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Teoría de campos. Campo eléctrico
Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal
Campo electrostático. Ley de Coulomb
Evolución de los conocimientos sobre los fenómenos eléctricos
Las primeras observaciones sobre la atracción eléctrica se remontan a la Grecia antigua; Thales de Mileto
(640-546 a. C.) observó que cuando se frotaba el ámbar con piel, adquiría el poder de atraer objetos
pequeños tales como plumas, hilos, pelos, etc. Platón (427-347 a. C.) se refiere en su diálogo
Timeo a los «fenómenos sorprendentes de atracción producidos por el ámbar». En la alta Edad
Media se sabía que este poder lo compartían otras sustancias: por ejemplo, el azabache, variedad de
lignito; el monje inglés Beda el Venerable (637-735) destaca que el azabache «atrapa todo lo que se
le acerca cuando se calienta por fricción», (Beda sufre aquí una confusión respecto a la causa de la
atracción eléctrica, no distinguiendo entre la propia fricción y el calentamiento que se produce).
William Gilbert (1544-1603) descubrió que otras sustancias (el vidrio, el azufre, la cera o las gemas)
tenían propiedades similares. Introdujo el término eléctrico, como trascripción literal del griego
«elektron», que significa ámbar.
La observación de la atracción eléctrica en tantas sustancias diferentes condujo a la idea de que la
electricidad no era una propiedad intrínseca de dichas sustancias, sino una especie de fluido que se
transfería al frotar los cuerpos entre sí y se difundía hasta atraer objetos cercanos. Esta opinión se
vio respaldada con el descubrimiento de la conducción eléctrica por Stephen Gray (1667-1739).
Quedaba claro que, fuese lo que fuese la electricidad, podía separarse del cuerpo donde se
originaba.
En 1773 comenzó a trabajar con la electricidad uno de los científicos más versátiles del siglo XVlll:
Charles-Francois Du Fay (1698-1739). Pronto observó que los trocitos de metal que habían estado en
contacto con una varilla de vidrio electrizada se repelían entre sí, pero atraían trocitos de metal que
habían estado en contacto con un trozo de resina electrizada. Du Fay concluyó que existían dos tipos
de electricidad: vítrea y resinosa. La electricidad vítrea (las cargas positivas, en la terminología
actual) aparece sobre el vidrio cuando se frota con seda y la electricidad resinosa (las cargas
negativas) aparece sobre la resina cuando se frota con piel. También se vio que tipos distintos de
electricidad se atraen entre sí, mientras que los iguales se repelen.
Gray y Du Fay no escribieron nada donde se considerase a la electricidad como un fluido; la suponían
una condición que podía inducirse en la materia. Fue el abate Jean-Antoine Nollet (1700-1770) quien
interpretó los dos tipos de electricidad de Du Fay específicamente como dos tipos de fluidos eléctricos:
uno vítreo y otro resinoso. La teoría de los dos fluidos estaba de
acuerdo con todos los experimentos que podían realizarse en el siglo
XVIII. Pero la pasión que siente el físico por la simplicidad llevó al
planteamiento de la teoría de un solo fluido, propuesta por el
naturalista William Watson (1715-1787) y elaborada posteriormente por
Benjamín Franklin (1706-1790).
Franklin comenzó a interesarse por la electricidad a partir de 1743;
de sus experimentos y elucubraciones concluyó que la electricidad
consistía en una única clase de fluido, formado por «partículas
extremadamente sutiles». Supuso que la materia ordinaria retenía la
electricidad como si fuera una «especie de esponja». Al frotar una
varilla de vidrio con una tela de seda, algo de la electricidad de la
seda se transfería al vidrio, dejando la seda deficitaria; este déficit de
B. Franklin (1706-1790). Su
relevancia social apagó, en
parte, su importancia científica
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electricidad era lo que Du Fay llamaba electricidad resinosa. Análogamente, cuando se frotaba una
barra de ámbar con piel, se transfería parte de la electricidad, pero esta vez desde la barra a la
piel, dejándola deficitaria de nuevo; el defecto de la electricidad de la barra y el exceso de la piel
coincidían, respectivamente, con las electricidades resinosa y vítrea de Du Fay. Al déficit de
electricidad lo denominó Franklin electricidad negativa; al exceso, electricidad positiva. Por carga
eléctrica del cuerpo entendía la cantidad de electricidad, positiva o negativa, del mismo. Estos
términos han persistido hasta nuestros días. Franklin introdujo también la hipótesis fundamental de
conservación de la carga. La electricidad nunca se crea ni se destruye, solamente se transfiere
Hacia finales del siglo XVIII se conocían la mayoría de las propiedades macroscópicas cualitativas de
la fuerza eléctrica y de los materiales comunes. Se habían construido y perfeccionado aparatos para
producir y transferir cargas. Faltaba por conocer de qué factores dependía la fuerza de atracción o
de repulsión entre los cuerpos cargados. Un amigo de B. Franklin, Joseph Priestley (1733-1804),
dedujo que la fuerza entre las cargas debía variar proporcionalmente al inverso del cuadrado de la
distancia entre ellas. Esta hipótesis fue confirmada por los experimentos del ingeniero militar francés
Charles A. Coulomb (1736-1806), mediante una balanza de torsión.
