces es 1.
Observación 2: Si el grado no está escrito, entonces es 1.
Se llama expresión algebraica a cualquier suma o resta de términos algebraicos. Si la expresión tiene dos términos, entonces es un
binomio; si tiene tres términos se llama trinomio; si tiene cuatro o
más, hablamos de polinomios. (El término polinomio se puede usar
en forma general para cualquier expresión algebraica.)
Álgebra en los números reales
11
1.2 Valorización de
expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas no representan valores en sí, sino que
pueden ser evaluadas para distintos valores que se les asignen a las
letras que las componen.
Ejercicios resueltos
1. El valor del monomio a2b cuando a = 2 y b = 5
es 22 • 5 = 20.
Reemplazamos directamente las letras a y b por los valores asignados;
en este caso, 2 y 5, y realizamos las operaciones indicadas.
2. El valor del mismo monomio a2b cuando a = 3 y b = – 4 es:
32 • (– 4) = 9 • – 4 = – 36
3. Si x = – 2; y = 5 y z = 4, el valor de
2x + 3y – z es:
2•–2+3•5–4=
– 4 + 15 – 4 = 7
4. Si m es el doble de n, n es el cuadrado de p y p = 3, determinemos
m y n:
Aquí tenemos: m = 2n; n = p2 y p = 3, entonces n = 32 = 9
y m = 2n = 2 • 9 = 18.
Así; n = 9 y m = 18.
1. 3 ab
Ejercicios
I.
2. –
Determine coeficiente numérico, factor literal y grado de
2 2
3. 0,02 a b
los siguientes términos algebraicos:
2
7. a b
3a b
5
9.
m n
9
4. 17 p q z
2
2. – a
5
5. – 0,3 c
2 2
3. 0,02 a b
2 3 8
4. 17 p q z
Álgebra en los números reales
5. – 0,3 c
6. a
2 4
8.
2 3 8
1. 3 ab
12
2
a
5
10. –
12
11
x y
4
CAPÍTULO 1
II.
Si a = 3 y b = 2,
determine el valor de:
IV.
1. 2 ab
1. 2 x + y + z
2
2
2. x – y – 2z
2
2
3. x + y – x + z
2. a – b
3. b – a
2
2
4. a + ab + b
4. x x + y + z
5. – 2ab
5.
2
2
3
3
6. 2 x y – 2 x z
5
2
1 1
–
x y
2
6. a – b
2
2
7. – b
7. x – 1
8. 1 + a + b + ab
8. z – 2 + z – 3
2
2
2
9. a + b – a – b
3
2
1. 2 m – 3n
3. p + q – r = 12 , r – q = 5, determine p.
2
4. m – n
4. 2a – 9 = b y a = – 3, determine b.
5. m + n m – n
2
5. 1 + 2a = b – 2 y a = – 2, determine b.
2
6. m + 2 mn + n
7. – 5 mn
9.
1
m– n
10.
–1
mn
Determine el valor de:
2. Si m – 3 = 2p y p = – 2 determine m.
3. 1 + m
1 1
–
m n
V.
z
5
1. Si m + n = 3 y n = – 1, determine m.
2
2. m – m – 2n
8.
4
10. x – y +
Si m = –2 y n = + 3,
determine el valor de:
2
2
9. 3 – x yz + 2 – x yz
b
–6
4
10. a –
III.
Si x = 4, y = –2 y z = 5, determine
el valor de:
6. Si a es el doble de b, b es un tercio de c
y c = 12, determine a y b.
7. Si m es la cuarta parte de p y p es el
cuadrado de 2, determine m.
8. La mitad de a es 1. ¿Cuál es el valor de a?
9. La tercera parte del doble de m es 4. ¿Cuál
es el valor de m?
10. Si p + q = 2r, q es el triple que p y p = 5,
¿cuál es el valor de r?
Álgebra en los números reales
13
Soluciones
I.
1.
Coeficiente
numérico
3. Factor literal
ab
Grado
II. 1. 12
2.
3.
2
0,02
5
–
a
2
1
2. 5
3. – 5 4. 19
V.1. m = 4
2. – 4
5.
6.
7.
8.
9.
10.
17
– 0,3
1
1
3
5
1
9
–
c
a
a2b
a2b4
m12n
13
1
1
3
6
a2b2 p2q3z8
III.1. – 13 2. – 12 3. – 1 4. – 5
IV. 1. 11
4.
4
5. – 12
6. 19
5. –5
6. 1
7. –32 8. 12
5
6
6. – 264 7. 15 8. 45
7. 30 8. –
3
4
3. p = 17 4. b = – 15 5. b = – 1 6. a = 8 b = 4
3. – 7 4. 180 5.
2. m = – 1
9. 8
9. –
9.
1
4
x11y
1312 10. –5
1
1
10.
6
5
85 10. 1
7. m = 1
8. a = 2 9. m = 6 10. r = 10
1.3 Reducción de términos
semejantes y uso de paréntesis
Definición: Se llaman términos semejantes aquellos que tienen
el mismo factor literal (y por consiguiente el mis­mo grado); sólo
pueden diferir en el coeficiente numérico.
Ejemplo 1. Son términos semejantes:
a2
4
Ejemplo 2. No son términos semejantes:
a2,
2a2,
a2 b y ab2,
–3a2,
0,5a2,
–a y –a2,
2ab y ab2,
Vemos que en el ejemplo 1, el factor literal de todos ellos es a2;
por esta razón son todos semejantes.
En el ejemplo 2, en cambio, tenemos en los tres casos factores
literales diferentes entre sí.
En una expresión algebraica sólo podemos reducir aquellos términos que son semejantes y esto se efectúa sumando (o restando) los
coeficientes numéricos y manteniendo el factor literal.
El uso de paréntesis es frecuente en álgebra. Sirve para separar
expresiones algebraicas y se elimina de acuerdo con las siguientes
reglas:
1. Si está precedido de un signo + o no tiene signo escrito, se
elimina sin hacer ningún cambio.
2. Si está precedido de un signo – se elimina después de cambiar
todos los signos de los términos del interior del paréntesis. (Es impor-
14
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
tante hacer notar que al eliminar el paréntesis también se elimina el
signo – que lo antecede.)
Si una expresión algebraica contiene paréntesis, es conveniente
eliminarlo antes de proceder a reducir los términos semejantes.
Ejercicios resueltos
1. a + 2a + 3a
Los tres términos de la expresión son semejantes; por lo tanto, sumamos sus coeficientes numéricos y conservamos el factor literal:
a + 2a + 3a = 6a
2. 2a + 3b – 5a + 6b
Aquí los términos 2a y – 5a son semejantes entre sí y lo mismo
ocurre con 3b y 6b; entonces los podemos agrupar entre sí y
obtenemos:
2a + 3b – 5a + 6b = (2a – 5a) + (3b + 6b) = – 3a + 9b
3. 3x6y – 5xy6 – 7x6y – x6y + 11xy6 Agrupamos los términos según su semejanza y obtenemos:
(3x6y – 7x6y – x6y) + (– 5xy6 + 11x y6) = – 5x6y + 6xy6
4. 5m + (3m – 7n) – 2n
Antes de proceder a la reducción de términos es necesario eliminar
el paréntesis; como éste está precedido de un signo +, lo eliminamos
sin hacer cambios y obtenemos:
5m + 3m – 7n – 2n = 8m – 9n
5. 3x2y – (x2y – 2xy2) + 3x2y En este caso, al eliminar el paréntesis (y el signo que lo precede)
debemos cambiar los signos de los términos del interior; nos
queda:
3x2y – x2y + 2xy2 + 3x2y
(3x2y – x2y + 3x2y) + 2xy2 = 5x2y + 2xy2
6. a + a2 + a3 + a4
Aquí no es posible hacer ninguna reducción pues no existen términos
semejantes.
Si en una expresión nos encontramos con paréntesis dentro de otros
paréntesis, procedemos a eliminarlos desde dentro hacia afuera
atendiendo a la misma regla.
Álgebra en los números reales
15
7. 2ab – [3a – (–2ab + 3a) – ab]
Eliminamos primero el paréntesis interior:
2ab –[3a + 2ab – 3a – ab]
Ahora eliminamos el exterior:
2ab – 3a – 2ab + 3a + ab
(2ab – 2ab + ab) + (– 3a + 3a) = ab
Ejercicios
I.
Reduzca las siguientes expresiones:
1. m + 2m
2. a + 2a + 9a
3. m2 – 2m2 – 7m2
4. 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2
5. 3a – 2b – 5b + 9a
6. a2 + b2 – 2b2 – 3a2 – a2 + b2
7. x2yz + 3xy2z – 2xyz2 – 3xy2z + xyz2 – x2yz
8. 2pq + 3p – 12q – 15q + 7pq – 13p
9. 2x – 6y – 2x – 3y – 5y
10. 15a + 13a – 12b – 11a – 4b – b
a aa aa
11. aaa +
+a +
+a
11.
11.
+ 3a3 +
+ 4a4
2
11.
+
11. 2
4
2
3
2 3 4
2
2
2ab222 3ab
3ab222 6a
6a222 bb
aa222b
bb – 2ab
2ab
a
2 + 3ab2 – 6a
12.
12.
–– 2ab
+
–– 6a5 bb
12. a55b –
12.
+ 3ab
3 +
2 –
3
2
5
12.
5
3
2
5
5
3
2
5
m
2m
m
m
m+
2m –– m
m
13.
m– m
+ 2m
13. m
13.
13.
m ––– m
+ 2m
– 44
2+
3 –
2
3
13.
m
4
2
3
4
2
3
3a
–
b
3a
–
b
14. 3a
3a –
–b
b+
3a –
–b
b
14.
+ 3a
14.
14. 3a22– b +
+ 3a55– b
14.
2
5
2
5
33
33
15.
2p
+
q
–
7p
q
3
3q
15. 2p
2p +
+433 qq –– p
p++
+ 233
q
15.
15.
2p
+
q
–
p
+
q
4
2
4
2
15. 2p + 4 q – p + 2 q
4
2
16. a + a2 + a3 + a4 – a – 2a2 + 3a3 – 4a4
17. 0,2 m – 0,02n + 1,07m – 1,03n – m – n
18. 0,5x2y – 0,4xy2 + 0,3x2y – 0,2xy2 + x2y
19. 1,17a – 2,15a – 3,25a + 4,141a
16
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
20 . 1 + x + xy – 2 + 2 x – 3 xy – 3 + 2 xy – 3 x
21 .
1 2 2
3
3 2
8
m n – mn– m2n +
m n – mn
5
3
2
10
3
22 .
27
35
1
1
p–
q+ p– q
4
6
4
6
23 . u 2 + u v + v 2 – 2 u 2 + 3 uv – v 2
24 .
11
3
2
1
5
1
s– t+ s– s– s+ t+ t
3
4
3
3
3
4
25 . 0,117 a – 0 ,3 5b – 2 ,2 5b – 1 ,1b + 3,04 a
26 . 10 a + 5a 2 – 1 3a 3 – 2 a – 9 a3 + 1 6a 2 + a
27 .
1
2
3
2
3
7
1
pt – p – t + pt – p + t + pt
6
5
4
3
5
4
6
28 . x 2 yz – x y 2 z 2 + x y 2 z 2 – x 2 y 2 z 2
3 2
2 2
1 2
2
2
a b – ab – a b – 3a b + ab
4
3
2
1
3
30 . 0,7m – p – 0,04 m + 0,3p – p
7
4
29 .
Ii.
Elimine paréntesis y reduzca los términos semejantes:
1. a + b + a – b
2. a + b + b – a
3. a – b + a + b
4. a – b – a + b
4.
5. 2a – 2a – 3b – b
5.
6. 3x + 2y – x – x – y
6.
7.
7. 2m – 3n – – 2m + n – m – n
8.
8. – a + b – c – – a – b + c + a – b + c
9. – x 2 – y 2 + 2x 2 – 3y 2 – x 2 – 2x 2 – 3y 2
9.
10.
10. – – a – 2b – a + 2b – – a – 3b
11.
11. 3x + 2y – 2x – 3x – 2y – 3x – 2x – y
12. 3y – 2z – 3x – x – y – z – x – 2x
12.
1
2
3
4
13.
13. a – b – a – b
2
14.
14.
3
4
3
1
1
2
a – a– a–a
5
2
3
Álgebra en los números reales
17
15. 3 x + 2 y – x – 2y – 1 y – 2 x
4
16.
5
5
a
17.
17. a – b –
a–
2
b
a – b – 2 –2
18. 1 + a + b –
18.
19.
19.
3
a
b
a– – –b
2
2
b+ a + b
+ a+b
2
1 a b
+ +
2 3 4
11 2 3 2 15 2 3 2 1 2 12 2 2
x – y – x – x – y – y – y
4
25
4
4
25
25
25
20. Si P = x2 + 3x – 2
21. Si P = 3x – x2
y
Q = 2x2 – 5x + 7, obtenga P + Q.
y Q = 3x2 – x,
obtenga Q – P y P – Q.
22. Si M = 2a2 + 3a3 + a4 y N = a4 – 3a2 + 2a,
obtenga M + N y M – N.
23. Si P = x3 – 5x2 – 1; Q = 2x2 – 7x + 3 y R = 3x3 – 2x + 2,
obtenga P + Q – R y P – (Q – R).
24. Si P = m6 + m3 – m; Q = m5 + 2m4 – 3m3 + 2m
y N = m6 + m5 – 2m3 + m, obtenga P + Q – N y N – P.
25. Si A = ab + 2b; B = a – ab y C = a + b + ab,
encuentre A + B + C ; A + B – C y A – (B + C).
26. Si P =
a+b
a–b
y Q=
, entonces encuentre el valor de P + Q.
2
2
27. Si P =
1
1
2
a – b–
2
3
4
c y Q=
2
3
2
a + b + c,
3
2
4
encuentre Q – P.
28. Si A = 2x3 + 3x2 – 2x + 5 y A + B = x3 – 3x2 + x – 4, encuentre B.
29. Si A = 3x3 – 2x2 + 5x – 1; B = 2x3 – 3x – 3
y A – B + C = x3 – 2x2 – 3x – 2, encuentre C.
30. Si P = 1 – x3; Q = 1 – x2; R = 1 – x, determine P – (Q + R + 3).
Soluciones
I. 1.3m 3. – 8m2
2. 12a
4. – 5x2y2 5. 12a – 7b 6. – 3a2 7. – xyz2
8.9pq – 10p – 27q 9. – 14y 10. 17a – 17b 11.
13a
12
12. – a 2b + 5 ab2
6
9
14.
q 16. – a2 + 4a3 – 3a4 17. 0,27m – 2,05n
3a – b 15. – 5p +
4
10
10
18. 1,8x2y – 0,6xy2 19. – 0.089 a 20. – 4 21. – m2n –
mn 22. 7p – 6q
11m
13.
12
23. – u2 + 4uv
27. pt – p + t
18
3
1
7
s+
t
25. 3,157a – 3,7b
26. 9a + 21a2 – 22a3
2
3
33
83
1 2
19 2
2
2
28. x yz – x y2z2 29. –
a b–
ab 30.
m–
p
50
140
4
6
24.
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
II.
