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Movimiento Circular Uniforme
Introducción
Ya definimos anteriormente la aceleración como el cambio en la velocidad con el tiempo:
a = Δv/t
Hasta ahora, sólo hemos hablado sobre los cambios en la magnitud de la aceleración: la aceleración o
desaceleración de objetos. Sin embargo, dado que la velocidad es un vector, ésta tiene una magnitud y una
dirección; entonces, otra forma en que la velocidad puede cambiar es cambiando su dirección, aun cuando
su rapidez permanece constante. Éste es el tipo de aceleración que será explorado en este capítulo.
Un caso importante de cambio de dirección cuando la rapidez permanece constante se da en el movimiento
circular uniforme. En este caso, la rapidez de un objeto permanece constante, y por lo tanto “uniforme”,
mientras que la dirección cambia constantemente, lo cual es necesario para que el objeto se mueva en un
círculo. Si no hubiera aceleración, el objeto se desplazaría en línea recta.
Este tipo de movimiento ocurre en numerosas instancias: algunos ejemplos importantes son el movimiento
de los planetas alrededor del sol o la luna alrededor de la Tierra. Fue justamente a partir de un análisis del
movimiento circular uniforme que Newton pudo desarrollar su teoría de Gravitación Universal; entonces es
natural que esto también se explore en este capítulo.
Movimiento Circular Uniforme
Por la Primera Ley de Newton sabemos que si no hay fuerza neta actuando sobre un objeto, en movimiento,
éste viajará en una línea recta a velocidad constante. Cada vez que un objeto no logra viajar de esta manera,
sabemos, por definición, que está acelerando. Por la Segunda Ley de Newton también podemos llegar a la
conclusión de que debe haber una fuerza neta actuando sobre el objeto. El movimiento circular es un caso
especial en el que un objeto experimenta aceleración constante.
En el caso del movimiento circular, un objeto está cambiando de dirección constantemente. En lugar de
viajar en línea recta, su trayectoria es siempre “doblando” hacia el centro del círculo que define esa
trayectoria. Como se muestra abajo, su velocidad es siempre tangente al círculo que describe su
movimiento, y su aceleración es siempre dirigida hacia el centro del círculo. Si se observa el vector de
velocidad para pequeñas diferencias de tiempo Δt, se puede ver que el cambio en la velocidad, la flecha que
conecta la punta del vector de velocidad anterior a la punta del siguiente vector de velocidad, es siempre
hacia el centro. Esta flecha representa el cambio en velocidad a través del tiempo Δt: en consecuencia,
representa la dirección de la aceleración.
V
e
a
V
e
a
(Trayectoria del
movimiento)
a
Movimiento Circular Uniforme – 1
V
ev 1.0
La velocidad del objeto es
siempre tangente a la
trayectoria sobre el
círculo.
La aceleración del objeto
está siempre dirigida hacia
el centro del círculo,
perpendicular al vector de
velocidad.
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Además, puede verse que el triángulo que se forma de v1 y v2 (ver abajo) es similar al triángulo que se
forma con radio del círculo y la distancia recorrida a través del tiempo Δt, vt (ver abajo).
La magnitud de v1 y v2 es la misma. Como la velocidad del objeto es constante, podemos establecer la
siguiente proporción:
Multiplicando ambos lados por v y dividiendo por t
Ya que Δv/t = a
Ésta es una relación muy importante ya que nos da la magnitud de la aceleración de cualquier objeto
desplazándose por una trayectoria circular. La dirección de esa aceleración es hacia el centro del círculo.
La aceleración de un objeto que se mueve en una trayectoria circular es dada por:
a = v2/r hacia el centro del círculo
Este resultado es muy importante ya que puede ser aplicado a otros casos especiales que hemos explorado
previamente.
Casos especiales de la aceleración
Un objeto desplazándose en línea recta a velocidad constante
a=0
Un objeto sin soporte cerca de la superficie de la Tierra
a = g = 9.8 m/s2 hacia el centro de la Tierra
Un objeto desplazándose en una trayectoria circular
a = v2/r hacia el centro del círculo
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Ejemplo 1
Un objeto de 4,0 kg viaja en movimiento circular uniforme de radio 2,0 m. La magnitud de su velocidad, su
rapidez, es de 15 m/s. Determina su aceleración. Determina la fuerza neta que actúa sobre él.
