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TIPOS Y ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES
MOVIMIENTOS (CINEMÁTICA).
Ejercicios de la unidad 12
Movimiento rectilíneo uniforme.
1.-
Un objeto se encuentra en el punto de coordenadas (4,0) en unidades del SI
moviéndose en el sentido positivo del eje X con una velocidad constante de 3 m/s.
a) determina la ecuación del el vector posición en función del tiempo; b) Representa
la gráfica posición tiempo.
2.-
Un atleta corre por una carretera recta con una velocidad constante de 18 km/h,
Calcula: a) La distancia que recorre en 20 min, expresada en kilómetros; b) El tiempo
que tarda en recorrer 42 km.
3.-
La ecuación de posición de un móvil es r = (4 m/s · t + 5 m) i + 2 m j. a) ¿Cuál es su
posición inicial? Calcula: b) Su posición al cabo de 8 s; b) La distancia recorrida en
dicho tiempo.
4.-
Dibuja las gráficas x-t y vx-t de un objeto de t (s) 0
movimiento rectilíneo que se desplaza a lo largo del x(m) 40
eje X según los datos de la tabla adjunta:
5.-
Desde dos lugares, A y B, que se encuentran situados a una distancia de 6 km,
parten dos ciclistas en el mismo instante con velocidades constantes de 18 km/h y
36 km/h, en línea recta y uno al encuentro del otro. Calcula: a) El tiempo que tardan
en encontrarse; b) La posición del encuentro, tomando como origen de coordenadas
el punto A; c) Dibuja conjuntamente el diagrama x-t de ambos movimientos.
6.-
Un peatón parte del punto A con velocidad 5 m/s en dirección al punto B. Al mismo
tiempo, otro sale desde el punto B, 200 m más adelante, en la misma dirección y
sentido con una velocidad 4 m/s. Calcula: a) el tiempo que tardará en alcanzarlo; b) la
posición tomada desde A en la cual el primer peatón dará alcance al segundo;
c) dibuja la gráfica x-t de ambos peatones.
2
60
4
80
6
8
100 120
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
7.-
Representa gráficamente vy, v, y ay frente al tiempo de un objeto lanzado desde el
suelo verticalmente hacia arriba.
8.-
Un automóvil que parte del reposo, recorre 125 m con aceleración constante durante
8 s. Calcula: a) la aceleración; b) la velocidad final en kilómetros por hora.
9.-
Un vehículo que circula a 90 km/h acelera para adelantar a otro. Si la aceleración es
igual a 5m/s2 y precisa de 250m para adelantar, calcula: a) la velocidad del
automóvil al finalizar el adelantamiento; b) el tiempo durante el cual está adelantando.
10.- Un turismo lleva una velocidad constante de 54 km/h cuando cruza por una señal de
tráfico. Dos kilómetros más adelante, en ese mismo instante, un camión inicia su
camino en sentido contrario con una aceleración de 4 m/s2. Calcula: a) la distancia a
la cual se encuentran, medida desde señal de tráfico; b) la velocidad del turismo y del
camión cuando ambos se cruzan.
2
11.- Un vehículo arranca con aceleración constante de 3 m/s 2 en el mismo instante en el
que es adelantado por otro que circula a una velocidad constante de 108 km/h.
Calcula: a) la distancia a la que el primer vehículo da alcance al segundo; b) la
velocidad del primer vehículo en dicho momento.
12.- Desde una altura de 1200 m de se deja caer un objeto. Calcula: a) el tiempo que
tarda en llegar al suelo. b) la velocidad del impacto con el mismo.
13.- Desde una altura de 50 y 25 m sobre el suelo se lanzan al mismo tiempo hacia arriba
sendos cohetes con velocidades de 150 y 200 m/s respectivamente. Calcula: a) la
distancia del suelo a la que se cruzan y el tiempo que tardan en cruzarse; b) las
velocidades de cada cohete en dicho instante.
