Download TEMA EM2. POTENCIAL ELECTRICO

TEMA 4. ELECTROSTATICA EN CONDUCTORES Y
DIELECTRICOS
4.1.- MEDIOS MATERIALES.
Experimentalmente puede comprobarse que determinados medios materiales o
sustancias poseen la propiedad de permitir el movimiento de cargas eléctricas a través de
ellos, mientras que otros impiden tal movimiento. Los primeros reciben el nombre de
conductores y los del segundo tipo se denominan dieléctricos o aislantes.
De una forma general los conductores suelen ser sustancias metálicas y sus
aleaciones, bases y sales, etc. Por el contrario son dieléctricos los plásticos, ebonita,
baquelita, porcelanas, etc.
La diferencia radical entre el comportamiento de un conductor y un dieléctrico hay
que buscarla en la misma estructura de la materia considerada como una colección de
cargas positivas y negativas de los núcleos y electrones que la forman. Desde un punto de
vista macroscópico de los fenómenos electrostáticos en la materia, los conductores poseen
cargas libres susceptibles de ser puestas en movimiento bajo la acción de cualquier campo
eléctrico, por débil que éste sea. Por el contrario, en un dieléctrico, las cargas eléctricas que
forman parte de los átomos o moléculas que lo constituyen están ligadas a los mismos.
En este Tema se estudiará el comportamiento de los conductores y dieléctricos bajo
la acción de un campo eléctrico, observando que valores toman las magnitudes eléctricas
cuando se alcanza el equilibrio electrostático.
En condiciones normales, en un volumen dado de un medio material existe tanta
carga positiva como negativa, la materia es eléctricamente neutra. Pero por circunstancias
que se analizarán, puede una parte de la materia estar cargada positiva o negativamente y
otra parte cargada con signo opuesto, manteniendo la neutralidad toda la materia.
Independientemente de que un medio material se pueda cargar eléctricamente por adición o
supresión de un determinado número de electrones.
4.2.- EQUILIBRIO ELECTROSTATICO EN UN CONDUCTOR.
Los conductores, en general, están formados por iones positivos que ocupan
posiciones fijas y electrones negativos, que estando asociados a los iones, pueden circular
libre y desordenadamente por el conductor.
Como ya se ha expresado, un buen conductor eléctrico se caracteriza por tener
cargas libres (electrones), de forma que al aplicar un campo eléctrico E o sobre dicho
conductor, estas cargas libres se desplazarán hacia una parte del conductor provocando un
exceso de carga negativa en esa parte y un defecto, o exceso de carga positiva, en la zona
de donde provengan (Fig.4.1).
80
El movimiento de cargas libres cesará cuando el
campo eléctrico que se forma en el interior del
conductor E i como consecuencia del desplazamiento
de cargas libres, anule al campo eléctrico externo E o
que actúa sobre el conductor. Es decir, para que un
conductor se encuentre en equilibrio electrostático es
preciso que en el volumen del conductor el campo
eléctrico sea nulo
E  Eo  Ei  0
(4.1)
Teniendo en cuenta la diferencia de potencial eléctrico (3.10), como el campo en el
conductor es nulo entre dos puntos de éste, por ejemplo A y B, se cumple VA  VB  0 y
por tanto
V  cte.
(4.2)
en todo el conductor, es decir, el volumen del conductor es equipotencial y la superficie
que lo limita es una superficie equipotencial.
Si se aplica la ley de Gauss al conductor en equilibrio electrostático, utilizando una
superficie gaussiana tan próxima como se desee a la superficie del conductor, como su
E  0 en todos sus puntos del interior, esto indica que no existe flujo y por tanto, en
cualquier elemento de volumen del conductor existen tantas cargas negativas como
positivas siendo su carga neta nula. Si el conductor está cargado, esta carga no
compensada debe estar distribuida sobre su superficie exterior.
Si el conductor en equilibrio está cargado, a partir de las consideraciones anteriores
se puede obtener el valor del campo eléctrico en un punto infinitamente próximo a su
superficie, de una forma simple.
Toda la carga está sobre la superficie del conductor y
posee una densidad superficial de carga  en las proximidades
del punto P (Fig.4.2), que puede ser distinta de otros puntos de la
superficie. Si se toma una superficie gaussiana (Fig.4.2), no hay
flujo a través de la base interior porque E = 0. Tampoco hay flujo
a través de la superficie lateral porque V  cte. y las líneas de
campo son perpendiculares a la superficie del conductor por ser
esta equipotencial, o sea, E  dS L . Solo hay flujo por la base
superior en donde E y dS son paralelos, con lo que el flujo vale