1. 2a 2. 2b 3. 2a 7. 5m – 5n
8.a – b + c
9. 2x2+ y2 10. a – 3b
13. – 1 a + 2 b
14.
4
18.
3
–1a
30
15.
4. – 2b
13
11
y–
x
5
12
5. 2b
6. 3x + y
11. 5x + y 12. 4y – 3z – x
16. a + b 17.
2
2
3a b
+
2
2
1 2
3
+ a + b 19. – x 2 – y 2 20. 3x2 – 2x + 5
2 3
4
4
21. Q – P = 4x2 – 4x
P – Q = 4x – 4x2
25. A + B + C = 2a + 3b + ab
A + B – C = b – ab
A – (B + C) = ab + b – 2a
22. M + N = 2a4 + 3a3 – a2 + 2a
M – N = 5a2 + 3a3 – 2a
26. P + Q = a
27. Q – P = 1 a + 11 b + c
23. P + Q – R = -2x3 – 3x2 – 5x
P – (Q – R) = 4x3 – 7x2 + 5x – 2
6
6
28. B = – x3 – 6x2 + 3x – 9
29. C = – 11x – 4
24. P + Q – N = 2m4
N – P = m5 – 3m3 + 2m
30. P – (Q + R + 3) = –x3 + x2 + x – 4
1.4
Multiplicación algebraica
Multiplicación de potencias.
La expresión an se llama potencia de base “a” y exponente “n”.
Se cumple:
an • am = an + m
(an)m = an • m
a0 = 1
con a
0
(ab)n= an • bn
Multiplicación de 2 o más monomios.
Multiplicamos los coeficientes numéricos y los factores literales
entre sí (hacemos uso de las propiedades asociativa y conmutativa de
la multiplicación).
Multiplicación de un monomio por un polinomio.
Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio (hacemos uso de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de
la adición).
Multiplicación de dos polinomios.
Multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término
del segundo. Siempre que sea posible, es necesario reducir términos
semejantes.
Álgebra en los números reales
19
Ejercicios resueltos
1. a6 • a7 = a 6 + 7 = a13
2. (ab)4 = a4 • b4
3. x5 • x9 • x4 = x5 + 9 + 4 = x18
4. 2a2 • 3ab = 2 • 3 • a2 • a • b = 6a3b
5. – 5x2 y4 • – 3x6 • – 2y6 = – 5 • – 3 • – 2 • x2 • x6 • y4 • y6 = – 30x8 y10
6. – 4a2b (a2 + ab – b) = – 4a2b • a2 – 4a2b • ab – 4a2b • (– b)
= – 4a4b – 4a3b2 + 4a2b2
7. (3m5 – 2m4 – mp) • – 3m = 3m5 • (– 3m) – 2m4 • (– 3m) – mp • (– 3m)
= – 9m6 + 6m5 +3m2p
8. (2x + y) (3x + 2y) = 2x (3x + 2y) + y (3x + 2y)
= 2x • 3x + 2x • 2y + y • 3x + y • 2y
= 6x2 + 4xy + 3yx + 2y2
= 6x2 + 7xy + 2y2
(los términos 4xy y 3yx son semejantes, por lo tanto deben reducirse).
Ejercicios
I.
Efectúe las siguientes operaciones:
1. a2 • a3
15. abc • 2abc
2. m3 • m4 • m5
16. 3x2y • x3y6 • – y
3. x2 • x3 • x3
17. – 4abc • – 3a2b2 • 12ab5c7
4. a • ab
18. 2pr • 3pr5 • pr2 • 7p3r4
5. xy • x2y
19. – 6x3 • – 6x3
6. a • a2b • a3b2
20. – 2ax4 • – 3ax5 • – 3a2x4
7. 2a • ab6
21. an • an + 1
8. 3xy2 • 5x2y3
22. 2am • 3an
9. 2m • 5n
23. xp + 1 • xp – 1
10. ax • – axy
24. p2x • p3x – 2 • px + 9
11. – 2x • 3xy • – 2x
25. 2a • 2a – 3 • – 2a – 9
12. – 3a2b • – 5abc • c4
26. a2n – 3
13. 7abc • – 2a2bc8
27. a2x – 5 • bx + 1 • a2x + 2 • bx – 1
14. m2p • – m
20
Álgebra en los números reales
•
a3n – 2 • a2 – 3n
CAPÍTULO 1
28.pa • pa + 2 • q2a – 3 • q5 – 3a
29.ax – 4 • bx + 4 • c2x • ax • b2x • cx + 2
30. (ab)5 • a4 • b2
31. (mp)3 • (mp)2 • mp
32. (2x)x + 1 • (2x)x + 2 • (2x)x – 3
33. (m2n)5 • m5 • n6
34. (a2)3 • (a3)4 • a6
35.2x • (2x)6a – 2 • (2x)3a + 4
36.
1 3 1 2
a •
a • 5a6
2
3
II.
2 4 3 7
4 4
b •
b •–
b
3
8
3
6 3 2 15 6 5
38.–
x y •
x y
5
4
8 6 4 2 2 3
3 2 5 11
39.–
a b •
ab c • –
a b c
9
4
5
40.0,1a6b7c4 • 0,02abc4 • 0,1a2b
37.
41.0,03a5b4 • 1,3a4b8 • 2,7ab6
42.0,5xyz4 • 2,1x2yz • – 3,1x6
43.1,03a4b • – 1,3a3b4
44.0,06m2n6p2 • 0,6mn6p4
2 6 12
a • b • – 3a4b5 • 0,5a2b4
5
45.
Monomio por polinomio:
1.3a (a – 2b)
2.– 5x (2 – 3x2 – 5x)
3.7b (2a – b)
4.3x2 (3x6 – 2x4 + x3 – 2x + 3)
21. p2q 1 pq – 1 pq3 + 2pq
3
4
5
22. – 1 a 2 b3 c 6 abc – a 2 b2 c 2
23.– 3 x 6y 2z 4 1 – xyz 4 + 2 x 4y 2z 6
5
3
5.– 6x5y3 (3x2y – 4xy4 – 2x2 y2)
3 2
6
2
4 2 6 2
24. – m n 14m n – mn – m n
4
3
6.(4xy – 5xy4) • – 6xy
25. x y x y – xy
7.(3m2 – 2mn + n6) • 13m4n2
8.– 15m2np4 (mn6p2 – m4n 4p2 + mnp)
9.6m2(2m – 5n) – 3m(6m2 + 4n)
10. p2q4(2pq – pq3 – 1) + 3p3q2 (q3 – q5 + p2)
11. – 3a6 b2(– ab3 + ab + a4b6) – 3a7b3(b2 – 1)
12.20 abc(a + b – c)
13.a5b2 – a5(a2 – ab + b2)
14.3x6y4(x2 + xy + y2)
15.– 3b(2ab + b2 + 5bc)
16.7a6b8c9(2abc – 5a2b + 4ab2c2 – abc3)
17.(x6y21 – 4xy11 – 9x10y2) • – 3x6y2
1
3
2
18. 2 x 4 x – 3 y
19. –
1 2 1
3
2
a
ab + ab
3
2
5
20. 3 x 2y 6 2 xy 4 + 4xy 2 – 1
4
5
2 2
5
2
2
26. – 1 a 6b4c 3 4 ab2 – 4 a 3b2 – 1 a
2
5
4
27.0,03a6b2 (1 – a2b2 – 0,03ab3)
28.– 0,5m4n2 (– 0,5m6n – 2mn3 + 3,5mn3)
29.0,07a4b2 (100ab4 – 10ab3 – 2ab)
30.1,2x6y11 (2,1xy9 –1,1x2y2 + 2,1xy8)
31. 0,5abc (a2 – b2 – c2) + 4,8abc (a2 – b2 – c2)
32.– 2,2x6y3z (1,1xyz – 1,2x2y2z2 + 3xyz3)
33. 3 p2qr12 – 3 p2qr3 + 3 pqr6
4
5
2
5
11 10
4
2
34. – m n p 10m n –
35 6 2
m n +2
1 6
3 6 11 2 6 x y 1– x y – x y
4
34
2 4 2 3
4
11
36. – x y x y – xy + y
3
35. –
37. –
12 4 2 5 2
11
2
a b c – a bc – 10 abc – 4ab
5
4
Álgebra en los números reales
21
III.
Efectúe las siguientes operaciones:
1. (x + y) ( x2 + y2)
18. (2p – 4) (2p + 7)
2. (2a + b ) (3a – 2b)
19. (2x – 3y – 4z) (x + y + z)
3. (1 – x) (1 – y)
20. (x2 + y2 – z2)(2x – 3y – 4z)
4. (2x – 6y) (x2 – 2xy)
21. (a + 1) (an + an + 1 + an + 2)
5. (x2 + 3x2y) (– 3xy2 + 4xy3)
22. (a – 1) (an – 1 + an + an + 1)
6. (4x + y) (– 2x – 5xy)
23. (u – v) (u2 – 3uv + v2)
7. (6a – 5b) (2b + 7a)
24. (x + y) (x 2 + 2xy + y2)
8. (a + b + 1) (a – b)
25. (– 3x + y2) (x2 – xy – y)
9. (2a – 3ab + b2) (b – b2)
26. (2y + 3x) (x2 – xy + 2y2)
10. (5x2y + 2xy2 – 3xy) (x – y2)
27. (– 3x – 2y + z) (x + y – 3z)
11. (m2 + n2 – mn) (2m – 3n)
28. (x – y) (x2 + xy + y2)
12. (– 3xy – 2xy2) (xy2 – 5xy)
29. (x + y) (x2 – xy + y2)
13. (2p2q + 3pq11 – 5pq4) (– 3pq + 2p)
30. (a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)
14. (x2 + 1) (x2 – 1)
31. (a – b) (a3 + a2b + ab2 + b3)
15. (a + b) (a – b)
32. (x + y) (xn – 1 + xn – 2 + xn – 3)
16. (x + 4) (x – 6)
33. (p2 – q2) (pn – pnqn – qn)
17. (a2 + 5) (a2 + 7)
Soluciones
I. 1. a5
7. 2a2b6
2. m12 3. x8
4. a2b
5. x3y2
6. a6b3
8. 15x3y5
9. 10 mn
10. – a2x2y 11. 12x3y 12. 15a3b2c5
13. – 14a3b2c914. – m3p 15. 2a2b2c2 16. – 3x5y8 17. 144a4b8c8
18. 42p6r12
19. 36x6
24. p6x + 7
25. – 23a – 12 26. a2n – 3 27. a4x – 3 b2x 28. p2a + 2 q2 – a
29. a2x – 4b3x + 4c3x + 2
22
Álgebra en los números reales
20. –18a4x1321. a2n + 1 22. 6am + n 23. x2p
30. a9b7
CAPÍTULO 1
31. m6p6 32. (2x)3x 1 15
3
37. – b
33. m15n11 34. a24 35. (2x)9a + 3
36.
5 11
a
6
4 9 11 14
38. – xx9yyy7 39.
a b c 40. 0,0002a9 b9 c8 41. 0,1053a10 b18
42. – 3,255x9 y2 z5 II. 1. 3a2 – 6ab 15
2
43. – 1,339a7 b5 44. 0,036m3n12 p6 45. –
2. –10x + 15x3 + 25x2 4.9x8 – 6x6 + 3x5 – 6x3 + 9x2 6. – 24x2y2 + 30x2y5 3 12 21
a b
5
3. 14ab – 7b2
5. –18x7y4 + 24x6y7 + 12x7y5
7. 39m6n2 – 26m5n3 + 13m4n8
8. – 15m3n7p6 + 15m6n5p6 – 15m3n2p5 9. – 6m3 – 30m2n – 12mn
10. 5p3q5 – 4p3q7 – p2q4 + 3p5 q2 11. – 3a10b8 12. 20a2bc + 20ab2c – 20abc2
13. – a7 + a6b
14. 3x8y4 + 3x7y5 + 3x6y6
15. – 6ab2 – 3b3 – 15b2c
16. 14a7b9c10 – 35a8b9c9 + 28a7b10c11 – 7a7b9c12
1
1
3 2 1
2
x –
xy 19. – a3b – a3b
6
5
8
3
3 3 10
3
2 3 2 3 4 16 3 2
20.
21.
x y + 3x3 y– x2 y6 pq –
pq + pq
10
4
3
15
3
3 6 2 4 3 3 2 10 4 10
1 3 4 5 4
22. – a b c + a b c 23. x y z – x y z + x y z
5
5
5
2 4 2 2 3 3
21 13 3 1 8 6 1 13 4
xy – xy
24. –
m n +
m n +
m n 25.
5
5
6
2
2
2 6 3 2 6 3 1 4 3
6
2
26. – a b c + a b c + a b c 27. 0,03a b – 0,03a8b4 – 0,0009a7b5
5
1 10 3
3
5
5
28.
29. 7a5b6 – 0,7a5b5 – 0,14a5b3
m n +m n – m n 4
4
30. 2,52x7y20 – 1,32x8y13 + 2,52x7y19
31. 5,3a3bc – 5,3ab3c – 5,3abc3
4 2 15 3 2 1
pqr + pqr
32. – 2,42x7y4z2 + 2,64x8y5z3 – 6,6x7y4z4 33. –
20
16
1 6 1 14 1 3 14 14
1 12
4 11 10
13
11
xy + x y + x y
34. – 4m n p + m n p – m n p 35. –
4
12
2
5
4 3 2 15
4 5 4 7
6
3
8
5
3
18
36. – x y + x y – x y 37. 3a b c + 24a b c +
a b c
3
3
3
5
17. – 3x12y23 + 12x7 y13 + 27x16y4 18.
III. 1. x3 + xy2 + x2y + y3 2. 6a2 – ab – 2b2 3. 1 – x – y + xy
4. 2x3 – 10x2y + 12xy2 5. – 3x3y2 – 5x3y3 + 12x3y4
7. 42a2 – 23ab – 10b2 8. a2 – b2 + a – b
6. – 8x2 – 20x2y – 2xy – 5xy2
9. 2ab – 5ab2 + 3ab3 + b3 – b4
10. 5x3y – 5x2y3 + 2x2y2 – 2xy4 – 3x2y + 3xy3 11. 2m3 – 5m2n + 5mn2 – 3n3
12. 7x2y3 + 15x2 y2 – 2x2y4 13. – 6p3q2 + 4p3q – 9p2q12 + 6p2q11 + 15p2q5 – 10p2q4
14. x4 – 1
15. a2 – b2
16.x2 – 2x – 24
17. a4 + 12a2 + 35
18. 4p2 + 6p – 28
19. 2x2 – xy – 3y2 – 2xz – 7yz – 4z2
20. 2x3 – 3x2y – 4x2z + 2xy2 – 3y3 – 4y2z – 2xz2 + 3yz2 + 4z3
21. an + 2an+1 + 2an+2 + an+3 22. an+2 – an–1
24. x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
23. u3 – 4u2v + 4uv2 – v3
25 . – 3x3 + 3x2y + 3xy + x2y2 – xy3 – y3
26. 3x3 – x2y + 4xy2 + 4y3 27. – 3x2 – 5xy + 10xz – 2y2 + 7yz – 3z2 29. x3 + y3 30. a5 + b5 31. a4 – b4 28. x3 – y3
32. xn + xn–1 + xn–2 + yxn–1 + yxn-2 + yxn–3
33. pn+2 – pn+2qn – p2qn – q2pn + qn+2pn + qn+2
Álgebra en los números reales
23
1.5
Productos notables
Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos
que pueden ser desarrollados en forma directa, es decir, sin multiplicar
término a término primero, y luego reducir. Éstos son:
Cuadrado de un binomio.