En el siglo XIX se vio un crecimiento rápido de los conocimientos sobre electricidad y magnetismo,
culminando esta etapa con los grandes experimentos de Michael Faraday (1791-1869) y la teoría
matemática de James C. Maxwell (1831-1879). Fue Faraday el precursor del concepto de campo; sin
embargo, nunca imaginó al campo eléctrico como un campo vectorial, tal como lo concebimos hoy,
sino que siempre pensó en términos de «líneas de fuerza».
En 1897, el físico inglés J. J. Thomson (1856-1940) demostró que todos los materiales contienen
partículas que poseen la misma relación carga/masa; ahora sabemos que estas partículas,
denominadas electrones, son una parte fundamental de la composición de todos los átomos. En 1909,
el físico norteamericano Robert Millikan (1868-1953) descubrió que la carga eléctrica se presenta
siempre en cantidades enteras de una unidad fundamental; es decir, la carga está cuantizada.
Cualquier carga puede escribirse entonces como q = Ne, siendo N un número entero y «e» el valor de
la unidad fundamental. El electrón tiene carga -e y el protón +e. Todas las partículas elementales, o
bien carecen de carga, o bien tienen una carga +e o -e.
A partir del modelo atómico de la materia, es muy sencillo justificar la electrización de las sustancias.
La neutralidad del átomo ordinario es la consecuencia de un balance exacto entre las cargas positivas
del núcleo y las cargas negativas de los electrones extranucleares. Cuando se arranca un electrón de
un átomo, éste pierde una carga negativa, es decir, se convierte en un ión positivo. Este electrón libre
puede asociarse a un átomo neutro y transformarlo en un ión negativo. En los sólidos, los átomos
superficiales están en reposo, exceptuando las vibraciones térmicas. Sus electrones se mantienen
próximos a los núcleos por atracción electrostática, pero en algunas sustancias es posible interferir
esta atracción —por ejemplo, por fricción— y arrancar algunos electrones superficiales, dejando una
superficie cargada positivamente sobre un material y adquiriendo una carga negativa igualmente
intensa en la otra. De esta manera, se pueden explicar todos los hechos experimentales de la
electrización por fricción.
Finalmente, es preciso insistir en que no existe una imagen fácil para visualizar el concepto de carga
eléctrica. Las cargas de los iones y de los electrones no son algo distinto de estos cuerpos. Por
ejemplo, no es posible «descargar» un electrón y obtener una partícula neutra; todo electrón en «sí
mismo» es portador de carga negativa. Cualquier partícula está caracterizada por dos propiedades
independientes fundamentales: masa y carga. Así como el concepto de masa nos permite explicar la
existencia de fuerzas gravitatorias, el concepto de carga no tiene significado al margen de estas
fuerzas no gravitatorias que los cuerpos ejercen, a veces, unos sobre otros. La siguiente cita ilustra
muy bien las dificultades conceptuales en electricidad.
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«Algunos lectores esperan de mí que les diga en está etapa lo que la electricidad es realmente. El
hecho es que ya lo dije. No es una cosa como la catedral de San Pablo,- es una forma de comportarse
las cosas. Al referir cómo se comportan las cosas electrizadas y en qué circunstancias lo han sido,
hemos dicho todo lo que podemos decir. Cuando me refiero a que un electrón tiene cierta cantidad de
electricidad negativa doy a entender, simplemente, que se comporta de cierto modo. La electricidad no
es como pintura roja, una sustancia que puede colocarse sobre el electrón y quitarse de nuevo, sino
meramente un nombre conveniente para ciertas leyes físicas.»
(BERTRAND RUSSELL, ABC de los átomos).
Enunciado de la ley
La interacción electrostática entre dos partículas cargadas está dada por la llamada ley de
Coulomb, la cual establece que:
La interacción entre dos partículas cargadas es proporcional a sus cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, siendo su dirección la de la recta que las une.
Matemáticamente se expresa como sigue
F=K e
q1 q 2
r2
Donde q1 y q 2 son los valores absolutos de las cargas, r la distancia que las separa y k e
una constante de proporcionalidad que depende del medio en que se encuentren las cargas. Si se
incluye el carácter vectorial, la ecuación queda:
F=K e
q1 .q 2
ur
r2
siendo u r un vector unitario que, por convenio, nosotros elegimos dirigido de la carga q 1 a la carga
q2. La figura siguiente nos muestra los dos casos que pueden presentarse.
Actividad 1
Como sabes, Coulomb llegó a probar que la fuerza de repulsión o de atracción de dos partículas cargadas
dependía, además de la distancia, de los valores de las cargas. Para ello disponía de esferitas del mismo
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material e igual tamaño. Una vez cargada una de ellas (carga q), tocaba con ella a otra y suponía que así
dispondría de dos esferitas con carga q/2. Si repetía la operación con tres esferitas simultáneamente,
tendrían carga q/3, con cuatro esferitas q/4, etc.
a) ¿Qué suposiciones o principios físicos aceptaba Coulomb para suponer que la carga de las esferitas
sería q/n (con n = 2, 3, 4, ...)?
b) ¿Tienen que ser las esferitas del mismo tamaño?
