1
Download PARTE 3 - GEOMETRÍA Y TRIGO TERMINADO
Document related concepts
Transcript
MÓDULO DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA SESIONES DE CLASES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [0] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS UNIDAD 3: GEOMETRIA SESIÓN 1 PRINCIPIOS DE GEOMETRIA: ÁNGULOS, TRIÁNGULOS, CUADRILÁTEROS LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas utilizando teoremas, propiedades con respecto a ángulos , triángulos y cuadriláteros , relacionándolo con la vida cotidiana. PROBLEMA MOTIVADOR A menudo, surge la necesidad de efectuar medidas que supondrían un penoso trabajo si hubiera que realizarlas sobre el terreno, de ahí que se obtengan de forma indirecta a partir de otras más fáciles de realizar. En la sección de Geometría abordamos el tema de ángulos, triángulos que constituyen la primera base teórica. Ahora completamos este estudio, tomamos la medida de los ángulos con la ayuda del transportador, para calcular el ángulo exterior aplicando propiedades de triángulos y luego calcular algunos líneas notable. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [1] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA TRIÁNGULOS MAPA CONCEPTUAL SOBRE TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS Definición.- Un triángulo es la figura cerrada formada por la unión de 3 segmentos de recta (lados), cuyos extremos (vértices) son puntos no coloniales. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [2] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA B vértice lado exterior exterior lado interior A interior C Notación ∆ abc: Se lee: “Triángulo ABC” Perímetro: Es la suma de las longitudes de todos sus lados. Tipos de triángulos por la medida de sus ángulos interiores Acutángulo.- Sus 3 ángulos interiores son menores a 90° , es decir son ángulos agudos. Ejemplo: Obtusángulo.- Tiene únicamente un ángulo interior que es mayor a 90° .esto quiere decir que es un ángulo obtuso. Rectángulo .- Tiene un ángulo interior recto (90°) x y 90 a 2 b2 c 2 Clases de triángulos por la longitud de sus lados Escaleno.-Sus tres lados tienen diferente longitud Isósceles.-Dos de sus lados tienen igual longitud y el lado diferente se denomina base. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [3] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Equilátero.-Los tres lados son de igual longitud y sus tres ángulos son iguales a 60°. Teoremas Básicos 1. La suma de las medidas de los ángulos interiores es 180º a + b + c = 180º 2. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los 2 ángulos interiores más lejanos a este ángulo exterior. 3. A mayor lado se opone mayor ángulo y a mayor ángulo se le opone mayor lado. ( correspondencia de lados ) 4. La longitud de uno cualquiera de sus lados es menor que la suma de los otros y a la vez mayor a la diferencia posible de estos mismos lados. ( existencia triangular ) b–c<a<b+c c–a<b<c+a b–a<c<b+a DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [4] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ÁREAS DE REGIONES PLANAS LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas utilizando fórmulas de áreas de regiones triangulares, cuadrangulares y circulares, relacionándolo con la vida cotidiana. MAPA CONCEPTUAL SOBRE ÁREAS DE REGIONES PLANAS Región: Es aquella parte de una superficie plana por una línea. Área: Es el número que indica la medida de una región, es decir es igual al número de veces que se utiliza la región unitaria. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [5] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA CUADRO: ÁREAS Y PERÍMETROS FIGURA PERIMETRO (2P) ÁREA 2P = 2b + 2h A=bxh NOMBRE Rectángulo h b Cuadrado D a 2P = 4a A = a2 ó A = 2P = a + b + c A= D2 2 a c a h Triángulo b Paralelogramo bxh 2 A=hxb h b B b A xh 2 b Trapecio h B Rombo L D 2P = 4L A d r Dxd 2 A = r2 Círculo L = 2r Corona Circular A = (R2 – r2) R r r Sector Circular A= r DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [6] x r2 x 360º INGENIERÍA Y ARQUITECTURA EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo: Un terreno tiene la forma de un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos miden 110 m y 30 m, y el lado oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área. Solución Ejemplo: La plaza de mi pueblo tiene el siguiente diseño, donde la parte semicircular está ornamentada con baldosas, la cual está destinada para la realización de eventos públicos. Calcula el perímetro y el área de la figura sombreada: Solución DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [7] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Ejemplo: Observa la figura y calcula el área total. Solución: 2cm 2 = 4 cm2 o Área del cuadrado = o Área del trapecio = o Área del rectángulo = o Área total de la figura = 4+24+40 = 68 cm2 10 2 2 4 = 24 cm 2 8 cm 5 cm = 40 cm2 Ejemplo: A Elidermao le venden un rancho que tiene las medidas que se muestran en el siguiente plano. Si le piden $1,675,000.00 por toda la propiedad, ¿en cuánto le están vendiendo cada metro cuadrado? Solución: Lo primero que hace Elidermao es obtener el área de toda la propiedad. Como sabe que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando sus dos lados, hace lo siguiente: A = 90 m x 150 m = 13,500 m2 Posteriormente, divide los 1,675 000 dólares entre los 13,500 m2 que tiene la propiedad, para conocer cuánto vale cada metro cuadrado (use su calculadora). $1, 675000 $ 124.07 2 2 13500 m m Esto quiere decir que cada metro cuadrado vale $124.07. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [8] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA HOJA DE TRABAJO NIVEL 1. 1. El esquema muestra las dos rampas construidas en un puente. Calcula la longitud del puente. 2. Para pintar un metro cuadrado se necesita 0,2 litros de pintura. ¿Cuánta pintura se necesitara para pintar el frente de la casa? 3. En la figura mostrada, ABCD y EFCG son cuadrados de lados 12 cm y 3 cm respectivamente. ¿Cuánto mide el perímetro del área sombreada? G D E C F B A El área de un triángulo rectángulo es 24cm2. Si sus catetos son como dos es a tres. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 4. En un trapecio la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales están en la relación de cuatro a tres. Hallar en qué relación están las bases. 