E dS  ES 
q S

o o
despejando de (4.3) el módulo del campo eléctrico
81
(4.3)
E

o
(4.4)
dirigido hacia afuera o hacia adentro del conductor según sea la carga positiva o negativa
respectivamente.
Véase como ejemplo, una esfera conductora en equilibrio electrostático, con una
carga positiva neta Q y un radio R (Fig.4.3). Aplicando (4.4) y (3.30)
E

Q
Q
Q


K 2
2
 o S o 4 R  o
R
VK
Q
R
Cuando se coloca una carga neta sobre un
conductor esférico la densidad superficial de carga es
uniforme. Sin embargo, si el conductor no es esférico,
la densidad superficial de carga es elevada en los
puntos en los que el radio de curvatura es pequeño y es
baja en aquellos en los que el radio de curvatura es
grande. Como el campo eléctrico en el exterior de un
conductor cargado es proporcional a la densidad
superficial de carga , se ve que el campo eléctrico es intenso cerca de los puntos que
tienen un radio de curvatura pequeño, o sea, zonas puntiagudas. Esto es lo que se conoce
como efecto de puntas, ya que da lugar a la pérdida de carga del conductor por estas zonas.
4.3.- CONDUCTOR CON CAVIDADES INTERIORES.
Considerando un conductor cargado de forma arbitraria que posee una cavidad en
su interior sin cargas (Fig.4.4). Como el potencial del conductor es constante en el interior,
la superficie del conductor que engloba la cavidad será
equipotencial. Por ello, entre dos puntos A y B, de la
superficie de la cavidad, se cumplirá
VA  VB  0 