Como el objeto viaja en movimiento circular, la magnitud de su aceleración está dada por a = v2/r y la
dirección de su aceleración es hacia el centro del círculo.
a = v2/r
a = (15 m/s) 2 / (2,0 m)
a = (225 m2/s2) / (2,0 m)
a = 112 m/s2 hacia el centro del círculo
Movimiento Circular Uniforme – 2
v 1.0
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La fuerza neta que actúa sobre el objeto es lo que causa su aceleración, entonces:
ΣF = ma
ΣF = (4 kg) (112 m/s2)
Fneta = 450N
Como la aceleración de un objeto es siempre dirigida en la misma dirección que la fuerza neta, la fuerza
neta también debe estar dirigida hacia el centro del círculo.
Fneta = 450 N hacia el centro del círculo
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Ejemplo 2
¿Cuánta fuerza neta se requiere para mantener un objeto de 5,0 kg en movimiento circular de radio 6,0 m a
una velocidad de 12 m/s? u
Como el objeto está viajando en un círculo, su aceleración debe ser v2/r, entonces
ΣF = ma
ΣF = m (v2/r)
ΣF = (5,0 kg) ((12 m/s)2 / (6,0 m))
ΣF = (5,0 kg) (144 m2/s2 / (6,0 m)
ΣF = 120 kg∙m/s2
Fneta = 120 N hacia el centro del círculo
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Periodo y Frecuencia
Hay dos términos muy relacionados que se usan para describir el movimiento circular: periodo y
frecuencia. El periodo del movimiento de un objeto es el tiempo que toma en dar una vuelta
alrededor del círculo. El periodo es una medida de tiempo por lo que la unidad de medida estándar es el
segundo y el símbolo para el periodo es “T” (se confunde fácilmente con el símbolo para la Tensión). Si un
objeto completa cierto número de revoluciones, n, en cierta cantidad de tiempo, t, luego T = t/n, ya que ése
es el tiempo que necesita para completar una vuelta. Por ejemplo, si doy diez vueltas alrededor de un
círculo en cinco segundos, mi periodo es el tiempo que tomo en dar cada vuelta alrededor del círculo y está
dado por:
T = t/n
T = 10 s/5
T=2s
A veces ayuda mucho pensar en el número de veces que doy vueltas por segundo, más que en el número de
segundos que me toma dar una vuelta. Esto se llama frecuencia de la rotación ya que describe la frecuencia
para completar un ciclo. La frecuencia del movimiento de un objeto es el número de veces que viaja
alrededor de un círculo en una unidad de tiempo dada. El símbolo para la frecuencia es “f” (se confunde
fácilmente con la fricción). Si un objeto completa cierto número de rotaciones, n, en una cantidad de
tiempo dada, t, luego f = n/t, ya que ése es el número de veces que doy vueltas en un tiempo dado. Las
unidades de frecuencia deben reflejar el número de “repeticiones por unidad de tiempo”. Si el tiempo se
mide en segundos, como se hará generalmente en este libro, la unidad de frecuencia es 1/s o s-1. Esta
unidad, s-1, también ha sido nombrada Hercio (Hz).
Este término se usa comúnmente para describir las estaciones de radio: cuando sintonizas una radio en
104.3 MHz, estás sintonizando una señal de radio que repite su ciclo 104,3 millones de veces por segundo.
Movimiento Circular Uniforme – 3
v 1.0
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De la misma forma, la estación en 880 kHz tiene una señal que repite su ciclo 880 miles de veces por
segundo. Como T=t/n y f=n/t, luego:
T = 1/f y f = 1/T
Por ejemplo, si el periodo, T, del movimiento de un objeto es 0,2 segundos, luego su frecuencia está dada
por:
f = 1/T
f = 1/0,2 s
f = 5 s-1 o 5 Hz
De la misma forma, si la frecuencia de un objeto es 20 Hz, luego su periodo está dado por:
T = 1/f
T = 1/20 Hz
T = 0,05 s
Además, hay una conexión directa entre periodo, frecuencia y velocidad. Como la distancia alrededor de un
círculo está dada por su circunferencia: un objeto debe recorrer una distancia de 2πr para completar un
círculo. Esto demuestra relaciones importantes entre la velocidad, el periodo y la frecuencia.
