Download ii parcial de fisica 2 capacitores y corriente

JOSÉ PERAZA, FISICA 2
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Capacitores y Dieléctricos
Capacitor: en forma general un capacitor es un
dispositivo que almacena energía en un campo
electrostático,
los
cuales
constan
de
dos
conductores de forma arbitraria o sea que no
importa su geometría y damos por hecho que se
encuentran totalmente aislado de su entorno, a
Los capacitores tienen una banda un lado para
estos conductores se les conoce como placas
del
capacitor.
El
capacitor
se
identificar cual es el terminal negativo, este
considera
terminal negativo es generalmente el que tiene
inicialmente sin carga, luego al ser conectados a
una
diferencia
de
potencial
estas
la patica mas corta (llamado cátodo) y el
placas
terminal más largo es el positivo ( llamado
adquieren cargas de igual magnitud pero signos
contrarios Q y −
ánodo)
, observe que Q no es la
El capacitor es un dispositivo eléctrico que
carga neta del capacitor la cual es cero, sino
permite almacenar energía en forma de campo
que Q es la magnitud de cualquiera de las dos
eléctrico. Es decir, es un dispositivo que
placas del capacitor.
almacena cargas en reposo o estáticas. Consta
en su forma más básica de dos placas de metal
llamadas armaduras enfrentadas unas a otras,
de forma que al conectarlas a una diferencia de
potencial o voltaje una de ellas adquiera cargas
negativas y la otra positivas.
Cuánta carga almacena un condensador al
aplicársele una diferencia de potencial entre sus
terminales viene determinada por una magnitud
llamada capacitancia.
Capacitancia (C) es la capacidad que tiene un
condensador o capacitor de almacenar carga
eléctrica en forma de energía, y dicha magnitud
se determina por la ecuación:
=
1
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Donde C representa el cociente que existe entre
voltios. Determinar la cantidad de electrones en
la carga Q que tienen las placas del capacitor y
exceso que tiene en su placa negativa.
el voltaje o diferencia, esta magnitud es
Supongamos que N es el numero de electrones
constante para cada capacitor, a medida que la
en exceso que tiene una carga neta de
carga aumenta o disminuye en la misma
magnitud
= !"
#
80$10
. &2,7# )
! = =
=
"
"
1,60$10
proporción lo hará la diferencia de potencial.
Eléctricamente el capacitor se representa como
! = 1,35$10 "-"./01 "2
Calculo de la Capacitancia de un capacitador
Para
determinar
la
capacitancia
de
un
capacitador necesitamos conocer su geometría
ya que de ella depende este valor.
Entre
los
capacitores
más
comunes
se
encuentran los de placas planas y paralelas
a) Capacitor donde no es importante su
polaridad, b) capacitor con polaridad, y c)
capacitor ajustable o variable.
La unidad de capacitancia en el sistema
internacional (SI) es el Faradio (F).
1 =
, recibe este nombre en
honor a Michael Faraday, quien entre tantas
contribuciones desarrollo el concepto de
capacitancia, esta unidad de capacitancia es
demasiado grande, así que se desarrollan
varios submúltiplos de esta unidad como lo
Donde
son:
eléctrico 345 , esta dirigido desde la placa positiva
= 10
,
= 10
= 10
,
podemos
observar
que
el
campo
hacia la placa negativa.
= 10
A través de la ley de Gauss relacionamos la
Un capacitor de almacenamiento de memoria
carga Q, con las placas
tiene 80
78 = , donde tenemos que
∮ 345 444445
9
de capacitancia y esta siendo
:
cargado a una diferencia de voltaje de 2,7
2
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;
3 =
4=02 >
?
@
ABCD
AE
3
0
C B
D
E
;
38 F
38>
32=0J>F
Gaussiana, entonces despejando E, tenemos
placas, y podemos observar entonces que la
3
capacitancia depende entonces de la geometría
del mismo.
8,85$10
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Donde 2=0J es el área de la superficie
Donde d es la distancia
ancia que separa las dos
Donde >F
;
8 >0
;
2=0J>F
Por otro lado tenemos que
/!
#
Capacitor de placas cilíndricas
#
44445
K 345 7J
K
L
K 370
L
;70
2=0J
=0J>F
#
L
;
70
K
2=J>F L 0
;
S
ln R U
2=J>F
T
Ahora utilizando la relación
?
