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CAPITULO III
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
1. ADICIÓN:
Es una operación que tiene varias cantidades homogéneas en una sola, llamada
suma.
a + b + c + …. + d = S suma total
Sumandos
 PROPIEDADES:
1) CLAUSURA:
Si: a y b Є N entonces: a + b Є N
Ejemplo:
Si 3 es un número natural; 5 es un número natural: entonces: 3 + 5 = 8 también es un
número natural
Ejemplo:
Si 2 es un número natural; 17 es un número natural: entonces: 2 + 17 = 19 también es
un número natural.
2) CONMUTATIVA:
Si: a y b Є N entonces: a + b = b + a
El orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo:
Si 4 es un número natural; 6 es un número natural: entonces: 4 + 6 = 6 + 4 = 10
Ejemplo:
Si 7 es un número natural; 9 es un número natural: entonces: 7 + 9 = 9 + 7 = 16
3) ASOCIATIVA:
Si: a, b y c Є N entonces: (a + b) + c = a + (b + c)
La forma como agrupamos los sumandos, no altera la suma.
Ejemplo:
Si 2, 5 y 8 Є N entonces: (2 + 5) + 8 = 2 + (5 + 8)
7 + 8 = 2 + 13
15 =
15
Ejemplo:
Si 3, 9 y 1 Є N entonces: (3 + 9) + 1 = 3 + (9 + 1)
12 + 1 = 3 + 10
13 =
13
4) ELEMENTO NEUTRO DE LA ADICIÓN:
Э “0” Є N y a Є N entonces: a + 0 = 0 + a = a
El elemento neutro de la adición, es el cero.
Ejemplo:
Si 3 Є N entonces: Э “0” Є N tal que: 3 + 0 = 0 + 3 = 3.
Ejemplo:
Si 7 Є N entonces: Э “0” Є N tal que: 7 + 0 = 0 + 7 = 7
 SUMA DE TERMINOS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA:
.
S=
a1 + a u t
2
x
n
r = ai+1
n=
a1
-
-
ai
a ut + 1
r
Donde:
a1 = primer término.
au t = último término.
n = cantidad de términos.
Ejemplo:
Sea: S = 7 + 9 + 11 entonces: S = 7 + 11
2
r= 9–7=2
n=
x
3 = 18 x 3 = 9 x 3 = 27
2
11 - 7 + 1 = 4 + 1 = 3
2
2
Ejemplo:
Sea: S = 5 + 8 + 11 + 14 entonces: S = 5 + 14
2
r = 11 – 8 = 3
x
4 = 19
x
4 = 19 x 2 = 38
2
n = 14 - 5 + 1 = 9 + 1 = 4
3
3
 SUMAS NOTABLES:
1) Suma de los “n” primeros números naturales:
S=1+2+3+…+n=n
n +1
2
Ejemplo:
Sea: S = 1 + 2 + 3 + 4 entonces: S = 4 x 1 + 4 = 2 x 5 = 10
2
Ejemplo:
Sea: S = 1 + 2 + 3 entonces: S = 3 x 1 + 3 = 3 x 2 = 6
2
2) Suma de los “n” primeros números pares:
S = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n
n +1
Ejemplo:
Sea: S = 2 + 4 + 6 entonces: S = 3 x (3 + 1) = 12
Ejemplo:
Sea: S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 entonces: S = 5 x (5 + 1) = 30
3) Suma de los “n” primeros números impares:
Ejemplo: S = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2
Sea: S =1 + 3 + 5 entonces: 2n – 1 = 5 → 2n = 5 + 1 → n = 6 → n = 3 → S = 32 = 9
2
Sea: S =1+ 3 + 5 + 7 entonces 2n– 1 = 5 → 2n = 7 + 1 → n = 8 → n = 4 → S = 42 = 16
2
4) Suma de los “n” primeros cuadrados perfectos:
S = 12 + 22 + 32 + … +n2 = n(n + 1)(2n + 1)
6
Ejemplo:
Sea: S =12 + 22 + 32 entonces: 3(3 + 1)(2x3 + 1) = 3 x 4 x 7 = 14
6
6
Ejemplo:
Sea: S =12 + 22 + 32 + 42 entonces: 4(4 + 1)(2x4 + 1) = 4 x 5 x 9 = 30
6
6
5) Suma de los “n” primeros cubos perfectos:
S = 13 + 23 + 33 + … +n3 = n(n + 1) 2
2
Ejemplo:
Sea: S = 13 + 23 = 2(2 + 1) 2 = 32 = 9
2
Ejemplo:
Sea: S = 13 + 23 + 33 = 3 (3 + 1) 2 = 36
2
6) Suma de los “n” productos de dos números consecutivos:
S = 1x2 + 2x 3 + 3x 4 + … +n x (n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
3
Ejemplo:
Sea: S = 1x 2 + 2x 3 = 2(2 + 1)(2 + 2) = 2 x 4 = 8
3
Ejemplo:
Sea: S = 1x 2 + 2x 3 + 3x4 = 3(3 + 1)(3 + 2) = 4 x 5 = 20
3
7) Suma de las inversas de los “n” productos de dos números consecutivos:
S= 1 + 1 + 1
1x2 2x 3 3x 4
+…+
1
=
n x (n + 1)
__n__
n+1
Ejemplo:
Sea: S = _1_ + _1_ = __2_ = __2__
1x 2
2x 3
2+1
3
Ejemplo:
Sea: S = _1_ + _1_ + _1__ = __3_ = __3__
1x 2
2x 3
3x4
3+1
4
8) Suma de las “n” primeras potencias de un número:
S = a0 + a1 + a2 + a3 +… + an = an + 1 - 1
a-1
Ejemplo:
Sea: S = 20 + 21 + 22 = 22 + 1 – 1 = _23 – 1_ = _8 – 1 _ = 7
2-1
1
1
Ejemplo:
Sea: S = 30 + 31 + 32 + 33 = 33 + 1 – 1 = _34 – 1_ = _81 – 1 _ = _80_ = 40
3-1
2
2
2
Problemas N0 01
1. Haciendo uso de: S = n n +1
2
a) S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =
Desarrollar
b) S = 1 + 2 + 3 + …+ 12 =
c) S = 1 + 2 + 3 + … +14 =
2. Haciendo uso de S = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n +1). Desarrollar
a) S = 2 + 4 + 6 + 8 =
b) S = 2 + 4 + … + 12 =
c) S = 2 + 4 + … + 94 =
3. Haciendo uso de S = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2 . Desarrollar:
a) S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
=
b) S = 1 + 3 + 5 +…+ 31 =
c) S = 1 + 3 + 5 +…+ 101 =
4. Haciendo uso de S = 12 + 22 + 32 + … +n2 = n(n + 1)(2n + 1) . Desarrollar:
6
a) S = 12 + 22 + 32 + 42
=
b) S = 12 + 22 + 32 + … + 72
=
c) S = 12 + 22 + 32 + … + 202 =
5. Haciendo uso de S = 13 + 23 + 33 + … +n3 = n(n + 1) 2. Desarrollar:
2
a) S = 13 + 23 + 33 =
b) S = 13 + 23 + 33 + …. + 73 =
c) S = 13 + 23 + 33 + …. + 153 =
6. Haciendo uso de S = 1x2 + 2x 3 + 3x 4 + +n x (n + 1)= n(n+1)(n+2) Desarrollar:
3
a) S = 1x2 + 2x 3 + 3x 4 =
b) S = 1x2 + 2x 3 + 3x 4 + 4x5 + 5x6 =
c) S= 1x2 + 2x 3 + 3x 4 + …+ 10x11 =
7. Haciendo uso de S = 1 + 1 + 1 + … +
1
1x2
2x 3 3x 4
n x (n + 1)
a) S = 1 + 1 + 1 =
1x2
2x 3 3x 4
b)
S= 1 + 1 + 1
1x2
2x 3 3x 4
+…+
1
=
7x8
c)
S= 1 + 1 + 1
1x2
2x 3 3x 4
+…+
1
=
13x14
8. Haciendo uso de S = a0 + a1 + a2 + a3 +… + an = an + 1 - 1
a-1
a) S = 20 + 21 + 22 + 23 =
=
__n__
n+1
a=0
b) S = 30 + 31 + 32 + 33 +… + 36 =
c) S = 50 + 51 + 52 + 53 +… + 57 =
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
1. MULTIPLICACIÓN:
Es una operación aritmética en la que dadas dos cantidades: multiplicando y
multiplicador, se debe hallar una tercera cantidad llamada producto que contenga al
multiplicando las mismas veces que el multiplicador contenga a la unidad.