El desarrollo de este producto corresponde al cuadrado del primer
término, más (o menos) el doble del producto del primer término por
el segundo y más el cuadrado del segundo, es decir:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Suma por diferencia.
Es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos, es decir:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Producto de binomios con un término común.
Es el cuadrado del término común más el producto del término
común por la suma de los términos no comunes y más el producto de
los términos no comunes, o sea:
(x + a) (x + b) = x2 + x • (a + b) + ab
Cubo de un binomio.
Corresponde al cubo del primer término, más (o menos) el triple
del cuadrado del primer término multiplicado por el segundo, más el
triple del primer término multiplicado por el cuadrado del segundo y
más (o menos) el cubo del segundo. Así:
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
Para obtener otras potencias de un binomio podemos determinar
los coeficientes mediante el triángulo de Pascal, que se obtiene de la
siguiente manera:
•Comienza y termina con 1.
•Cada coeficiente se obtiene sumando los dos correspondientes
según el orden en la fila anterior.
•La primera fila corresponde a los coeficientes de (a + b)0
•La segunda fila corresponde a los coeficientes de (a + b)1
•La tercera fila corresponde a los coeficientes de (a + b)2
Así, la fila n-ésima nos entrega los coeficientes de (a + b)n – 1.
Los factores literales se obtienen de la siguiente manera:
En (a + b)n debe haber (n + 1) términos.
El primer factor literal es an ; el segundo es an – 1 • b1 ; el tercero
es an – 2 • b2 y así sucesivamente. El grado del término “a” decrece a
medida que el grado de “b” aumenta hasta terminar en bn.
(Cada término se forma con el coeficiente numérico obtenido del
triángulo de Pascal y el factor literal señalado más arriba).
24
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Representación geométrica de expresiones algebraicas.
a) La expresión a•b representa el área del
rectángulo de lados a y b.
D
C
a
a•b
A
a–b
B
b
b) Observemos el cuadrado del binomio
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
D
c) Observemos el producto de una suma por
su diferencia:
a
b C
I
D
a
E
a2
a
H
b
a•b
A
a
a•b
b2
J b
a–b
G
b
b2
b
C
K
A
F
H
B
J
A(ABCD) = (a+b) (a– b)
I
Tenemos A(EFGA) = A(HBCI)
\ A(ABCD) = A(EFGHIDA) que es a2 – b2
B
Ejercicios resueltos
1. (2 + x)2 = 22 + 2 • 2 • x + x2
= 4 + 4x + x2
2. (3a – 5b)2 = (3a)2 – 2 • 3a • 5b + (5b)2
=9a2 – 30ab + 25b2
3. (2x – y) (2x + y) = (2x)2 – y2
= 4x2 – y2
4.
2
a a + 5y a a – 5y =
a 2a – 5y
2 2
+2 5y
–2 5y =
– 5y 2
2
2
2
2
2
a a – 25y
2 2
= = –4 25y
4
5. (x + 8) (x + 5) = x2 + (5 + 8)x + 5 • 8
= x2 + 13x + 40
6. (2a + 3) (2a – 7) = (2a)2 + (3 – 7) • 2a + 3 • – 7
= 4a2 – 4 • 2a – 21
= 4a2 – 8a – 21
7. (p + 2)3 = p3 + 3 • p2 • 2 + 3 • p • 22 + 23
= p3 + 6p2 + 3p • 4 + 8
= p3 + 6p2 + 12p + 8
8. (2t – r)3 = (2t)3 – 3(2t)2 • r + 3(2t) • r2 – r3
=8t3 – 3 • 4t2 • r + 6t • r2 – r3
=8t3 – 12t2r + 6tr2 – r3
9. (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
10. (2a + y)5 = 1(2a)5 + 5(2a)4 • y + 10 • (2a)3 • y2 + 10(2a)2 • y3 + 5(2a)y4 + 1 • y5
= (2a)5 + 5 • 16a4y + 10 • 8a3y2 + 10 • 4a2y3 + 10ay4 + y5
= 32a5 + 80a4y + 80a3y2 + 40a2y3 + 10ay4 + y5
Álgebra en los números reales
25
Ejercicios
I.
Cuadrado de binomio.
1. (x + y)2
14. (4pq – 3q)2
2. (p – q)2
15. (9x2 – 7y2)2
3. (2p + q)2
16. (8a2b + 7ab6)2
4. (3a + b)2
17. (15x2y – 3xy2z6)2
5. (2a – 3b)2
18. (2a – 3b)2 + (3a – 5b)2
6. (x + 1)2
19. (11x – 5y)2 – (13x + 3y)2 + (x – 2y)2
7. (a – 6)2
20.
8. (x + 9)2
21. 3a – b
2
2
5
9. (3p – 1)2
2
10. (x + 5)2
22. 2 x2 – 3 yz
11. (6x – 5y)2
23. (0,1a2 – 0,2abc)2
12. (2m – 1)2
24. (1,5xy2 + 2,5x2y)2
13. (6x2y + 2x)2
25. 3 a2b3 – 3 ab6
II.
3
5
4
2
5
Suma por diferencia.
1. (u – v) (u + v)
14. (a + 5x) (a – 5x)
2. (x + 2y) (x – 2y)
15. (– 9x2 + 5xy) ( – 9x2 – 5xy)
3. (3a – b) (3a + b)
16. (–13n5p2 + 1) (13n5p2 + 1)
4. (5x2 – 3y) (5x2 + 3y)
17. (1 – a) (1 + a) – (1 – 2a) (1 + 2a)
5. (2x – 3xy) (2x + 3xy)
18. (x2 – 2xy) (x2 + 2xy) + (x2 + 2xy)2
6. (6a + 1) (6a – 1)
19. (1 – w5) (1 + w5)
7. (9m2 – 3n) (9m2 + 3n)
8. (– 4a2b + 5b) (4a2b + 5b)
20. 3 p – 2 q4
4
5
9. (– 6m2n3 – 7m) (– 6m2n3 + 7m)
21. abc + 4x
2x
3 2 4
p + q
4
5
abc
– 4x
2x
10. (10a2 – 1) (10a2 + 1)
22. (0,05x12 – 2) (0,05x12 + 2)
11. b2 – 1
23. (6x5y2z3 – 1) (6x5y2z3 + 1)
2
12. 2a – 5 b
3
b2 +
1
2
2a
+ 5b
3
13. (2a + b) (2a – b) – (2a + b)2
26
2
a
b
+ 2b + 2a –
2
2
Álgebra en los números reales
24. 2p +
q
4
2p –
q
4
25. (0,3x2y – 2z) (0,3x2y + 2z)
CAPÍTULO 1
III.
Producto de binomios con término común.
1. (a + 2) (a + 3)
10. (x + 6) (x – 2)
19. (3a2 – 2b) (3a2 – 5b)
2. (x + 5) (x + 4)
11. (x – 3) (x – 8)
20. (9a – 4) (9a + 11)
3. (t + 2 ) (t – 3)
12. (x – 13) (x + 2)
4. (a + 5 ) (a – 9)
21. (6x2 – 2y) (6x2 – 7y)
13. (a – 7) (a + 12)
5. (x – 8) (x – 1)
14. (x2 + 5) (x2 + 3)
6. (a – 7) (a – 9)
15. (a2 – 3) (a2 + 4)
23.
a
– 2b
4
a
– 6b
4
7. (x + 2) (x – 12)
16. (2b + 5) (2b + 9)
24. 3a – 5b
5
3a
+ b
5
25.
3p
+ 3q
4
3p
+q
4
8. (x + 3) (x + 8)
17. (6x – 3) (6x + 5)
9. (x – 4) (x – 6)
18. (2a + 3b) (2a + 5b)
IV.
22. (4a2b – 3a) (4a2b + 9a)
Cubo de un binomio.
3
1. (a + b)3
10. (1 – 3y)3
19.
1
–a
2
2. (p – q)3
11. (2 + 3t)3
20.
3
3. (x + 2)3
12. (3a – 2x)3
1
x + 2y
2
13. (5a – 1)3
21.
2
1
a– b
3
3
3
4. (a – 3)3
5. (t + 4)3
14. (3a2 – 2a)3
22. 5 p + 3 q
3
6. (2 – a)3
15. (t2 + t3)3
7. (2a – b)3
16. (1 + x4)3
1
1
m– n
23.
10
5
8. (3a – 5b)3
17. (2t – 3a2)3
24. a – a
3
9. (2x + 3y)3
18. (u2 + 5v)3
25. 1 t + 2t 2
V.
2
3
3
3
2
Otras potencias de binomios.
1. (2a + b)4
5. (3a + 2)6
2. (x – 2y)5
3. (a + b)6
y
6. x +
2 2
4. (2a – 1)7
7. (3a + 4)4
VI.
2
44
55
1
+a 2
4
4
2a
9. 3 – 3a
8.
10. (x + 1)5
Representación geométrica de expresiones algebraicas.
Investigar de qué manera se pueden representar como suma o resta de áreas
los siguientes productos.
1. (a–b)2 = a2 – 2ab + b2
4. (x–a) (x–b) = x2 – (a+b)x + ab
2. (x+a) (x+b) = x2 + (a+b)x + ab
5. (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
3. (x–a) (x+b) = x2 + (b–a)x – ab
Álgebra en los números reales
27
Soluciones
I. 1. x2 + 2xy + y2 2. p2 – 2pq + q2
5. 4a2 – 12ab + 9b2
9.9p2 – 6p + 1
3. 4p2 + 4pq + q2 6. x2 + 2x + 1
7. a2 – 12a + 36
10. x2 + 10x + 25
12. 4m2 – 4m + 1
8. x2 + 18x + 81
11. 36x2 – 60xy + 25y2
13. 36x4y2 + 24x3y + 4x2 15.81x4 – 126x2y2 + 49y4 4. 9a2 + 6ab + b2
14. 16p2q2 – 24pq2 + 9q2
16. 64a4b2 + 112a3b7+ 49a2b12
17. 225x4y2 – 90x3y3z6 + 9x2y4z12 18. 13a2 – 42ab + 34b2
2
2
20. 1a + 1b 19. – 47x2 – 192xy + 20y2
4
4 4 4 2
2 2
22. x – x yz + y z 5
25
2. x2 – 4y2
6. 36a2 – 1
25.
4 6 3 2 12
a b – a b + a b
16
10
25
3. 9a2 – b2
7. 81m4 – 9n2
10. 100a4 – 1
4
4. 25x4 – 9y2
8. 25b2 – 16a4b2
1 12. 4a2
2
11. b4 –
– 25b 15.81x4 – 25x2y2
4
16. 1 – 169n10p4
20. p14 – 4 q
21.
16
25
2
q
2
24. 4p –
16
2 2 2
a b c
4x
2
– 16x2 13. – 4ab – 2b2 22. 0,0025 x24 – 4
5. x2 – 9x + 8
6. a2 – 16a + 63
7. x2 – 10x – 24
10. x2 + 4x – 12 4. a2 – 4a – 45
8. x2 + 11x + 24
11. x2 – 11x + 24 12. x2 – 11x – 26
14. x4 + 8x2 + 15 15. a4 + a2 – 12 16. 4b2 + 28b + 45
17. 36x2 + 12x – 15 18. 4a2 + 16ab + 15b2 19.9a4 – 21a2b + 10b2
20.81a2 + 63a – 44
21. 36x4 – 54x2y + 14y2 22. 16a4b2 + 24a3b – 27a2
2
23. a – 2ab + 12b2
24.
16
IV. 1. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
2
a ab
– 40b2 +
25
5
2
25.
3. x3 + 6x2 + 12x + 8
5. t3 + 12t2 + 48t + 64
6.8 – 12a + 6a2 – a3
4. a3 – 9a2 + 27a – 27
7. 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 9. 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 10.1 – 9y + 27y2 – 27y3
11. 8 + 36t + 54t2 + 27t3
Álgebra en los números reales
p
+ 3pq + 3q2 16
2. p3 – 3p2q + 3pq2 – q3
28
23. 36x10y4z6 – 1
25. 0,09 x4y2 – 4z2
3. t2 – t – 6 14. a2 – 25x2
17. 3a2 18. 2x4 + 4x3y 19. 1 – w10
2. x2 + 9x + 20 13. a2 + 5a – 84
5. 4x2 – 9x2y2
9. 36m4n6 – 49m2
III. 1. a2 + 5a + 6
9. x2 – 10x + 24
2
6
b
ab + 5
25
23. 0,01a4 – 0,04a3bc + 0,04a2b2c2
24. 2,25x2y4 + 7,5x3y3 + 6,25x4y2
II. 1. u2 – v2 2
21. a –
8. 27a3 – 135a2b + 225ab2 – 125b3
12. 27a3 – 54a2x + 36ax2 – 8x3
CAPÍTULO 1
13. 125a3 – 75a2 + 15a – 1
15. t6 + 3t7 + 3t8 + t9
14. 27a6 – 54a5 + 36a4 – 8a3
16. 1 + 3x4 + 3x8 + x12
17. 8t3 – 36t2a2 + 54ta4 – 27a6
19. 1 – 3 a + 3 a2 – a3
4
2
1 3 3 2
4
2
1 3
20. x + x y + 6xy2 + 8y3 21.
a3 –
a2 b +
ab2 –
b
2
2
2
3
3
125 3 225 2
135 2 2 3
1
1 3
22.
m3 –
m2 n +
mn2 –
n
p +
p q+
pq + q 23.
1.000
500
250
125
3
3 4
1 3
a 24.
25.
t +
t + 6 t5 + 8 t6
2
2
18. u6 + 15u4v + 75u2v2 + 125v3
V.
1. 16a4 + 32a3b + 24a2b2 + 8ab3 + b4
2. x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5
3. a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
4. 128a7 – 448a6 + 672a5 – 560a4 + 280a3 – 84a2 + 14a – 1
5. 729a6 + 2.916a5 + 4.860a4 + 4.320a3 + 2.160a2 + 576a + 64
x3 y
3x2 y2
xy3
y4
x4
+
+
+
+
4
4
16
16
4
3
2
7. 81a + 432a + 864a + 768a + 256
6.
5
5 2 5 3
5 4
1
+
a+
a + a +
a + a5
4
32
16
2
2
2.401 4
a
9.
1
10. x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1
8.
1.6
Factorización
Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos)
consiste en escribirla en forma de multiplicación. Veremos los siguientes casos:
1.6.1 Factor común
(monomio y polinomio)
Aquí, todos los términos de la expresión presentan un factor común,
que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza,
es decir, el término común es uno de los factores de la multiplicación.
El otro se determina aplicando la multiplicación algebraica.
Álgebra en los números reales
29
Ejercicios resueltos
1. Factoricemos la expresión 2a + 6a2
Vemos que el término 2a está contenido en ambos términos del
binomio que queremos factorizar; por lo tanto, 2a es el factor común
y escribimos 2a + 6a2 = 2a (1 + 3a).