14.- Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 20 m/s; tres
segundos después se lanza otra piedra con una velocidad de 12 m/s en la misma
dirección y sentido. Calcula: a) el tiempo que tardan en cruzarse; b) la altura a la que
se cruzan; c) las componentes escalares de la velocidad de cada una de las piedras
en dicho momento.
Composición de movimientos.
15.- Se desea cruzar un río de 60 m de ancho nadando a una velocidad de 1,5m/s
perpendicularmente a una corriente de 2 m/s. Calcula: a) el tiempo que se tarda en
llegar a la otra orilla; b) la velocidad real del nadador; c) la distancia del punto de
partida a la que llega el nadador cuando alcance la otra orilla.
16.- Un saltador de esquí salta desde 30 m de altura sobre la zona de caída
horizontalmente con una velocidad de 108 km/h. Calcula: a) el tiempo que está en el
aire; b) el alcance que consigue, medido desde el trampolín; c) la velocidad en el
momento del contacto con la nieve.
17.- Se dispara un misil horizontalmente desde un altozano situado 80 m por encima de la
meseta. Si se desea que hagan impacto en un objetivo situado a 20 km al norte del
lanzador, calcula: a) el tiempo que tardan en chocar contra el objetivo; b) la velocidad
a la que tienen que salir los misiles del lanzador.
18.- Disparamos un proyectil desde el suelo con una velocidad inicial de 700 m/s y un
ángulo de inclinación de 40° respecto a la horizontal. Calcula: a) el alcance del
proyectil; b) la altura máxima; c) la posición y la velocidad del proyectil 5 s después
de haber sido lanzado.
19.- Un lanzador de peso consigue alcanzar una distancia de 20 m con un ángulo de
inclinación de 45º. Calcula: a) la velocidad de lanzamiento; b) el tiempo que la bola
estuvo en el aire.
20.- Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 300 m/s desde una colina 100 m
por encima del terreno y con un ángulo de inclinación de 30º respecto de la
horizontal. Calcula: a) el alcance del proyectil (distancia horizontal); b) la velocidad del
proyectil cuando llega al suelo.
21.- Demostrar que el módulo de la velocidad de caída de un objeto no depende del
ángulo de lanzamiento de éste sino exclusivamente del módulo de velocidad inicial,
de la gravedad y de la altura.
3
Movimiento circular.
22.- Contesta si es verdadero o falso: a) La velocidad angular es la misma para todos los
puntos de una rueda que efectúa un movimiento circular; b) La aceleración angular
se mide en m/s2; c) En un movimiento circular uniforme la aceleración angular es
nula.
23.- Un disco gira en un tocadiscos a 45 rpm. Calcula: a) la velocidad angular en rad/s:
b) el número de vueltas que da durante una canción de 4 minutos.
24.- Una moto toma una curva de 200 m de radio a una velocidad constante de 72 km/h.
Calcula: a) la velocidad angular; b) la aceleración normal.
25.- Un disco de 10 cm de radio se pone en movimiento con una aceleración angular de
0,5 rad/s2. Calcula: a) la velocidad angular a los 5 s de iniciado el movimiento; b) el
ángulo girado en radianes durante ese tiempo; c) el tiempo que tarda en dar 10
vueltas.
4
SOLUCIONES (Tipos de Movimientos).
1.-
r0 = 4 i m ; v = 3 i m/s
x (m)
a) r = (x0 + vx · t) · i = (4 + 3 t) i m
b)
2.-
x (m)
4
7
10
5
1
v = 18 km/h
a)
km
1h
e = v · t = 18 —— · 20 min · ——— = 6 km
h
60 min
b)
3.-
t (s)
0
1
2
10
2
e 42 km
60 min
t = —– = ———— · ——— = 140 min = 2 h y 20 min
v
18 km/h
1h
a) r(t = 0 s) = (4 m/s · 0 s + 5 m) i + 2 m j = (5 i + 2 j) m
b) r(t = 8 s) = (4 m/s · 8 s + 5 m) i + 2 m j = (37 i + 2 j) m
c) r = (37 i + 2 j) m – (5 i + 2 j) m = 32 i m ;