Ejemplo:
Multiplicando
246 x
_ 3_
multiplicador
Producto
738
 PROPIEDADES
1) CLAUSURA:
Si: a y b Є N entonces: a X b Є N
Ejemplo:
Si 3 es un número natural; 5 es un número natural: entonces: 3
número natural.
2) CONMUTATIVA:
Si: a y b Є N entonces: a x b = b x a
El orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo:
X
5 = 15 también es un
Si 4 es un número natural; 6 es un número natural: entonces: 4 x 6 = 6 x 4 = 24
3) ASOCIATIVA:
Si: a, b y c Є N entonces: (a x b) x c = a x (b x c)
La forma como agrupamos los factores, no altera el producto.
Ejemplo:
Si 2, 5 y 8 Є N entonces: (2 x 5) x 8 = 2 x (5 x 8)
10 x 8 = 2 x 40
80 = 80
4) DISTRIBUTIVA:
Si: a, b y c Є N entonces: a x (b + c) = a x b + a x c
Ejemplo:
Si 2, 5 y 8 Є N entonces: 2 x (5 + 8) = 2 x 5 + 2 x8
2 x 13 = 10 + 16
26
=
26
5) IDENTIDAD MULTIPLICATIVA:
Э “1” Є N y a Є N entonces: a x 1 = 1 x a = a
El elemento identidad de la multiplicación, es el uno.
Ejemplo:
Si 3 Є N entonces: Э “1” Є N tal que: 3 x 1 = 1 x 3 = 3.
2. DIVISIÓN:
Es una operación inversa a la multiplicación en la que dados dos cantidades, se
calcula una tercera cantidad, llamado cociente que indica las veces que el dividendo
contiene al divisor. Entre los tipos de división, tenemos las exactas y las no exactas;
siendo las exactas aquellas que tienen como residuo cero y las diferentes de cero las
divisiones inexactas.
a) División Exacta:
Dividendo
Residuo Cero
348
32
28
28
00
4
87
divisor
Cociente
b) División Inexacta:
a)
Por Defecto:
D
d
b) Por Exceso:
D = dq + rd
rd q
rd : Residuo por defecto
D
d
D = d(q+1) + r e
re q+1
re : Residuo por exceso
Observaciones: 0 < r < d ; r min = 1 ; r máx = d – 1 ; rd + re = d
Problemas N0 02
1. Sabiendo que: abcd x 7 = …6134 . Hallar: ab + cd
a) 103
b) 108
c) 113
d) 118
Solución
e) 123
2. Hallar: a + b + c + d + e sabiendo que: 2abcde x 3 = abcde2
a) 26
b) 25
c) 24
d) 23
e) 22
Solución
3. Sabiendo que: abc x 47 = …253. Hallar abc
a) 899
b) 889
c) 879
d) 869
Solución
e) 859
4. Sabiendo que: abc x 73 = …421. Hallar: abc
a) 657
b) 667
c) 677
d) 687
Solución
e) 697
5. Hallar a + b + c : Si abc x 343 = …955
a) 17
b) 18
c) 19
Solución
e) 21
d) 20
6. Calcular el dividendo de una división inexacta de residuo máximo cuyo divisor
es 18 y el cociente es la tercera parte del divisor.
a) 120
b) 125
c) 130
d) 135
e) 140
Solución
7. Calcular el dividendo de una división inexacta de residuo máximo cuyo divisor
es 25 . Si el cociente es la mitad del residuo.
a) 328
b) 324
c) 320
d) 366
e) 312
Solución
DIVISIBILIDAD
1.