El segundo factor se obtiene buscando los términos por los cuales
hay que multiplicar el factor común (2a) para obtener los términos
de la expresión original.
2. Factoricemos la expresión 6xy2 – 15x2 y + 21x2 y2
El coeficiente numérico contenido en los tres términos de la expresión es el tres y el factor literal es xy; por lo tanto, el factor común
es 3xy. Y escribimos:
6xy2 – 15x2y + 21x2y2 = 3xy (2y – 5x + 7xy).
6
2
3
3. Factoricemos la expresión 5a2 – 10a – 20a4
3b
21b
b
El término o factor común de los numeradores es 5a2 y el de los
denominadores es 3b; por lo tanto, el factor común de la expresión
2
es: 5a y escribimos:
3b
6
5a
2
3b
–
10a
2
21b
–
3
20a
4
b
=
5a
2
a4
3b
b
–
2
–
4a
3b3
4. Factoricemos la expresión m (2a + b) – 3n (2a + b).
Aquí podemos considerar el paréntesis (2a + b) como un solo término y podemos factorizar por él. Entonces nos queda:
m (2a + b) – 3n (2a + b) = (2a + b) (m – 3n)
5. Factoricemos la expresión a (p – q) – p + q
Aquí no encontramos un término común en forma inmediata, pero
podemos hacer una asociación adecuada y nos queda:
a (p – q) – p + q
= a (p – q) – (p – q)
= (p – q) (a – 1)
Observación 1: El proceso está completo si no es posible seguir factorizando dentro de los paréntesis (o factores) obtenidos.
Observación 2: Por la propiedad conmutativa de la multiplicación no
importa el orden en que se entregue el resultado.
30
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ejercicios
Factorice las siguientes expresiones:
30.
1. m2 + 3m
31.
2. a2 + ab
3a
b
+
4. a2b2 + a3b3 – ab
5. 2pq2 – 3p2q
6. 6x2y5 – 12x2y6 – 18x3y4
7. 2ab + 2ac + 2ad
8. 26x2y6 – 13x6y2
9. x2y2 – xy
10. 21a6 – 14a5 + 56a7
11. a + a2 + a3 + a4
12. 3a2b – 6a 3 b – 12ab 3
13. 15mn – 10m
14. 2q + 2q2 + 2q6
15. 10q5 – 30pq5 – 15pq6
16. 18gh5 – 4g2h2 – 8g3h3
17.7y6x2 – 35yx4 – 28y4
2
b
–
21a
3
b
2 2
3 3
pq
pq
pq
+
+
2ab
2ac
2abc
5
3. 3a – 12ab
12a
4
3
32. c – c – c
5
10 15
2 2
3 3
2 2
10
5
33. a b + a b – a b
2
3
x
x
x
20
34. m + m – m
20
10
5
35. – p2q + 2pq2
36. 3 (a – 2) – a (a – 2)
37. a (x + 4) + b (x + 4) + c (x + 4)
38. x (z2 + a2) + 2 (z2 + a2)
39. m (a – c) + a – c
40. m (a – c) – a + c
41. a (x2 + y2 + z2) – x2 – y2 – z2
42. 2a – b + 3a (2a – b)
43. a + ax + ax2
44. c (3 – 5c) – 2d (3 – 5c)
2
2
2
2
a +c
a +c
2
2
–
–a –c
2b
2q
18. 2 – 2x
45.
19. a + a2
46. 3x (2x – y) – 2x + y
20. a6 – 7a5 – 5a4
47. (a + b) (a + c) – (a + b ) (a + d)
21. 4m5r6 – 6m4r5 – 16m5r3
48. (1 + a) (x – y) – (x – y)2
22. a2b2c6 – a3b5c2 + a7b3c2
23. x2 – x2y2 – x2y3 + x2y4
49. (a2 + 6) (a2 + b) + a (a2 + b)
50. (2 + a + c) (a – c) + (2 + a + c) (b – d)
51. x2 + y2 + z2 + 2a (x2 + y2 + z2)
24. 2xyz – 2xy
25. 6a + 36a6
52. a (b + x) + b (b + x) + c (b + x)
26. t9 + t8 + t5
53.
27. 12ab6 – 12ab5
54. m (x + y – z) – n (x + y – z) – p (x + y –z)
28. x6y9z12 + x6y8z6 + x5y8z10
55.
2
29.
3
4
a
a
a
– –
2
2
2
2
4
16
a – ab – abc
15
5
25
3 2
3 2 2
3 2 3
a b–
a b – a b
4
2
2
2
56. x + y – x 2 – y 2
a
Álgebra en los números reales
31
Soluciones
1. m (m + 3)
22. a2b2c2 (c4 – ab3 + a5b) 38. (x + 2) (z2 + a2)
2. a (a + b)
23. x2 (1 – y2 – y3 + y4)
39. (a – c) (m + 1)
3. 3a (1 – 4b)
24. 2xy (z – 1)
40. (a – c) (m – 1)
4. ab (ab + a2b2 – 1)
25. 6a (1 + 6a5)
41. (x2 + y2 + z2) (a – 1)
5. pq (2q – 3p)
26. t5 (t4 + t3 + 1)
42. (1 + 3a) (2a – b)
6. 6x2y4 (y – 2y2 – 3x)
27. 12ab5 (b – 1)
43. a (1 + x + x2)
7. 2a (b + c + d)
28. x5y8z6 (xyz6 + x + z4)
44. (3 – 5c) (c – 2d)
8. 13x2y2 (2y4 – x4)
2
29. a 1 – a – a2
2
2
45. a + c 2b – 2q – 1
2
9. xy (xy – 1)
30. 3a 1 + 4 – b
b
b2
10.7a5 (3a – 2 + 8a2)
11. a (1 + a + a2 + a3)
2 2
12. 3ab (a – 2a2 – 4b2)
31.
13. 5m (3n – 2)
32.
14. 2q (1 + q + q5)
15. 5q5 (2 – 6p – 3pq)
pq pq 1 p q
+ +
2a b c
bc
pq pq
2a
b
+
1
+
c
33.
a2 b2
x
18. 2 (1 – x)
34.
m
5
19. a (1 + a)
35. pq (–p + 2q)
16. 2gh2 (9h3 – 2g – 4g2h)
17.7y (y5x2 – 5x4 – 4y3)
20. a4 (a2 – 7a – 5)
21. 2m4r3 (2mr3 – 3r2 – 8m)
5
1 +
15
m
4
p2 q2
bc
ab
1
– 2
x
x
+
5
m
–1
2
36. (a – 2) (3 – a)
1
1
46. (2x – y) (3x – 1)
47. (a + b) (c – d)
48. (x – y) (1 + a – x + y)
49. (a2 + b) (a2 + 6 + a)
50. (2 + a + c) (a – c + b – d)
51. (x2 + y2 + z2) (1 + 2a)
52. (b + x) (a + b + c)
2
1
bc
53. 5 a 3 – 2 b – 5
54. (x + y – z) (m – n – p)
3
55. 2 a2 b
1
1 2
– b –
b
2
4
56. x2 + y2
1
– 1
a
37. (x + 4) (a + b + c)
1.6.2 Factor común compuesto
Muchas veces, no todos los términos de una expresión algebraica
contienen un factor común, pero haciendo una adecuada agrupación
de ellos podemos encontrar factores comunes de cada grupo. Veremos,
con ejemplos, cómo procederemos en estos casos.
Ejercicios resueltos
1. Factoricemos: ac + ad + bc + bd
Si observamos, vemos que el primer y el segundo término tienen el
factor común “a” y el tercer y el cuarto término tienen “b” como factor
común. Asociamos y factorizamos por parte:
ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd)
= a(c + d) + b(c + d)
32
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ahora nos queda (c + d) como factor común, por lo tanto, la expresión original queda factorizada como sigue:
ac + ad + bc + bd = (c + d) (a + b)
2. Factoricemos: ax + bx + cx – ay – by – cy
Aquí podemos asociar el primer y el cuarto término, el segundo y
el quinto, el tercero y el sexto y nos queda:
ax + bx + cx – ay – by – cy
= (ax – ay) + (bx – by) + (cx – cy)
= a(x – y) + b(x – y) + c(x – y)
= (a + b + c) (x – y)
3. Factoricemos: ax + bx + cx + ay + by + cy – az – bz – cz
Asociemos en el orden natural los tres primeros, los tres siguientes
y los tres últimos:
ax + bx + cx + ay + by + cy – az – bz – cz
= (ax + bx + cx) + (ay + by + cy) – (az + bz + cz)
= x(a + b + c) + y (a + b + c) – z(a + b + c)
= (a + b + c) (x + y – z)
• Observación: La forma de asociar no es única, pero la factorización
sí lo es.
En el primer ejemplo podríamos haber asociado el primer y el
tercer término y el segundo con el cuarto y el resultado habría sido
el mismo.
Ejercicios
Factorice las siguientes expresiones:
1. ac + ad + bc + bd
12. 3 + 15z + 4y + 20yz
2. ax – ay + bx – by + cx – cy
13. a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
3. pc + qc + pd + qd
14. 3ax3 – 2bx3 – 3ay3 + 2by3
4. rt + rv – st – sv
15. 1 + b + a + ab
5. 2ac – ad + 2bc – bd
16. a2x2y2 + b2x2y2 – 2a2 – 2b2
6. xu – xv – yu + yv
17. abc – 2abcz – xy + 2xyz
7. 2au + 2av – 3bu – 3bv
18. bd – 3bf + 2cd – 6cf
8. 3a2x + 3a2y + b2x + b2y
19. xp + 2xq – 2yp – 4yq + 4zp + 8zq
9. 2ac – 2ad + 3bc – 3bd
20. 4 + 2c + 2d + 2a + ac + ad + 2b + bc + bd
10. x + y + ax + ay
21. a2x2 + x2y2 – x2b + a2y2 + y4 – y2b – a2 – y2 + b
11. 2a – 2b + ax – bx
Álgebra en los números reales
33
22. a2x2 + b2x2 + c2x2 + a2y2 + b2y2 + c2y2
29. p4 + p2q2 + p2r2 + 2p2q + 2q3 + 2qr2 + p2r + q2r + r3
23. 12ac – 6ad – 2bc + bd
30. ax – bx – cx + 2ay – 2by – 2cy – az + bz + cz
24. aq – ar + bq – br
31. a2u – a2v + b2u – b2v + u – v
25. u + au – v – av – w – aw
32. 4 – 2a – 2b + 2x – ax – bx + 2y – ay – by
26. 2ax – 2ay – bx + by
33. x2y2w2 – x2y2z2 – xyw2 + xyz2
27. 3am2 – 3at2 – 5b2m2 + 5b2t2
34. ax + 2bx + 3cx – ay – 2by – 3cy
28. x – y + 2ax – 2ay + 3bx – 3by
35. 2ax + 2bx – ay – by – az – bz
Soluciones
1. (a + b) (c + d)
18. (b + 2c) (d – 3f)
2. (a + b + c) (x – y)
19. (x – 2y + 4z) (p + 2q)
3. (p + q) (c + d)
20. (2 + a + b) (2 + c + d)
4. (r – s) (t + v)
21. (x2 + y2 – 1) (a2 + y2 – b)
5. (a + b) (2c – d)
22. (x2 + y2) (a2 + b2 + c2)
6. (x – y) (u – v)
23. (6a – b) (2c – d)
7. (2a – 3b) (u + v)
24. (a + b) (q – r)
8. (3a2 + b2) (x + y)
25. (u – v – w) (1 + a)
9. (2a + 3b) (c – d)
26. (2a – b) (x – y)
2
2
2
* 27. (3a – 5b ) (m – t )
28. (1 + 2a + 3b) (x – y)
10. (1 + a) (x + y)
11. (2 + x) (a – b)
*
12. (3 + 4y) (1 + 5z)
29. (p2 + 2q + r) (p2 + q2 + r2)
13. (a2 + b2) (c2 + d2)
14. (x3 – y3) (3a – 2b)
30. (x + 2y – z) (a – b – c)
15. (1 + a) (1 + b)
32. (2 + x + y) (2 – a – b)
16. (x2y2 – 2) (a2 + b2)
17. (abc – xy) (1 – 2z)
31. (a2 + b2 + 1) (u – v)
2
2
* 33. xy (xy – 1) (w – z )
34. (a + 2b + 3c) (x – y)
35. (2x – y – z) (a + b)
NOTA:
Los ejercicios señalados con * son posibles de factorizar aún más con los métodos que
veremos a continuación.
1.6.3 Diferencia de cuadrados
Recordemos que el producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos.
Aplicamos este resultado en las factorizaciones de la página siguiente:
34
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ejercicios resueltos
1. Factoricemos a2 – b2
Observamos que a2 y b2 son los cuadrados de a y b, respectivamente.
Así: a2 – b2 = (a + b) (a – b)
2. Factoricemos 9m2 – 16p2
9m2 es el cuadrado de 3m y 16p2 es el cuadrado de 4p.
Entonces : 9m2 – 16p2 = (3m + 4p) (3m – 4p)
3. Factoricemos
1
a
2
–
25
2
4b
Usando el mismo razonamiento anterior vemos que la expresión
se factoriza:
1
25
–
=
a2
4b2
1
5
+
a
2b
1
5
–
a
2b
4. Factoricemos 6a2 – 24m4
En este ejemplo podemos factorizar primero por 6 (factor común
monomio).
6a2 – 24m4 = 6 (a2 – 4m4)
y ahora, el término (a2 – 4m4) es exactamente una diferencia de
cuadrados y por lo tanto la factorización correspondiente es:
6a2 – 24m4 = 6 (a2 – 4m4)
= 6 (a – 2m2) (a + 2m2)
• Observación: No es importante el orden en que uno presente los factores, puesto que la multiplicación es conmutativa, es decir:
(a + b) (a – b) = (a – b) (a + b)
Ejercicios
9. a2b2 – c2d2
20. x2a – y2b
Factorice las siguientes
expresiones:
10. 1 – x10
21. m2an2b – 1
11. – b6 + a4
22. 25n16 – 16m4
1. x2 – y2
12. – 1 + a2
23. 40 – 90a4
2. a2 – 4b2
13. a5 – a3
24. – 24m2 + 54n12
3.9m2 – 16n2
14.8a4 – 2b2
25. m6n4p12 – a2b2c2
4.9a2 – 25p2
15. p2q3 – q
26. 2x2 – 8y2z6
5. x2 – 0,01y2
16. 49a2b4c6 – 121m6n10
27. a10 – 100b10
6. 100a2 – 64b6
17. 12a6 – 75b8
28. 144b10 – 121c6
7. m2n2 – p2
18. 45m6 – 80p8
29.81c4 – 9d4
8. m4n6 – z2
19. 27x4 – 48y2
30. 225 – a2
Álgebra en los números reales
35
31. – 121 +
y
2
45b
32. – 64a2b4c6 + x8y2
1
–
2 2
4a b
40.
1
2 2
– a b
2 2
25
2 2
x y
6
2
36. 5m – 2n 4
25
37. 12 – 12 43.