@
Y
VW
X
MNO D
MNOC
Z[
MNOCD
Y
VW XZ[
Capacitores esféricos
Encontremos la ecuación de la capacitancia
para un capacitor esférico
Se muestra la sección transversal de un
capacitor cilíndrico de longitud L, formado por
dos cilindros coaxiales de radios a y b, y
suponiendo que L≫ b, elegimos una superficie
gaussiana a un cilindro de longitud L y radio r
Por Gauss tenemos
444445
I 345 78
Partimos de la ley de Gauss
;
>F
78
I 345 444445
3
;
>F
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;
8>F
3
;
34=0 >F
3
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;
4=0 >F
Por otro lado tenemos que
#
#
K
L
@
K 345 44445
7J
L
; 70
4=>F 0
]
R
\NCD Z
K 370
L
;
70
K
4=>F L 0
]
U
Y
Capacitores con Dieléctricos
Hasta ahora hemos estudiado los capacitores
suponiendo que entre sus placas esta el vacio,
pero existen capacitores que tienen un material
Sabemos que
llamado dieléctrico entre sus placas y este
material afecta su capacitancia, la primera
persona que estudio el efecto de rellenar un
^
capacitor entre sus placas con un material
aislante o dieléctrico fue el científico Michael
F
Faraday en el año de 1837,para realizar este
;
#
;^
(.1 7_"-"./0_.1)
#
;F
(sin 7_"-"./0_.1)
#
experimento Faraday construyo dos capacitores
El experimento de Faraday demostró que la
idénticos, pero uno tenia aire entre sus placas y
carga en el capacitor que tenía dieléctrico entre
el otro estaba relleno de un material dieléctrico,
sus placas era mayor que la carga del capacitor
a ambos capacitores se les suministro la misma
que no tenía dieléctrico, esto es:
;^ > ;F
diferencia de potencial entre sus terminales
Luego tenemos que:
^
^
F
4
>
F
> 1
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El factor de proporcionalidad por el cual crece la
manera, estas pueden ser en serie y en
capacitancia
paralelo.
cuando
existe
un
material
Capacitores en serie
dieléctrico entre sus placas en un capacitor es:
c
^
F
Dos o más capacitores están conectados en
serie si a través de cada uno de ellos circula la
Luego
?d
misma carga eléctrica y el voltaje total es igual a
e?D
la
Donde este valor de k se denomina constante
suma
de
cada
uno
de
los
voltajes
individuales.
dieléctrica, y es una magnitud adimensional
Dieléctrico
Constante dieléctrica
Ámbar
2.7-2.9
Agua
80.08
Aire
1.00059
Alcohol
25.00
Baquelita
4-4.6
Cera de abejas
2.8-2.9
Glicerina
56.2
Helio
1.00007
Mica moscovita
4.8-8
Parafina
2.2-2.3
Plástico vinílico
4.1
Plexiglás
3-3.6
Para este circuito tenemos que
;f
;
#
;
# +# +#
1
+
;
+
;
;f
f
=
1
+
1
+
1
Si tenemos N capacitores el equivalente será
4-5
1
N. I, Shirkévich M. G., Edt. Mir, págs 124-125
=
1
+
1
+
1
f
Capacitores en serie y paralelo
analizamos
;
#
f
Fuente: Manual de física elemental, Koshkin
Cuando
;
Como las cargas son iguales tenemos que:
Porcelana electrotécnica 6.5
Seda natural
;
circuitos
eléctricos
deseamos saber la capacitancia equivalente de
dos o más capacitores conectados de alguna
Capacitores en paralelo
5
+ ⋯ . . +
1
i
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Dos o más capacitores están en paralelo si el
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capacitor.
arreglo tiene las siguientes características, entre
los terminales de cada uno de los capacitores
existe la misma diferencia de potencial y la
carga total es igual a la suma de todas las
corrientes individuales.
