Download problema 01 – v - Colegio Gobernador Juan José Silva

Tercer Nivel – INTERESCOLAR
¿QUE ES UN PROBLEMA?
La mayoría de los ejercicios que se presentan en los libros de texto no son verdaderos
problemas, sino sugerencias para ejercitar técnicas y herramientas que se han
presentado en el capítulo correspondiente. Un verdadero problema es una situación
que se presenta, en la cual se sabe más o menos ( o con toda claridad) a DONDE se
debe llegar pero no se sabe COMO llegar. La principal dificultad consiste en aclarar
la situación y dar con algún camino adecuado (una estrategia) que nos lleve a la
meta. A veces no se sabe si la herramienta adecuada para la situación planteada
está en la colección de técnicas que dominamos, o ni siquiera si se ha creado una
técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. Esta es,
precisamente, la circunstancia del investigador, en matemática y en cualquier otro
campo y, por otra parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en
nuestra vida cotidiana.
UNA ESTRATEGIA DE PENSAMIENTO: COMENZAR CON UN PROBLEMA SEMEJANTE MAS
FACIL
A veces nos encontramos con problemas que resultan difíciles por su tamaño, por
presentar demasiados elementos que lo hacen complicado y oscuro.
En estos casos puede ser útil proponer un problema semejante, lo más sencillo posible
y resolverlo. De esta manera se consigue que aparezcan más transparentes principios
de solución que quedan confusos en medio de la complejidad del problema inicial.
EXPERIMENTAR, OBSERVAR, BUSCAR PAUTAS, REGULARIDADES. HACER CONJETURAS.
TRATAR DE DEMOSTRARLAS
En matemática, las buenas ideas surgen muy a menudo a través de "experimentos".
Los experimentos son de diverso tipo. Unas veces se trata de ensayar en casos
particulares la aparición de una cierta propiedad. Otras se tratan de mirar ciertas
figuras, cambiándolas, introduciendo elementos auxiliares, a fin de enlazar
diversas situaciones y de establecer conexiones que sospechamos que existen entre los
objetos que manipulamos. Con el experimento y la observación surge una
"conjetura". Se sigue experimentando con nuevos casos poniendo a prueba tal
conjetura. Si esta resiste varias pruebas va adquiriendo más fuerza. Luego vendrá la
tarea de dar con la razón por la cual la conjetura se verifica siempre, con la
"demostración" de la conjetura.
DIBUJAR UNA FIGURA, UN ESQUEMA, UN DIAGRAMA
Son muchos los problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra
encontrar una representación visual adecuada de los elementos que en él
intervienen. Pensamos mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de
palabras, números o solamente símbolos.
ELEGIR UN LENGUAJE ADECUADO, UNA NOTACION ADECUADA
Muchas veces, el resolver un problema depende fundamentalmente de que el estilo
de pensamiento que se aplique sea el adecuado o no al problema. Por eso, antes de
empezar a trabajar conviene pensar si será bueno utilizar un lenguaje geométrico o
bien un simple diagrama, o tal vez convenga utilizar un lenguaje algebraico o
analítico, o incluso, venga bien una modelización con papel, cartón, etc.
PENSAR EN EL PROBLEMA RESUELTO
Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaña consiste en
colocarse arriba con un helicóptero y desde allí estudiar los caminos posibles.
En la resolución de problemas este procedimiento es barato, fácil y de uso constante.
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
GLOSARIO
< 1 > En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es un ángulo llano o 180º.
a
b
c
a + b + c = 180º
< 2 > Dados dos recta paralelas cortadas por una transversal:
b
d
c
a
e
a = b por ser opuestos por el vértice.
e = a por ser correspondientes entre paralelas cortadas por una transversal.
e = b y d = c por ser alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal.
a + c = 180, b + c = 180 y d + e = 180 por ser un ángulo llano o suplementario.
< 3 > Múltiplos y divisores.
Un número dícese múltiplo de otro cuando lo contiene a éste en una cantidad
exacta de veces.
Un número dícese divisor de otro cuando es contenido por éste en una cantidad
exacta de veces.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades
es 0, 2, 4, 6 u 8.
Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es
múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si, y sólo si, la cifra de sus decenas y
de sus unidades son ceros o componen un múltiplo de 4.
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades
es 0 o 5.
Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si, y sólo si,
 La cifra de las unidades más 3 veces la de las decenas, más 2 veces la de las
centenas, menos la de las unidades de mil, menos 3 veces la de las decenas de
mil, menos 2 veces la de las centenas de mil, más las unidades de millón, y
así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir que, dado el número
......jihgfedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 3b + 3c) – (d + 3e + 2f) +
(g + 3h + 2i) – (j + .........) + .............
 El número formado por las tres cifras de la derecha, menos el número
formado por las 3 que le siguen a su izquierda, más el número que firman las
3 que le siguen y así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir,
dado el número .....jifedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 10b + 10 2c)
– (d + 10e + 102f) + (g + 10h + 102i) – (j + ................) + ......................... resulta
un múltiplo de 7.Esta última versión, que parece más sencilla, no es muy
práctica para números pequeños.
Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si, y sólo si, el número formado por
las tres últimas cifras de la derecha es un múltiplo de 8.
Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es
múltiplo de 9.
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si, y sólo si, la cifra de las
unidades es cero.
Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si, y sólo sí, la suma de las cifras
de lugar impar, menos la suma de las cifras de lugar par es múltiplo de 11(se
cuenta de derecha a izquierda).
 Toda cifra seguida de un número par de ceros es igual a un múltiplo de 11,
más la misma cifra.
 Toda cifra seguida de un número impar de ceros es igual a un múltiplo de
11, menos la misma cifra.
Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si, y sólo sí, la cifra de sus
centenas y de sus unidades son ceros o componen un múltiplo de 25.
Divisibilidad por 125: Un número es divisible por 125 si, y sólo sí, la cifra del número
formado por las tres cifras de la derecha es un múltiplo de 125.
< 4 >Cualquier proposición que pueda expresarse como una igualdad es una
ecuación. Una ecuación es una igualdad que tiene uno o más elementos
desconocidos llamados incógnitas.
Resolver una ecuación significa encontrar el o los elementos que hacen que la
igualdad sea verdadera.
¿CÓMO DESPEJAR LOS ELEMENTOS DE LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS?
2+3=52=5–3y3=5–2
( A ) EN UNA ADICIÓN, CADA SUMANDO ES IGUAL A LA SUMA MENOS EL OTRO
SUMANDO.
6–4=26=2+4
( B ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL MINUENDO ES IGUAL A LA RESTA
MAS EL
SUSTRAENDO.
6–4=24=6–2
( c ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL SUSTRAENDO ES IGUAL AL MINUENDO MENOS LA
RESTA.
2.3=62=6:3Y3=6:2
( D ) EN UN PRODUCTO, CADA FACTOR ES IGUAL AL PRODUCTO DIVIDIDO EL OTRO
FACTOR.
8:2=48=4.2
( E ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVIDENDO ES IGUAL AL COCIENTE MULTIPLICADO POR EL
DIVISOR.
8:2=42=8:4
( F ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVISOR ES IGUAL AL DIVIDENDO DIVIDIDO EL COCIENTE.
< 5 > La suma de números consecutivos desde 1 hasta n es
1 + 2 + 3 + .... + n = n.(n + 1
2
< 6 > Si al hallar la cantidad de divisores de un número entero lo descomponemos
en sus factores primos y luego lo escribimos como potencia y quede de la siguiente
forma: n = ax.by.cz ; entonces la cantidad de divisores que tiene n es del producto de
los exponentes luego de sumarle 1 a cada uno de ellos, o sea
(x +1).(y + 1).(z + 1) = cant. de divisores de n.
< 7 > En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos
ángulos interiores no adyacentes.
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
a+b
c
a
c+b
b
a+c
< 8 > DIVISOR COMUN MAYOR. Si a, b son enteros no nulos, entonces existe y es único
d tal que:
 D es mayor que cero.
 D divide a a y d divide a b.
 c divide a a y c divide b entonces c divide a d.
A d llamamos divisor común mayor y anotamos (a;b). Para su cálculo ensayamos la
división de a (ab) por b (b0). Si el resto es 0, entonces (a;b) = b; si no lo es,
dividimos b por ese resto y repetimos el procedimiento de dividir los sucesivos
divisores por los sucesivos restos. El mcd es el último resto no nulo (algoritmo de
Euclides).
< 9 > MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO. Si a,b son números enteros no nulos, entonces
existe y es único m tal que:
 m es mayor que 0.
 a divide a m y b divide a m
 si k es entero y k es mayor que 0 y k es múltiplo de y b, entonces m es menor o
igual que k.