12
m
c
2
–
10
n
4
d
6
x
–
25
y
6
46. a2 – b2 – 2a – 2b
47. p2 – q2 – rp + rq
1
25
4
42. 25x –
4
45.
a b
41. x2 – y2 – ax + ay
35. 24x8 – 6
a
5
39. 32m10 – 18p4q6
33. 16x4 – 4y16
34.
a12 – 1 6
44. 9b
4
38. a 2 – 2 1
48. a 2 + ac – b2 – bc
49. m2 – n2 – pm – pn
50. qr2 – q3s2
b
Soluciones
1. (x + y) (x – y)
2. (a + 2b) (a – 2b)
3.(3m + 4n) (3m – 4n)
4. (3a – 5p) (3a + 5p) 5. (x – 0,1y) (x + 0,1y)
6.(10a – 8b3) (10a + 8b3)
8. (m2n3 – z) (m2n3 + z) 9.(ab – cd) (ab + cd)
7. (mn + p) (mn – p)
10. (1 – x5) (1 + x5)
11. (a2 – b3) (a2 + b3)
12.(a – 1) (a + 1)
13. a3(a – 1) (a + 1) 14. 2 (2a2 – b) (2a2 + b)
15. q (pq – 1) (pq + 1)
16. (7ab2c3 – 11m3n5) (7ab2c3 + 11m3n5)
17. 3 (2a3 – 5b4) (2a3 + 5b4)
18. 5 (3m3 – 4p4) (3m3 + 4p4)
19. 3 (3x2 – 4y) (3x2 + 4y)
21. (manb – 1) (manb + 1)
22. (5n8 – 4m2) (5n8 + 4m2) 23. 10 (2 – 3a2) (2 + 3a2)
24. 6 (3n6 – 2m) (3n6 + 2m)
25. (m3n2p6 – abc) (m3n2p6 + abc)
26. 2 (x – 2yz3) (x + 2yz3)
27. (a5 – 10b5) (a5 + 10b5)
28. (12b5 – 11c3) (12b5 + 11c3) 29. 9 (3c2 – d2) (3c2 + d2)
31.
1
y + 11
1
y – 11
34.
1
5
–
2ab 3xy
1
5
+
2ab 3xy
37.
1
1
–
a
b
1
1
+
a
b
39. 2 (4m5 – 3p2q3) (4m5 + 3p2q3) 40.
1
– ab
ab
1
+ ab ab
42. 5x2 – 1
m6
m6
5m3 3n
–
2
5
5
45.
2
5
– 3
x3
y
5m3 3n
+
2
5
5x2 +
1
5
2
5
+ 3
x3
y
48. (a – b) (a+ b + c)
36
30. (15 – a) (15 + a)
32. (x4y – 8ab2c3) (x4y + 8ab2c3)
33. 4 (2x2 – y8) (2x2 + y8)
36. 3
20. (xa – yb) (xa + yb)
Álgebra en los números reales
43.
c
–
n5
d
2
c
+
35. 6 (2x4 – 1) (2x4 + 1)
2
38. 2 2a – 1
n5
d2
5
3b
2a2
+1
3b
41. (x – y) (x + y –a)
44. a6 + 1
3
3b
a6 –
1
3b3
46. (a + b) (a – b – 2)
47. (p – q) (p + q – r)
49. (m + n) (m – n – p)
50. q (r – qs) (r + qs)
CAPÍTULO 1
1.6.4 Trinomios ordenados
Definición: Llamamos trinomio ordenado (según el grado) a una
expresión de la forma ax2 + bx + c, donde a, b, c, y x representan
números reales.
En general, los trinomios pueden proceder:
• De la multiplicación de un binomio por sí mismo (o un cuadrado
de binomio); por ejemplo:
(a + 7)2 = a2 + 14a + 49
• De la multiplicación de dos binomios con un término común; por
ejemplo:
(a + 2) (a + 6) = a2 + 8a + 12
• O de la multiplicación de dos binomios de términos semejantes:
(2x + 1) (x + 2) = 2x2 + 5x + 2
Con estas consideraciones, resolvamos los ejercicios presentados
a continuación:
Ejercicios resueltos
1. Factoricemos x2 + 10x + 25
Observamos que el primer término (x2) y el último (25) son los
cuadrados de x y 5, respectivamente, y además el término central
(10x) corresponde al doble del producto de x y 5; entonces la
expresión es un cuadrado de binomio y así:
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
2. Factoricemos a2 – 8a + 16
Usando el mismo razonamiento anterior, observamos que el tri­­no­­
mio corresponde al cuadrado del binomio (a – 4) y escribimos:
a2 – 8a + 16 = (a – 4)2
El signo del término central del trinomio indica el signo que corresponde al segundo término del binomio.
3. Factoricemos y2 + 13y + 36
Aquí vemos que tanto el primer término como el tercero corresponden a cuadrados exactos (de “y” y de 6, respectivamente), pero el
término central (13y) no corresponde al doble del producto entre
“y” y 6 (es decir, a 12y); en este caso, el trinomio puede corresponder al producto de dos binomios con un término común, que
sería “y”.
Álgebra en los números reales
37
Buscamos entonces dos números cuyo producto sea igual a 36
(el último término del binomio) y el producto del término común
(y) por la suma de estos números sea igual al término central (13y).
Los números son + 9 y + 4.
En efecto: + 9 • + 4 = 36 y 9 + 4 = 13
Entonces: y2 + 13y + 36 = (y + 9) (y + 4).
4. Factoricemos a2 – 2a – 48
Descartamos la posibilidad de cuadrado de binomio pues el último
término (– 48) no es cuadrado de ningún número.
Buscamos dos números cuyo producto sea – 48, y cuya “suma”
sea – 2, la que al multiplicarla por el término común “a” nos da el
término central – 2a.
Los números son – 8 y + 6 y la factorización correspondiente es:
a2 – 2a – 48 = (a – 8) (a + 6).
5. Factoricemos x2 – 5x + 6
No es cuadrado de binomio por la misma razón anterior (el + 6
no es cuadrado de un número entero). Corresponde entonces al
pro­­­­ducto de dos binomios con un término común, que en este
caso es x. Buscamos dos números cuyo producto sea + 6 y cuya
suma sea – 5.
Los números son – 2 y – 3. Por lo tanto, la factorización correspondiente es:
x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3).
6. Factoricemos la expresión 2x2 – 3x – 2
En este ejemplo, ni siquiera el primer término es cuadrado exacto
de un término entero.
Amplifiquemos por el coeficiente de x2 (en este caso, por 2) para
obtener un primer término como en los ejemplos anteriores, es
decir, un cuadrado exacto.
2x – 3x – 2
/• 2
2
2
2
4x – 6x – 4
2
Podemos aplicar al numerador el razonamiento de los ejemplos
anteriores (porque el primer término ya es un cuadrado exacto) y
entonces trataremos de factorizar como producto de dos binomios
con un término común que en este caso es 2x.
Buscamos dos números que multiplicados sean igual a – 4 y cuya
suma sea igual a – 3 (pues al multiplicar la suma por el término
común 2x se debe obtener – 6x).
Los números son – 4 y 1 y así, la factorización de la expre- sión
amplificada es:
4x2 – 6x – 4
38
Álgebra en los números reales
2
=
2x – 4 2x + 1
2
CAPÍTULO 1
Podemos factorizar el primer término por dos y luego simplificarlo
por el denominador, obteniendo:
2 x2 – 3x – 2 =
(2x – 4) (2x + 1)
2
2 x2 – 3x – 2 =
2 (x – 2) (2x + 1)
2
2 x2 – 3x – 2 = (x – 2) (2 x + 1)
7. Factoricemos 3x2 – 5x + 2
Siguiendo los pasos anteriores, obtenemos:
3 x2 – 5x + 2
x2 – 15x + 6
3
33
/• 3
/·
3
(3x – 3) (3x – 2)
3
3 (x – 1) (3x – 2)
3
(x – 1) (3x – 2)
Ejercicios
Factorice las siguientes expresiones:
1. x2 + 14x + 49
12. 4x2 + 20x + 25
23. x2 – x – 6
2. x2 + 8x + 16
13.9x2 – 6x + 1
24. x2 – 5x + 6
3. a2 + 18a + 81
14. a2 – 4ab + 4b2
25. a2 – 5a – 36
4. a2 – 6a + 9
15. y2 + 6xy + 9x2
26. a2 + a – 30
5. y2 – 24y + 144
16. 4t2 + 12t + 9
27. a2 + 8a + 7
6. x2 + 10x + 25
17. 4x2 + 12xy + 9y2
28. y2 + y – 56
7. t2 – 2t + 1
18. 9x2 – 30xy + 25y2
29. x4 – 6x2 + 9
8. z2 + 16z + 64
19. x2 + 14xy + 49y2
30. 4 + 20y2 + 25y4
9. x2 – 22x + 121
20. x4 + 2x2 + 1
31. x4 + 2x2y2 + y4
10. a2 – 12a + 36
21. x2 + 5x + 6
32. x6 + 2x3 + 1
11. 1 + 6a + 9a2
22. x2 + x – 6
33. a4 – 4a2b2 + 4b4
Álgebra en los números reales
39
34.9m4 – 30m2p2 + 25p4
46. 2x2 + 5x – 3
59. 12a2 – 23a + 5
35.9m2 – 30mp2 + 25p4
47. 3x2 + 14x + 8
60.8a2 – 2a – 15
2
36. x – x + 1
48. 3x2 + 11x – 4
61. 5x2 – 26x + 5
49. 6x2 – 13x + 5
62. 18a2 – 18a + 4
50. 2x2 +15x + 28
63. a4 + 5a3 + 6a2
51.7x2 – 8x + 1
64. x3 – 3x2 – 40x
52. 6x2 + 5x – 4
65. x4 – 3x2 + 2
53.8x2 – 2x –1
66. 2a3 + 6a2 + 4a
54. 5x2 – 18x + 9
67. m3 – m2 – 30m
42. 4x2 – 22x + 30
55. 2x2 + 3x – 14
68. n4 + n2 – 2
43.9x2 – 9x – 28
56. 3a2 – 7a + 2
69. p4 + 2p2 + 1
44. 25x2 – 15x + 2
57. 5a2 + 3a – 2
70. p3 – p2 – p + 1
45. 2x2 + 5x + 2
58. 6a2 + 13a + 6
4
2
37. a + a +
1
4
2
38. a + ab + b2
4
39. a2 – 23a + 132
40. a2 – 3a – 40
41. a4 + 5a2 + 6
Soluciones
1. (x + 7)2
2. (x + 4)2
3. (a + 9)2
4. (a – 3)2
5. (y – 12)2 6. (x + 5)2
7. (t – 1)2
8. (z + 8)2
9. (x – 11)2 10. (a – 6)2 11. (1 + 3a)212. (2x + 5)2
13. (3x – 1)2 14. (a – 2b)2 15. (y + 3x)2 16. (2t + 3)2 17. (2x + 3y)2
18. (3x – 5y)2 19. (x + 7y)2 20. (x2 + 1)2 21. (x + 3) (x + 2)
22.(x + 3) (x – 2)
23. (x – 3) (x + 2)
26. (a + 6) (a – 5)
27. (a + 7) (a + 1)
32. (x3 + 1)2
1 2
37. a + 2 40
24. (x – 3) (x – 2)
28. (y – 7) (y + 8)
25. (a – 9) (a + 4)
29. (x2 – 3)2 30. (2 + 5y2)2 31. (x2 + y2)2
33. (a2 – 2b2)2 34. (3m2 – 5p2)2 35. (3m – 5p2)2 36.
38.
2
a
+b 2
39. (a – 12) (a – 11)
2
x
–1
2
40. (a + 5) (a – 8)
41. (a2 + 2) (a2 + 3) 42. 2(2x – 5) (x – 3)
43. (3x + 4) (3x – 7) 44.(5x – 1) (5x – 2)
45. (2x + 1) (x + 2)
47. (3x + 2) (x + 4) 48.(3x – 1) (x + 4)
46. (2x – 1) (x + 3)
49. (3x – 5) (2x – 1) 50. (2x + 7) (x + 4)
51. (7x – 1) (x – 1)
52.(3x + 4) (2x – 1)
53. (4x + 1) (2x – 1) 54. (5x – 3) (x – 3)
55. (2x + 7) (x – 2) 56.(3a – 1) (a – 2)
57. (5a – 2) (a + 1)
58. (2a + 3) (3a + 2) 59. (3a – 5) (4a – 1) 60.(2a – 3) (4a + 5)
61. (x – 5) ( 5x – 1)
62. 2(3a – 2) (3a – 1) 63. a2(a + 2) (a + 3) 64.x(x + 5) (x – 8)
65. (x – 1) (x + 1) (x2 – 2)
66. 2a(a + 1) (a + 2) 67. m(m – 6) (m + 5)
68. (n – 1) (n + 1) (n2 + 2)
69. (p2 + 1)2
Álgebra en los números reales
70. (p – 1)2 (p + 1)
CAPÍTULO 1
1.6.5 Sumas o diferencias de cubos
Los factores de una diferencia de cubos son:
x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
Los factores de una suma de cubos son:
x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
Ejercicios resueltos
1. Factoricemos a3 – 8
Observamos que a3 es el cubo de a y que 8 es el cubo de 2.
Se trata de una diferencia de cubos, por lo tanto:
a3 – 8 = (a – 2) (a2+ 2a + 4)
2. Factoricemos x3 + 27
El término x3 es el cubo de x y 27 es el cubo de 3. Aquí
tenemos una suma de cubos y por lo tanto:
x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9)
3. Factoricemos 27a3 – 125b3
El primer término es el cubo de 3a y el segundo término es
el cubo de 5b, entonces escribimos:
27a3 – 125b3 = (3a – 5b) (9a2 + 15ab + 25b2)
4. Factoricemos a6 – b6
Aquí tenemos primero una diferencia de cuadrados, la cual
factorizamos como una suma por su diferencia. Luego, cada
uno de los factores corresponde a una suma o diferencia de
cubos. Procedamos por pasos:
a6 – b6= (a3 + b3) (a3 – b3)
= (a + b) (a2 – ab + b2) (a – b) (a2 + ab + b2)
y ésa es la factorización requerida.
Ejercicios
Factoricemos las siguientes expresiones:
1. m6 – n3
4. t3 – 64 v3
7. 1 – 125 a3
2. x3 + p3
5. 27 x3 + y3
8.
3. a3 – 8 b3
n
6. m –
3
6
1
x
3
+
1
3
y
9. 16 x3 – 54 y3
10. 216 a3 – 27 b3
11.
z
3
–
2
y
3
12. 125 – 1
a3
Álgebra en los números reales
41
13. 3 a3 – 81 b3
20. 3 t3 – 3
27. a6 – 1
14. a2 b3 c6 + a2 d3
21. 216 a3 + 8 b3
28. –1 – b3
22. 8 t3 + 64
29. – 2
t6
t3
3
30. p + q9
15. m3 x3 + 1
16. a3 b6 c9 + 8
1
23. 125 t 3 –
z3
2
16
24. 3 – 3
t
y
1
3
25. a + 3
b
26. –1 + a3
17. x12 – y12
18. m9 – 1
19. a3 b12 – 27
x3
– 1
y3
a6
35. 0,001 – 3
34.