Solución
Primero resolvamos los capacitores c3 y c4 que
están en serie
lm
+
j
3
j
3
2
+ 2
1,2
Para esta configuración tenemos que:
#f
;f
Como #
#
#
; + ; + ; + ;j
;f
#j
#+
#+
;
#
C2
#
C1
lm
C5
#+
j#
f #
Ahora resolvamos el paralelo entre
Como los voltajes son iguales tenemos que
+
f
Si
tenemos
N
+
+
capacitancias
lm
+
+
+
j
lm
+ .2
entonces
+ ⋯…+
1,2
y c2
+1
2,2
lm
j
la
capacitancia equivalente será
f
lm
lm
C1
i
EJERCICIO
C5
Dado el siguiente arreglo de capacitores en
serie
y
paralelo
hallar
la
capacitancia
Resolvamos
equivalente y encontrar la carga de cada
el
equivalente
entre la serie
formado por los capacitores c1 y
6
lm
.
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lm
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.1 lm
4 2,2 =
4 + 2,2 .1 + lm
t] = ]\, uvwx
Entonces
= 1,49
lm
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(9,93# ) = 14,79
;sm = 1,49
lm
Ahora analicemos
lm
paralelo de
lm
que es el resultado del
y c2, por lo tanto tienen la
misma caída de potencial entre sus terminales
#sl = #sl = #s #sl = C5
;sm
Finalmente hallemos la capacitancia equivalente
total, la cual resulta de el paralelo de
lf
+ 5 = 1,49
lm
lf
lf
+6
lm
y c5
;s =
7,49
lm
=
14,79μC
= 6,72#
2,2
#s = 6,72#
#s =
;
#s = 1
(6,72#)
tM = {, uMwx
lm,
Analicemos ahora
, que resulta de la
agrupación de c3 y c4 en serie, por lo tanto
tendrán la misma carga eléctrica.
Ahora hallemos la carga de cada capacitor
;slm = ;s = ;sj
Para ello partimos desde el resultado anterior y
;sl = vamos regresando hacia el principio equivalente
;sl = 1,2
por equivalente.
;f =
lf
Como
lf . #
(10# ) = 74,4
= 7,49
resulta del paralelo de
lm
y c5
#lmf
#o
74,4
7,49
;o = 5&#5) = 6
p
Ahora
lm
;f
#lm
lmf
Dado el siguiente arreglo de capacitores hallar
la capacitancia equivalente y calcular la carga
de cada uno de los capacitores del circuito
9,93#
&9,93#)
= p, pqr?
resulta de la serie de c1 con
lm
Esto quiere decir que tienen la misma carga
eléctrica
;slm = ; = ;slm =
lm
(6,72# ) = 8,06μC
Ejercicio propuesto
entonces tienen el mismo potencial
#lmf
(#slm )
t|} = t|\ = q, D{wx
;/#, supongamos un valor de V=10V
Como
lm
#lm
7
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Ahora resolvamos el equivalente entre dos
capacitores con dieléctrico en serie
A continuación se representara dos capacitores
en serie los cuales posee cada uno un
dieléctrico entre sus placas.
Hallar la capacitancia equivalente del siguiente
arreglo de capacitores con dieléctricos
a
A
A
€]
d
€M
Estos dos capacitores están conectados en
serie por lo tanto
b
lm
lm
La representación en forma de red eléctrica será
la siguiente:
lm
€]
+
c >F 8 c >F 8
7
7
c >F 8 c >F 8
+
7
7
Resolviendo tenemos finalmente que
€M
lm
llm
c >F 8
+
7
?~~•
+
2>F 8c c
7(c + c )
Energía almacenada en un capacitor
c >F 8
7
c >F 8
7
c >F 8 >F 8
(c + c )
7
7
CD B
(e] + eM )
E
Consideremos un capacitor de placas planas y
paralelas inicialmente descargado por lo que la
diferencia de potencial inicial entre las placas es
cero. Ahora imaginemos que el capacitor esta
conectado a una batería
baterí y adquiere una carga
máxima Q. Cuando el capacitor es conectado a
la batería, los electrones •
8
en el alambre
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Como C= q/V entonces tenemos que
afuera de la placa conectada a la terminal
1 ( #)
1 #
=
2
2
1;
1
ƒ=
# = ;#„1…-"
2#
2
ƒ =
negativa se mueven hacia la placa para darle
una carga negativa. Los electrones en la placa
conectada a la terminal positiva se mueven
hacia afuera de la placa hacia el alambre para
Para un capacitor de placas planas y paralelas
darle a la placa una carga positiva.