s = d/t
s = 2πr/t
s = 2πr/T
v = 2πr/T
para recorrer el círculo una vez debo recorrer una distancia de 2πr
por la definición del periodo, el tiempo que me lleva hacer eso es T
como la velocidad es la magnitud de la velocidad instantánea de un objeto, esto significa que
Además, como f = 1/T, esto también puede escribirse como
v = 2πrf
Relaciones entre periodo, frecuencia y velocidad
T = t/n y T = 1/f
f = n/t y f= 1/T
v = 2πr/T
v = 2πrf
Las unidades de periodo, T, son segundos.
Las unidades de frecuencia, f, son s-1, o Hz.
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Ejemplo 3
Un objeto está viajando por un círculo de radio 4 m y completa cinco ciclos en 2 s. ¿Cuál es su periodo,
frecuencia y velocidad?
T = t/n
T = 2 s/5
T = 0,4 s
f = 1/T
f = 1/0,4 s
f = 2,5 Hz
v = 2πr/T
o
f = n/t
f = 5/2 s
f = 2,5 Hz
o
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v = 2πrf
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v = 2 (3,14) (4 m)/(0,4 s)
v = 2 (3,14) (4 m) (2,5 Hz)
v = 62 m/s
v = 62 m/s
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Ejemplo 4
Se requiere una fuerza de 250 N para mantener un objeto de 8,0 kg en un movimiento circular de radio 15 m.
¿Cuál es la velocidad, el periodo y la frecuencia de un objeto?
ΣF = ma
Fneta = m (v2/r)
Fneta r / m = v2
v = √(Fneta r / m)
v = √(250 N)(15 m) / (8,0 kg))
v = √(3750 kg∙m2/s2) / (8,0 kg))
v = √(470 m2/s2)
v = 22 m/s
Como el objeto se mueve en un círculo, su velocidad debe ser tangente al círculo.
v = 22 m/s tangente al círculo
Luego, averiguamos el periodo de movimiento del objeto.
v = 2πr/T
T = 2πr/v
T = 2 (3,14) (15 m)/ (22 m/s)
T = 4,3 s
Y finalmente, averiguamos su frecuencia.
f = 1/T
f = 1/(4,3 s)
f = 0,23 Hz
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Un aspecto importante de las ecuaciones para el movimiento uniforme es que se aplican aun para periodos
breves de tiempo en los que el movimiento de un objeto se puede considerar circular. Por ejemplo, cuando
viajas por una curva en un camino, esa curva puede ser considerada como parte de un círculo. No necesitas
recorrer todo el círculo para que esas ecuaciones puedan ser útiles: tal como no necesitaste recorrer 60
millas en una hora para que tu velocidad fuera de 60 millas por hora. Estas ecuaciones pueden ser
aplicadas en cualquier momento en que el movimiento de un objeto sea de naturaleza circular,
aunque sea brevemente.
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Ejemplo 4
Un objeto es atado a un cordón que provee una Tensión que mantiene el objeto moviéndose en un círculo de
radio 0,50 m mientras se desliza sobre una tabla sin fricción. El objeto tiene una masa de 2,0 kg y su
movimiento tiene un periodo de 0,63 s. ¿Cuál es la tensión en el cordón?