5. Un Felipe tiene un terreno cuadrado de 600 m de perímetro, mientras que Pedro tiene uno rectangular del mismo perímetro, siendo la base de éste el triple del ancho. El dueño del DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [9] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA terreno rectangular propone al otro cambiarlo, ¿le conviene el cambio? ¿Ocurre siempre lo mismo con cualquier rectángulo y cualquier cuadrado con el mismo perímetro? 6. Juan está interesado en comprar un departamento en el distrito de los Olivos, cuyas dimensiones son las que se muestran en el gráfico. Según la información que se le brinda en la página de internet, el departamento es de 80 metros cuadrados. Determine si la información que brinda la página es correcta. NIVEL 2 7. Circuito Mágico del Agua - Parque de la Reserva - Lima Perú - Fuente de la Ilusión. Esta fuente actúa como contrapunto en el eje acuático del Parque frente a la estatua del General Sucre. Gran riqueza de caudal, que da salida a ”grandes pompas de la ilusión”. Dicha fuente tiene su estructura de concreto armado que consiste de dos círculos concéntricos de diámetros 8 m. y 6 m. respectivamente. Calcular la relación entre las áreas de dichos círculos. 8. Se tiene una bodega cuyas medidas se indican en la figura: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [10] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA a) ¿Cuál es el perímetro de la puerta? b) ¿Cuál es el perímetro de la ventana? c) El frente de la bodega se pinta color amarillo .Cuánto mide la superficie a pintar? 9. En la figura se tiene un cuadrado de lado 2m. Calcular el área sombreada. (O: centro del cuadrado) NIVEL 3 10. Hallar el área de la región sombreada comprendida entre dos circunferencias de centro "O" y un cuadrado con un vértice en "O" y lado 10 m. O 11. Un empresario Peruano decide invertir en la construir un supermercado, cuyo terreno tiene las siguientes características: El largo mide el triple del ancho, y en su parte externa se dejara un pasillo de 2 m de ancho como se muestra en la figura. La parte interior se diseña el plano que mide un total de 144 m. Con la ayuda de operaciones algebraicas, determine cuáles son las dimensiones del terreno. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [11] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 12. La piscina en el condominio el parque central. En verano voy a bañarme y a hacer cursos de natación. Tiene forma de rectángulo y las siguientes medidas: a) En el curso de natación que hacemos en verano, para calentar damos una vuelta completa a la piscina andando y otra corriendo. ¿Cuántos metros recorreremos en el calentamiento? b) El que más nada del curso de natación ha realizado en una hora 4 anchos de la piscina y 15 largos. ¿Cuántos metros ha nadado? c) Si hago tres veces el largo de la piscina, (tanto la ida como la vuelta). ¿Cuántos metros recorreré? d) Calcular el área de la piscina. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [12] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA SESIÓN 2: POLIEDROS: PROPIEDADES. ÁREA LATERAL, ÁREA TOTAL Y VOLUMEN LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas utilizando teoremas , propiedades con respecto a ángulos diedros , poliedros : área lateral , área total , volúmenes , relacionándolo con la vida cotidiana. MAPA CONCEPTUAL DE POLIEDROS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [13] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA POLIEDROS Determinación de ángulos en el espacio Entre Recta y Plano.- Para hallar el ángulo entre un plano y la recta secante, se proyecta sobre le plano y se halla el ángulo “” entre la recta “L” y su proyección “BT”. L B BT T proyección de L sobre P : ángulo entre L y P P Entre Planos (Ángulo Diedro).- Es la figura formada por dos semiplanos la recta común se denomina arista y a dichos semiplanos se denomina caras. P L1 A P y Q: son caras del Diedro AB: aristas del Diedro B Notación: Diedro AB L2 L1 AB Q L 2 AB Perpendicularidad entre rectas y planos Si una recta es perpendicular a un plano entonces será perpendicular a todas las rectas al plano. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [14] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA L Si L P L m (m P) n m P L n (n P) Teorema de tres perpendiculares: Si tenemos una recta “L” perpendicular el plano “P”; y del pie de esta trazamos una segunda perpendicular a una recta “m” contenida en el plano entonces toda recta que pase por un punto de la recta “L” y por “B” será perpendicular a “m”. L m A B P POLIEDROS: Es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales planas denominadas caras; a los lados de las caras se les denomina ARISTAS del poliedro y al segmento que tiene extremos; dos vértices que no pertenecen a una misma cara se le denomina diagonal. Vértice Diagonal Cara Arista CLASIFICACIÓN: 1) Por el número de caras: Se clasifican los poliedros en tetraedros, pentaedros, exaedros, 2) Según sus características: a. Poliedro Convexo.- Si todos los ángulos diedros son convexos; una recta secante lo corta siempre en dos puntos. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [15] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA b. Poliedro Cóncavo.- Si tiene por lo menos un diedro cóncavo. Una recta secante lo corta en más de dos puntos. c. Poliedro Regular.- Todas sus caras son polígonos regulares iguales. d. Poliedro Irregular.- Es aquel poliedro que no es regular. Teorema de Euler En todo polígono se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al número aristas más dos unidades CV A2 Dónde: C = # de caras. V = # de vértices. A = # de aristas. Poliedros regulares Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí: Los ángulos y los diedros son respectivamente iguales Todo poliedro regular se pude inscribir o circunscribir en un esfera donde el centro de las esferas viene a ser el centro del poliedro regular. Teorema: Solamente existen 5 poliedros regulares: tetraedro regular, exaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular. Tetraedro Regular.