tenemos que su energía almacenada es:
Entonces podemos decir que el proceso de
ƒ =
carga de un capacitor consiste en transportar
carga eléctrica de la placa que está a un
Sabemos que V = Ed, luego
ƒ =
potencial más bajo a la placa que está a un
potencial más alto, entonces esto quiere decir
1 CD B M M
]
(A E ) = CD BAM E
M
2 E
Donde Ad es el volumen entre las placas del
que se debe realizar trabajo (W), para cargar a
capacitor, entonces podemos definir la energía
un capacitor con una batería.
por
Sea q la carga que tiene un capacitor en un
unidad
la diferencia de potencial entre los terminales o
placas del condensador será: #
de
volumen
r =
†
]
= CD BAM
@‡ˆ
M
densidad de energía w.
instante del proceso de carga, para este instante
/ , de esta
manera el trabajo que debe realizar la batería
llamada
también
Coriente eléctrica
para transportar una pequeña carga 7 desde la
Supongamos
placa de menor potencial a la carga de mayor
que
tenemos
un
conductor
eléctrico y tomamos el área transversal de dicho
potencial es:
conductor y por esta área existe un flujo de
7‚ = #7 = 7
Entonces el
1
#
2
cargas, entonces se dice que esta área está
siendo atravesada por una corriente eléctrica,
trabajo para cargar el capacitor
desde una carga inicial a una carga máxima Q
luego podemos definir:
será:
Corriente eléctrica: es el desplazamiento de
‚=K
F
1
7 = K
F
7 =
1;
2
cargas eléctricas a través de un área neta
determinada.
puede
Conductor: es todo cuerpo o sustancia que tiene
considerarse como la energía potencial eléctrica
cargas que pueden moverse bajo la acción de
almacenada en el capacitor.
un campo eléctrico.
Pero
sabemos
que
el
trabajo
Supongamos que colocamos un conductor en
ƒ=
;
„1…-"
2
un campo eléctrico, la fuerza eléctrica actúa
9
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sobre las cargas libres de moverse en el
Inmediatamente
conductor, de tal manera que las cargas
partícula fija del conducto y pierde
positivas (+), se van a desplazar en la dirección
velocidad y es desviada
del campo eléctrico y las negativas se van a
Nuevamente vuelve a ser acelerada por
desplazar en el sentido contrario al campo
44445 choca nuevamente y vuelve a
la fuerza Fe
eléctrico 345 .
choca
con
alguna
perder velocidad
-
444444445/
3‰
4444444445
3"$/
En este continuo proceso de chocar,
++
+
perder velocidad y volver a ser acelerado
cambia continuamente de dirección
Debido
a
estos
continuos
choques
Debido a esto las cargas positivas que se
inelásticos la partícula pierde velocidad y
mueven lo harán en la dirección del campo
después es acelerada moviéndose con
eléctrico externo y se agrupan en el extremo
una velocidad media llamada velocidad
derecho del conductor y las cargas negativas
de arrastre a deriva
que se pueden mover se agruparan en la región
En los metales los portadores de carga son
izquierda del conductor ya que se moverán en
electrones, si tenemos electrolitos o conductores
el sentido contrario al campo eléctrico externo,
gaseosos los portadores de carga son iones
de esta manera se origina un campo eléctrico
positivos y negativos.
444444445/ dentro del conductor el cual tendrá
interno 3‰
Para asignar el signo a la corriente en los
sentido contrario al campo externo 4444444445
3"$/. Este
conductores
convención
movimiento de carga origina una corriente
mantenido
en
el
campo eléctrico.
tener una corriente permanente se debe tener
Si las cargas son negativas se moverán
una fuerza que continuamente actúe sobre las
en sentido contrario a la corriente,
cargas móviles del conductor.
de
ha
una
en el sentido del corriente, sentido del
campos en el interior del conductor, si se desea
movimiento
se
adopto
Si las cargas son positivas se moverán
corto, el cual termina cuando se anulan los
el
que
se
transcurso del tiempo
eléctrica transitoria o sea que dura un tiempo
Durante
eléctricos
cargas
en
45).
