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TEMA 12: CUERPOS GEOMÉTRICOS
ESQUEMA GENERAL DE LA CLASIFICACIÓN DE LOS CUERPOS
GEOMÉTRICOS:
GENERALIDADES SOBRE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO:
El punto, la recta y el plano en el espacio: Al igual que en la geometría del plano,
en la geometría del espacio el punto, la recta y el plano son conceptos intuitivos:
El punto es como un círculo que no tiene dimensiones:
La recta sólo tiene una dimensión, la longitud, que es infinita, pero no tiene ni ancho
ni alto:
El plano sólo tiene dos dimensiones, largo y ancho, que son infinitas, pero no tiene
alto:
El punto se representa con letras mayúsculas. La recta se representa con letras
minúsculas: generalmente desde la r en adelante. El plano se representa con un
romboide y una letra griega, generalmente la π.
Posiciones relativas de dos rectas en el espacio:
a) Paralelas: Cuando están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común.
b) Secantes: Cuando están en el mismo plano y tienen un punto en común.
c) Se cruzan: Cuando no están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común.
Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio:
a) Recta contenida en el plano: Todos los puntos de la recta están en el plano.
b) Paralelos: No tienen ningún punto en común.
c) Secantes: La recta corta al plano en un punto.
Posiciones relativas de dos planos en el espacio:
a) Paralelos: No tienen ningún punto en común.
b) Secantes: Se cortan y, por lo tanto, tienen una recta en común.
Distancia de un punto a un plano: Lo que mide el segmentoperpendicular (d)
desde el punto (P) al plano (Π).
GENERALIDADES SOBRE POLIEDROS:
Poliedro: Cuerpo geométrico limitado por polígonos.
Cara: Cada polígono que limita al poliedro.
Arista: Intersección de dos caras.
Vértice: Intersección de tres o más aristas.
Orden de un vértice: Número de caras que concurren en un vértice.
Ángulo diedro: Cada una de las cuatro partes que se forman en el espacio al cortarse
dos planos (Π y Π’). La recta en común de los planos es la arista de cada ángulo
diedro. La medida de un ángulo diedro es la medida de su ángulo rectilíneo. Ejemplo:
la pared de una habitación forma un ángulo diedro con el suelo.
Ángulo rectilíneo de un diedro: Es un ángulo cuyos lados están contenidos en los
semiplanos del diedro y son perpendiculares a la arista del mismo.
Ángulo poliedro: Es la parte del espacio que está comprendida entre más de dos
planos que concurren en un punto. Ejemplo: en la esquina de una habitación se forma
un ángulo poliedro entre las dos paredes que la forman y el suelo.
Poliedro regular: Aquél en el que todas sus caras son polígonos regulares iguales y
sus vértices son del mismo orden.
Poliedro irregular: El que no es regular.
Poliedro convexo: Aquél en el que sus ángulos diedros son menores de 180º.
Poliedro cóncavo: Aquél que tiene algún ángulo diedro mayor de 180º. (También: si
al prolongar alguna cara se atraviesa el poliedro) (También: Si para trazar algún
segmento hay que salirse del poliedro).
Teorema de Euler: En un poliedro, el número de caras más el número de vértices es
igual al número de aristas más 2.
C+V=A+2
(Ejemplo: El cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Si sumamos las caras (6) y los
vértices (8) nos da 14, el mismo resultado que si a las aristas (12) les sumamos 2. Por lo
tanto, se cumple el teorema de Euler: 6 + 8 = 12 + 2).
POLIEDROS REGULARES
Poliedros regulares son aquéllos en el que todas sus caras son polígonos
regulares iguales y sus vértices son del mismo orden(concurren en ellos el
mismo números de caras).
La suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice es menor de
360º. Si sumaran 360º no formarían un poliedro, sino un mosaico regular, como
ocurre con cuatro cuadrados (4 x 90º = 360º), seis triángulos equiláteros (6 x 60º =
360º) y tres hexágonos regulares (3 x 120º = 360º). (No hay más polígonos regulares con los que se
pueda formar un mosaico regular. Hay otras construcciones, llamadas mosaicos semirregulares, en las que se rellena el
plano con varios polígonos regulares).
De ahí que sólo haya 5 poliedros regulares: porque la suma de los ángulos de
las caras que concurren en un vértice es menor de 360º. (También son llamados
cuerpos platónicos, sólidos pitagóricos, etc.).