El valor de la constante ke que aparece en la ecuación F=k e
q1 q 2
depende también de la unidad
r2
de carga que se adopte. En el SI, la carga se mide en «culombios» (símbolo, C) y la constante
eléctrica vale:
ke = 9 • 109 N m2/C2
Por razones prácticas y de cálculo numérico, cuando las partículas se encuentran en el vacío, ke
suele expresarse de la forma:
1
ke =
4πε 0
siendo ε0 la llamada constante dieléctrica o permitividad eléctrica del vacío, de valor:
ε0 = 8'854 • 10 -12 C 2 /(N • m 2 )
Cuando las partículas se encuentran en un medio diferente al vacío, la ecuación
q .q
F=k e 1 2 2 u r suele escribirse:
r
F=
1 q1 .q 2
ur
4πε r 2
Siendo ε= ε r. ε 0 la constante dieléctrica o permitividad del medio y ε r la constante dieléctrica
relativa o coeficiente dieléctrico. El valor de ε r es siempre mayor que uno.
Comparemos ahora los órdenes de magnitud de las fuerzas eléctricas y gravitatorias. Suponiendo
que la distancia sea la misma, los valores de la interacción eléctrica y gravitatoria se calculan,
respectivamente, mediante:
Ke
q1 q 2
r
2
y
G
m1m 2
r2
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por lo tanto, la relación entre ambas interacciones, viene dada por:
K q1 q 2
interacción eléctrica
 e
interacción gravitatoria G m1m 2
Para obtener el orden de magnitud, hagamos | q 1 | = |q2| = +e y m1 = m2 = mp, de modo que para
dos protones el cociente resulta 1'5 • 1O 36. Para la interacción entre un protón y un electrón el
cociente anterior resulta todavía mayor: 2'8 • 1040. ¡Las fuerzas eléctricas son miles y miles de
millones de veces más intensas que las gravitatorias! La consecuencia de todo esto es que,
dondequiera que haya cuerpos cargados eléctricamente, las fuerzas gravitatorias son despreciables.
Las fuerzas gravitatorias son importantes sólo cuando estudiamos cuerpos de gran masa sin carga
eléctrica o cuando las cargas son pequeñas en comparación con las masas.
Descripción vectorial del campo eléctrico
Intensidad del campo eléctrico
Como se mencionó en la introducción general a la teoría de campos, la interacción gravitatoria y
eléctrica pueden describirse mediante el concepto de campo de fuerzas. Una carga eléctrica modifica
las propiedades del medio en el que se encuentra inmersa y este medio perturbado, a su vez, actúa
sobre otra carga situada en dicho medio. Se dice que la primera carga ha creado un campo eléctrico.
(La segunda carga también crea un campo, pero por ahora sólo estamos interesados en el campo
eléctrico debido a la primera carga.)
En general, se llama campo eléctrico a cualquier región del espacio donde una carga eléctrica se ve
sometida a una fuerza.
Supongamos que el campo eléctrico está creado por una carga puntual q; al situar una segunda carga
(de prueba) q' en sus proximidades, ésta experimenta una fuerza dada por la ley de
q1 q 2
Coulomb: F=K e
. No tenemos en cuenta la fuerza que q' hace sobre q. Dado que estamos
r2
interesados en el campo eléctrico creado por una carga puntual q, la descripción de dicho campo debe
hacerse mediante una magnitud que no dependa de la carga de prueba. Establecemos así la llamada
intensidad del campo eléctrico, representada por la letra E y definida en un punto como la fuerza por
unidad de carga positiva colocada en dicho punto; esto es:
F
q
E= =ke 2 u r
q'
r
q
u r es válida tanto para cargas positivas
r2
como para cargas negativas, por lo que el sentido del vector E
será el mismo o el contrario al del vector ur según el signo de la
La ecuación E=ke
carga que crea el campo. Así, el vector E parece «alejarse» de
las fuentes positivas del campo, mientras que «apunta»
Figura
hacia las fuentes negativas del mismo (fig.a y b).
Relación entre el sentido de E y el de F.
La intensidad del campo eléctrico, en el SI, se mide en
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«newton por culombio», de símbolo N/C. Como se verá más adelante, esta unidad equivale a
«voltio por metro» (V/m).
Cuando varias cargas están presentes, en virtud del principio de superposición, la intensidad del
campo eléctrico resultante es la suma vectorial de las intensidades del campo eléc trico debidas a
cada carga por separado. En el sistema de cargas de la figura siguiente, la fuerza total que
experimentará una carga de prueba q colocada en el punto P será la suma de las fuerzas que
cada una de las cargas del sistema ejerce sobre la carga q:
FT =F1 +F2 +F3 +....=qE1 +qE 2 +qE 3 +.......=q(E1 +E 2 +E 3 +...)