A m llamamos múltiplo común mínimo y anotamos a;b. Si a o b es cero, definimos
a;b = 0.
< 10 > MEDIATRIZ. Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales . En un
triángulo las mediatrices de los lados se cortan en el centro de la circunferencia
circunscrita.
< 11 > MEDIANA. La mediana de un triángulo es la recta que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto. Las medianas de los lados se intersectan en un punto
llamado BARICENTRO (también llamado centro de gravedad).
La longitud de la mediana trazada en el lado A es: M A =  2.(B2 + C2) – A2
2
<12 > ALTURA. La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el
lado opuesto y es perpendicular a él. Las alturas de un triángulo se intersectan en
un punto llamado ORTOCENTRO.
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
< 13 > BISECTRIZ. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos
partes iguales. En un triángulo, las bisectrices se intersectan en un punto, INCENTRO
que es el centro de la circunferencia inscrita. La longitud de la bisectriz del ángulo
opuesto al lado A es:
L = BC.(B + C)2 – A2 ]
B+C
El baricentro está alineado con el ortocentro, y el circuncentro, y a doble distancia
del primero que del segundo.
< 14 > TEOREMA DE PITÁGORAS. Para un triángulo rectángulo existe una relación
muy conocida entre sus lados: es el Teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la
hipotenusa (A) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (B y C)”. La
hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y los catetos son los lados restantes. La
fórmula es la siguiente:
A2 = B2 + C2
B
A
C
< 15 > RECIPROCA DEL TEOREMA DE PITAGORAS:
Si en un triángulo de lados de longitud a, b y c que verifican A²= B²+ C² entonces el
triángulo es rectángulo con catetos de longitudes b y c e hipotenusa de longitud a.
< 16 > SUPERFICIE. La superficie del triángulo puede calcularse de diversas maneras
según los datos que se dispongan:
* Fórmula básica: S = B x h
B: base; h : altura
2
* Fórmula de Herón: S = p.(p – A).(p – B).(p – C) ;
p=A+B+C
2
Teniendo como dato adicional de la circunferencia circunscripta: S = A . B . C ;
R es el radio de la circunferencia.
4.R
< 17 > Si en un triángulo la base se mantiene constante y su altura se divide en “ n “
partes iguales su superficie también queda dividida en “ n “ partes; y si su base se
divide en “ n “ partes iguales y su altura queda se mantiene constante su superficie
queda dividida en “ n “ partes iguales.
< 18 > CUADRADO.
 Sus lados y ángulos son congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
 La superficie es igual a L2
< 19 > RECTÁNGULO.
 Dos pares de lados opuestos congruentes.
 Todos sus ángulos congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 20 > ROMBO.
 Todos sus lados congruentes.
 Dos pares de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales son distintas y se cortan en sus puntos medios formando
ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 21 > ROMBOIDE.
 Dos pares de lados consecutivos congruentes.
 Un par de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales se cortan formando ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 22 > PARALELOGRAMO.
 Dos pares de lados paralelos congruentes.
 Sus ángulos opuestos son congruentes, y sus ángulos consecutivos son
suplementarios. (miden 180º).
 Las diagonales no son congruentes y no se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 23 > TRAPECIO.
 Un par de lados paralelos no congruentes y un par de lados no paralelos.
 Dos pares de ángulos consecutivos suplementarios.
 Sus diagonales no son congruentes.
 La superficie es igual a (B + b) . h
2
< 24 > POLÍGONOS EN GENERAL.
* Números de diagonales: Sea un polígono de n lados, el número N de diagonales
está dado por la fórmula:
N = n.(n – 3)
2
* Suma de los ángulos Interiores: La suma de los ángulos interiores está dada por la
fórmula:
 i = 180º.(n – 2)
* Superficie: La superficie se puede calcular dividiendo al polígono en n triángulos
como se muestra en el ejemplo:
* Polígonos regulares: Las fórmulas para calcular superficies son generales
únicamente para polígonos regulares. Dichos polígonos tienen todos sus lados
iguales y todos sus ángulos congruentes. Consideramos ahora un polígono regular
de n lados inscripto en una circunferencia de radio R, si queremos realizar el
mismo procedimiento que en el ejemplo anterior podemos tomar el centro de la
circunferencia para poder trazar los triángulos.
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
< 25 > CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO. La circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos que equidistan de un punto llamado centro. Círculo es la región encerrada
por la circunferencia. Si R es el radio de la misma, la longitud de la curva
(llamada también perímetro) es C = 2..R; y el área del círculo es S = .R2.