|r | = 32 m
Como el movimiento es rectilíneo y de un solo sentido: e = |r| = 32 m
4.x (m)
100
vX (m/s)
10
50
5
4
5.-
8
t(s)
vx1 = 18 km/h = 5 m/s; vx2 = –36 km/h = –10 m/s
a) Ciclista 1: x1 = x01 + vx1 · t = 5 m/s · t
Ciclista 2: x2 = x02 + vx2 · t = 6000 m – 10 m/s · t
En el punto de encuentro: x1 = x2
;
5 m/s · t = 6000 m – 10 m/s · t t = 400 s
t = 6 min 40 s
b) x1 = 5 m/s · t = 5 m/s · 400 s = 2000 m
 r = 2000 i m
c)
4
8
t(s)
t(s)
5
6.-
vx1 = 5 m/s;
vx2 = 4 m/s
a) Peatón 1:
Peatón 2:
t
x1 = x01 + vx1 · t = 5 m/s · t
x2 = x02 + vx2 · t = 200 m + 4 m/s ·
En el punto de encuentro: x1 = x2
5 m/s · t = 200 m + 4 m/s · t t = 200 s ;
 t = 3 min 20 s
b) x1 = 5 m/s · t = 5 m/s · 200 s = 1000 m
 r = 1000 i m
7.vy
(m/s)
ay
(m/s2)
v
(m/s)
t
t
–9,8
8.-
a) Como en este caso x0 = 0; v0 = 0, la ecuación general: x = x0 + v0 · t + ½ a · t2 quedará:
x = ½ a ·t 2
Despejando:
2 x 2 · 125 m
a = —— = ———— = 3,91 m/s2
t2
(8 s)2
b) v = v0 + a · t = 3,9 m/s2 · 8 s = 31,25 m/s
m 1 km
3600 s
31,25 — · ——— · ——— = 112,5 km/h
s 1000 m
1h
9.-
a) v0 = 90 km/h = 25 m/s ; x0 = 0
v2 = vo2 + 2 a (x – x0) = (25 m/s)2 + 2 · 5m/s2 · 250 m = 3125 m2/s2  v = 55,9 m/s
b) v = v0 + a · t
v – v0
55,9 m/s – 25 m/s
t = ——— = ———————— = 6,18 s
a
5m/s2
10.- a) Turismo: x1 = x01 + v1 · t = 15 m/s · t
Camión: x2 = x02 + v02 · t + ½ ax · t2 = 2000 m – 2 m/s2 · t2
En el punto de encuentro: x1 = x2
15 m/s · t = 2000 m – 2 m/s2 · t2  2 m/s2 · t2 + 15 m/s · t – 2000 m = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado: t1 = –35,6 s: t2 = 28,1 s
Rechazando la solución negativa: x1 = 15 m/s · t = 15 m/s · 28,1 s = 421,5 m
t
6
b) v1x = 15 m/s  v(turismo) = 15 m/s
v2x = v0x – ax · t = –2 m/s2 · 28,1 s = –56,2 m/s  v(camión) = 56,2 m/s
11.- a) Vehículo 1: x1 = x01 + v01x · t + ½ ax t2 = ½ ·3 m/s2 · t2
Vehículo 2: x2 = x02 + v2x · t = 30 m/s · t
En el punto de encuentro: x1 = x2: 1,5 m/s2 · t2 = 30 m/s · t  t1 = 0 s: t2 = 20 s
x1 = 1,5 m/s2 · t2 = 1,5 m/s2 · (20 s)2 = 600 m
b) v1x = v01x + a · t = 3 m/s2 ·20 s = 60 m/s
12.- a) y = y0 + v0y t + ½ ay t2 = 1200 m – 4,9 m/s2 · t2
Cuando llega al suelo y = 0:
0 = 1200 m – 4,9 m/s2 · t2  t = 15,6 s
b) vy = v0y + ay · t = –9,8m/s2 · t
vy(t=15,6 s) = –9,8m/s2 · 15,6 s = –153,4 m/s
Y el módulo de la velocidad será: 153,4 m/s
13.- a) y1 = y01 + v0y1 t + ½ ay t2 = 50 m + 150 m/s · t – 4,9 m/s2 · t2
y2 = y02 + v0y2 t + ½ ay t2 = 25 m + 200 m/s · t – 4,9 m/s2 · t2
Se encontrarán cuando y1 = y2 :
50 m + 150 m/s · t – 4,9 m/s2 · t2 = 25 m + 200 m/s · t – 4,9 m/s2 · t2 
b) vy1 = v0y1 + ay · t = 150 m/s – 9,8 m/s2 · 0,5 s = 145,1 m/s 
vy2 = v0y2 + ay · t = 200 m/s – 9,8 m/s2 · 0,5 s = 195,1 m/s 
t = 0,5 s
v1 = 145,1 m/s
v2 = 195,1 m/s
14.- a) Se calculan la posición y velocidad al cabo de 3 s, que serán y01 y v0y1 ya que el reloj se
pone de nuevo a cero al lanzar la segunda piedra:
y1 (t = 3s) = 20 m/s ·3 s – 4,9 m/s2 ·(3 s)2 = 15,9 m = y01
vy1 (t = 3s) = 20 m/s – 9,8 m/s2 ·(3 s) = –9,4 m/s = v0y1
y1 = y01 + v0y1 t + ½ ay t2 = 15,9 m + –9,4 m/s · t – 4,9 m/s2 · t2
y2 = y02 + v0y2 t + ½ ay t2 = 12 m/s · t – 4,9 m/s2 · t2
Igualando y1 = y2: 15,9 m – 9,4 m/s · t – 4,9 m/s2 · t2 = 12 m/s · t – 4,9 m/s2 · t2  t = 0,74 s
b) y2 (t=0,74 s) = 12 m/s · 0,74 s – 4,9 m/s2 · (0,74 s)2 = 6,2 m
c) vy1 (t=0,74 s) = –9,4 m/s – 9,8 m/s2 · 0,74 s = –16,7 m/s
vy2 (t=0,74 s) = 12 m/s – 9,8 m/s2 · 0,74 s = 4,7 m/s
15.- a) Si la corriente sigue la dirección del eje “x”, las ecuaciones del movimiento serán:
x = 2 m/s · t ;
y = 1,5 m/s · t
Particularizando para y = 60 m = 1,5 m/s · t se obtiene que: t = 40 s