La forma de la ecuación de la fuerza electrostática sugiere definir la intensidad del campo eléctrico
resultante mediante:
ET =E1 +E 2 +E3 +...= Ei =ke
qi
ur
ri2
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Actividad 2
Tres cargas puntuales +q, +q y —q, se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado L.
a) Halla el valor de la fuerza que actúa sobre la carga negativa y sobre una positiva.
Calcula la intensidad del campo eléctrico resultante en el centro del triángulo
Respuesta:
FT =k e
q2
q2
i+
3k
j (N)
e
2L2
2L2
E T =2E1 j=6Ke
q
j (N/C)
L2
La intensidad del campo eléctrico resultante creado por una distribución continua de carga o
cuerpo uniformemente cargado puede obtenerse asimismo a partir del principio de superposición. Para ello, dividimos la distribución continua en cargas infinitesimales de valor dq,
calculamos la contribución de cada una de ellas al campo eléctrico resultante y sumamos todos los campos infinitesimales obtenidos. La ecuación E T =ke q2i u r se escribe entonces:
ri
n
dq
ur
r2
i=1
Esta integral puede ser muy difícil de calcular, a menos, como se verá en los ejemplos que
siguen, que la distribución de carga presente ciertas simetrías.
E T =  dE i =k e 
Actividad 3
**Una carga Q se encuentra uniformemente distribuida en un anillo de radio R. Calcula la
intensidad del campo eléctrico resultante en el punto del eje del anillo que se encuentra a una
distancia d de su centro. Particulariza para d = 0 y para d > R.
Actividad 4
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En un medio de ε r = 2,5, dos cargas iguales que están separadas 0,10 m se ejercen una fuerza de
0,36 N. Calcula la fuerza entre las cargas cuando están a: a) 0,20 m de distancia en el mismo
medio; b) 0,05 m de distancia en un medio de ε r = 10; c) 1,12 m en el aire.
Solución
Los dos primeros apartados pueden resolverse sin necesidad de operacio nes; sólo hace falta
considerar que la fuerza eléctrica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia e
inversamente proporcional a la permitividad relativa del medio.
Si están a 0,10 m, la fuerza es de 0,36 N. A 0,20 m, que es el doble de distancia, la fuerza será 4
veces menor, es decir, 0,08 N.
Si las cargas están a la mitad de distancia, la fuerza es 4 veces mayor; en un medio de constante
dieléctrica 5 veces mayor, la fuerza es 5 veces menor. Los dos efectos hacen que, en estas
condiciones, la fuerza sea de 4/5 de 0,36 N, es decir, 0,29 N.
Para resolver el último apartado, hay que utilizar la expresión de la ley de Coulomb y comparar cada
una de las situaciones planteadas:
F=
1 q1 .q 2
ur
4πε r 2
1 q1 .q 2
;
4πε r 2
q1 .q 2
1 q1 .q 2
1
0,36=
;0,36=
(1)
2
4πε 0 ε r r
4πε 0 2,5 0,10 2
F=
F=
1 q1 .q 2
4πε 0 1.1,122
(2)
diviediendo (2) entre (1)
F
2,5.0,102
=
La fuerza resultante da 7,2.10-3 N
2
0,36 1.1,12
Actividad 5
Calcula la fuerza que actúa sobre Q1; en la figura a). (El medio es el aire).
Solución
De acuerdo con el principio de superposición, la fuerza que Q2 ejerce sobre Q1, es independiente de la
fuerza que Q3 hace sobre Q1. Hay que calcular las dos fuerzas aplicando la ley de Coulomb, y hacer la
suma vectorial. En este caso, el teorema de Pitágoras permite calcular fácilmente la fuerza resultante.
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F1 =K
2
q1q 2
50.10-9 C.400.10-6 C
9 Nm
=9.10
=18,0N
r2
C2
(0,10m) 2
F2 =K
2
q1q 3
50.10-9 C.300.10-6 C
9 Nm
=9.10
=13,5N
r2
C2
(0,10m) 2
La fuerza resultante: F= 13,52 +18,02 =22,5N
La dirección de la fuerza resultante se calcula considerando que tgφ =F2/F1= 0,75; el ángulo es 36,9º
Actividad 6
¿Cuál es la fuerza que actúa sobre la carga Q 1 , en cada figura? (Supongamos que el medio es el
aire.)
La intensidad del campo
eléctrico alrededor de una carga
puntual o esférica disminuye
proporcionalmente al valor del
cuadrado de la distancia. La
expresión anterior sólo nos
indica el módulo del vector E .
Su dirección es radial, ya que la
fuerza eléctrica es radial, y su
sentido es hacia el exterior, si Q
es positiva, o hacia el interior, si
Q es negativa, tal y como
corresponde al sentido que
tendría la fuerza sobre una
carga g puesta en cada punto.
Geometría del campo eléctrico alrededor de una carga puntual o esférica. E es
inversamente proporcional a r2
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Actividad 7
A una distancia de 0,10 m de una carga puntual, hay una intensidad de campo eléctrico de 2,5 N/C. Calcula: a) a
qué distancia el valor de la intensidad del campo es de 10 N/C; b) a qué distancia el valor de la intensidad del
campo es de 0,76 N/C.