(sentido contrario al campo eléctrico E
el
conductor
Inicialmente en el conductor la partícula
es acelerada por la fuerza 44445
Fe del campo
eléctrico
10
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Supongamos que n es el número de electrones
por unidad de volumen
4E5
v• = velocidad de arrastre de esas partículas
44445
Donde en un tiempo dt, cada partícula se
desplaza una distancia d = l = v• dt
INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA
Entonces el número total de partículas que hay
La intensidad de corriente ( i ) se define como la
en el volumen sombreado es
caja neta 7 que pasa a través de una sección
8-
Si cada partícula tiene una carga e entonces 7
transversal de un conductor en una unidad de
tiempo 7/.
8(’“ 7/)
será la carga que atraviesa el segmento del
_
7
7/
conductor en un tiempo dt
7
Unidades de la intensidad de corriente es el
"’“ 87/
dq
dt
ampere A (Amp).
18
1 1…-1 S
12"•… 71
neAv•
Densidad de corriente (J)
Cuando la velocidad con la que pasan las
Calculo de la intensidad de corriente en
cargas por el área considerada varía de un
función de la velocidad de arrastre.
punto a otro de la misma, resulta más
conveniente
denominada
introducir
densidad
otra
de
magnitud
corriente
5J
y
relacionada por la igualdad
„
_
8
También
5J
— nev
45•
La densidad de corriente es un vector cuya
dirección y sentido corresponden a del vector
velocidad de arrastre.
Resistividad ( ρ )
La densidad de corriente en un conductor
depende de:
Supongamos una sección transversal de un
la intensidad de campo eléctrico 4E5
conductor en un campo eléctrico 4E5
La naturaleza del conductor
11
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Esta propiedad “Naturaleza del conductor”, se
flujo de circulación de las cargas eléctricas o
define como la razón entre la intensidad de
electrones.
campo eléctrico 4E5 y la densidad de corriente.
™
345
š345 š
š„5š
™„5
Conductividad
›
1
™
„
3
En un conductor cuanto mayor sea la
resistividad tanto mayor debe ser la
intensidad
de campo
eléctrico para
establecer una determinada densidad de
corriente 5J
Un
conductor
ideal
debe
tener
resistividad nula
La
resistividad
en
los
metales
conductores aumenta
a al aumentar la
temperatura
prácticamente
en
forma
lineal con la ecuación
™
™F œ1 + •(ž
žF )¡
Donde
™: 0"2_2/_’_7T7T.T-.…-T0
.T-.…-T0
™F : 0"2_2/_’_7T7T/"
/"
ž: /"
"0T/…0TT
"0T/…0T
S_" /"
•: .1" _._" /"7"0"2_2/_’_7T7
0"2_2/_’_7T7
"0T/…0TT.T-.…-T0-T0"2_2/_’_7T7
0"2_2/_’_7T7
žF : /"
Y su representación eléctrica es:
"0T/…0TT
T S_" /"
Resistencia (R)
Resistencia eléctrica es toda oposición que
encuentra la corriente a su paso por un circuito
Según su resistividad la resistencia está dada
eléctrico
léctrico cerrado, atenuando o frenando el libre
por
12
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J
™
8
¢
Su unidad es el OHM (Ω)
¤
¤
Ley de Ohm
George Simón Ohm fue un físico y matemático
™J
Donde ¢ = 8
alemán que aportó a la teoría de la electricidad
la Ley de Ohm, conocido principalmente por su
investigación sobre las corrientes eléctricas.
una
corriente
eléctrica,
¥
Entonces @B¯ = °±O~²E~³´µ
acústica, la polarización de las pilas y las
La
resistencia eléctrica, el ohmio,
unidad
K 4E54445
dl = IR
¤
También se interesó por la
luminosas.
¤
4445 = V¥¤ K 4E5dl
1827 la ley que lleva su nombre que establece
interferencias
¥
IρL
A
Y como
su fuerza
electromotriz y la resistencia, formulando en
que: I = V/R.
K 4E54445
dl = ¥
Estudió la relación que existe entre la intensidad
de
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
I
Iρ ¤
4445 = K ρdl = K dl
K 4E5dl
A ¥
¥
¥ A
¤
Agrupación de resistencias en serie
de
Dos o más resistencias estarán conectadas en
recibe este
serie si la corriente que circula a través de cada
nombre en su honor. Terminó ocupando el
una de ellas es la misma.
puesto de conservador del gabinete de Física de
la Academia de Ciencias de Baviera.