- Sus caras son cuatro regiones triangulares equiláteras O C A G B Notación: Tetraedro Regular O – ABC Altura: OG , OG 6 3 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ; siempre cae en el baricentro (G) [16] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Volumen (V): 3 V 2 12 Superficie total o Área (A): A 2 3 Nota: El tetraedro regular es conjugado consigo mismo, es decir en un tetraedro regular solamente se puede inscribir una esfera y un tetraedro regular. El exaedro regular y el octaedro regular son conjugados, es decir en el exaedro regular solamente se puede inscribir una esfera y el octaedro regular y viceversa. El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados. Poliedro Tetraedro Exaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro # caras 4 6 8 12 20 # vértices 4 8 6 20 12 # aristas 6 12 12 30 30 Número de diagonales de un poliedro # Dpoliedro C2v # dcaras A Donde: # Dpoliedro = Número de diagonales del poliedro. C 2v = Combinación del número de vértices de dos en dos. #dcaras = Número de diagonales de todas las caras del poliedro. A = # de aristas del poliedro. a) Paralelepípedo rectángulo ó Rectoedro ó Ortoedro: Es aquel cuyas caras son regiones rectangulares. C B A d D F G c b E a H d2 a2 b2 c 2 Superficie Lateral (ASL): DEPARTAMENTO DE CIENCIAS A SL 2(a b) c [17] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Superficie Total (AST): A ST 2(ab bc ac) Volumen (V): V a b c b)Exaedro Regular.- Sus caras son seis regiones cuadradas, también se le denomina cubo B C D A F G E H Notación: Diagonal ( BH ): BH 3 Volumen (V): V 3 Superficie total o Área (A): A 6 2 c) Octaedro Regular.- Sus caras son ocho regiones triangulares equiláteras. M B C A D N Diagonal ( MN ): MN 2 Volumen (V): V 3 2 3 Superficie total o Área (A): A 2 2 3 d) Icosaedro Regular.- Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [18] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA a Volumen (V): V 5a2 6 73 5 2 entonces A 5a2 3 Superficie total o Área (A): PRISMA Base C B A Cara lateral F E D Altura del Prisma Arista lateral I H J Arista básica G L K Base Es el poliedro donde dos de sus caras son paralelas y congruentes denominados bases y sus otras caras son regiones paralelogramicas. Un prisma se nombra según la cantidad de lados que tenga la base. Clases de prisma Los prismas se clasifican según la inclinación de su arista lateral con respecto al plano de su base. Prisma Oblicuo: Tiene las aristas laterales oblicuas con respecto al la base. * En la figura se tiene un prisma triangular ABC – DEF C A Base B a H SR F D Base E DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [19] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA SR: Sección recta es perpendicular a todas las aristas. En todo prisma se realizan los siguientes cálculos: Área de la superficie lateral (ASL): A SL (2PSR ) a 2Psr: Perímetro de la sección recta. y a: Longitud de la arista lateral Área de la superficie total (ABASE): AST ASL 2( ABASE ) Volumen (V): V ( ABASE ) H Prisma Recto: Es el que tiene las aristas perpendiculares a la base, puede ser triangular cuadrangular, etc.; según sea la base. A C Base B a En la figura se muestra el prisma recto ABC – DEF h D Base La arista igual a su altura F E Área de la superficie lateral (ASL): A SL (2PBASE ) a Área de la superficie total (AST): A ST A SL 2( ABASE ) Volumen (V): V ( ABASE ) h Tronco de Prisma Triangular Recto A a b C B Área de la Superficie Lateral (ASL): A SL Areas de las caras laterales Área de la Superficie Total (AST): AST ASL Area de A Area de B Volumen (V): V ( Area de B) DEPARTAMENTO DE CIENCIAS abc 3 [20] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PIRÁMIDE Vértice O Altura Arista básica D A Base C Arista básica B Es un polígono limitado por una región poligonal llamada base y en su parte lateral limitada por regiones triangulares consecutivas que tienen un vértice común, el cual a su vez es el vértice de la pirámide. En toda pirámide la perpendicular trazada desde su vértice al plano de la base se le denomina altura de la pirámide. Notación: Pirámide O – ABCD Pirámide Regular:- Una pirámide es regular si sus aristas laterales son congruentes y su base es un polígono regular. En toda pirámide regular el pie de su altura coincide con el centro de su base y la perpendicular trazada desde su vértice a cualquiera de las aristas básicas se denomina apotema. En la figura se muestra una pirámide regular: P - ABCD P Apotema (Ap) B C O A D M Apotema (ap) Ap: Apotema de la pirámide (PM) ap: Apotema del polígono regular ABCD (OM) PO : Altura de la pirámide; “O” es el pie de dicha altura y centro del polígono regular. : Medida del diedro formado por una cara lateral con la base. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [21] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA En toda pirámide se cumple: Semiperímetro Apotema Área de la Superficie Lateral (SL): SL de la base ( Ap)2 (ap)2 (OP)2 Área de la Superficie Total (ST): ST SL Area de la base Volumen (V): V ( Area de la base ) Altura 3 CONO Vértice o cúspide Altura Superficie Lateral Base El estudio sistemático de las pirámides y el conocimiento de la circunferencia y algunas otras líneas curvas, han conllevado a la obtención y subsiguiente estudio de otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el cual es muy parecido a una pirámide con la diferencia de que su base es una región curva en lugar de una poligonal. Cono de Revolución o Cono Circular Recto.- Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular rectangular al girar 360° en torno a uno de sus catetos. V 360° Vértice o cúspide Superficie Lateral g Generatriz h g O r r Eje de giro Base Nota: En un cono recto siempre se cumple: h2 + r2 = g2 Área de la Superficie Lateral (SL): SL rg DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [22] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Área de la Superficie Total (ST): ST SL r 2 Volumen (V): V ( r 2 ) h 3 CILINDRO Es aquel sólido geométrico comprendido entre sus planos paralelos entre si y secantes a una superficie curva cerrada denominada superficie lateral del cilindro y en los planos paralelos se determinan secciones planos congruentes, las cuales se denominan bases del cilindro. En la superficie lateral del cilindro se ubican segmentos paralelos entre si y congruentes, cuyos extremos son los puntos del contorno de las bases, dichos segmentos se denominan generatrices. Base Altura Generatriz Superficie Lateral Base Cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución Es aquel cilindro recto cuyas bases son circulares. También denominado Cilindro de Revolución porque es generado por una región rectangular al girar 360° en torno a uno de su lados. Eje de giro r O1 h=g r r O1 O2 : Eje h x r g O2 g r 2r SL 2rg Área de la Superficie Lateral (SL) ST 2r(g r ) Área de la Superficie Total (ST) Volumen (V) V r 2g DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [23] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESFERA Superficie Esférica: Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360° en tono a su diámetro. A SE 4R 2 Semicirculo generadora Circunferencia menor Plano secante 360° r R R 0 0 R Eje de giro Circunferencia Máxima H Plano tangente ASE: Área de la Superficie Esférica. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [24] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA HOJA DE TRABAJO NIVEL 1 1. ABCD y ABEF son dos cuadrados que forman un diedro de 60°. Si el lado del cuadrado mide 4. Calcular ED. 2. Determinar la suma de las caras del ángulo poliedro que se forma en cada vértice de un dodecaedro regular. 3. Calcular el volumen de un cilindro si el área total es 100 y la suma del radio de la base y la generatriz es 25. 4. La esfera circunscrita a un cubo tiene un radio igual a 3 . Calcular la arista del cubo. 5. Se tiene un ladrillo donde las dimensiones son : largo : 20 cm , ancho: 15 cm y de altura : 10 cm .cuantos ladrillo se necesita para levanta una pared de 900m3 6. Calcule la suma de las longitudes de las tres dimensiones de un paralelepípedo rectangular, si su área total es 160m2 y su diagonal es 6m. NIVEL 2 7. El volumen del cono menor es 48, calcule el volumen del cono mayor. 8 2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [25] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 8. Las caras de un pedazo de madera con forma de paralelepípedo rectangular tienen 6; 8 y 12 cm2 de área, respectivamente. Calcula el volumen del pedazo de madera. 9. Calcule el volumen de hormigón que se ha necesitado para construir un túnel igual al que se muestra en la siguiente figura: 10. Se tiene un tarro de leche gloria donde la dimensiones son: diámetro de la base: 10 cm y tiene una altura de 20 cm .Determinar el volumen que de la caja que contiene 48 tarros distribuidos 6 tarros de largo por 4 tarros de ancho y2 tarros de altura. NIVEL 3 11. Se va a construir en cemento el sólido que se muestra en la figura, compuesto por un cilindro circular recto de 18cm de altura y 7cm de radio con 2 semiesferasen sus extremos. Cuanto cemento se requiere para la construcción del solido? Si se quiere proteger el sólido con una lámina de acrílico, que cantidad de acrílico se necesita? DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [26] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 12. Se va a construir en cemento el sólido que se muestra en la figura, compuesto por un cilindro circular recto de 18cm de altura y 7cm de radio con 2 semiesferas en sus extremos. Determine: a) ¿Cuánto cemento se requiere para la construcción del sólido? b) Si se quiere proteger el sólido con una lámina de acrílico. ¿Qué cantidad de acrílico se necesita? 13. Se tiene el diseño de un reservorio de agua para una ciudad con ciertas dimensiones como se muestra en la figura. Halle el volumen y el área superficial de dicho sólido. 14. ¿Qué porción de la caja ocupa cada uno de los siguientes tetraedros?. 15. Se tiene una maceta cuya dimensiones son de 20 cm de diámetro y 60 cm de altura, calcular la cantidad de volumen de tierra de tal manera que esta, se encuentre a 10 cm de la superficie de la maceta. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [27] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD 4: TRIGONOMETRIA SESIÓN 1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la unidad el estudiante resuelve problemas vinculados a su entorno, haciendo uso de los principios básicos de la trigonometría como el uso de las razones trigonométricas, permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal. IMPORTANCIA DE LA TRIGONOMETRÍA EN LA VIDA DIARIA La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado epistemológico es la medición de triángulos. En sus inicios se estudia las razones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son usadas frecuentemente en cálculos técnicos. Puede ser aplicado en el diseño y fabricación de las piezas que se producen en una máquina, en el sector construcción, arquitectura, iluminación, desplazamiento de fluido en física y química, estática, cinemática y dinámica, ondas luz y sonido, dirección e interferencia, resonancia y en casi todas las ramas de la ingeniería y telecomunicaciones. La aplicación en un inicio se dio en el campo de la navegación, la geodésica y la astronomía, en la que el problema era calcular la distancia inaccesible, como la distancia de la tierra a la luna. Hoy en día es muy utilizado para localizar de forma muy precisa usando un sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [28] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA satélites en órbita exacta. En la ingeniería civil se usa para trazos y levantamientos en terrenos, en la construcción de estructuras exactas como armaduras, pendientes CÁLCULO DE LONGITUDES La trigonometría es útil para resolver problemas geométricos y calcular longitudes en la realidad. Con un teodolito como el de la figura 1, se pueden medir ángulos, tanto en el plano vertical como en el horizontal, que nos permiten, aplicando las razones trigonométricas, hallar distancias o calcular alturas de puntos inaccesibles. Como la altura de un cerro para la construcción de torre de alta tención o torres de señalización para helicópteros o aviones. Figura 1 Fuente: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_ B_trigonometria/cuadernos/4esoB_cuaderno_7_cas.pdf DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [29] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Aquí podemos observar la forma de cómo medir grandes alturas. De igual manera para calcular la anchura de un río, como el de la figura 2, no siendo el triángulo de partida ABC un triángulo rectángulo, se debe trazar una altura y así poder obtener dos triángulos rectángulos; y con los datos que tenemos calcular la anchura del río. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [30] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA RAZONES TRIGONOMETRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO Se les define como los cocientes que se obtienen al relacionar las distancias de CATETO OPUESTO los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE seno sec ante cateto opuesto hipotenusa coseno cos ecante cateto adyacente tangente hipotenusa cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente cateto opuesto cot g cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto Ejemplos: 1. Hallar las razones trigonométricas del ángulo “B” de un triángulo rectángulo ACB, recto en “C”. Sabiendo que: a = 5 y c = 13. Solución: Hallamos el valor de “b” por medio del Teorema de Pitágoras A c2 = a2 + b2 c =13 b Luego: C a =5 132 = 52 + b2 169 = 25 + b2 B b =12 Ahora, hallamos las 6 razones trigonométricas, respecto al ángulo “B”. b 12 c 13 a 5 cos B c 13 b 12 tg B a 5 sen B DEPARTAMENTO DE CIENCIAS cos ec B c a 2 2 2 c = a + ba cot B b sec B [31] c 13 b 12 13 5 5 12 INGENIERÍA Y ARQUITECTURA b = 12 12 En el triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, si: tg C .Calcule el valor de: 5 cos A 1 sen A Solución: b A c = 12 b2 = a2 + c2 B C a =5 c 12 tg C a 5 Calculamos el valor de “b” por medio del Teorema de Pitágoras Por definición: Luego: b2 = 52 + 122 b2 = 169 b = 13 Ahora calculamos el valor de la expresión incógnita. c b 12 12 cos A 13 13 1 senA a 5 18 1 1 2 2 2 b |= a +13c b 13 cos A 12 2 1 senA 18 3 1. RAZONES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS c2 = a2 + b2 Teorema: “El producto de dos razones reciprocas es siempre igual a la unidad” SenA Co sec A TgA CtgA a b 1 b a a c 1 c a CosA SecA c b 1 b c Ejemplos: 1. Si se cumple que: Sen(2x + 5°) . Cosec 21° = 1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [32] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Halle el valor de “x”. Solución: Como el producto de Seno y Cosecante es igual a 1, los ángulos deben ser iguales. 2x + 5° = 21° 2x = 21° - 5° 2x = 16° 2. entonces x = 8° Si Tg (15x – 31°) . Cotg (3x – 25°) – 1 = 0 Halle el valor de “x”. Solución: La expresión dada se puede escribir así: Tg (15x – 31°) . Cotg (3x – 25°) – 1 = 0 Tg (15x – 31°) . Cotg (3x – 25°) = 1 Por definición de razones reciprocas: (15x – 31°) = (3x - 25°) 12x = 6° entonces x = 0,5° 2. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPLEMENTARIOS “Toda razón trigonométrica de un ángulo es igual a la Co-razón trigonométrica del complemento de dicho ángulo.” TgA a b CtgB a b TgA CtgB SecA c c Co sec B b b SecA Co sec B SenA a a CosB c c SenA CosB Ejemplo: 1. Siendo: Tg(x + 10°) = Ctg(x + 40°) Hallar el valor de “x”. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [33] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Solución: En la expresión dada la cotangente es co- razón de la tangente, los ángulos son complementarios o sea deben sumar 90°. (x + 10°) + (x + 40°) = 90° 2x = 90° - 10° - 40° 2x = 40° entonces x = 20° 3. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS NOTABLES 3.1. Triangulo rectángulo de ángulos agudos 30° y 60° l l 1 sen 30º 2 l 2l 2 l 3 l 3 3 cos 30º 2 l 2l 2 cot g 30º sec 30º 1 2 cos 30º 3 cos ec 30º 1 2 sen 30º 1 2 1 3 tg 30º 2 3 3 2 3 3 2 1 3 3 3 3 tg 30º 3 3 3.2. Triangulo rectángulo de ángulos agudos 45° sen 45º cos 45º cos 45º DEPARTAMENTO DE CIENCIAS l l 2 l l 2 l l 2 [34] 1 2 cos 45º 2 1 2 2 2 sec 45º 1 2 2 2 cos ec 45º 1 2 2 2 cot g 45º 1 2 sen 45º 2 1 1 1 tg 45º 1 INGENIERÍA Y ARQUITECTURA HOJA DE TRABAJO NIVEL I 1. Determinar las 6 razones trigonométricas del ángulo “A” de un triángulo rectángulo ABC recto en “B”, si se sabe que: b = 4a 2. En el triángulo ABC, recto en “B”, se sabe que: 5 Cos A = 3. Hallar el valor de: 12TgA CtgA 5SenA 3. En el triángulo ACB, recto en “C”, se sabe que: 7 Sen B = 5. Hallar el valor de: 4SenA TgA 3CosB 4. En el triángulo BAC, recto en “A”, se sabe que: 3 Cos C = 1. Hallar el valor de: Ctg 2 B Tg 2 B 4 5. Si: cos (x +y + 20°). sec (6x + y – 60°) = 1. Hallar el valor de “x” 6. Si: cos (x + y +30°).sec (3y + x – 10°) = 1. Hallar el valor de “y”. NIVEL II 7. Si: tg (a + b + 40°) . cotg (3a – b – 60°) = 1 y a + b = 70°. Halle el valor de “a”. 8. Si: sen (x + y) . cosec (2x – y) – 1 = 0 y sec (3x – y) . cos (100°) = 1. Halle “x”. 9. Si: cot(3m – n + 10°).tg(n + m + 50°)+21 = 22 y m = 3n Halle el valor de “m”. 10. Si: sen [(a – b) + x – 4°].cosec [5x – (b –a) – 36°] = 1. Halle el valor de “x”. 11. Si: sen (x + 2y) = cos (y – x) y tg (2x – y) = ctg(20°) Halle el valor de “x”. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [35] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 3kx 3ky tg 12. Si: tg 1 3 3 4 4 , además: x – y = 10°. Calcular el valor de “k” 13. Si: a 3 cos 60. cos ec30 b 2 sec 45tg 45sen30 Halle: K = a + b + ab 14. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, son: a = sen2 45° sec 60° b = cos2 30° cos 37° Halle la tangente del menor ángulo agudo. NIVEL III 15. Una torre de petróleo de 135 pies de altura está situada sobre un lago. El ángulo de depresión desde la punta de la torre hasta una cabina situada cerca a la base de la torre es de 36.3°. ¿Cuál es la distancia desde la base de dicha torre hasta la cabina? 36.3° 135 pies 16. Si el ángulo de elevación del Sol es 42°. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada sobre el suelo de una persona que mide 6.1 pies de altura? DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [36] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 17. Los puntos A y B están en una misma recta horizontal con el pie de una colina, y ángulos de depresión de estos puntos desde la cima son 30.2° y 22.5°, respectivamente. Si la distancia entre A y B es de 75 m ¿Cuál es la altura de la colina? 18. Un aeroplano vuela a 10500 pies sobre la tierra. El ángulo de depresión del avión a la base de un árbol es de 13°50´. ¿A qué distancia horizontal debe volar la nave para que esté directamente arriba del árbol? 10500 pies 19. El ángulo de depresión de un edificio a un punto del piso es de 32°30´. ¿ Qué tan lejos queda el punto en el suelo de la parte superior del edificio si este mide 252 metros de altura ? 32°30´ 252 metros DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [37] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 20. Supongamos que el lado AC mide 4m. y en su punto medio se encuentra una persona que mide 1,50m. Con dicha información ¿Calcular la altura del mástil? 21. Pedro una albañil de construcción desea calcular la longitud de las vigas que colocara en el techo(es decir la distancia CD), para tal propósito consulta con su hijo que estudia Ingeniería Civil en la UPN qué determine la longitud del techo. 22. El extremo superior de una escalera está apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 3m. Si forma un ángulo 51º con el suelo. ¿Cuál es el largo de la escalera? 