Solución
a) El primer apartado puede resolverse sin necesidad de hacer ningún cálculo, si consideramos que la
intensidad del campo eléctrico creado por una carga puntual es inversamente proporcional a r2. Si el campo
a 0,10 m es de 2,5 N/C, cuando sea de 10 N/C (4 veces mayor) la distancia tiene que ser 2 veces menor, es
decir, 0,05 m.
b) El segundo apartado puede hacerse sin necesidad de calcular la carga. Simplemente planteando la ecuación
EK
Q
en cada situación y dividiendo:
r2
2,5=K
Q
;
0,10 2
0,76=K
Q
r2
2,5
r2
=
0,76 0,10 2
El campo eléctrico será de 0,76 N/C a una distancia de 0,18 m.
Actividad 8
Supongamos que dos cargas de +80 μC y -60 μC están separadas 1 m. ¿En qué punto de la línea que une las
cargas no hay fuerza eléctrica sobre una carga negativa de -3,5 μC?
Solución
En el punto donde no hay fuerza sobre una carga de -3,5 μC tampoco habrá fuerza sobre ninguna otra carga.
Tenemos que buscar el punto en el que el campo eléctrico es 0. Allí no habrá fuerza eléctrica.
La figura muestra que hay tres posibilidades que deben considerarse. El punto P que buscamos puede estar
entre las cargas, a la derecha o a la izquierda. Si consideramos el sentido de los vectores E correspondientes a
cada carga, el punto no puede estar entre las cargas. De las dos posibilidades que quedan, debido a que las
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cargas son diferentes, los vectores de intensidad de campo se anulan mutuamente cuando el punto está más
cerca de la carga más pequeña.
Supongamos que la distancia del punto a la carga más cercana es x. La distancia a la otra carga es 1+x. Si
escribimos las expresiones que nos dan el valor de la intensidad del campo creado por cada carga, debe
cumplirse que:
Q1
Q2
=K
2
x
(1+x) 2
la expresión puede simplificarse:
K
Q1
80.10-6 C
1+x
=
=
=1,15
x
Q2
60.10-6 C
El valor de x resulta ser de 6,7 m.
Actividad 9
Hay dos cargas de +5 μC en dos de los vértices de un triángulo equilátero que tiene 0,40 m de lado. Calcula el
campo eléctrico en el otro vértice.
Fuerza sufrida por cargas en un campo constante homogéneo e isótropo
Una vez que el campo eléctrico está perfectamente
caracterizado por el vector intensidad, resulta muy
sencillo calcular la fuerza que actúa sobre una carga
q' situada en dicho campo. Si la intensidad del campo
eléctrico representa, en valor absoluto, la fuerza por
unidad de carga, una carga q' situada en un punto del
campo en el que la intensidad es E estará sometida a
la fuerza:
F = q'E
Se observa que la fuerza tiene el mismo sentido o
sentido contrario a E según que q' sea positiva o negativa, respectivamente.
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Actividad 10
Calcula el valor y el sentido que debe tener el campo eléctrico en un punto en el que una partícula de 2,1 x 10-13 kg
y carga -12 x 10-15 C tiene una aceleración de 5 m/s2.
Solución
De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza resultante o neta sobre una partícula de masa m tiene que
ser Fneta = ma. Su valor es:
Fneta = 2,1 x 10-13 kg x 5 m/s2 = 1,05 x 10-12 N
Una vez conocida la fuerza, buscaremos la intensidad del campo eléctrico:
E=F/q; E=1,05xl0 - 12 N/-12 x 10-15 C= -87,5 N/C
El sentido de la intensidad del campo eléctrico es contrario al de la aceleración, ya que se trata de una partícula
de carga negativa.
Actividad 11
Una partícula de carga 20x10-16 C y masa 2,5 x 10-12 kg se acelera en un campo eléctrico uniforme de 2000
N/C. Calcula la fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula y su aceleración.
Actividad 12
Un electrón me = 0,91x10-30 kg; qe = -1,6 x 10-19 C inicialmente en reposo es acelerado por un campo eléctrico
uniforme a lo largo de 0,2 m hasta una velocidad de 100 000 km/h. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico?
Actividad 13
Se lanza un electrón con una velocidad v0 en la dirección de un eje equidistante de las placas de un tubo de
rayos catódicos (fig. sig). El campo eléctrico es uniforme, de intensidad E y está dirigido hacia arriba.
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a) ¿Qué distancia perpendicular al eje ha recorrido el
electrón cuando pasa por el extremo de las placas?
b) ¿Qué ángulo forma la velocidad con el eje cuando
abandona las placas?
c) ¿A qué distancia por debajo del eje choca con la
pantalla fluorescente S?
Líneas de fuerza en el campo eléctrico
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Ya hemos visto que el campo gravitatorio se puede visualizar mediante el empleo de l íneas de
fuerza. Existe una diferencia fundamental en la representación de tales líneas en el campo eléctrico
respecto al gravitatorio, porque las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas o repulsivas.
Las líneas de fuerza para una carga puntual negativa son radiales y dirigidas hacia ella, mientras
que están dirigidas hacia afuera si la carga que crea el campo es positiva (fig. a y b) .