Divisibilidad:
Es parte de la teoria de los números en general, que estudia las condiciones que debe
tener un número para que se divida de manera exacta. Es decir, un número es
divisible por otro, cuando la división es exacta; además por que el residuo en la
división es cero.
Entonces, un número A es divisible por otro número B. Cuando A contiene a B un
número de veces.
A
0
B
K
Cociente exacto
Residuo Cero
Donde: A = BK
Ejemplo:
126 3
12 42
06
06
00
2.
Múltiplo:
126 = 3 x 42
Un número es múltiplo de otro, cuando, este contiene una cantidad de veces al
número. Es decir un número A es múltiplo del número B, cuando A contiene una
cantidad de veces B.
Ejemplo: 12 es múltiplo de 3. Porque: 12 = 3 x 4
 Múltiplos de 2:
2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 12 – 14 – 16 – 18 – 20 – 22 – 24 - …
 Múltiplos de 3:
3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18 – 21 – 24 – 27 – 30 – 33 – 36 -  Múltiplos de 4:
4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28 – 32 – 36 – 40 – 44 – 48 ...
 Múltiplos de 5:
5 – 10 – 15 – 20 – 25 – 30 – 35 – 40 – 45 – 50 – 55 – 60 Y así sucesivamente.
3. Divisible y Múltiplo:
Si 12 es divisible por 3; Entonces, 12 es múltiplo de 3.
Si 20 es divisible por 4; Entonces, 20 es múltiplo de 4
Es divisible por
12
.
4.
Es múltiplo de
Es divisible por
3
20
Es múltiplo de
4
Divisor:
Es aquel número que divide a un número de manera exacta.
Ejemplo: 3 es divisor de 12. Porque: 12 / 3 = 4
5.
Propiedades de Divisibilidad de números:
a) Divisibilidad por 2 – 4 - 8:
Un número es divisible por 2, cuando la última cifra del número termina en cero o
número par.
Ejemplo: 12; 36; 10
Un número es divisible por 4, cuando las dos últimas cifras del número terminan en
ceros o número múltiplos de cuatro.
Ejemplo: 12; 1736; 100
Un número es divisible por 8, cuando las tres últimas cifras del número terminan en
ceros o número múltiplos de ocho.
Ejemplo: 1024; 328; 448
abcde
e= 2
abcde = 2
abcde
de = 4
abcde = 4
abcde
cde = 8
abcde = 8
b) Divisibilidad por 3 - 9:
Un número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras. Son múltiplos de 3.
Ejemplo:

12 es divisible por 3. Porque: 1 + 2 = 3 = 3 x 1
 36 es divisible por 3. Porque: 3 + 6 = 9 = 3 x 3
 1461 es divisible por 3. Porque: 1 + 4 + 6 + 1 = 12 = 3 x 4
Un número es divisible por 9, cuando la suma de sus cifras. Son múltiplos de 9.
Ejemplo:
 18 es divisible por 9. Porque: 1 + 8 = 9 = 9 x 1
 936 es divisible por 9. Porque: 9 + 3 + 6 = 18 = 9 x 2
 5463 es divisible por 9. Porque: 5 + 4 + 6 + 3 = 18 = 9 x 2
abcde
a+b+c+d+e=3
abcde = 3
abcde
a+b+c+d+e=9
abcde = 9
c) Divisibilidad por 5 – 25 - 125:
Un número es divisible por 5, cuando termina en cero o en cinco.