< 26 > ACUTÁNGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos
agudos.
< 27 > ÁNGULO ADYACENTE. El que resulta cuando una de las semirrectas que lo
delimitan es común para dos ángulos. Por ejemplo  y 
a
O
b
β
c
< 28 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto
< 29 > ANGULO CENTRAL. El formado por el origen O de una circunferencia y dos
radios r1 r2
< 30 > ANGULO COMPLEMENTARIO. El que, sumado a otro, es igual a un ángulo
recto.  +  = 90º
< 31 > ANGULO OBTUSO. El mayor que un recto.
< 32 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 33 > ANGULO SUPLEMENTARIO. El que sumado a otro da 180º.  +  = 180º
< 34 > CIRCUNCENTRO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de
otra figura geométrica.
< 35 > Un cuadrilátero es un paralelogramo cuando tiene alguna de las siguientes
propiedades:
a) Ambos pares de lados opuestos son paralelos (definición)
b) Ambos pares de lados opuestos son iguales.
c) Ambos pares de ángulos son iguales
d) Las diagonales se bisecan.
e) Un par de lados opuestos son iguales y paralelos.
< 36 > ACUTANGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos
agudos.(menos de 90º)
< 37 > ADYACENTE. Significa próximo o al lado.
< 38 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto.
< 39 > ANGULO DE DEPRESIÓN. Formado por la línea recta que va desde el punto de
observación al objeto por debajo de la horizontal y esa horizontal.
< 40> ANGULO OBTUSO. El mayor que un ángulo recto.
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
< 41 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 42 > APOTEMA. Es el radio de la circunferencia inscrita en un polígono regular.
< 43 > CATETO. Cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo que no es el
opuesto al ángulo recto.
< 44 > CENTRO DE SIMETRÍA. Punto fijo situado a igual distancia de dos puntos
simétricos.
< 45 > CIRCULO. Porción de un plano limitado por una circunferencia. Área de esa
porción.
< 46 > CIRCULO CIRCUNSCRITO. Es el que pasa por todos los vértices de un polígono.
< 47 > CIRCULO INSCRITO. Aquél en el que los lados de un polígono son sus
tangentes.
< 48 > CIRCUNCENTRO. Punto de corte de las mediatrices de un triángulo.
< 49 > CIRCUNSCRITO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de
otra figura.
< 50 > CONCAVO. Curvado como la superficie interna de una esfera.
< 51 > CONGRUENCIA. Es la propiedad por la que dos figuras pueden considerarse
exactamente similares.
< 52 > CONJUNTO DISJUNTO. Son los conjuntos que no tienen elementos comunes.
< 53 > CONSTANTE. Es una cantidad fija que permanece igual a lo largo de todas las
operaciones de un cálculo matemático.
< 54 > CUADRILÁTERO. Figura plana limitada por 4 líneas rectas.
< 55 > DIAGONAL. Es la línea recta que une dos vértices no consecutivos de un
polígono.
< 56 > DIÁMETRO. Línea recta que pasa por el centro de un círculo y lo divide en dos
partes iguales.
< 57 > DIGITO. Numero de una sola cifra.
< 58 > ECUACIÓN DIOFÁNTICA. Es una ecuación algebraica que tiene coeficientes
enteros y cuya solución también debe ser un número entero.
< 59 > EQUIDISTANTE. Todo punto situado a la misma distancia que otro.
< 60 > EQUILÁTERA. Toda figura que tiene sus lados de la misma longitud.
< 61 > INSCRITO. Cualquier figura geométrica trazada en el interior de otra.
< 62 > OBLÍCUO. Se dice de toda línea no perpendicular
< 63 > PARALELEPÍPEDO. Cuerpo de seis caras que son paralelogramos iguales y
paralelos dos a dos.
< 64 > POLÍGONO REGULAR. Polígono que tiene iguales los lados y los ángulos.
< 65 > RADIO. Cualquier recta que va del centro a la circunferencia de un círculo.
< 66 > ROMBO. Figura geométrica limitada por cuatro rectas iguales y con los
ángulos opuestos iguales pero no rectos.
< 67 > ROMBOIDE. Figura geométrica limitada por cuatro rectas no iguales y con
los ángulos no iguales.
< 68 > TRAPECIO. Cuadrilátero con dos lados paralelos.