La representación de las líneas de fuerza para dos cargas iguales del mismo signo y de signo
opuesto, puede observarse en la figura a y b. Si las cargas son de signos y magnitud diferente, la
representación de las líneas de fuerza es la que corresponde a la figura c.
Nótese que en las regiones en las que el campo eléctrico es más intenso, las líneas de fuerza
convergen y aparecen apretadas, mientras que divergen en las regiones donde el campo se debilita.
Distribución de cargas en un conductor
Sabemos que cualquier conductor posee en su interior cargas que están libres para moverse. La
fuente de esta carga libre son los electrones deslocalizados de los átomos. En presencia de un
campo eléctrico externo, la carga libre de un conductor se mueve por el mismo hasta que se
distribuye de modo que crea un campo eléctrico que contrarresta o cancela el campo exterior de
este conductor. Si existe un campo E dentro del conductor, existirá una fuerza qE sobre esta carga;
si está libre para moverse, se acelerará (fig. a). Así pues, el equilibrio electrostático es imposible
en un conductor a no ser que el campo eléctrico resultante sea cero en todos los puntos de su
interior (fig. b).
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En la superficie del conductor, éste ejerce una fuerza sobre los electrones libres que equilibra la
fuerza debida al campo externo, de modo que los electrones quedan ligados al conductor. (Si el
campo es muy intenso, los electrones pueden ser arrancados de la superficie, fenómeno que se
denomina emisión de campo).
Este comportamiento de la carga libre de un conductor es siempre el mismo, cualquiera que sea la
forma geométrica del conductor. A efectos prácticos, el equilibrio electrostático se alcanza
instantáneamente (el tiempo empleado es del orden de 10 -16 s para los buenos conductores).
Por otro lado, si en un conductor aislado se coloca al azar un exceso de carga, se producirán campos
eléctricos en su interior, los cuales actuarán sobre los electrones produciendo corrientes internas.
Estas corrientes redistribuyen el exceso de carga hasta conseguir campos eléctricos nulos en el
interior, en cuyo momento se ha alcanzado el equilibrio eléctrico.
Descripción escalar del campo eléctrico
Energía potencial eléctrica
Consideremos una carga q en el interior de un campo electrostático de intensidad E , producido por
algún sistema de carga. La fuerza sobre q es F  qE y sabemos que se trata de una fuerza
conservativa.
Esta propiedad indica que el trabajo que realizan las fuerzas del campo al mover una carga entre
dos puntos, no depende del camino, sólo de la posición en el punto inicial y final.
WFe A→B (camino 1) = WFe A→B (camino 2)
Lo más interesante de cualquier fuerza conservativa es que podemos expresar el trabajo que hace
como una diferencia de dos expresiones que dependen de la posición. Esta expresión es diferente
para cada tipo de fuerza conservativa, pero en cualquier caso se trata de una energía potencial Ep.
Podemos escribir:
WFe i→f = -ΔEp = -(Epf-Epi)
Esta expresión es válida en cualquier situación en que las fuerzas sean eléctricas (u otras fuerzas
conservativas). Si conocemos la energía potencial de las cargas en las posiciones inicial y final,
podemos calcular el trabajo que hace la fuerza eléctrica cuando las cargas se muevan de una
posición a la otra.
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Si en vez de calcular el trabajo que hace la fuerza eléctrica queremos calcular el trabajo que
tenemos que hacer nosotros para mover una carga de un sitio a otro podemos hacerlo considerando
que la fuerza necesaria es igual y de sentido contrario a la fuerza eléctrica y podemos escribir:
WFext i→f = +ΔEp = (Epf-Epi)
Según lo dicho, la variación de energía realizada por las fuerzas del campo eléctrico será:
ΔEp =  Epf -Epi  = -WFe i f =- F.ds =- F.ds. cosθ =- F.dr =-q  E.dr
f
f
f
f
i
i
i
i
ds
dr
f
f dr
Qq
Qq
Qq
 -1 
ΔE p = -WFe i f =- k e 2 dr=-k e Qq  2 =-k e Qq   =ke
-ke
i
i r
r
rf
ri
 r i
f
donde, si la ΔE p =ke
ΔE p =E pf -E pi =ke
Qq
Qq
-ke
;
rf
ri
Qq
Qq
-ke
y si consideramos como nivel de refencia Ep=0 cuando r=
rf
ri
Ep en un punto tendrá un valor Ep(r) =ke
Qq
r
De acuerdo con esta ecuación, la energía potencial de un
sistema de dos cargas puntuales puede ser positiva o
negativa, según que las dos cargas sean del mismo signo o
de signo opuesto. Por lo tanto, dos cargas del mismo
signo tienen mayor energía potencial cuanto menor sea
la distancia que las separa; dicha energía es máxima
cuando están juntas. Por el contrario, si las cargas son
de distinto signo, la energía potencial será mayor
cuanto más separadas se encuentren, alcanzándose un
máximo para r→∞, (fig.).