ΣF = ma
FT = m (v2/r)
pero v = 2πr/T, entonces v2 = 4π2r2/T2...y sustituyendo
FT = m ((4π2r2/T2)/r)
FT = 4 mπ2r/T2
FT = (4) (2,0 kg) (3,14)2(0,50 m)/(0,63 s)2
Movimiento Circular Uniforme – 5
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FT = 100 kg∙m/s2
FT = 100 N hacia el centro del círculo
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Múltiples fuerzas y movimiento circular
Frecuentemente, más de una fuerza actúa sobre un objeto, incluyendo el caso de un objeto viajando en
movimiento circular uniforme. En ese caso, tratas el problema de la misma manera como lo hiciste en los
problemas de dinámica, la suma de las fuerzas es lo que importa, no cualquiera de las fuerzas.
Entonces, por ejemplo, si cambiáramos el ejemplo anterior e hiciéramos que el objeto se mueva en un
círculo vertical y ya no en uno horizontal, tendríamos dos fuerzas actuando sobre el objeto para mantener
su movimiento en forma circular, el peso del objeto estará siempre hacia abajo, pero la fuerza de tensión
siempre apuntaría hacia el centro del círculo. Como la aceleración del objeto es siempre dada por v2/r,
luego la suma de sus fuerzas será siempre igual a ma o mv2/r. En consecuencia, siempre que la rapidez sea
constante, la fuerza neta también lo será.
Sin embargo, la fuerza de tensión a veces será opuesta al peso del objeto en la parte inferior del círculo, y a
veces será en la misma dirección en la parte superior del círculo. Esto significa que la fuerza de tensión
tendrá que variar ya que la suma de las fuerzas es constante y el peso no puede variar.
Ejemplo 5
Un objeto es atado a un cordón que provee una Tensión que ayuda a mantener el objeto en movimiento en un
círculo vertical de radio 0,50 m. El objeto tiene una masa de 2,0 kg y está viajando a una rapidez constante de
5,0 m/s (poco viable, pero vamos a usarlo como una suposición). ¿Cuál es la tensión en el cordón en las
siguientes situaciones?
a. Cuando el objeto está en la cima del círculo.
b. Cuando el objeto está en la parte inferior del círculo.
c. Cuando el cordón está horizontal.o
a. En la cima del círculo, tanto el peso como la tensión apuntan hacia abajo. Y también lo hace la aceleración
del objeto, ya que la aceleración de un objeto en movimiento circular uniforme es siempre dirigida hacia el
centro del círculo. Si definimos “abajo” como negativo:
ΣF = ma
-T - W = -ma
pero como todos los signos son negativos, podemos multiplicar por -1 en ambos
lados y así hacerlos positives.
T + W = ma
T = ma - W
T = mv2/r - mg
T = m (v2/r – g)
T = (2,0 kg) ((5 m/s)2 / (0,50 m) – 9,8 m/s2)
T = (2,0 kg)( (25 m2/s2 / (0,50 m) – 9,8 m/s2 )
T = (2,0 kg)( (50 m2/s2 – 9,8 m/s2 )
T = 80 kg∙m/s2 = 80 N hacia abajo
b. En la parte inferior del círculo, el peso apunta hacia abajo y la tensión apunta hacia arriba, hacia el centro
del círculo. La aceleración del objeto también apunta hacia arriba hacia el centro del círculo, ya que la
aceleración de un objeto en movimiento circular uniforme es siempre dirigida hacia el centro del círculo. Si
definimos “abajo” como negativo:
ΣF = ma
T - W = ma
Notar que en este caso T y ma son positivos y solo W es negativo
Movimiento Circular Uniforme – 6
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T = ma + W
T = mv2/r + mg
T = m (v2/r + g)
T = (2,0 kg) ((5 m/s)2 / (0,50 m) + 9,8 m/s2)
T = (2,0 kg)( (25 m2/s2 / (0,50 m) + 9,8 m/s2 )
T = (2,0 kg)( (50 m2/s2 + 9,8 m/s2 )
T = 120 kg∙m/s2
T = 120 N hacia arriba
Cuando la cuerda está horizontal el peso apunta hacia abajo y la tensión apunta hacia el costado en
dirección del centro del circulo. La aceleración del objeto debida a su movimiento circular también apunta
al costado en dirección del centro del circulo dado que la aceleración de un objeto en movimiento circular
uniforme siempre apunta al centro del circulo
En este caso el peso no contribuye a mantener el objeto moviéndose en el circulo. En realidad servirá para
acelerar el objeto. Pero, dado que solo estamos considerando la fuerzas que causan el movimiento circular,
el peso no afectara la Tensión de la cuerda. Entonces estamos como en el Ejemplo 4, que se muestra arriba,
W no juega ninguna rol en mantener el objeto en movimiento circular
ΣF = ma
T = m(v2/r)
T = (2.0 kg)((5 m/s)2 / (0.50 m))
T = (2.0 kg)(25 m2/s2 / (0.50 m))
T = (50 kg∙m2/s2 / (0.50 m))
T = 100 kg∙m/s2
T = 100 N hacia el centro del circulo.