Ejemplo: 10, 35. 1270, 235
Un número es divisible por 25, cuando las dos últimas cifras terminan en cero o son
múltiplos de 25.
Ejemplo: 100, 125, 2475.
Un número es divisible por 125, cuando las tres últimas cifras terminan en ceros o son
múltiplos de 125.
Ejemplo: 1000, 4125, 24375.
abcde
e=5
abcde = 5
abcde
de = 25
abcde = 25
abcde
cde = 125
abcde = 125
d) Divisibilidad por 11:
Un número es divisible por 11, cuando la suma alternada y la diferencia alternada de
sus cifras, de derecha a izquierda. Nos da cero ó múltiplos de once.
Ejemplo: 121, 363. 1276, 275, 649
abcde
+-+ -+
(e + c + a) – (d + b) = 11
abcde = 11
e) Divisibilidad por 7:
Un número es divisible por 7, cuando se forman grupos de tres cifras, empezando de
derecha a izquierda y con signos de más y menos alternados de derecha a izquierda.
Con coeficientes o números que multiplican a las cifras de: 1 – 3 - 2
Ejemplo: 6543218794, 329, 2884
231231
abcdef
(1xf + 3xe + 2xd) – (1xc + 3xb + 2xa) = 7
-
+
f) Divisibilidad por 13:
Un número es divisible por 13, cuando se forma un grupo de una cifra por la derecha a
izquierda y luego grupos de tres. Empezando con signos alternados de más a menos,
multiplicados por los coeficientes de 1 – 3 - 4.
Ejemplo: 585, 273, 4173, 33657
1431431
abcdefg (1xg) - /3xf + 4xe + 1xd) +(3xc + 4xb + 1xa) = 13
+ - +
Problemas N0 03
1.- Desarrollar que números son divisibles por 2, por 4 y por 8:
24…………………………………………………………………………………………
38…………………………………………………………………………………………
46,………………………………………………………………………………………...
32,………………………………………………………………………………………...
648..………………………………………………………………………………………
4024…….………………………………………………………………………………..
2456........................................................................................................................
2.- Desarrollar que números son divisibles por 5, por 25 y por 125
2045…………………………………………………………………………………………
380…………………………………………………………………………………………..
4605,………………………………………………………………………………………...
3250,………………………………………………………………………………………...
6480..………………………………………………………………………………………..
40245…….………………………………………………………………………………….
24565..........................................................................................................................
3.- Desarrollar que números son divisibles por 3 y por 9
204…………………………………………………………………………………………
387…………………………………………………………………………………………..
4602,………………………………………………………………………………………...
3219,………………………………………………………………………………………...
6489..………………………………………………………………………………………..
40248…….………………………………………………………………………………….
4.- Desarrollar que números son divisibles por 11
232……………………………………………………………………………………………
495…………….……………………………………………………………………………..
7645,………………………………………………………………………………………...
7678,………………………………………………………………………………………...
5753..………………………………………………………………………………………..
2638…….…………..……………………………………………………………………….
76164..........................................................................................................................
5.- Desarrollar que números son divisibles por 7
315……………………………………………………………………………………………
2884.….……….……………………………………………………………………………..
1491,..………………………………………………………………………………………...
34041,………………………………………………………………………………………...
1806....………………………………………………………………………………………..
18109…….…………..……………………………………………………………………….
76164..........................................................................................................................
6.- Desarrollar que números son divisibles por 13
169……………………………………………………………………………………………
2002.….……….……………………………………………………………………………..
3354,..………………………………………………………………………………………...
8996 .,………………………………………………………………………………………...
9074.....………………………………………………………………………………………..
7631……….…………..……………………………………………………………………….
76164..........................................................................................................................
Todo esfuerzo tiene sus resultados del bien, el estudio es uno de ellos S.S.