Estos resultados son concordantes con el significado
general del concepto de energía potencial. Imaginemos un
sistema de dos cargas del mismo signo a una distancia r
(fig. a); el sistema evoluciona hasta la situación
representada en la figura b por la acción délas fuerzas del
campo; en consecuencia, la energía potencial eléctrica
debe ser menor en la segunda situación. Por otro lado, si
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las cargas son de distinto signo y queremos que q2 pase del punto P al ∞ (fig. c y d), es preciso realizar
un trabajo exterior para vencer las fuerzas del campo, por lo que este trabajo realizado por nuestros
músculos se invierte en aumentar la energía potencial del sistema.
Actividad 14
Tenemos dos cargas puntuales Q1 y Q2 de +2μC y +3 μC, respectivamente, separadas 0,5m. Llevamos una
tercera carga puntual Q3, de -1 μC, desde el infinito hasta 0,5 metros de las dos cargas anteriores, formando un
triángulo equilátero a) cuál es la variación de energía potencia del sistema? ¿Qué trabajo tenemos que hacer?
Actividad 15
Calcula la energía potencial de las siguientes parejas de cargas puntuales a) dos cargas de +4 μC separadas 1m
en un medio de εr=6; b) dos cargas de +4 μC y de -4 μC separadas 2m en el aire.
Actividad 16
En la gráfica se muestra cómo varía la energía potencial eléctrica en función de la posición. Calcula el valor de la
fuerza eléctrica en x = 0,5 m, x = 2m, x = 4m y x = 6m.
Actividad 17
La energía potencial eléctrica de un cuerpo varía de acuerdo con la ecuación: Ep = a/x, donde a es 4 Jm.
a) Calcula el valor de la fuerza eléctrica para las posiciones x = 1 m, x=10m y x=100m.
b) Calcula el trabajo que tenemos que hacer si queremos llevar el cuerpo desde la posición x = 10 m hasta
x = 1 m.
c) c) Haz la gráfica de la fuerza eléctrica en función de x.
Potencial eléctrico. Diferencia de potencial
El potencial eléctrico en un punto cualquiera del campo se define como la energía potencial eléctrica
por unidad de carga positiva en dicho punto.
Sea Ep la energía potencial eléctrica de una carga q situada en un punto de un campo eléctrico; se
E p (r)
cumple que el potencial eléctrico, representado por la letra V, está dado por: V(r)=
q
Si la variación de energía potencial la definíamos como
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f
ΔE p = -WFe i f =- F ds=ke
i
donde, ke
Qq
Qq
-ke
rf
ri
Q
Q
se denomina potencial en el punto rf ; y ke
potencial en ri
rf
ri
de aquí, tenemos: ΔE p =qΔV
Si consideramos como nivel de refencia V=0 cuando r=
V en un punto tendrá un valor V(r) =ke
Como conclusión: V(r)=
E p (r)
q
Q
r
; ΔE p =qΔV y V(r) =ke
Q
r
En el SI el potencial eléctrico se mide en «julio por culombio» (J/C), unidad que recibe el nombre de
voltio, simbolizado también por la letra V.
Puesto que, según lo dicho: ΔE p = -WFe i f ; qΔV= -WFe i f y WFe i f = -qΔV y el trabajo
contra las fuerzas del campo WFext i f = qΔV ;el potencial eléctrico representa el trabajo realizado,
contra las fuerzas del campo, para llevar la unidad de carga positiva desde el nivel de
referencia hasta el punto considerado. Así, por ejemplo, el potencial en el punto A (fig a) es positivo,
porque para llevar una carga positiva unidad desde el infinito hasta dicho punto se ha tenido que
realizar un trabajo en contra de las fuerzas del campo originado por Q. Análogamente, el potencial
en el punto B (figura b) es negativo porque no hace falta ningún trabajo exterior para que la unidad
de carga positiva se mueva desde el infinito hasta el punto B.
De la ecuación V(r)=
E p (r)
) se deduce que, conocido el potencial V(r) en un punto, es posible
q
calcular la energía potencial E p (r) de una carga q en dicho punto:
Ep(r) = qV(r)
Sabemos que la energía potencial en un punto sólo tiene sentido cuando considera mos algún
punto arbitrario al que le asignamos la energía potencial cero, pero la mayor parte de las
aplicaciones en electricidad, especialmente en el estudio de circuitos, no estamos interesados en
conocer el potencial en un punto, sino la diferencia de potencial entre del puntos A y B, que
expresaremos como V AB = VA-VB.
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La diferencia de potencial V AB (ddp) entre dos puntos A y B del campo eléctrico está relacionada
con la diferencia de energía potencial E pA –EpB que tiene cualquier carga en un lugar respecto del
otro:
E pA -E pB
VAB =
q
De acuerdo con esta relación, la diferencia de energía potencial de una carga q en A respecto de
B puede calcularse mediante la relación:
E pAB =E pA -E pB =qVAB
Esta expresión es importante en el estudio energético de los circuitos eléctricos, ya que si entre
dos puntos de un circuito hay una diferencia de potencial V AB, esto significa que cada culombio de
carga tiene una energía potencial de VAB julios en A respecto de B,. Si se mueve una carga q
desde A hasta B, cederá qVAB julios de energía a los componentes eléctricos que haya en el
trayecto.