36. 216 –
b
a3
b3
1
1
+ 3
37.
125
z
1
38. 64a3 –
216
39. m3 n3 p6 – 8a3
1
1
40.
+
3
z
2 y3
31. m12 + 1
32. a27 + b27
33. 1 – a9
Soluciones
1. (m2 – n) (m4 + m2 n + n2)
2. (x + p) (x2 – px + p2)
3. (a – 2b) (a2 + 2ab + 4b2)
4. (t – 4v) (t2 + 4tv + 16v2)
5. (3x + y) (9x2 – 3xy + y2)
6. 2m –
7. (1 – 5a) (1 + 5a + 25a2)
2
3
z – y
4m2 + mn2 +
n4
4
1
1
1
–
+ 2
x2
xy
y
10. 27(2a – b) (4a2 + 2 ab + b2)
12. 5 – 1 25 + 5 + 1
2a
2a 4a2
2
2
2
14. a (bc + d) (b c4 – bc2d + d2)
8. 1 + 1
x
y
9. 2(2x – 3y) (4x2 + 6xy + 9y2)
11.
n2
2
4
6
+
+ 2
z2
yz
y
13. 3(a – 3b) (a2 + 3ab + 9b2)
15. (mx + 1) (m2x2 – mx + 1)
16. (ab2c3 + 2) (a2b4c6 – 2ab2c3 + 4)
2
2
4
2
2
4
4
2
2
4
17. (x – y) (x + y) (x + y ) (x + x y + y ) (x – x y + y ) 18. (m –1) (m2 + m + 1) (m6 + m3 + 1)
19. (ab4 – 3) (a2 b8 + 3ab4 + 9)
20. 3(t – 1) (t2 + t + 1)
22.8(t + 2) (t2 – 2t + 4)
21.8(3a + b) (9a2 – 3 ab + b2)
1
25t 2 +
1
b
4a2 –
23. 5t – z
25. 2a +
5t
1
+ 2 z
z
2a 1
+ 2 b
b
24. 2
1 2
–
t
y
1
2
4
+ + 2
2
t
ty y
26. (a – 1) (a2 + a + 1)
28. – (1 + b) (1 – b + b2)
27. (a – 1) (a + 1) (a4 + a2 + 1)
30. (p + q3) (p2 – pq3 + q6)
4 6
1 2
–3 2 + + 3 t
t
t
t
31. (m4 + 1) (m8 – m4 + 1)
33. (1 – a) (1 + a + a2) (1 + a3 + a6)
32. (a + b) (a2 – ab + b2) (a6 – a3b3 + b6) (a 18 – a9b9 + b18)
29.
35. 0,1 –
37.
a2
b
1
1
+
5
z
0,01 +
0,1a2
b
+
a4
b2
x2 x
x
34. y – 1 y2 + y + 1
36. 6 +
1
1
1
–
+ 2
25
5z
z
38. 4 a – 1
39. (mnp2 – 2a) (m2n2p4 + 2a mnp2 + 4a2)
42
Álgebra en los números reales
6a a2
a
36 –
+ 2
b
b
b
6
40.
16a2 +
2a 1
+
3
36
1
1
+
2z 3y
1
1
1
–
+
4z2 6yz y2
CAPÍTULO 1
Fracciones algebraicas
1.7
1.7.1 Simplificación
Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el
numerador y el denominador tengan un factor común.
En el caso de monomios, la simplificación se hace en forma directa;
en cambio, si el numerador o el denominador de la fracción tienen dos
o más términos, es necesario factorizar primero y luego simplificar.
Ejercicios
Ejercicios resueltos
resueltos
2a2
3ab
Aquí tanto el numerador (2a2) como el denominador (3ab) contienen
1.Simplifiquemos
el término “a” como factor. Simplificamos, pues, por él y obtenemos:
2
2a
2a
=
3ab 3b
2 2
2.Simplifiquemos 6m p q
3 2
2 mp q
En este ejemplo, el término 3mp2q está contenido en el nume­ra­­dor y
en el denominador. Simplificando, nos queda:
2 2
6m p q
3 2
2mp q
=
2m
pq
2
3.Simplifiquemos 2a + 2
4a
En este caso no es posible hacer una simplificación directa, pues en el
numerador hay un binomio (recordemos que no podemos simplificar
términos que se suman o restan).
Debemos entonces factorizar primero y después simplificar:
2
2
2
2a + 2
2(a + 1)
a +1
=
=
4a
4a
2a
Y ya no es posible seguir reduciendo porque el numerador no se puede
factorizar más.
2
4.Simplifiquemos a + ab
a+b
Usando el mismo razonamiento anterior, factorizamos primero y luego
simplificamos:
2
a + ab
a(a + b)
=
=a
a+b
a+b
x2 + 5x + 6
5.Simplifiquemos
x2 + 3x + 2
Factorizando y luego simplificando obtenemos:
(x + 2) (x + 3)
x2 + 5x + 6
x+3
=
=
x+1
x2 + 3x + 2
(x + 2) (x + 1)
Álgebra en los números reales
43
6. Simplifiquemos
x2 – x2 + 6x + Procediendo como antes:
(x + 3) (x – 3) x – 3
x2 – =
=
x2 + 6x + (x + 3) (x + 3) x + 3
7. Simplifiquemos
3x3 – 3xy2
x2 y – xy2
=
3x3 – 3x y2
x2 y – xy2
3x (x2 – y2)
xy (x – y)
=
3x (x – y) (x + y)
xy (x – y)
=
3 (x + y)
y
Ejercicios
Simplifique las siguientes expresiones:
3 p q3
1. 2a
5ab
2.
3.
3a
6b
a2 b
ab
2
26.
15.
– 1 m6 n11
51 m4 n
2
27. x – 25
x+5
(a + b)2
(a + b)
28.
1 – a2
1+a
29.
ab2 – ac2
b+c
30.
x+4
x2 + x + 16
16.
5.
5ad
10d
17.
2
(p + 1)
4
(a + b )
32 z4 y3
2
7. 2 m np
2
19.
6
8. 30 a b
20.
a
144a
32.
21.
121 a
11 ac
33.
22.
m4 n4
4mn
34.
1mn p
21 a6
9.
b
2
– 125 x6 y5 z4
5xyz
10. 2ab
6
a b
6
4 4
11. a b
23.
12
12. 6 a
24.
4ab
12 a6
44
(p2 + 1)3
2
2
18. a2 + b2 4
15 pq3
b2 – c2
– 15 c d
35 ab c
6m
16pm
25 p2q
37. ab + ac + xb + xc
14.
4.
6.
2
25. a + ab
2a
13. 2 p q2
Álgebra en los números reales
6 z3 y4
12 a12 b12
6 a6 b6
(a3 b2 )2
6
5a b
31.
35.
a2 b2 – a b
ab – 1
39.
40.
xy
x2 y2 – xy3
3 abc
6 a bc – ab2c
2
6x2 – 3xy
4x2 – y2
2 pq
p2
q–
38.
pq2
5xy + 10x
y2 – 4
2
2
36. m – 2mn + n
m2
–
n2
x2 + x + 12
x2 + 5x + 6
x4 – y2
x2 + y
x2 – x + 12
x2 – 4x – 12
2
2
41. 2 a b – a b
4 a2 b – 16 a b2
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
ax + bx – ay – by
x2 – y2
10x2 – 15xy
4x2 – y2
3a3 – 3a2 – 6a
2a3 + 6a2 + 4a
x3
x4 – x2
+ 2 x2 + x
x2 – 11x + 30
x2 – 25
x3 – 3xy2
x 4 – y4
x – y4
x4 – 3y2
CAPÍTULO 1
49.
5ab
25a2 – 5ab
52.
50.
x2 + x – 2
ax + 2a – x – 2
53.
51.
x3 – x2 + x – 1
x2 – 1
54.
x2 – x + 6
x2 – 1
2
58. x – x + 15
55. ac – ad – bc + bd
c2 – d2
2a2 b – 2ab2
a2 – 2ab + b2
6 p2 q – 2 pq2
3 p2 q – p q 2
56.
x2 – 2p2 x + 2px2
59.
p2 – pq + xp – xq
2
57. x + 10x – 11
60.
x2 + x – 10
4p2 – 4p + 1
4p2 – 1
2m3 – 1m
2m2 – 6
Soluciones
3
p
1. 2 2. a 3. a 7. m 8. 10 b
9. – 25x5y4z3 10.
5b
n
13.
19.
3q
2
z
3y
25. a + b 2
31.
1
xy – y2
37. a + x b–c
b
2b
14. – 3d ab
20.
1 144
1
2a – 3b
38. x + 4 x+2
3a – 6
43.
5x
2x + 3y
44.
49.
b
5a – b
50. x – 1 55.
a–b
c+d
56.
2a + 4
a–1
2px
p–q
m2 n2
3
1
4a5 b5
16. a + b
m3 n3
4
21. 11 22.
27. x – 5
28. 1 – a
c
26. a b
32.
15. –
4.
3x
2
5. a 6.
2
a3 b3
4
11.
17.
12.
1
p2 + 1
18.
5p
3q2
a6
2
1
(a + b2 )3
2
23. 2a6b6
24.
1
5b4
29. ab – ac
30.
1
x+4
33. 2x + y 34. p – q 35.
5x
y–2
36. m – n
39. x2 – y
40.
x–2
x+2
41.
1
2
42. x + y
45.
x2 – x
x+1
46.
x–6
x+5
47.
x
48. x4 + 3y2
x2 + 3y 2
51.
x2 + 1
x+1
52. x – 6 53. 2ab 57. x + 11 58. x – 5 59.
x + 10
x+1
x+3
m+n
a+b
54. 2
a–b
2p – 1
2p + 1
60.
m3 – m
m2 – 3
1.7.2 Multiplicación y división
de fracciones algebraicas
Multiplicamos los numeradores y los denominadores entre sí y
hacemos todas las simplificaciones posibles.
En el caso de los monomios las simplificaciones pueden hacerse antes
o después de multiplicar; en el caso de los polinomios (expresiones con dos
términos o más) es conveniente hacer todas las simplificaciones primero
(factorizando por supuesto) y luego las multiplicaciones.
Para dividir fracciones, multiplicamos la primera por el recíproco
de la segunda.
Álgebra en los números reales
45
Ejercicios resueltos
1. Efectuemos el siguiente producto:
3ab
2a
2b
3a2
Multiplicando en forma directa obtenemos:
3ab
2a
•
•
2b 3ab • 2b 6 ab2 b2
=
=
= 2
3a2 2a • 3a2
6 a3
a
2. Efectuemos el producto:
3xy
2a
•
6ab
3xz
•
– 5z2
10b2 x
Multiplicando en forma directa obtenemos:
3xy • 6ab • – 5z2
2
2a • 3xz • 10b x
– 0 x y a b z2
=
60 a
x2 z
b
2
=
–3yz
2xb
3. Efectuemos el producto:
a+b
ax – bx
a+b
=
a2 – b2
•
ax – bx
a2 – 2ab + b2
2
a –b
2
=
a+b
•
x a–b
a–b a–b
a+b a–b
=
1
x
Una vez hechas las factorizaciones podemos simplificar un factor de
cualquier numerador con un factor igual de cualquier denominador.
a+2
a2 – 2ab + b2
Aquí debemos simplificar antes de multiplicar (de lo contrario complicamos mucho el ejercicio). Como sabemos, factorizamos primero,
obteniendo:
4. a + 1
•
•
a2
a2 – 4
+ 4a + 3
•
a2
a2 – – 4a + 4
Factoricemos primero:
a+1
a+2
a2 – 4
•
a2 – •
a2 + 4a + 3 a2 – 4a + 4
el resultado es a – 3
a–2
=
a+1
a+2
•
a+2 a–2
a+1 a+3
•
a+3 a–3
a–2 a–2
5. Multipliquemos:
5a + b
2a – b
•
ab
a–b
•
a
5
Aquí no es posible efectuar ninguna simplificación; por lo tanto, procedemos a multiplicar directamente.
5a + b
•
ab
2a – b a – b
•
a
•5
=
5a + b a2 b
2a – b 5a – 5b
=
5a3 b – a2 b2
10a2 – 10ab – 5ab + 5b2
Reduciendo términos semejantes obtenemos finalmente:
5 a3 b – a2 b2
10 a2 – 15 a b + 5 b 2
6. Efectuemos la siguiente división:
46
2ab
3x
2a
: 3x
y
Cambiamos el signo de división (:) por el de multiplicación (•) e invertimos la segunda fracción. Nos queda:
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
2ab
2a
: 3xy =
3x
2ab
3x
•
3xy
2a
Hacemos las simplificaciones adecuadas y obtenemos:
2ab
3x
•
3xy
2a
= by
7. Efectuemos la siguiente división:
a+b
2ab
:
a2 – b2
6a2 b
Procediendo como en el ejemplo anterior:
a+b
2ab
2
2
: a6a–2bb
=
=
=
a+b
2ab
a+b
2ab
6a2 b
•
a2 – b2
6a2 b
•
a + b a –b
3a
a–b
(Aquí fue necesario factorizar el término a2 – b2 antes de simplificar).
Ejercicios
I.
1. 3ab
12.
2
2. ax
13.
a
bx
Simplifique las siguientes expresiones:
12x6 y10
–
4x5 y11
a+b 2
a+b 3
p–q
3.
2ab
5ab
14.
4.
3a
1a2 b
15.
5.
– 16m2
1n2
16. 3x + 15
6.
b
a b2
17.
7.
8.
9.
10.
11.
2
6m2 n
15mn2
p2 qr 6
3pq2 r 5
– 3p6 q3
24p6 q2
a2 b2 c2
2abc
x2 y z11
x2 y6 z10
2p – 2q
3a + 3ab
1+b
5x + 25
18.
19.
a2 + a
2a + 2
20x2
– 5xy
4x – y
3x2 y – 3xy2
2x2 – 2xy
23.
24.
6p + 12q
34.
p + 2q
1–a
1 – a2
35.
3
25. 12x – 3x
36.
3x
26.
27.
4 – x2
2+x
–
38.
xy2
3x + 4y
30.
20.
x2 – y2
x–y
31.
21.
a2 – b2
a+b
32.
22.
3a – 3b
a2 – b2
33.
2
a – b2
3a + b
m– n 2
ac + ad + bc + bd
ac – ad + bc – bd
a2 – 5a + 6
a2 – 4
a +2ab+b
2
1 a2 b + 2a b2
4 a2 + 12 a b + b2
6abx 2 – 3a2 xy
a4 + 3a3 + 2a2
a3 – a
40.
2t 2 – 2t – 12
4t 2 – 16t + 12
42.
2 a2 – 2 b2
2bx2 + 2bxy – axy – ay2
39.
41.
m2 – n2
2
x4 – y4
a2 + a b – 6 b2
2
2
28. x – 16y
29.
x4 – 2 x2 y2 + y4
2
2
37. 2 a b + 6 a b
2xy
x2 y
x2 + 5x – 14
x2 + x + 14
50 – 2y2
4y2 + 44y + 120
ab – ay – bx + xy
b2 – by + bx – xy
2
43. 2a – 10a + 12
a2 + a – 6
44.