b) v  (2 i  1,5 j ) m s

| v |  2 2  1,5 2 m s
= 2,5 m/s
c) x (t = 40 s) = 2 m/s · 40 s = 80 m; y (t = 40 s) = 1,5 m/s · 40 s = 60 m

| r |(t  40 s)  80 2  60 2 m = 100 m
16.- a) Ecuaciones del movimiento: x = 30 m/s · t ; y = 30 m – 4,9 m/s2 · t2.
El alcance es la “x” cuando y = 0: 0 = 30 m – 4,9 m/s2 · t2
t
30 m
 2,47 s
4,9 m s 2
7
b) x (t = 2,47 s) = 30 m/s · 2,47 s = 74,1 m
c) vy (t = 2,47 s) = –9,8 m/s2 · 2,47 s = –24,2 m/s

|v|  302  (24, 2) 2 m s = 38,6 m/s
17.- a) Ecuaciones del movimiento: x = v0x · t ; y = 80 m – 4,9 m/s2 · t2.
Cuando x = 20000 m, y = 0: 0 = 80 m – 4,9 m/s2 · t2
80 m
 4,04 s
4,9 m s 2
t
b) v 0 x 
18.- a)
x 20000 m


t
4,04 s
4950 m/s
v 02 · sen 2 (700 m s) 2 · sen 80º
alcance 

 49240 m
g
9,8 m s 2
b)
v 02 ·sen 2  (700 m s) 2 · sen 2 40º
altura máxima 

 10330 m
2g
2 ·9,8 m s 2
c) Ecuaciones escalares del movimiento:
x = 700 m/s · cos 40º · t ;
y = 700 m/s · sen 40º · t – 4,9 m/s2 · t2.
x (t = 5 s) = 700 m/s · cos 40º · 5s = 2681 m
y (t = 5 s) = 700 m/s · sen 40º · 5 s – 4,9 m/s2 · 25 s2 = 2127 m
19.- a)
alcance 
v 02 · sen 2
x máx · g 20 m ·9,8 m / s 2
 v0 

 14 m/s
g
sen 2
1
b) Despejando “t” de x = v0 · cos  · t:
t
x
20 m

 2,02 s
v0 cos  14 m / s ·cos 45º
20.- a) x = 300 m/s · cos 30º · t ;
y = 100 m + 300 m/s · sen 30º · t – 4,9 m/s2 · t2.
El alcance es la “x” para cuando y = 0; 0 = 100 m + 300 m/s · sen 30º · t – 4,9 m/s2 · t2.
Despejando “t” de la ecuación de 2º grado se obtiene que : t1 = – 0,65 s; t2 = 31,26 s
x = (t = 31,26 s) = 300 m/s · cos 30º · 31,26 s = 8122 m
b) vx = 300 m/s · cos 30º = 259,8 m/s
vy = 300 m/s · sen 30º – 9,8 m/s2 · 31,26 s = –156,3 m/s

| v |  259,8 2  (153,6) 2 m / s = 301,8 m/s
vv sen  v0 sen 2  2 gy
21.- Despejando “t” de: y = v0· sen · t – ½ g t se obtiene: t 
g
vx = v0· cos  ; vy = v0· sen  – g t
2
8
Sustituyendo en la expresión de vy se tiene:

| v |  v x2  v y2  v02 cos 2   v02 sen 2  2 gy  v02 (cos 2   sen 2 )  2 gy  v02  2 gy
22.- a) Verdadero, ya que todos los puntos se desplazan el mismo ángulo en el mismo intervalo de
tiempo.
b) Falso. Se mide en rad/s2.
c) Verdadero, ya que al ser constante la velocidad angular, ,  = d /dt debe ser igual a 0.
23.- a)
45 rpm 
45 vueltas min 2 rad
·
·
 4,71 rad/s
min
60 s vuelta
b)  =  · t = 45 vueltas/min · 4 min = 180 vueltas
24.- a) v = 72 km/h = 20 m/s

v 20 m / s

 0,1 rad/s
R 200 m
b)
v 2 (20 m / s) 2
an 

 2 m/s2
R
200 m
25.- a)  = 0 +  · t = 0,5 rad/s2 · 5 s = 2,5 rad/s
b)  = 0 · t + ½  · t2 = ½ 0,5 rad/s2 · (5 s)2 = 6,26 rad
c)
t
2 


v y  v 0 sen  g
2 ·20 rad
= 15,85 s
0,5 rad / s 2
v v sen  v 0 sen 2  2 gy
g
  v 0 sen 2  2 gy