Determinación de la ley de Ohm
Cuando en un conductor existe solamente un
campo eléctrico interior al conductor,
la
densidad de corriente 5J en todo punto interior al
conductor, está dada por la expresión 345 = ™„5
si
multiplicamos
ambos
términos
por
4445 ,
7-
diferencial de longitud, entonces tenemos que:
345 4445
7- = ™„54445
7-
La caída o la diferencia de potencial V es igual a
la suma de los potenciales V , V yV
Integrando entre dos puntos A y B del conductor
¤
¤
# = # +# +#
©
4445 = K ™„574445 = K ™„7- cos 0° =
K 4E5 dl
¥
¥
¤
· =· =· =·
ª
K ™„7-
Entonces utilizando la ley de Ohm
·¢¸ = · ¢ + · ¢ + · ¢
¥
Como J = I/A
13
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Conexión
Como todas las corrientes son iguales entonces
de
pilas
en
serie
tenemos que:
¢¸
Si
tenemos
N
¢ +¢ + ¢
resistencias
entonces
el
equivalente será entonces
¢ + ¢ + ¢ + … . . +¢i
¢¸
Agrupación de Resistencias en Paralelo
Conexión de pilas en paralelo
Dos o mas resistencias están en paralelo si
entre los terminales de cada una de las
resistencias
del
arreglo
existe
la
misma
diferencia de potencial, esto es:
#ª© = # = # = # = ⋯ . . = #i
Y por otro lado tenemos que la corriente total es
igual a la suma de las corrientes individuales de
Leyes de Kircchoff
cada resistencia del arreglo
Fundamento Teórico:
·f = · + · + · + ⋯ . +·i
Un circuito eléctrico es una combinación de
Luego recurriendo a la ley de Ohm tenemos
elementos pasivos (resistores, condensadores,
que:
etc.)
#
#
#
#i
#f
= +
+
+ ⋯..+
¢¸
¢
¢
¢
¢i
y
elementos
activos
(fuerzas
electromotrices). Considere solo los casos en
que las fuerzas electromotrices (fem) son
Como todos los voltajes son iguales, nos queda
constantes y la red eléctrica se encuentra en
]
]
]
]
]
=
+
+
+ ⋯..+
±A
±] ±M ±}
±¹
estado estacionario. El problema se centra en la
búsqueda de las intensidades de corriente en
función de las fem y de las resistencias del
circuito.
14
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JOSÉ PERAZA, FISICA 2
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
Las reglas para resolver este tipo de problemas,
La sumatoria de todas las corrientes que entran
conocidas como Leyes de Kirchhoff, expresan la
a un nodo es igual a la sumatoria de todas las
conservación de la carga eléctrica y de la
corrientes que salen del mismo nodo
— ·¸ifºªi
energía. Pueden ser enunciadas como sigue:
1. La suma de las caídas de potencial a lo largo
— ·»ª¼¸i
Segunda ley de Kirchhoff
de cualquier camino cerrado en una red es cero
La sumatoria de todas las fem alrededor de
2. En un nodo de una red la suma de las
cualquier malla de corriente cerrada menos la
intensidades de corriente es cero.
sumatoria de todos los potenciales IR alrededor
La primera ley expresa la conservación de la
de la malla es igual a cero.
energía, ya que la variación neta de energía de
Con respecto a la segunda ley tenemos que al
una carga después de haber recorrido un
escoger el sentido de recorrido de la malla
camino cerrado debe ser cero. Al aplicar la
debemos de tomar en cuenta las siguientes
primera ley, se debe tomar en cuenta las
consideraciones
siguientes reglas. Una caída de potencial a
Al recorrer la malla si atravesamos las
través de una resistencia es positiva o negativa
fuentes fem desde el terminal de menor
según el sentido de recorrido de la corriente.
potencial (negativo) al terminal de mayor
Cuando pasamos a través de fem, se toma la
potencial
diferencia de potencial como negativa si vamos
(positivo)
entonces
esa
diferencia de potencial será positiva, en
del positivo al negativo de la fem y se considera
caso contrario será negativo
positivo si se va del negativo al positivo de la
En cuanto a los productos IR, al recorrer
misma.