B
E  dr
(4.5)
A
como entre A y B siempre existirá una trayectoria dr  0 ,
para que se cumpla (4.5) debe ser E  0 en la cavidad.
82
Así podemos concluir, que en las cavidades de un conductor cargado su campo
eléctrico será nulo y su potencial el del conductor, siempre que no existan cargas en la
cavidad e independientemente de campos exteriores al conductor.
Estas condiciones se conocen con el nombre de efecto pantalla, ya que si se tiene
un conductor a potencial constante (por ejemplo conectado a tierra V  0 ) el potencial
eléctrico en un punto del interior de la cavidad como consecuencia de las cargas  q 1 , q 2 ,...
es independiente de la existencia y posición de las cargas q 1 , q 2 ,... en el espacio exterior
y viceversa.
Se puede comprobar esta afirmación fácilmente, si se considera que el conductor
con la cavidad y las cargas  q 1 , q 2 ,... y  q 1 , q 2 ,... son la superposición de dos estados de
equilibrio.
El estado 1 sería el conductor conectado a tierra y las cargas exteriores (Fig.4.5).
En estas condiciones como se ha visto
anteriormente el potencial en P por ser un punto de la
cavidad será nulo
V1( P )  0
El estado 2 sería el conductor conectado a tierra y las cargas interiores (Fig.4.6).
El potencial eléctrico en el punto P será
fruto de las cargas  q 1 , q 2 ,...
V2 ( P )  V2 ( P )
Al superponer ambos estados
V( P )  V1( P )  V2 ( P )  V2 ( P )
(4.6)
no depende de las cargas externas.
En definitiva, un conductor hueco conectado a potencial constante divide el espacio
en dos regiones completamente independientes, desde el punto de vista electrostático. Este
resultado tiene aplicaciones interesantes como la de proteger un circuito electrónico o
incluso todo un laboratorio, contra los campos eléctricos externos, rodeándole con paredes
conductoras a V  cte. (Jaula de Faraday) para llevar cabo mediciones eléctricas muy
precisas en su interior. Así mismo, los hilos de conexión entre aparatos suelen estar
83
rodeados de una malla metálica denominada blindaje que elimina cualquier perturbación de
tipo eléctrico.
4.4.- INFLUENCIA ELECTROSTATICA.
Supóngase dos conductores uno A cargado, por ejemplo negativamente y otro B
neutro (sin carga neta). Al acercarlos, por influencia del conductor A debido a su campo
eléctrico, las cargas positivas del conductor B se acumularán en la superficie mas cercana
al conductor A y las negativas se irán al extremo opuesto (Fig.4.7). Una vez alcanzado el
equilibrio se cumplen las propiedades antes estudiadas: E  0 ; V  cte. en el interior y
distribución superficial de cargas, pero manteniendo su carga neta nula.
En el conductor A también se
producirá una redistribución de la carga
por influencia de B. En definitiva, la
influencia electrostática supone una
modificación de las distribuciones
superficiales de carga en los dos
conductores.
Si ahora se uniese el conductor
B a tierra parte de las cargas negativas se escaparían quedando B cargado positivamente,
pero su carga no sería igual a la del conductor A. Es lo que se conoce como influencia
parcial.
Pero si el conductor B rodea totalmente al conductor A, la carga inducida por A en
la superficie interna de B será la misma, y claro está, de signos opuestos, ya que si
tomamos una superficie gaussiana (Fig.4.8) el
flujo a través de dicha superficie es nulo porque
el campo en el interior de un conductor en
equilibrio es cero. Teniendo en cuenta la ley de
Gauss (3.26) para que el flujo sea nulo (   0 )
deberá cumplirse que  q i  0 es decir
 qA  qB  0
 qA  qB
Este fenómeno se conoce como influencia total.
Si ahora pusiésemos en contacto los conductores, comenzará a descargarse el
conductor A, pasando sus cargas al conductor B (Fig.4.9). Este proceso durará hasta que el
potencial eléctrico en ambos sea el mismo, ya
que ahora constituyen un solo conductor, y se
alcanzará el equilibrio cuando no haya
movimiento de cargas. La carga total del
conductor (A+B) será la misma que la que tenía
A cuando estaba aislado, pero ahora la carga
84
que se habrá quedado en A no tiene porque ser igual a la que haya pasado a B, dependerá
de sus tamaños, lo único seguro es que el potencial será el mismo.
4.5.- COMPORTAMIENTO DE LOS DIELECTRICOS ANTE UN CAMPO
ELECTRICO.
En este apartado se analizará el efecto que un campo eléctrico produce sobre
materiales no conductores. Recordando que las moléculas que forman la materia pueden
ser de tipo no polar o polar según que su “centro de gravedad” de los núcleos positivos y la
nube electrónica coincida o no coincida
(Fig.4.10), se pueden tener materiales formados
por átomos o moléculas no polares, o sea, sin
momentos dipolares eléctricos, materiales con
moléculas polares, es decir, con momentos
dipolares eléctricos permanentes y en general
orientados al azar y combinaciones de ambos.
Bajo la influencia de un campo eléctrico E o los materiales formados por moléculas
con dipolos eléctricos permanentes tienden a orientarse en la dirección del campo eléctrico,
como se vio en la sección 3.5, y los formados por átomos o moléculas no polares debido a
la perturbación de la nube electrónica producida
por el campo eléctrico adquieren momentos
dipolares eléctricos inducidos y orientados en la
dirección del campo eléctrico (Fig.4.11). Hay
que señalar que en ambos casos la orientación de
los momentos dipolares eléctricos esta limitada
por la agitación térmica, a mayor temperatura
menor orientación.
Como consecuencia de estos efectos una porción de material o todo el material
colocada en un campo eléctrico E o se polariza. Es decir, sus moléculas o átomos se
convierten en dipolos eléctricos orientados en la dirección del campo eléctrico. Un medio
material que puede polarizarse bajo la acción de un campo eléctrico se denomina
dieléctrico.
La polarización da lugar a una carga neta positiva sobre un lado de la porción del
dieléctrico y a una carga neta negativa sobre el lado opuesto, que aparecerá por los dipolos
eléctricos próximos a la superficie del medio material. De este modo el dieléctrico se
convierte en un gran dipolo eléctrico. Se estudiaran los efectos de los dieléctricos desde un
punto de vista macroscópico.
Debe hacerse constar, que las cargas inducidas en el dieléctrico están "congeladas"
en el sentido que están ligadas a átomos o moléculas determinadas y no son libres de
moverse. Una vez que cese la acción del campo eléctrico el dieléctrico se despolarizará en
más o menos tiempo. Si es de forma casi instantánea se llaman dieléctricos dulces y si
tardan se les denomina duros.
85
Hay que señalar también que cualquier dieléctrico sometido a un campo eléctrico
suficientemente intenso se hace conductor, es un fenómeno conocido como rotura
dieléctrica. Y el campo eléctrico máximo que puede resistir un material sin que se
produzca su rotura se denomina rigidez dieléctrica.
4.6.- POLARIZACION.
Como se ha indicado un dieléctrico puede polarizarse en mayor o menor medida. El
grado en el cual las moléculas de un dieléctrico resultan polarizadas por un campo eléctrico
queda cuantificado mediante el vector polarización o polarización P.
Se define la polarización de un material como el momento dipolar eléctrico por
unidad de volumen
dp
P 
(4.7)
dV
donde dp es el momento dipolar resultante en el volumen dV (aunque se tome elemento de
volumen, éste es de mayor tamaño que las moléculas). La unidad en SI de la polarización
es C/m2 .
La polarización será generalmente una función de la posición en el material, es
decir, dependerá del punto en donde se calcule. Pero si por ejemplo, un material tiene todas
las moléculas iguales con el mismo momento dipolar y en la misma dirección p y hay n
moléculas por unidad de volumen, entonces P = np polarización uniforme.
Con objeto se simplificar el estudio de los dieléctricos nos referiremos en lo
sucesivo a dieléctricos homogéneos, isótropos y lineales.
Considerando
una
porción de dieléctrico de
espesor dl y área dS colocado
perpendicularmente a un
campo eléctrico uniforme E o
(Fig.4.12). La polarización
siendo paralela a E o es
perpendicular a dS. El
volumen será dS dl y por
consiguiente el momento
dipolar eléctrico
dp  P dV  P dS dl
(4.8)
Pero dl es precisamente la separación entre las cargas positivas y negativas que
aparecen sobre las superficies. Como el momento dipolar eléctrico viene dado en la sección
3.5 por el producto de la carga por la distancia que separa a las cargas que conforman el
dipolo, (4.8) se puede poner como
86
dp  q p dl   p dS dl
(4.9)
igualando (4.8) y (4.9)
P dS dl   p dS dl