< 69 > TRAPECIO ISÓSCELES. El que tiene iguales los ángulos adyacentes a una base.
< 70 > TRAPECIO RECTÁNGULO. El que tiene un ángulo recto.
< 71 > TRIÁNGULO ACUTÁNGULO. Triángulo con todos sus ángulos agudos.
< 72 > TRIÁNGULO ESCALENO. Triángulo que no tiene dos lados y dos ángulos
iguales.
< 73 > TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO. Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
V CERTAMEN 1996
1. El triángulo CDE y el rectángulo ABCE tienen igual altura. El área del polígono
ABCDE es 72 cm2.
Sí AB = 9,6 cm. ¿Cuál es la longitud de la altura del triángulo?
D
E
C
A
B
2. Mariano compra un diario todos los días y una revista deportiva todos los
domingos; paga por el total a fin de mes. En un mes de 30 días en el que hubo
cuatro domingos pagó $71. El diario cuesta $1,50 de lunes a sábado y $2,50 los
domingos. Sobre el precio de venta, el dueño del quiosco tiene una ganancia del
20% por los diarios y del 30% por las revistas. ¿Cuánto ganó ese mes con las compras
de Mariano?
3. ¿Cuántos cuadriláteros (polígonos de 4 lados) hay en la figura?
VI CERTAMEN 1997
1. Lucía fue a la feria del libro. Pagó $5 de entrada. Compró varios libros y un
diccionario. Los libros costaban $84; al agregar el diccionario, el total superaba los
$100.
Por compras superiores a $100 se hace un descuento del 15% y, además, se devuelve
el importe de la entrada. Lucía pagó con un billete de $100 y uno de $20. Le
devolvieron $14,50.
¿Cuál era el precio de venta del diccionario?
2. El rectángulo ABCD está formado por tres cuadrados de 1m2 de área.
E es punto medio de BC
F es punto medio de AD
¿Cuál es el área de la figura rayada?
3.
Marcela
olvidó
las
cuatro
cifras
del
código
de
su
tarjeta.
Recuerda que su código no tiene cifras repetidas, que las tres primeras cifras están,
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
en algún orden en su número de documento y que la cuarta cifra no está en su
número de documento.
El número de documento de Marcela es 27127887.
¿Cuántos son los posibles números del código de la tarjeta de Marcela?
VII CERTAMEN 1998
1. Un fabricante de jabones vende cada paquete a $57,60.
Un paquete contiene una docena de cajas y cada caja contiene 4 jabones.
Si un comprador pide más de 100 paquetes, el fabricante hace un descuento del 5%
sobre el total.
Ayer recibió un pedido de 6000 jabones. ¿Cuánto deberá pagar el comprador por este
pedido?
C
B
2. ABCD es un trapecio isósceles.
BCEF es un cuadrado de 36m2 de área.
Si el área del trapecio es el triple del
área de BCEF,
A
F
D
E
¿Cuánto mide el segmento AD?
3. Con los dígitos 1 - 2 - 3 - 4 y 5 se arman números de 4 cifras que son múltiplos de 3
y de 5.
Si se pueden repetir cifras, ¿cuántos números se pueden formar?
Explica por qué.
VIII CERTAMEN 1999
1. El Sr. Pérez compró un departamento por $54.000. Pagó el 40% al contado y el
resto en 80 cuotas iguales. Por la suma financiada se le hizo un recargo del 75%.
¿Cuántas cuotas tenía pagas el Sr. Pérez el día en que su deuda era de $11.340?
2.
Si se reemplaza cada
por un dígito, ¿cuántos números de siete
cifras que sean múltiplos de 9 se pueden obtener? Explica por qué.
3. El rectángulo ABCD tiene 128 cm2 de á
AB = 2 AD
AE = EB
DC = 4 FC
¿Cuál es el área del cuadrilátero AECF?
D
A
F
E
C
B
IX CERTAMEN 2000
1. El Sr. Pérez compró 4 juguetes: un avión, un bote, un coche y una grúa para
regalar a sus tres nietos: Pedro, Tomás y Martín. El Sr. Pérez quiere repartir los 4
juguetes y no quiere que Nina{un nieto se quede sin juguetes. ¿De cuántas maneras
distintas puede regalarlos?
2. Don José, el ferretero, por cada 40 tornillos que compra encuentra 4 defectuosos y
los devuelve. Por cada 100 tornillos que vende regala 5. Si vendió 1200 tornillos y no
le quedó ninguno, ¿cuántos tornillos había comprado Don José?