la malla pasamos por una resistencia en
La segunda ley se refiere a la conservación de
el mismo sentido que lo hace la corriente
la carga porque como las cargas no se
entonces ese producto IR será negativo,
acumulan en un nodo, el número de cargas que
en el caso que lo hagamos en el sentido
llegan a un nodo en un cierto tiempo debe ser
contrario a el sentido asignado a la
igual al número de cargas que salen en el
corriente este producto IR será positivo.
mismo tiempo. Al aplicar esta ley se debe
considerar aquellas corrientes que salen de un
Dada la siguiente red eléctrica aplicar las
nodo como positivas y las que llegan como
leyes de Kirchhoff para determinar el valor
negativas.
de las corrientes
Primera ley de Kirchhoff
Ley de Nodos
15
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
Ahora
·
I
I
I
4& 0,125)
6
10
1,758
Finalmente
·
·
·
·
0,125
1,628
& 1,75)
Circuitos RC
Ley de nodo analicemos el nodo b
— ·¸ifºªi
· +·
Los circuitos RC son circuitos que están
— ·»ª¼¸i
compuestos
· (1)
por
una
resistencia
y
un
condensador.
Ley de malla
Malla 1 la cual tomamos arbitrariamente el
Se caracteriza por que la corriente puede variar
sentido horario para recorrerla
con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero,
15
5
10
(1 + 3)· + 2·
4· + 2·
0(2)
el
0(2)
condensador
está
descargado,
en
el
momento que empieza a correr el tiempo, el
Malla 2 la cual se tomo el sentido anti-horario
condensador comienza a cargarse ya que hay
para su recorrido
una corriente en el circuito. Debido al espacio
5 + 10 + (8 + 4)· + 2·
5 + 12· + 2·
0(3)
0
entre las placas del condensador, en el circuito
no circula corriente, es por eso que se utiliza
una resistencia, Cuando el condensador se
Resolviendo
carga completamente, la corriente en el circuito
De la ecuación 1 tenemos que
·
·
· es igual a cero.
Sustituimos en la ecuación 2
10
4&· − · ) + 2·
0de donde tenemos
que
·
4· − 10
6
Sustituyendo en la ecuación 3 tenemos
4·
5 g 12· g 2 R
6
10
U
0
Resolviendo tenemos
·
0,1258
16
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
Para encontrar la corriente inicial del circuito (t =
0), la carga del capacitor es cero luego la
ecuación 1, queda de la siguiente manera
∈ −·F ¢ = 0 → °D = La corriente en t = 0 es máxima
Supongamos que tenemos un circuito como el
que
se
muestra,
el
cual
inicialmente
∈
±
se
Cuando el capacitor se carga hasta su valor
encuentra descargado ya que no hay corriente
máximo la corriente I = 0, entonces en la
debido a que el interruptor se encuentra abierto,
ecuación 1 tenemos que:
cuando el interruptor se cierra para t = 0,
∈−
empieza a fluir carga, de modo que se establece
una corriente en el circuito y el condensador
= 0 → ;¿ªÀ =∈
comienza a cargarse, conforme las placas
En este instante la caída de potencial es
comienzan a adquirir carga la diferencia de
completamente a través del capacitor.
potencial a través del capacitor aumenta. El
valor de la carga máxima depende de la batería,
Para hallar la expresión analítica de la corriente
una vez alcanzada la carga máxima, la corriente
I y de la carga q en función del tiempo se
en el circuito es cero porque la diferencia de
resuelve la ecuación 1
potencial a través del capacitor se iguala a la
∈ − − ·¢ = 0(Derivando
m
suministrada por la fuente o batería.
respecto
tiempo)
Analicemos el circuito para t = 0, apliquemos
7
X∈ −
7/
Kirchhoff
∈
·¢
0(1)
− ·¢[ = 0
d
dq d
∈ −
− IR = 0
dt C dt
dt
Donde ∈ : potencial de la batería
−
q/C : caída de potencial en el capacitor
dq d
− IR = 0
dt C dt
Por otro lado sabemos que
IR: caída de potencial a través de la resistencia
17
dq
=I
dt
del
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
I
C
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
dI
R =0
dt
exponentes de las ecuaciones de corriente y de
RdI
I
dI −dt
=− → =
C
I
RC
dt
carga se conoce como constante de tiempo (τ),
tao, y representa el tiempo que tarda la corriente
en disminuir hasta (1/e) de su valor inicial.