P  p
(4.10)
Aunque este resultado se ha obtenido para un caso particular, tiene validez general y
se puede decir que la carga por unidad de área sobre la superficie de un material
polarizado es igual a la componente de la polarización P en la dirección de la normal a
la superficie del dieléctrico
p  P  u n
(4.11)
siendo un el vector unitario normal a la superficie del dieléctrico.
Cuando en la sección 3.2 se exponía la ley de Coulomb, se estableció que en el seno
de un medio que no fuera el vacío, la fuerza entre dos cargas era menor. La polarización de
un dieléctrico permite explicar este hecho.
Si el dieléctrico considerado en la (Fig.4.12) fuese un conductor, por efecto del
campo E o las cargas que aparecerían en ambas caras tomarían un valor q, que produciría
un campo E i igual a E o pero de sentido contrario con lo que el campo resultante en el
interior sería nulo, como se vio en la sección 4.2.
Sin embargo si el material es dieléctrico, como se ha
dicho, no presenta la propiedad desplazar sus cargas hasta
conseguir la densidad de carga  necesaria para producir el
campo E i . El campo que se produce E p , de sentido
contrario a E o , se le opone pero sin llegar a anularlo, de
forma que el campo resultante en el interior del dieléctrico
E . es menor que E o , pero no nulo.
E  Eo  Ep 
 p

o o
(4.12)
Las densidades de carga  y  p están relacionadas mediante una constante de
proporcionalidad menor que la unidad puesto que  p  
1

 p  1   
 

87
(4.13)
donde   es un número mayor que la unidad que recibe nombre de permitividad relativa o
constante dieléctrica relativa, característico de cada material. Así sustituyendo (4.13) en
(4.12)
E
E

 o
  o

(4.14)
se comprueba que el campo eléctrico en el interior del dieléctrico es menor que en el vacío
en la proporción 1  , lo que tiene validez general para cualquier dieléctrico.
Lógicamente existirá una relación funcional entre la polarización de un dieléctrico y
el campo eléctrico en su interior. Teniendo en cuenta (4.10) y (4.14) e introduciéndolo en
(4.12)
E
 P
P
P