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
3. En la figura BC = 2 AB; el ABE es un triángulo isósceles de 72 cm2 de área y BCDE
es un rectángulo. Calcula el área del cuadrilátero ABDE.
X CERTAMEN 2001
1. Con los dígitos 0–1–2–8 , se arman números de cuatro cifras, repetidas o no, que
son divisibles por 4.
¿Cuántos de estos números se pueden armar?
2. ABCG es un rectángulo de 72 cm de perímetro.
HE es la altura del triángulo DEF.
AB = 3BC , FD = AB y HE = 2BC
¿Cuál es el área de la figura de vértices ABCDEFG?
3. Un local que hace fotocopias cobra, por cada una:
$ 0,10 si se piden menos de 100 fotocopias;
$ 0,07 si se piden entre 100 y 199 fotocopias y
$ 0,05 si se piden 200 fotocopias o más.
Esta mañana, entraron 4 clientes que pagaron, en total $ 45.
El primero pidió 65 fotocopias, el segundo pidió el doble que el primero y el tercero
pidió el doble que el segundo.
¿Cuántas fotocopias hizo el cuarto cliente?
XI CERTAMEN 2002
1. En la confitería, los sándwiches cuestan $ 54 el ciento. Un kilo de bombones más
un kilo de masas cuestan como 50 sándwiches. Un kilo de bombones cuesta como un
kilo y cuarto de masas.
Susana fue a la confitería con un número entero de pesos.
Después de comprar 75 sándwiches, lo que le quedó le alcanzaba para comprar 1
kilo de bombones pero no le alcanzaba para comprar 1 kilo y medio de masas.
¿Cuánto dinero llevaba Susana? Da todas las respuestas posibles.
2. En el pentágono ABCDE se trazan las diagonales AD y CE
que se cortan perpendicularmente en el punto O, de modo
que: EO = 9 cm; DO = 12 cm; ABCO es un cuadrado y el
triángulo CDE tiene 150 cm2 de área.
¿Cuál es el área del pentágono ABCDE?
3. Pepito tiene 7 alambres de longitud 1 y 7 alambres de longitud 2.
Usando todos o algunos de estos alambres, arma y desarma rectángulos que no son
cuadrados.
¿Cuántos rectángulos de distinto tamaño puede armar? Indica la longitud de sus
lados.
XII CERTAMEN 2003
1. La Sra. García guarda las monedas de 25 centavos en un frasco verde y las
monedas de 10 centavos
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
en un frasco rojo. El último día del año, en el frasco verde había $250 y en el frasco
rojo $ 40.
Ese día decidió regalarle a Juan 3 de cada 100 monedas de 25 centavos y 5 de cada
100 monedas de 10 centavos. ¿Cuántos pesos le regaló a Juan?
2. El rectángulo AEFG tiene 180 cm de perímetro.
AB = BC = CD = DE = EF
El área del triángulo BHD es 2/9 del área
del triángulo BEF.
¿Cuál es el área del triángulo FHG?
3. Juan escribe una lista de todos los números de 3 cifras distintas que puede formar
con los dígitos
2 - 3 - 4 - 7. Pablo escribe una lista de todos los números de 2
cifras distintas que puede formar con los dígitos 2 - 3 - 4 - 7. Aldo elige un par de
números: uno de la lista de Juan, uno de la lista de Pablo y los suma.
¿De cuántas maneras puede elegir Aldo el par de números para que la suma sea
múltiplo de 5?
XIII CERTAMEN 2004
1. Una hormiguita recorre cada hora una distancia igual a 2/3 de lo recorrido la
hora anterior.
Si en tres horas recorrió 76 cm, ¿cuántos cm recorrió durante la primera hora?
2. En la figura:
ABCD es un trapecio de base mayor de 12 cm,
FBCG es un cuadrado de 25 cm2 de área, E es punto medio de AB y 3CD = 2AB.
¿
C
G
Cuál es el área del cuadrilátero EFGD?
D
A
E F
B
3. En un tablero formado por 2 filas de 3 casillas cada una ,
Juan quiere colocar 2 fichas cuadradas y 2 fichas circulares, de modo que en cada
casilla no haya más de 1 ficha.
¿De cuántas maneras puede hacerlo?