4u2 – v2
6u2 v – 3uv 2
Álgebra en los números reales
47
45.
46.
p2 x + px 2
p2 + 3px + 2x2
a3 – a2 – 30a
4
a – 11a3 + 30a2
II.
1.
47.
48.
2x
1
x
•
5y
10y
2
15. a + a
a2
6x
2
6. 3u v • 2 u v
2u
7.
8.
4b
xy
b
10.
3
x–y
x
•
•
2. 1
a
x2
:
•
10m2
18.
2x
4c
a
19.
x2
x–y
20.
x3 – y3
x2 – y2
m2 – 4p2
2
m – 4mp + 4p2
a2 – 1
a2
•
a2
2x2 + 6x
3y
x2 + 5x + 6
x2 – 4
1+x
1–x
a2 – ab
2ab
x+3
x–2
x2 – 1+x
•
23.
x–6
x–2
27.
•
x2 – x – 2
– x + 1
•
x2
m2 – mp
2p
x2 – 4
x2 – 1
•
2
•
4p
m2
–
p2
2x
x+1
1
•
2m
a2 – 3a – 1
a2 – 16
•
2
2
a – 2a – a – 5a – 6
1
2x
•
x3 – y3
3y
a+b
a2 – b
2
•
•
ab
a+b
•
a+2
a+3
3xy
x2
•
+ xy + y2
a2 – 2ab + b2
3ab
2
2
2
2
28. a – 25b • a – b + 12b
2
a – 3b
a+b
a2 – b
x2 – 6x + 5
x+2
26.
1 – x2
•
22.
25.
2xy
•
2a + 4
a + 4 a2 – a + 16
•
•
3a – 12 a2 – 16
a+2
24.
3a
+ 2a + 1
•
21.
a – 5b
2
29. 2a – 4 • a2 – 5 a + 6
2
6a
3x – 6 x2 – 1
•
•
2x – 6 x2 – 4 3
30.
a –4a+3
•
a
a–2
a3 + 2a2 + a a2 – 25 1
•
•
a2 + a + 10 a + 1 2a2
Efectúe las siguientes operaciones (divisiones):
a
3
2
a
5. 2ab
3b
6a
: 2ab
6. x – 1
5
3. y
: xy
7.
4. m
n
: ax
8. a + b
ax
48
:
17.
5ac
14x y
III.
1. a
2
2b
2
2b
3c
•
•
m
•
2m
9. a
16.
1 v 2
10a2 bc
•
1
x+y
•
2
13. x – 1 • 2x
2
x
3x – 1
m– n • m+n
14. 2 2
m –n
m– n 2
4
•
50.
x2 + xy + y2
a –1
a2 ab
•
b a
3x
49.
2
x3 – y3
3
12. 2a
3n
5.
4 a b c + 2ab c + 2abc
11. x2 + 2 x y + y2
3. 2m • 3mn
4.
2
Efectúe las operaciones indicadas (multiplicaciones):
a ∑ ab
2b b
2. y
2 a2 b2 c2
2
2axy
3a
a–b
Álgebra en los números reales
–1
: x10
2x
: 3y
:
a 2 – b2
9.
15n2 p
2nz
2
10. a – 1
:
3np2
4z
: aa +– 12
a+2
11. x – 1
x –x
:
a – 1 a2 – a
2
2
2
12. a – b
a3
–b
3
: a+b
a–b
3
13. 15a bc
3ab2
14.
x3
–
x2 y
2xy
: 25a
2
b2 c2
bc
:
x2
– y2
x+y
15. 2 a b : 2 x : 3 b x
b2 x – 1 2 x – 2
16.
2x – 6
3x2 y
:x
2
– 5x + 6
6xy
CAPÍTULO 1
1
a2 – 4
17.
: a2 – 1a + 24. 1 : 1 : 1
x
a
1 2
:
:
2
a a2
18.
x
x
2
22x y 11 x y
: 14
25.
: 2x
2
19. a – 1 : a2 – 1
3
2
2
26. a + 3 a : a + 2a 2
20. a – 3 : a – a + 15
27.
2
21. 2a + : a + 2a – 2
3a – 3
6a – 6
28.
3
2
3
2
22. a – 5a + 6a : a – 3a
2
2
a + a + 12 a – 16
2
29. x + x + 10 : x + 2
2
a–2 a –4
2
a – 5 a – 11a + 30
1
3
2
x – 6x
1
:
x – 12 x + 36
ac – ad – bc + bd
2
x –4
•
2
2
2
c –d
2
2
a + 2 ab + b
2
•
x+3
2
x–2
b
:
2
a –b
30. 2 x
2
2
:a
2
b
a – 5a + 6
x + 2x – 3
2
a
23.
2
a –
: x2+ 2
x +x x –1
x + 3 x – 4
2
x – 25
Soluciones
I.
2. a x 1. b b
3
10.
abc
2
20. x + y
2
2
x–y
4. 1 6 ab
5
11. 9yz 12.
19. 3 y 27.
3. 2 – 3x
y
13.
a – 3b
3
30.
2
33.
ab
2a + 3b
34.
x–2
x+2
40.
t+ 2
2t– 2
41.
a–x
5– y
42.
b+ x
12 + 2 y
46.
a+5
2
a – 5a
47.
35. x2 – y 2
n
6.
2
m– n
m+ n
3
5
1
1+ a
2
25. 4 – x2
31. a – 3 32. 2 a – 2 b
37. 2 ab 38.
a+2
2u + v
3uv
44.
2
2
49. x + x y + y x – y
17. a 16. 18. 5x
26. 2 – x
a+b
2
39. a + 2 a
x+y
3a x
a–1
45. p x
p+ 2x
50.
x+y
9. – q
3q
5n
a – 2b
2a – 6
a+3
8. pr
7. 2 m
23. 6 24.
c–d
43.
1
a b
15. 3a
36. c + d
x +y
a bc
48.
2a + b + c
2
1
2
3 a+b
2
2
– m
14. 22.
21. a – b
28. 3x – 4y 29.
1
a+b
5.
m+ 2p
m– 2p
II.
1.
2
a
2b
2. 2 y
11. x + y
18. 1
25.
a+4
a+1
3.
2
m
2
4. a2
12. 2a2 + 2a
19. 1 2b
26.
20.
x–y
2
13. 6 x + 2 x
x+3
2x + 4
27.
5. 1
21.
a–b 3a + 3b
2
3
6.
14.
22.
2
u
6
7.
1
m– n
2
a
b
15.
2
x – x + 10
x+1
28. a2 + ab – 20b2 29.
8.
5m
4x
2
2
3
a+1
23.
2x
x–3
a–2
3a – 3
3
9. 16.
2
4x
3
24.
30.
10. x
17.
1
x–3
1
mp + p2
a2 – 4 a – 5
2 a2 + 4 a
Álgebra en los números reales
49
III.
1. 2. 1 7. y2
8.
3
2
3. x
2
1
2
2
a – 2a b + b
1
9.
4.
10
p
3a
16
15.
19. a + 2 20. a – 6
21. 4a + 4 25. 2
2
26. a – 2a 27.
2
5b
a+1
2y
a–5
a+2
a–2
x – 6
2
x
5. 2 ab 6. 2
11. a
x
12.
10. a + 1
14. x 13.
m
n
a–b
2
17.
a–1
a+
18. 1
2
22. a –2 6a + 23.
1
ab
24.
28. a + b
29.
x+4
x–5
30. 2x – 2
16.
4
2
x – 2x
a + 3a
c+d
2
a + ab + b
1
x
1.7.3 Adición y sustracción
de fracciones algebraicas
Si las fracciones tienen el mismo denominador, entonces su­mamos (o
restamos) los numeradores y conservamos el denominador.
Si los denominadores son diferentes, entonces debemos buscar el
mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos y amplificar cada fracción por
el factor necesario, de modo que todas queden reducidas a un denominador común.
El mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas es aquella que
las contiene, como factores, a todas.
Ejercicios resueltos
1. Encontremos el m.c.m. entre a y 2a.
Vemos que a está contenido (como factor) en 2a, por lo tanto, el
m.c.m. es 2a.
2. Encontremos el m.c.m. entre a, 2a y a2.
Aquí ninguno de los tres términos contiene a los otros dos. Bus­camos
el m.c.m. entre los coeficientes numéricos, en este caso es 2, y entre
los factores literales, en este caso, como se trata de monomios de la
misma base, es el término que tiene el exponente más alto.
Así, el m.c.m. es 2a2.
3. Encontremos el m.c.m. entre 2x, 3xy, x2.
Usando el razonamiento anterior, determinamos el m.c.m. entre los
coeficientes numéricos, que es el 6, y entre los factores literales, que
es x2 y. Así, el m.c.m. entre 2x, 3xy, x2 es 6x2y.
4. Encontremos el m.c.m. entre a – b
y
a2 – b2.
Como sabemos, la factorización correspondiente de a2 – b2 es
(a – b) (a + b); por lo tanto, a – b está contenido en a2 – b2 y así el
m.c.m. es a2 – b2.
50
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
5. Encontremos el m.c.m. entre a + 2 y a + 3.
Aquí ningún término está contenido en el otro; por lo tanto, el m. c. m.
es el producto de los dos, es decir, a2 + 5a + 6.
6. Efectuemos las operaciones indicadas.
a + 2 2a + 5
+
3
3
Se trata de una suma con igual denominador, así es que sumamos los numeradores y conservamos el denominador.
a + 2 2a + 5 a + 2 + 2a + 5 3a + +
=
=
3
3
3
3
7. Efectuemos las operaciones indicadas:
4
x
5
2x
–
3
5x
2
Los denominadores son diferentes; por lo tanto, debemos determinar el m.c.m. entre ellos, que será el denominador común.
Este es 10x2. Luego amplificamos cada fracción por el término
adecuado para obtener el m.c.m.
4
+
x
+
5
2x
–
3
5x
2
=
=
=
4 • 10x + 5 • 5x – 3 • 2
2
10x
40x + 25x – 6
10x
65x – 6
10x
2
2
8. Efectuemos las operaciones siguientes:
m+ 1
2
–
m+ 1
2
+
1
m– 2
2m + 4m
Factoricemos los denominadores para encontrar el m.c.m.
m+ 1
m+ 1
1
–
+
2m m + 2
m– 2 m+ 2 m– 2
m –4
El m.c.m. es 2m (m + 2) (m - 2)
Es conveniente mantener el m.c.m. factorizado, pues así facilita el
proceso de amplificación de cada fracción y el de simplificación, si
es posible, al final.
m+ 1
m+ 1
1
–
+
=
2m m + 2
m– 2 m+ 2 m– 2
m – 2 m + 1 – 2m m + 1 + 2m m + 2
=
2m m + 2 m – 2
2
2
2
2
m + m – 2m – 2 – 2m – 2m + 2m + 4m
m + m– 2
=
2m m + 2 m – 2
2m m + 2 m – 2
Factorizamos el numerador y hacemos la simplificación corres­
pondiente:
m+ 2 m– 1
m– 1
=
2m m + 2 m – 2
2m m –2
=
m– 1
2
2m – 4m
Álgebra en los números reales
51
Ejercicios
I.
Determine el mínimo común múltiplo entre:
1. 2, 3, 5
16. 6m, 3m + 1, 6m + 2
2. 2, 2a, 3a
17. x + a, x2 – a2, x – a
3. 3x, 3xy
18. 1, x + 1, x + 2
4. 2x, 3xy, 2y
19. a, b, a + b
5. m2, n2
20. a2 – b2, a2 – 2ab + b2
6. m, mn, n
21. x + 3, x2 + 5x + 6, x + 2
7. x2, y2, xy
22. x – 3, 2x – 4, x2 – 5x + 6
8. 1, a, a2
23. a2 + a, a2 – 1, a2 + 2a + 1
9. x2yz, xy2z
24. a + 2, a2 + 4a + 4, a2 – 4
10. xy2z, xyz2
25. x2 + 9x + 14, x2 – 4, x2 + 5x –14
11. 4p2q, 5pq2
26. a – 1, a2 – 1, 3a2 – 3a
12. 5p6q6, 6p5q5
27. p, p + 5, p3 – 25p
13. a + b, a – b
28. 2x + 2, 4x + 4, x2 + 2x + 1
14. 2a + 4, a + 2
29. t – 5p, t2 – 25p2, 5t – 25p
15. 3a + 6, a2 – 4
30. x + y, x2 + 2xy + y2, x2 – y2
II.
Efectúe las operaciones indicadas:
1. 3 – 4 + 15
11 11
9.
11
2. 3 + 5 + 21 + 3
16
16
16
16
3. 2 – 6 + – 12
a a
a
a
4. 3a – 1 + 2a – – 2
5
5.
5
5
2
1
+
+
3x – 4 3x – 4 3x – 4
6. a + 5b – 2a + b + 4a + 5b
a + 3b a + 3b
a + 3b
7. 2x – 2 + 3x – 1 – 4x – 4
x+6 x+6 x+6
8. 3x + 5 + 5x + – x – 4
2x – 3
52
2x – 3 2x – 3
Álgebra en los números reales
2
a
4a
4
– 2
+ 2
a –4 a –4 a –4
2
10. p – 3q – 6p – 4q + 2p
2
p +1
2
p +1
2
p +1
11. 2a a + 4 – 3a a + 6 + 2a a – 5
2
2
2
a – 20a
12.
a – 20a
a – 20a
2
3a
3a a + 4 4a ∞4b
–
+
3a – 4b 3a – 4b 3a – 4b
2
2
13. x – x + 1 – 2x x –3 + x + x + 2
2
2
2
x + 5x + 6 x + 5x + 6
x + 5x + 6
2
2
2
14. 5x 2– x – 1 + 2x 2+ 4x – 1 – 3x 2– 6x – 2
x + 3x
x + 3x
x + 3x
2
2
2
15. 2x 2+ 3x + 6 + x 2– 6x + – 3x 2– 4x + 3
x – 121
x – 121
x – 121
CAPÍTULO 1
16.
2 4 1
+ – 3 5 2
34.
17. a + a 35.
2
18. a + a + a 2
3
36.
4
2a + b 2a – b a
–
–
3a
3b
b
2a – 1
3(a – 2)
2x
2a – 2
–
a –4
–
3x – y
–
a–6
2x
+
x+y
3
2x – 4y
+
x–y
a
–
2
2
2
x – 2xy + y
2b
– b
3
37.
20. 2x – x + x 38.
21. a + a + a 39. x + 1 + x – 2 –
2
2
22. a + a – a 2x
6 – 3x
40. 3x – 2 – 1 –
– 2
2
2
2x + x – 16 x + 5x + 4 x – 1
23. 3x – 2x + x 2
41. 2x – 1 + 3x + 1 – 5x + 1x – 2
24. a – 2 42.
25. 1 + x 43. m + 1 + m + 2 +
19.
5
2
3
3
2
5
35
10
x
26. 1 + x x 2
44.
a 2a
–
4
3
45.
3
4
5
28.
+ +
2a 3a 6a
46.
29. x – 1 + x – 2 + x 47.
30. 12 – 1 – 23 48.
4
a
3
a
2
a
31.