dI
dt
=−K
Â: I
F RC
Â
Á
K
ln(I − IF ) = −
t
→ I = IF e
RC
· (/) = ·F •
Á
ÃÄ
∈
•
±
·(/) = ·F •
Æ
Çx
→ Í(Æ) = D, }{uÍD
(/) = QÊ¥Ë (1 − •
Æ
Çx )
(/) = QÊ¥Ë (1 − • ])
del tiempo tenemos que en la ecuación anterior
•È
•Á
∈
dq
= •
±
dt
]
Veamos que pasa con la carga cuando t =τ
Para hallar la carga del capacitor como función
sustituimos I(t) =
Æ
Çx
si t =RC
Como IF =∈/R
°(Å) = JOSÉ PERAZA, FISICA 2
la cantidad RC, la cual aparece en los
•(Å) = D, {}MtÎÏÐ Æ
Çx
Esto quiere decir que cuando t =τ= RC,
entonces la carga aumenta de cero hasta un
Integrando tenemos que
63,2% de su valor de carga máxima.
È
∈ Á
K dq = K •
R F
F
Æ
Çx dt
Integrando
(/) = −∈ (•
Æ
Çx
(/) =∈ (1 − •
− ])
Æ
Çx )
Donde QÊ¥Ë =∈ C
(/) = QÊ¥Ë (1 − •
Æ
Çx )
Grafica de la carga como función del tiempo
18
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
El capacitor comienza el proceso de carga, y
se comporta como un conductor ideal
Aplicamos las leyes de Kirchhoff
Ley de nodo aplicamos en el nodo superior
· +·
Malla 1 la recorremos en sentido horario
Grafica de la corriente de un capacitor en
función del tiempo
20
R3 = 2KΩ
I2
I1
· (1)
10
(2 + 2)· + 3·
10
4· g 3·
0(2)
0&2)
Malla 2 escogemos recorrerla en sentido
horario
R4 = 4KΩ
R2 = 3KΩ
20 V
10
C = 10μF
10 V
S1
3·
6·
0&3)
Resolviendo el sistema de tres ecuaciones
tenemos que:
R3 = 2KΩ
R1 = 2KΩ
·
Dado el circuito anterior calcular
·
a) Para t = 0, las corrientes
b) Para t →∞, las corrientes
·
c) El valor del voltaje del capacitor para t = 0
y para t →∞
1,73 8
1,03 8
0,70 8
b) Analicemos el circuito para t→∞
d) La carga máxima del capacitor
e) El valor de la constante de tiempo τ
Para este tiempo el capacitor ya está
Solución
abierto
a) En
el
momento
que
se
cierra
cargado y se comporta como un circuito
el
interruptor s1 y s2
19
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
Entonces en este tenemos que la corriente
·
08, ya que el capacitor está abierto,
· = −·
20 − 10
= 1,42 8
2c + 3c + 2c
· = −1,42 8
c) para t = 0 el voltaje del capacitor es
# = 0#1-/_12
Para t →∞ el voltaje del capacitor será
# + · (3Ò ) − 10 = 0
# = 10 − 3Ò (−1,42 8) = 5,74#1-/_12
d) QÊ¥Ë = CV = 10μF(5,74V) = 57,4μC
e)
el valor de la constante de tiempo lo
calculamos
cortocircuitando
fuentes
encontramos
y
equivalente
entre
los
la
todas
las
resistencia
terminales
del
capacitor.
¢¸ = {ÔÕ
JOSÉ PERAZA, FISICA 2
= 5,71Ò(10
Ú = pu, ]µÛ~Ü
luego tenemos que:
· =
Ù = ¢¸
(2Ò + 2Ò )3Ò
Ö× + 2Ò + 2Ò}
(2Ò + 2Ò ) + 3Ò
¢¸ = (1,71Ò ) + 2Ò + 2Ò
¢¸ = 5,71Ò
Finalmente
20
)