23. Desde lo alto de un faro, a 160 m del nivel del mar, se observa un barco con un ángulo de depresión de 18º. ¿A qué distancia se encuentra el barco de la base del faro? DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [38] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 24. Jorge tiene un gato muy juguetón, que siempre se sube al árbol que se encuentra en frente de su casa. Cuándo quiere ubicarlo se da con la sorpresa que se encuentra en lo alto de dicho árbol formando un ángulo de 30º con el piso, cuándo se acerca 10m hacia al árbol para tratar de bajar al gato observa por segunda vez con un ángulo de 60º. ¿Cómo ayudarías a Jorge ha encontrar la altura de dicho árbol? 25. Un globo aerostático está situado a 300 km. sobre el nivel del mar. Hay dos barcos estacionados en el mar. El tripulante del globo mide un ángulo de depresión hacia el primer barco de 40° y otro de 25° hacia el segundo barco. ¿Cuál es la distancia entre los dos barcos? Bibliografía: # 1 2 CÓDIGO-L AUTOR 515 STEW/P 2007 James Stewart Lothar Redlin Saleem Watson Franklin Demana Bert Waits Gregory Foley Daniel Kennedy 515 DEMA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS TITULO PÁGINAS “Matemáticas para el Cálculo” 5ta. Edición - 2007 408 – 414 478 - 500 “Pre cálculo. Gráfico, numérico, algebraico” 7ma. Edición - 2007 360 – 375 [39] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PÁGINAS ELECTRÓNICAS: http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como aprender.htm http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_0 4/APPUNTI.HTM DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [40] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA SESIÓN 2 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE LOGRO DE UNIDAD Al finalizar la unidad el estudiante resuelve problemas vinculados a su entorno, haciendo uso de los principios básicos de la trigonometría como el uso de las reducciones al primer cuadrante; permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal. Se llama reducción al primer cuadrante al proceso mediante el cual se puede expresar cualquier ángulo trigonométrico en términos de un ángulo agudo. IMPORTANCIA DE LA REDUCIÓNA LA PRIMER CUADRANTE La reducción al primer cuadrante nos permite estimar el comportamiento de los modelos matemáticos que represente el comportamiento de cualquier objeto de estudio, como puedes los costos, ingresos, oferta, demanda, volumen de ventas, etc. En el caso de la demanda donde se puede apreciar la relación entre el precio con el número de productos vendidos, se puede estimar mediante la tangente del ángulo α° como se puede apreciar en la figura 1, reduciendo al primer cuadrante si el ángulo es mayor que 90°. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [41] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Figura 1 α° REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Consiste en comparar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con respecto al valor de la función trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante. (Angulo agudo). Veremos las propiedades que cumplen estos ángulos por la periodicidad que tienen las F.T. en la C.T. 1.1. ÁNGULOS COTERMINALES R.T( θ k.360) R.T( ) ó R.T θ 2kπk R. T( ) 1.2 R .T. DE ÁNGULOS NEGATIVOS Sen( θ) Sen( θ) y Cos( θ) Cos( θ) Generalizando: Tg (- ) = - Tg ( ) Ctg (- ) = - Ctg ( ) Sec (- ) = Sec ( ) Csc (- ) = - Csc ( ) 1.3 FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN: , K : par (s) R.T.() R.T(K.90 ) (s) CoR.T.() , K : impar El ( s = signo ) viene dado, por el cuadrante donde se encuentre ubicado el ángulo inicial: ( K.90° ). DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [42] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 1.4 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS SEGÚN EL CUADRANTE Según el cuadrante donde se encuentre el ángulo, variarán los signos de las coordenadas x, y obteniéndose: Ejemplos: 2. Reducir al primer cuadrante: sen 240°. Solución: El ángulo 240° al Q3, lo descomponemos como: (180° + 60°). Luego: sen 240° = sen (180° + 60°) = – sen 60° La función seno en Q3, es negativa, entonces al resultado se colocara (-); también se debe tener en cuenta que no es la única respuesta ya que: sen 60° = cos 30° por el complemento que dice así: Función () = Cofunción (complemento de ) sen 10° = cos (90° - 10°) = cos 80° cos 20° = sen (90° - 20°) = sen 70° tg 40° = cotg (90° - 40°) = cotg 50° 3. Reducir al primer cuadrante: cos 140°. Solución: El ángulo 140° al Q2, lo descomponemos como: (180° - 40°). DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [43] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Luego: cos 140° = cos (180° - 40°) = – cos 40° Aplicando el concepto de cofunción, el resultado puede también ser así: cos 140° = - cos 40° = - sen 50° 4. Simplificar: 3 tg x cos x 2 R cot g 270 x sen360 x Solución: La expresión dada se puede escribir así: Sabemos que: R tg 180 x cos270 x ..............( I ) cot g 270 x sen360 x R tg 180 x cos270 x cot g 270 x sen360 x Reemplazamos valores en ( I ): R tg x senx 1 1 tgx senx 1 tg (180° + x) = tg x 1. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Se le define como una igualdad de términos de razones trigonométricas que a diferencia de la igualdad algebraica se satisface con casi la totalidad de los valores angulares, veamos: cos (270° - x) = - sen x cotg (270° + x) = - tg x sen (360° - x) = - sen x sen2 + cos2 = 1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [44] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Comprobando para algunos valores del ángulo “ “: = 45° Para: sen 2 45 cos 2 45 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 22 1 1 4 4 4 11 = 30° Para: sen 2 30 cos 2 30 1 2 1 3 1 2 2 1 3 1 3 1 1 4 4 4 11 2 1.1. IDENTIDADES FUNDAMENTALES Se clasifican en: a) Reciprocas: 1 csc 1 csc sen sen 1 sec 1 sec cos cos 1 cot 1 cot tan tan b) Por división: tan DEPARTAMENTO DE CIENCIAS sen cos cot [45] cos sen INGENIERÍA Y ARQUITECTURA c) Pitagóricas: sen 2 cos 2 1 tan 2 1 sec 2 1 cot 2 csc 2 Ejemplos: 1. Demostrar que: sec - tg sen = cos Solución: Expresando en función de seno y coseno. sec tgsen cos 1 1 sen 2 sen cos sen cos se obtiene cos cos cos Por identidad: 1 sen 2 cos 2 se tiene cos 2 cos cos cos cos 2. Simplifique la siguiente expresión: A = (1- sen x) (sec x + tg x) Solución: Expresando en función de seno y coseno. senx 1 A 1 senx cos x cos x 1 senx A 1 senx cos x 1 senx 1 senx A cos x 1 sen 2 x cos 2 x A cos x cos x cos x DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [46] A