3x
2x
11x
–
+
x – 3 2x – 6
2
49.
32.
1
50.
z
+
1
2
z
–
1
2
z –1
2
x + 3x + 2
x+4
2
x –4
x + 5x + 6
2x
2x + 3
–
2
x–4
2
3x + 12x
3x
2
3x + 15x
+
2x
m – m +20
x–2
2
4x – x – 16
2
3
2
x –
–
4x
2
x + 4x + 4
–
x–2
2
x – 36
x–3
2
–
x – 25
–
4 – 2x
2
2x – 6x
+
x + x + 15
2+ x
–
–
x + x – 12
+
2x
3x + 15
2m
2
2
2
2
m –1
2x – 4
–
x – 2x – 24
3m
–
1
+
x + x + 12
x – 4x + 3
2
+
2x – 3
2
2
2
3
m– 5
x+4
+
x + x + 15
2
x
x –x–2
x–3
m +m
m– 4
2x – 3
2
2
1
–
+
2
x+5
m
x+2
2
a – 25
x –
m+ m
1
2a – 4
+
a–5
x+3
27. a –
a–6
x –1
3
5
a+
2
2x – 3x
2
3x + x
2– x
2
x –4
x–5
+
2
x – 16
x – 12
6x
+
3x
x–5
33. 3x – 5 + 2x – + x – 1
x–1
III.
1.
2
x –1
x+1
Efectúe las siguientes operaciones:
2a
6a
–
a – 3 a2 – 9
•
a + 3
2a
2. 1 + 1
x
: 1 – 1x 3.
a+
ab
a+b
•
1 b
+
2 2a
Álgebra en los números reales
53
1
+1
x
4.
:
1
–1
x
x–y
–1
x+y
5.
17.
1– x
2y
∞
a
x
+
a+x a+x
6.
7. a – b
a+x
:
2
18.
2
a + 2ax + x
: 1 – a +1 b
8. 1 – 1
x–1
2
9. a + ab : 1 – 1
a
2
a+b a–b
–
b
a
13.
b
a
+ –2
a
b
14.
2+ c
–1
2c
:
∞
:
2ab
2
a
3
2
22. 1 +
a–b 2
a
1+
∞
2
2
1–
1
–y
x
1
+y
x
1
1+
1
x
a–b
a+b
–
a
28. a
1
a
x
2
29.
x
3–
3
2–
1
x
30.
1
1–
x –1
x –1
10
27. 1 +
1
23.
3–
1
1
1 1
–
2 4
1
1
+
2
4
16.
26.
a
b
–
b
a
21.
1 1
–
a
b
a +b
x
x
+
–1
x+1 x–1
15.
+
2
2
2
2
3x – x
5
a–
x –4
11. 2a – 3b ∞ b – 1
5b b – 1
2
2a ∞ 4 – c
2+ c
4b
a
2
2+
ab
a+b
25.
b
1–
a+b
a a
–
2 3
1
1
–
x–2 x+2
20.
1
10. m + mn : 1 + 1
m
m
12.
24.
x–1
–1
x+1
19.
x–1
+1
x+1
: 1 + x +1 1
2a
3
5
+
2
5
2
15
1
x
1–
1
2
x –1
1
1+
x+1
Soluciones
I.
5. m2n2
1. 30
2. 6a
3. 3xy
4. 6xy
6. mn
7. x2y2
8. a2
9. x2y2z
11. 20p2q2
12. 30p6q6
13. a2 – b2
14. 2a + 4
10. xy2z2
15. 3a2 – 12
16. 18m2 + 6m
17. x2 – a2
18. x2 + 3x + 2
19. a2b + ab2
20. (a – b)2 (a + b)
21. x2 + 5x + 6
22. 2 (x – 2) (x – 3)
23. a (a – 1) (a + 1)2 24. (a – 2) (a + 2)2
25. (x + 2) (x – 2) (x + 7)
26. 3a (a2 – 1)
27. p (p2 – 25)
28. 4 (x + 1)2
29. 5 (t2 – 25p2)
30. (x – y) (x + y)2
14
7
12
II. 1. —–
2. 2
3. – —
4. a – 2
5. —–—
54
11
Álgebra en los números reales
a
3x – 4
CAPÍTULO 1
9. a – 2 a+2
8. x + 1 2x – 3
7. x + 1
x+6
6. 3
3
4x + 3
14.
x+3
(x + 2) (x + 3)
11. 1
12. – 4
16. 2 30
17.
3a
2
18. 13a 12
19. – b
3
21. a 6
22.
a
6
23. 3x 10
24.
28. 11 3a
29. 13x – 11 12
2
26. 2 + x 27. – 1a 2x
31.
12
2
41x – 11x
2x – 6
2
32.
2
2
2
2
2 (x – 16)(x – 1)
3
2
– 2m – m – m + 1
2
2
m ( m – 1)
45.
– 14x + 63
x2 – 16 x2 – 48.
3 x+2
2
x + x – 4x – 4
3x – 12x + 11x – x + 16
43.
20. 2x
a – 1
2
25. 1 + x
x
2
30. – a + a – 2
a
3
2
5x + 2x – 2
3
1
x – 11
15.
x –1
2
38.
2
42.
2
2
( a – 25) (a – 6)
3
2
z (z – 1)
2
p +1
2
33. 4x – 2x – 11
3(a – 4)
2
37. 16a – 1a – 331
4
3
z –z–1
3
2
35. – a + 2 a + a + 4
34. 3ab + b – 5a 3ab
40.
13.
3p + q
10.
3
2
2
2
2
3
36. – x – 3x y + 5xy – 2xy + 2x – 4y – y
2
(x + y)(x – y)
3
2
39. 2x + 1x – 2x + 1
2
(x – 1) (x – ) (x + 2)
41. 0
2
2m – 4m – 13
(m – 4) (m – 5)
2
2
44. – 2x – x – 2
2
4x – 3
2
46. – 2x + 11x – 12 3x (x + 4) (x – 3)
47. 2x + 22x – 6x
3x (x + 3) (x + 5)
3
2
49. 2x + x – 6x +14
3
2
50. 21x + 6x + 43x – 300
2
2
(x – 36)(x – 16)
2
6x (x – 25)
III.
1.——
a2. ——
x + 13. a———
+ 2b4. ——
1+x
a – 3
x – 1
2 1 – x
2–x–2
5.——
x – 1
a2 – b28. x————
6. a + x
7. ———–
x + y
a + b – 1 x2 + x – 2
m2 + mn11. ———————
4a – 15b3 – 15b212. —–
ac
9.———
a2 + ab10. ————
2a – 2
m + 1
10b
b
14. —–
1
1
13.2
15. x2 + 1
16. —
b
3
17.—–
7518. —–
119. – —
1
20. 4
x
4
5
a – b
2x + 1
6x2 – 2x + 20
21.–
22.
———
23. – x
24. —————–
x + 1
31 – x2
1 – xy27. ——–
x+1
25.a
26. ——–
28. –2b
1 + xy
2x + 1
29.———
12 – 3x30. ————
x2 – 2
2
18 – 2x
x + x –2
Álgebra en los números reales
55
Prueba de selección múltiple
Marque la alternativa correcta.
5. –3p • 2pq =
1. Si a = – 1 y b = – 2
el valor de a – ab es:
A. – 5p2q
B.
A. – 1
C. – 6pq
B. – 2
D. – 6p2q
C.
E.
D. – 3
E.
1
6p2q
6pq2
6. Si p = 1 y q = – 1 entonces
p + q + pq es:
2
2. Al reducir la expresión
A. – 1
B.
1
C.
0
D.
2
E. – 2
a
– a se obtiene:
2
a A.
2
a
B. – 2
C. – a
D.
E. – 1
7. Si p + q = – 6 y q = 2 entonces el valor
de p es:
0
2
a
3. Al reducir 2a – a –
2
se obtiene:
A.
B.
C.
D.
E.
a
– 2
1
2
a
2
3a
2
1
–
2
A.
6
B.
8
C. – 8
D. – 4
E.
4
8. Si m + 5n = 5 y n = – 2 entonces el
valor de m es:
A.
B. – 05
C. 0 5
D. – 15
E. – 10
15
9. Si a = – 5 y a + b = 5 entonces el valor
4. Si m = 2 y p = 3 entonces
m2 – p2 es:
de b es:
A. 0
A.
5
B.10
B.
–5
C. 5
C.
13
D.­ – 5
D. – 13
E. – 10
E.
56
–2
Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
n
2
10. Si m =
y n = – 16
entonces el valor de m
es:
14. La expresión “el cuadrado
de la diferencia entre a y
b” es:
32
B. – 32
C.
A.
8
D. – 8
s
2
y
s = 9 entonces el valor de
C.
a – b2
A.9
B.
–9
C.
2
a y b” corresponde a:
A.
2a2b
B.
2ab2
C.
2a2b2
D. 18
E. –
12. La expresión “el doble del
cuadrado de a” corresponde a:
a–b
2
15. “El doble del producto entre
q es:
2
B. a2 – b2
E.
11. Si q = – 2r, r =
(a – b)2
D.­ 2(a – b)
E. – 4
A.
D.
a2b2
E.
2ab
16. Al reducir
2a – [ a – (a – 2a) ]
se obtiene:
A.
2a
A.
B. – 2a
B.
m + 2p
C.
2m + 4p
D.
2m + 2p
B.
2 (a2)2
C.
a
2a2
D.
4a
E. – 4a
a2
13. La expresión “el cubo
de la mitad de a” corresponde a:
A.
3a3
2
3
B.
a
2
C.
a
3
D.
E.
2
a 3
2
3a
2
17. Al reducir
(a + b) – (a – b) se
obtiene:
A.
2b
E.
– 4p
1
2
a
6
a
B. – 6
a
C. – 2
a
D.
2
a
E. –
3
A.
A. a
B.
a– 3
C. a– 4
D. a3
E.
a5
B. – 2b
C.
D. – 2a
A. 0
E.
B. – a2b2
C. – a2b4
0
18. Al reducir
21. a • a2 • a– 2 =
2a
1
20. 2 a + 3 a – 3 a – a
es igual a:
0
E.
0
2m – 4p
B.
E.
A.
D. (2a2)2
2b
19. Al reducir
3m – [2m – (3p + m) – p]
se obtiene:
(2a)2
C.
C.
D. – 2b
A.
2a
22. ab2 • – ab2 =
(a – b) – (a + b) se
D. a2b4
obtiene:
E. – 2a2b4
Álgebra en los números reales
57
23. 2m • – 3m • – 4mp2 =
29. Al factorizar m2–mn se
34. Para que la expresión
obtiene:
9a2 + 12ab + .....
A. mn(m –1)
sea un cuadrado de
B. m2(m – n)
binomio falta:
D. – 24m3p2
C. m(m – n)
A. 4b2
E. – 9m3p3
D. m(1 – n)
B. 4b
E. m2 (1 – n)
C. 4
D. b2
E. 9
A. 24m3p3
B. – 24m3p3
C. 24m3p2
24. x – [2x – 3y + (3y – 2x)] =
30. Al factorizar 4 – p2 se
A. 3x – 6y
B. 4x – 6y
C. 4x + 6y
A. (2 – p)2
D. – x
B. (2 – p) (2 + p)
E. x
C. (p – 2) (p + 2)
A.
25. a (a2 + a3) =
D. (4 – p)2
B. c
A. a6
E. 2p (2 – p)
C. 1
B. 2a6
31. La expresión 1 – p6 es
equivalente a:
C. a7
D. a2 + a3
D. abc
E. 1
abc
E. a3 + a4
26. m(1 + m) – m(1 – m) =
obtiene:
A. (1 – p3) (1 – p2)
B. p3 (1 – p2)
C. (1 – p3) (1 + p3)
A. – m2
D. (1 – p3)2
B. 2m2
E. (1 – p2)3
C. m – m2
D. m + m2
E. 0
27. a(1 + a + a2) – a =
A. a + a2
B. a + a3
C. a + a2 + a3
D.­ a2 + a3
E. 1 + a + a2
28. xy (x + 2y) – 2xy2 =
A. x2y + xy2
B. xy2
C. x2y
D. 2xy2
E. – 2xy2
58
Álgebra en los números reales
32. Factorice:
2
35. a b c =
abc
1
c
36.
a+ ab
=
ab
A. ab
B. a
C. a + 1
a
b
+
1
D.
b
E. b
m2 – n2 – m – n =
A. (m – n) (m2 + n2)
B. (m + n) (m – n – 1)
C. (m – n) (m – n – 1)
D. (m + n) (m – n + 1)
E. (m – n) (m – n + 1)
2
2
37. m – n =
m– n
A. m – n
A. 3(a + b)
1
m– n
C. m + n
B. 3(a + b)2
D.
C. 3(a2 + b2)
D. a(a + b + 1)
E. (a + b) (a + b + 1)
E. m + n m– n
33. (a + b) + (a + b)2 =
B.
1
m+ n
CAPÍTULO 1
38. a – 1 : a –1 =
a
a
2
41. x – 11x + 2 =
x–
A. a + 1
B. a – 1
C. 1
a +1
D. 1
a–1
1
E.
2
2
A. 3 ( x – y)
B. 3 (y – x)
C. y – x
D. x – y
E. y – 3x
A.
1
2
2
2
B.
C. a2 – b2
D. a2 + b2
E.
a +b
1
a–b
E. a – 2
44.
3
3
x +y
2
C. x – 4
D. x + 4
E. x + 7
A. x + y
B. 1
x+y
C. x – y
42. x + 5 = 2
x – 25
A. x + 5
B. x – 5
x – xy + y
2
=
B. – 3m
C. 3m
D.
E. –3m
2
n
n
3m
2n
n+ 1
n
+ a
47. a
=
n
a
A. an
D.
1
x–y
B. a
C. a + 1
E. x + y
xy
D. an+1
E. an–1
C.
1
x+5
45.
a
b
+
=
a+b a+b
48. 56 + 56 + 56 + 56 + 56 =
D.
1
x–5
A. a
A. 530
B. (a + b)
B. 57
C. (a + b)2
C. 256
D. 1
D. 2530
E.
43.
2
a –b
1
D. –
2
40. a – b = 4
4
a –b
B. x – 7
2
a
39. 3xy – 3x y =
3xy
2
A. x – 4
x–
1
2
1
E.
2
x –5
2
a –4
2
a + 3a + 2
A. a – 2
a+1
B. a + 1
a–2
C. – 2
=
a+b 2
2
a +b
46. m – 2m = n
n+ 1
∞
49. 3 4 – 4
=
n
4
A. 3 – 4n+1
B. 2
2n
n
C. 1
A.
– 3m
2n
D. –1
E. 0
Soluciones
1. D
8. A
15. E
22. C
29. C
36. D
43. A
2. B
9. B
16. B
23. C
30. B
37. C
44. A
3. C
10. D
17. A
24. E
31. C
38. A
45. D
4. B
11. B
18. D
25. E
32. B
39. C
46. A
5. D
12. C
19. C
26. B
33. E
40. B
47. C
6. A
13. D
20. B
27. D
34. A
41. C
48. B
7. C
14. A
21. A
28. C
35. B
42. D
49. D
Álgebra en los números reales
59