= Eo 
  E 
o o
o
o
(4.15)
por lo que el módulo de la polarización despejando P de (4.15) es
P =  o   1 E
y expresado vectorialmente
P = o   1E
(4.16)
4.7.- DESPLAZAMIENTO ELECTRICO.
Tal y como se ha visto en la sección 4.6
E
 P

o o
o bien
  oE + P
(4.17)
expresión que nos relaciona la densidad de carga sobre la superficie de un conductor que
crea el campo uniforme E o , con el campo en el interior del dieléctrico E y con su
polarización P. En el caso que se estudia E y P son vectores con la misma dirección y
sentido por lo que parece conveniente introducir una nueva magnitud vectorial, llamada
desplazamiento eléctrico D definida por
D  oE + P
(4.18)
Obviamente D se mide en C/m2 y representa la carga por unidad de área sobre la
superficie del conductor que genera el campo eléctrico que actúa sobre el dieléctrico. Este
88
resultado tiene validez general y puede extenderse a conductores con cualquier forma,
teniendo en cuenta que para cualquier forma
  D  un
(4.19)
siendo u n el vector unitario normal a la superficie del conductor.
Considerando (4.16) y sustituyendo en (4.18)
D   o E +  o    1 E   o E  E
(4.20)
en donde  es la permitividad del dieléctrico y se observa que el desplazamiento eléctrico
tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico en el interior del dieléctrico.
El desplazamiento eléctrico es una magnitud que juega un papel fundamental en los
problemas en los que intervienen dieléctricos. Así, mientras el campo eléctrico está
relacionado, a través de la Ley de Gauss, con todas las cargas eléctricas (libres y de
polarización), el desplazamiento eléctrico lo esta únicamente con las cargas libres.
4.8.- LEY DE GAUSS EN PRESENCIA DE DIELECTRICOS.
Considérese el sistema de la (Fig.4.14) constituido por un conjunto de conductores
cargados en el seno de un medio dieléctrico perfecto e infinito. La carga libre de cada
conductor esta repartida sobre su superficie, con densidad . Por otra parte, en la frontera
entre el dieléctrico y los conductores aparece, por polarización, una densidad superficial de
carga inducida -  p .
Sea S en la (Fig.4.14) una superficie
cerrada que rodea al sistema de conductores.
El flujo de E a través de S es


s
E  dS 
q i
o
(4.21)
donde q i es la carga total encerrada en S,
suma de las cargas libres más las de
polarización
q i  q  (q p ) 
    dS
p
S1  S 2
pero, a partir de (4.13), resulta inmediato que
  p 
89


por tanto
q i 

 dS q



S1  S 2 
(4.22)
es decir, la carga total encerrada en S es igual a la carga libre dividida por la permitividad
relativa.
Sustituyendo (4.22) en (4.21) resulta


E  dS 
S
q
q

 o  
(4.23)
de donde se deduce que la expresión que se obtiene para la Ley de Gauss es idéntica a la
que se dedujo para el vacío, pero sustituyendo la permitividad del vacío por la del medio.
Por consiguiente el campo, potencial y fuerza producidos por una carga que se encuentra
inmersa en un dieléctrico son iguales que en el vacío reemplazando  o por  .
Si se multiplican ambos miembros de (4.23) por  se obtiene
 E  dS   D  dS  q
S
(4.24)
S
expresión que indica que el flujo del vector desplazamiento eléctrico a través de una
superficie cerrada es igual a la carga libre encerrada por la superficie.
De lo visto se deduce que, para resolver problemas en los que intervienen
dieléctricos se puede seguir un procedimiento similar al estudiado en el caso de cargas en
el vacío, pero trabajando con el desplazamiento eléctrico en lugar de con el campo
eléctrico. Así, a partir de la Ley de Gauss se puede calcular D. Una vez conocido D se
obtiene E y posteriormente P. Una vez establecido E resulta inmediato el cálculo de
diferencias de potencial o de otras magnitudes que dependen de E.
90