NOMBR
E
ORDE
N
CARAS
VÉRTICE
S
ARISTA
S
GRADOS
EN UN
VÉRTICE
DUAL
3
4
Triángulo
s eq.
4
6
3x60º=180
º
Tetraedro
3
6
Cuadrado
s
8
12
3x90º=270
º
Octaedro
4
8
Triángulo
s eq.
6
12
4x60º=240
º
Hexaedro
o
Cubo
3
12
Pentágon
os
regulares
20
30
3x108º=32
4º
Icosaedro
Tetraedro
Hexaedro
o
Cubo
Octaedro
Dodecaedr
o
5
Icosaedro
20
Triángulo
s eq.
12
30
5x60º=300
º
Dodecaedr
o
[NOTA: Se llaman poliedros regulares duales aquellos que se pueden inscribir uno dentro
de otro, de tal forma que los vértices de uno han de coincidir con el centro de las caras del otro y,
por lo tanto, el número de caras de uno ha de ser el mismo que el número de vértices del otro].
PRISMAS:
Un prisma es un poliedro con dos bases iguales paralelas y las caras laterales,
paralelogramos.
- La altura es la distancia entre las bases (medida del segmento perpendicular
entre ellas).
- Los prismas se clasifican según el polígono de las bases en triangulares
(triángulos), cuadrangulares (cuadriláteros), etc.
- Prisma recto: Sus caras laterales son rectángulos (También: sus caras laterales
son perpendiculares a las bases).
- Prisma oblicuo: No todas sus caras son rectángulos.
- Paralelepípedo: Prisma cuyas bases son paralelogramos.
- Ortoedro: Paralelepípedo en el que las 6 caras son rectángulos.
- Diagonal: Segmento que une dos vértices situados en distintas caras. (Para su
cálculo, la mayoría de las veces será imprescindible utilizar el teorema de Pitágoras).
- Prismas regulares: Los que son rectos y sus bases son polígonos regulares.
PIRÁMIDES
Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono y sus caras laterales son
triángulos que concurren en el vértice de la pirámide.
[Nota: Al vértice de la pirámide también se le llama cúspide (Punto donde concurren los
vértices de todos los triángulos que forman las caras de la pirámide, o las generatrices del cono,
según el DRAE) o ápice(extremo superior o punta de algo, según el DRAE), quizás para
distinguir el vértice con los otros vértices formados por las caras y la base].
- Altura: distancia desde el vértice a la base.
- Pirámide recta: es aquélla cuyas caras laterales son triángulos isósceles
(También: La altura de la pirámide va al centro de la base).
- Pirámide oblicua: la que no es recta.
- Pirámide regular: es aquélla que es recta y su base es un polígono regular.
- Apotema de una pirámide regular: altura de cualquiera de sus caras.
- Las pirámides se clasifican según el polígono de la base en triangulares
(triángulos), cuadrangulares (cuadriláteros), etc.
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Los cuerpos redondos o cuerpos de revolución se generan al girar una figura
plana alrededor de uno de sus lados. Por lo tanto, sólo tienen una cara lateral, que es
curva.
CILINDRO RECTO: es el cuerpo geométrico que se genera al rotar un rectángulo
alrededor de uno de sus lados.
- Eje de rotación: lado sobre el que ha girado el rectángulo.
- Generatriz: lado del rectángulo opuesto al eje de rotación. Es el que genera el
cilindro.
- Altura: distancia (perpendicular) entre las bases. Es igual al eje de rotación.
- Sus bases son círculos.
- Los radios del círculo son los lados del rectángulo perpendiculares al eje de
rotación.
- Cilindro oblicuo es el que se obtiene al cortar un cilindro recto por dos planos
paralelos oblicuos (no perpendiculares) al eje de rotación.
CONO RECTO: es el cuerpo geométrico que se genera al rotar un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos.
- Consta de una base (un círculo) y un vértice.
- Eje de rotación: cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo.
- Generatriz: hipotenusa del triángulo rectángulo. Es la que genera el cono.
- Altura: segmento perpendicular desde el vértice a la base. Es igual al eje de
rotación.
- El radio de la base es el cateto del triángulo rectángulo que no es el eje de
rotación.
ESFERA: es el cuerpo geométrico que se genera al rotar un semicírculo sobre su
diámetro.
- Eje de rotación: es el diámetro del semicírculo.
- Generatriz: es la semicircunferencia del semicírculo.
- El radio de la esfera es el radio del semicírculo.