cos x INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS a. SUMA DE DOS ÁNGULOS sen( ) sen cos cos sen tg ( ) cos( ) cos cos sensen tg tg 1 tg tg b. DIFERENCIA DE DOS ANGULOS sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sensen tg ( ) tg tg 1 tg tg Ejemplo: 2. Calcular : sen 75° Solución: Sabemos que: 75° = ( 45° + 30°), ahora tomamos “sen” a ambos miembros sen 75° = sen (45° + 30°) sen 75° = sen 45° cos 30° + cos 45° sen 30° 2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 sen75 4 4 sen75 sen75 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 6 4 2 [47] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 3. Si: Hallar “tgx” tg (45° + x) = 2 Solución: De la condición: tg (45° + x) = 2 ; obtenemos: tg 45 tgx 2 1 tg 45.tgx 1 tgx 2 1 1.tgx pero: tg 45° = 1 1 tgx 2 1 tgx 1 + tg x = 2 (1 – tg x) 1 + tg x = 2 – 2 tgx 3 tg x = 1 tgx DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 3 [48] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA HOJA DE TRABAJO NIVEL I 1. Simplifique la siguiente expresión: E ctg 360 A tg 450 A tg 270 A ctg 180 A 2. Halle el valor numérico de: M = 3 tg2 300° - 6 cos2 240° + cos (- 360°) 3. Simplifique la siguiente expresión: A = (1 – sen x) (sec x + tg x) 4. Reduza la siguiente expresión: M = tg x (1 – ctg2 x) + ctg x (1 – tg2 x) 5. Calcular: tg 82° 6. Simplifique la siguiente expresión: : M = sen 50° - 2 cos 40° sen 10° 7. Reduza la siguiente expresión: 70° cos 10° + cos 70° sen 10° 8. Hallar el valor de : Q = (a + b) tg 225° - 2a sen (- 270°) + (a – b) cos 180° 9. Simplifique la siguiente expresión: S tgx ctgx 1 tgx 1 ctgx NIVEL II 10. Calcular el valor de : cos A B ; Si : sen A 5 13 y cos B 4 5 A y B pertenecen al Q. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [49] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 11. Calcular el valor de : cos A B ; Si : cos A 12 13 y cot gB 5 12 A y B pertenece Q 12. Si: tg A B 1 1 ; tg B C 3 5 Halle el valor de: tg (A – C) 13. Si se cumple la identidad: cotg2 x – cos2 x = cotgm x . cosn x Evalúe: m . n-1 + m.n 14. Si : sen x + cos x = b ; Hallar el valor de : R = 2 sen x . cos x + 1 15. En la siguiente identidad hallar el valor de “ n “: senx tgx 2 cos x 12 1 sec xn 16. En la siguiente identidad hallar el valor de “ n “: 1 senx 3n 1sec tg 1 senx NIVEL III 17. Juan posee un terreno de forma de un trapecio recto, que desea vender. Si se sabe que el costo por metro cuadrado es de 80 dólares. Determine el costo total del terreno si la figura muestra las características del terreno. 12m 210° 12m DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [50] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 18. La municipalidad de Lima puso a la venta un terreno de forma triangular. Determine el costo de dicho terreno si se sabe que el metro cuadrado cuesta 75 dólares. 19. Una empresa colocará en la parte superior de sus muros unos soportes como muestra la figura, con el propósito de sostener el techo de madera. De la misma forma desean tapar las ranuras de dichos soportes con triplay de cedro. Calcule el área triangular formada por los soportes, de acuerdo a las características que muestra la figura. Tener en cuenta: 143° 8m 8m 20. Se tiene una estructura de forma triangular tal como se muestra en la figura. Si se sabe que la estructura tiene forma de un triángulo isósceles, y que sus lados iguales tienen una longitud de: 4m. y que el ángulo mayor mide 127°. Calcule su área de dicha estructura. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [51] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Bibliografía: # 1 CÓDIGO-L AUTOR 515 James Stewart STEW/P Lothar Redlin 2007 Saleem Watson TITULO PÁGINAS “Precálculo. Matemáticas para el Cálculo” 414 – 418 5ta. Edición – 2007 Franklin Demana 515 Bert Waits “Precálculo. Grafico, numérico, algebraico” DEMA Gregory Foley 7ma. Edición – 2007 443 – 470 2 Daniel Kennedy PÁGINAS ELECTRÓNICAS: http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [52] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA SESIÓN 16: LEY DE SENOS Y COSENOS LOGRO DE UNIDAD: Al finalizar la unidad el estudiante resuelve problemas vinculados a su entorno, haciendo uso de los principios básicos de la trigonometría como el uso de las Leyes del Seno y cocino; permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal. 1. LEY DE SENOS “En cualquier triangulo ABC, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos” a b c senA senB senC Ejemplos: 5. En la figura mostrada, hallar “ x “. A 2x x+1 53° B 30° 7° C Solución: Por ley de senos: 2x x 1 sen53 sen30 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Pero, sen53 [53] 4 5 sen30 1 2 INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Luego: 2 x 1 4 1 5 2 10 x 8 x 8 10 x 2 x 1 4 2x 8 x4 6. En la figura mostrada, hallar “ x “. b=5 37° C a=8 Solución: Por ley de senos: 5 8 sen37 senA Donde : 8 sen37 5 8 3 24 senA 5 5 25 senA senA 24 25 El valor de “sen A”, hallado lo llevamos a un triángulo: Por el Teorema de Pitágoras: x2 = 252 – 242 x2 = 625 – 576 x2= 49 25 x x7 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 24 [54] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 2. LEY DE COSENOS “En todo triangulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman” a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C Ejemplos: 1. En un triángulo sus lados son: 8 ; opuesto a 73 ; 9. Hallar el coseno del ángulo 73 Solución: B Aplicamos ley de cosenos: c=8 a 73 a 2 b 2 c 2 2bc cos A A b=9 C Luego: 73 2 9 2 8 2 2 x9 x8 x cos A 73 81 64 144 cos A cos A 72 144 cos A 1 2 2. Reducir la siguiente expresión: K 2bc cos A 2ac cos B 2ab cos C a2 b2 c2 Solución: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [55] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Por ley de cosenos: i) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A 2bc cos A b 2 c 2 a 2 ii) b2 = a2 + c2 – 2ac cos B 2ac cos B a 2 c 2 b 2 iii) c2 = b2 + a2 – 2ba cos C 2ba cos C b 2 a 2 c 2 Luego reemplazamos los valores hallados en “K” K b 2 c2 a2 a2 c2 b2 b2 a2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 K 1 3. ANGULOS VERTICALES Se llaman así a todos aquellos que se denominan en un plano vertical. El instrumento para medir estos ángulos se llama TEODOLITO. Tenemos dos clases de ángulos verticales. Ángulos de Elevación y Ángulos de Depresión. 3.1 ANGULO DE ELEVACION Es aquel cuya medición se realiza entre la línea visual y la línea horizontal; pero cuando el objeto se encuentra por encima de la horizontal. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [56] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 3.2 ANGULO DE DEPRESION Es aquel cuya medición se realiza entre la línea visual y la línea horizontal; pero cuando el objeto se encuentra por debajo de la horizontal. Ejemplo: 4. Una persona que mide 1.75 metros esta parada en el extremo de un muelle que sobresale 4.5 metros por encima del agua. Si observa una lancha de pecadores con un ángulo de depresión de 4° grados. ¿A qué distancia del observador esta la lancha? Solución: tg cateto opuesto cateto adyacente 4,5 1,75 x 4,5 1,75 x x 89,38 m 5. Un observador, tg cuya 4 estatura es de 1.65 metros se aleja 15 metros de la base de un edificio y desde esta posición dirige la vista al punto más alto de la tg 4 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [57] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA fachada de dicho edificio. Si el ángulo de elevación es de 64°. ¿Cuál es la altura del edificio? Solución: tg cateto opuesto cateto adyacente x 15 x 15 tg 64 tg 64 x 89,38 m Altura del edificio: 30,75 + 1,65 = 32, 4 metros. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [58] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA HOJA DE TRABAJO NIVEL I 1. En un triángulo ABC, si se cumple que: Calcule el lado AC. 2. En un triángulo ABC, se tiene: a AB. a 2 u , B = 60° ; A = 45 °. 6 u , b = 2 u ; C = 75 °. Calcular el lado 3. En la figura encontrar . 4. En un triángulo ABC. A = 60° ; b = 2 u ; B = 45°. Calcular el lado BC 5. En un triángulo ABC ; Si a = 2b. Hallar: E sen A sen B 6. En un triángulo ABC: a 2 3 AC. , A = 60° ; B = 45°. Calcular el lado 7. En un triángulo ABC, simplificar: E asenB bsenA ; asenC csenA si : b 3c NIVEL II 8. Un observador situado a 30m de una torre de alta tensión, observa la parte superior de esta con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura de la torre? 30° 30 m DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [59] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 9. Una niña observa una nube con un ángulo de elevación de 37°, luego de avanzar cierta distancia acercándose a la nube, el ángulo de elevación con el cual ve a la nube es de 53°. Si la nube se mantiene estática a una altura de 121 m. ¿Qué distancia caminó el niño, si se sabe que la niña mide 1m? 37° 121 m 53° 10. Desde el puesto de vigía de un barco que tiene 48m de altura, se observa que el ángulo de depresión de un bote es de 30°. Calcule la distancia a la que está el barco. (en metros) 30° 11. Desde un avión se observa un barco con un ángulo de depresión de 53°. Si en ese instante el avión vuela a 3 000m de altura. ¿Cuál es la distancia “d” entre el avión y el barco? 53° d DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [60] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 12. Calcular la altura “h” de un edificio observado con un teodolito de 1,50m d altura, si el observador, está ubicado a 50m del edificio y el ángulo de elevación es de 37°. h 37° 13. Desde un helicóptero que vuela sobre el mar a 470 m de altura, se divisa una boya. La amplitud del ángulo que forman la visual y la vertical es de 52º. ¿Calcular a que distancia de la boya se encuentra el helicóptero? NIVEL III 14. Desde el extremo superior de una torre de 24 m de altura se observan los puntos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37º y 53º respectivamente si los puntos A y B se encuentran alineados con la torre. Determinar la distancia entre dichos puntos. 37° 53° 24 m B DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [61] A INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 15. Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de observación en Phoenix y Los Ángeles, apartadas 340 kilómetros. En un instante cuando el satélite esta entre estas dos estaciones, su ángulo de elevación es observado de manera simultánea como 60° en Phoenix y 75° en los Ángeles. ¿Qué tan lejos está el satélite de Los Ángeles? 60° 75° 340 k m 16. La trayectoria de un satélite que orbita la Tierra ocasiona que pase directamente sobre dos estaciones de rastreo A y B separadas 50 kilómetros. Cuando el satélite esta sobre una de las dos estaciones, los ángulos de elevación en A y B son 87° y 84,2° respectivamente. ¿Qué tan lejos está el satélite de la estación A? A 87° 84,2° B 50 km 17. Para hallar la distancia a través de un rio, una topógrafa elige los puntos A y B, que están separados 200 pies sobre un lado del rio. La topógrafa elige entonces un punto de referencia C sobre el lado opuesto del rio y encuentra que el ángulo BAC es 82° y el ángulo ABC es 52°. Hallar la distancia de A a C. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [62] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA A C 82° 200 52° B 18. El campanario de la catedral en Pisa, Italia, se inclina 5,6° desde la vertical. Un turista se para a 105 m de su base, con la inclinación del campanario directamente hacia él. El turista mide el ángulo de elevación hasta la parte superior del campanario como 29,2°. Encuentre la longitud del campanario, si se sabe que el turista mide 1,87 m. 29.2° 105 m 19. En el triángulo ABC, que representa la posición de sus casas de José y Lupe como se muestra en el gráfico. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [63] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Con la ayuda de sus conocimientos de leyes de senos. ¿Calcule la distancia entre las casas de José y Lupe? 20. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y planas. La distancia entre A y B es de 6 km y la que hay entre B y C, de 9 km. Si el ángulo formado por ambas carreteras es de 60º, ¿cuál es la distancia entre A y C? Bibliografía: # CÓDIG O-L AUTOR TITULO 1 515 STEW/ P 2007 James Stewart Lothar Redlin Saleem Watson “Precálculo. Matemáticas para el Cálculo” 5ta. Edición – 2007 2 515 DEMA Franklin Demana Bert Waits Gregory Foley Daniel Kennedy “Precálculo. Grafico, numérico, algebraico” 7ma. Edición – 2007 PÁGINAS 501 – 524 478 – 500 PÁGINAS ELECTRÓNICAS: http://www.matematicaytrenes.cl/ecuacionTrig.PDF http://genarozorrilla.com/zorrilla/attachments/113_Ejercicios%20 %20%20Resueltos%20de%20Ecuaciones%20Trigonom%C3%A 9tricas.pdf http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad3/u3trigreto.pdf DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [64] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