XIV CERTAMEN 2005
1. En un monedero hay solamente monedas de 25 y de 50 centavos. El número de
monedas de 25 centavos es el triple del número de monedas de 50 centavos. Si se
gastan 8 monedas de cada clase, ahora, la cantidad de monedas de 50 centavos es
la quinta parte de la cantidad de monedas de 25 centavos. ¿Cuánto dinero había
inicialmente en el monedero?
2. De una hoja rectangular se cortan tres pedazos como indica la figura. A es un
cuadrado de 144 cm2 área. B es un cuadrado de 81 cm2 área. C es un triángulo
rectángulo de 102 cm2 área. ¿Cuál es el área del pedazo que sobra?
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
3. Juan tiene un rompecabezas de 1200 piezas cuadradas de 1 cm de lado.
Utilizando todas las piezas arma un rectángulo. ¿Cuántos rectángulos distintos
puede armar? Indica las longitudes de sus lados.
¿Cuáles de estos rectángulos se pueden partir en cuadrados de 2 cm de lado?
XV CERTAMEN 2006
1. En el club el 40 % de los socios son varones. Entre los varones, el 35 % son mayores
de 25 años.
Hay 224 socios varones mayores de 25 años.
¿Cuántas mujeres son socias del club?
2. En un rectángulo ABCD se marcaron M punto medio del lado AB y N punto medio
del lado BC.
Si MB = 2 BN, el triángulo MBN tiene 36 cm2 de área, ¿cuál es el área del polígono
AMNCD?
3. Delfina tiene que elegir sus horarios para las clases de natación. Quiere ir dos
veces por semana, nunca dos días seguidos, un día a la mañana y otro a la tarde,
una hora cada vez.
Hay clases de natación de lunes a sábado a las 9, a las 10 y a las 11 y por la tarde,
de lunes a viernes, a las 17 y a las 18.
¿De cuántas maneras distintas puede
Delfina armar sus horarios de la semana?
XVI CERTAMEN 2007
1. La ciudad Oeste tiene 35 000 habitantes.
De cada 100 habitantes, 24 tienen estudios universitarios completos.
De la población que tiene estudios universitarios completos, las dos quintas partes
son mujeres.
¿Cuántas mujeres tienen estudios universitarios completos en ciudad Oeste?
2. El cuadrado ABCD tiene 96 cm de perímetro.
MB = 2AM
QA = 3 DQ
N y P son puntos medios de los lados.
¿Cuál es el área de AMNPQ?
3. En el certamen interescolar hay 3 niveles.
En total participaron 1972 chicos.
Cada escuela envía hasta 5 representantes por nivel.
¿Cuál es el menor número de escuelas que puede haber participado en ese
interescolar?
Explica por qué.
1. Los
4
7
XVII CERTAMEN 2008
de los pasajeros de un tren turístico son extranjeros. Hay 72 pasajeros
argentinos. Los extranjeros ocupan las
¿Cuántos asientos tiene el tren?
3
8
partes de los asientos del tren.
Profesor Rey Zarza
[email protected]
Tercer Nivel – INTERESCOLAR
2. En una pared rectangular de 12 m de ancho se coloca
un portón cuadrado, dejando 3 m a la izquierda y
el doble a la derecha. La superficie de pared que
queda alrededor del portón es 39 m2.
¿Cuál es la altura de la pared?
3. En el quiosco venden paquetes de caramelos de distintas clases. Los de fruta
cuestan $2 cada uno, los de chocolate $4 y los de miel $3. Ana quiere comprar de las
tres clases y quiere gastar $ 30.
¿Cuántos paquetes de cada clase puede comprar?
Indica todas las posibilidades.
XVIII CERTAMEN 2009
1.
En
la
librería,
cada
cuaderno
cuesta
$6
y
cada
lápiz,
$
2.
Por una promoción, descuentan la sexta parte del total del gasto.
Susana compró 2 docenas de lápices y algunos cuadernos y pagó $ 180.
¿Cuántos cuadernos había comprado? 2. En el rectángulo ABCD de 80 cm 2 de área,
se marcan: E punto medio de CD y F en AB de modo que AF = 3 FB.
¿Cuál es el área del triángulo FBE?
3. Vale escribe un número de tres cifras.
Después intercambia la cifra de las centenas con la cifra de las unidades y escribe
este nuevo número.
Si suma los dos números que escribió obtiene un número de tres cifras iguales.
¿Cuál fue el primer número que escribió Vale? Da todas las posibilidades.
Profesor Rey Zarza
[email protected]