Análisis de diferencia de potencial y trabajo
La ddp V AB es el trabajo realizado para desplazar la unidad de carga positiva, en contra de
las fuerzas del campo, desde A hasta B. Si en el esquema de la figura intentamos transportar
la unidad de carga positiva, en contra de las fuerzas del campo, de Y a X, nuestros músculos
realizarán trabajo en contra de la repulsión de Q1 y
de la atracción de Q2; decimos entonces que X tiene
un potencial más positivo que Y o Z, o bien que X está
a mayor potencial que Y o Z. Por otra parte, Z se
encuentra a un potencial más negativo que Y o X (o a
menor potencial) porque al transportar la unidad de
carga positiva de X o Y hasta Z, todo el trabajo se
realiza por el campo eléctrico y no por nuestros
músculos o por un agente exterior.
En resumen, el potencial positivo o negativo en un punto se reconoce por el comportamiento
de una carga positiva, la cual, «por sí misma», tiende a alejarse de un punto que esté con
potencial relativamente positivo y acercarse a un punto de potencial relativamente negativo;
también se dice que las cargas positivas se mueven espontáneamente de los puntos de mayor
potencial a los puntos de menor potencial. Para las cargas negativas el criterio es justamente
el contrario.
Calculemos seguidamente el potencial eléctrico en algunos casos de interés.
Potencial eléctrico de una carga puntual
E p (r)
Qq
De las ecuaciones E p (r) = k e
y V(r)=
se obtiene:
r
q
Q
V=ke
r
de donde se deduce que el potencial eléctrico tiene el mismo signo que la carga que produce el campo.
Q
En la obtención de la ecuación V=ke no se ha hecho ninguna restricción respecto a la proximidad
r
del punto a la carga, el cual puede estar, incluso, sobre la superficie del cuerpo cargado. Así, una carga
de 1 C, depositada sobre una esfera de 1 cm de radio, eleva el potencial eléctrico de la esfera a:
Vsuperficie =
9.109
=1011V
0,01
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Es evidente, por lo tanto, que los cuerpos relativamente pequeños pueden alcanzar g potenciales
individuales, es decir:
q
VT =k e  i
ri
Potencial eléctrico de una distribución discreta de cargas
Si el campo eléctrico es debido a las cargas puntuales q1, q2, q3 ..., en virtud del principio de
superposición, el potencial eléctrico total es la suma algebraica de los potenciales individuales, es
decir:
q
VT =k e  i
ri
Actividad 18
a) calcula el potencial eléctrico en el centro de un triángulo equilátero de lado L, si en cada vértice existe
una carga +Q.
b) halla la energía potencia eléctrica de este sistema de cargas.
c) Calcula el trabajo que se realizó para formar la distribución de cargas mencionada, si inicialmente se
encontraban muy alejadas unas de otras.
Potencial eléctrico de un campo eléctrico uniforme
Consideremos un campo eléctrico uniforme cuya intensidad viene dada por:
E=E0 i(N/C)
Si elegimos potencial nulo para x=0, de la ecuación V(r)=-
P(r)
NR
E ds tenemos
x)
V(x)=- E.dx=-E0 x
0
Si el campo eléctrico es uniforme -por ejemplo, entre las láminas de un condensador plano-, entre
las cuales hay una diferencia de potencial ΔV, podemos escribir la expresión anterior (en una
dimensión) como
ΔV
ΔV=-E.x ; y E=x
En esta expresión, ΔV es la diferencia de potencial
entre dos puntos separados por una distancia d
dentro de un campo uniforme de intensidad E. En
general, el signo - se ignora, ya que sólo nos indica
que sentido de E es contrario al aumento de V
La relación entre la intensidad del campo
Las fórmulas anteriores permiten justificar que la
intensidad del campo eléctrico, que normalmente se
mide en N/C, también pueda medirse en voltios/metro
(V/m)
eléctrico entre las láminas de un condensador
plano, la diferencia de potencial y la separación
entre las láminas es:
ΔV El vector E se dirige hacia la lámina de
E=d
potencial más bajo.
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Actividad 19
Calcula la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de -65nC cuando se encuentra entre dos puntos
separados 0,02m, que están a +1000V y 950V, respectivamente.
Superficies equipotenciales
Las superficies para las cuales el potencial eléctrico tiene el mismo valor en todos sus puntos reciben
el nombre de superficies equipotenciales. (¿Cuáles son las superficies equipotenciales en los casos
anteriores?).
Las superficies equipotenciales presentan dos propiedades:
 Cuando una carga se desplaza sobre una misma superficie equipotencial, el trabajo realizado
sobre la misma es cero. En efecto, W(A_B) = —(EPB — EpA) = — q(Vs — VA) = 0, ya que VA = VB.
 La dirección del campo eléctrico es perpendicular a la superficie equipotencial en cada uno de
sus puntos. Se deduce de lo anterior; si
B
WAB =q  E. ds=0, entonces E.ds=0
A
y E es perpendicular a dr , siendo dr un elemento infinitesimal medido sobre la superficie
equipotencial.
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