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En el ejemplo 5a, puede verse que habrá una rapidez mínima a la que el objeto puede viajar en un círculo
vertical. A esa velocidad mínima, la tensión en el cordón se vuelve cero en la cima del círculo y sólo el peso
del objeto provee la fuerza necesaria para mantener su movimiento circular. Si un objeto se mueve más
lentamente que a esa velocidad, va a salirse del movimiento circular al caerse hacia el centro del círculo. En
el ejemplo 5, la relación que nos da esta velocidad se ve en la ecuación: T = m (v2/r – g). De esto se deduce
que cuando v2/r – g = 0, la tensión en el cordón será cero. Como la tensión en el cordón no puede ser
negativa, ésta es la velocidad más baja posible para el movimiento circular; y la velocidad es independiente
de la masa del objeto. Resolviendo para “v” nos da:
v2/r – g = 0
v2/r = g
v2 = gr
v = √gr
Entonces en el ejemplo 5, la menor velocidad posible para que el objeto mantenga su movimiento circular
sería:
vmín = √gr
vmín = √(9,8 m/s2) (0,5 m)
vmín = √(4,9 m2/s2)
vmín = 2,2 m/s
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Ejemplo 6
Un balde con agua es hecho girar en un círculo vertical tal que el balde queda hacia abajo, con el agua dentro
de él, en la cima del círculo. Una persona está haciendo girar el balde en un círculo de radio 0,80 m.
a. ¿Cuál es la velocidad mínima que debe mantener el agua para permanecer el balde y no derramarse
sobre la persona que está abajo?
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b. Si el agua tiene una masa de 0,25 kg y la rapidez del balde es la misma en la parte inferior y en la
parte superior del círculo, ¿qué fuerza normal debe proveer el balde en la parte inferior del círculo?
El agua experimenta dos fuerzas cuando recorre su trayectoria circular: su peso abajo y la fuerza normal de
la base del balde dirigidos hacia el centro del círculo. La suma de estas dos fuerzas debe ser igual a ma, o
mv2/r.
a. En la cima del círculo, el peso, la fuerza normal y la aceleración apuntan hacia abajo. Entonces,
ΣF = ma
-FN - W = -ma
FN + W = ma
Pero como todos los signos son negativos, podemos multiplicar ambos lados por -1
y hacerlos positivos.
La velocidad mínima será cuando FN = 0. En este punto, el agua parecerá
ingrávida…en caída libre.
W = ma
mg = ma
a=g
v2/r = g
v2 = gr
v = √gr
vmin = √(9,8 m/s2)(0,8 m)
vmin = √(7,8 m2/s2)
vmin = 2,8 m/s
Nota que la masa del agua no importó, pero sí lo hizo el radio del círculo.
b. En la parte inferior del círculo, el balde y la aceleración apuntan hacia arriba, mientras que el peso del
agua apunta hacia abajo. Entonces,
ΣF = ma
FN - W = ma
Pero como todos los signos son negativos, podemos multiplicar ambos lados por -1
y hacerlos positivos.
FN = W + ma
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FN = mg + ma
FN = m (g + a)
FN = m (g + v2/r)
Luego usamos la velocidad que calculamos para la parte superior del círculo.
FN = (0,25 kg)(9,8 m/s2 + (2,8 m/s)2 / (0,8 m))
FN = (0,25 kg)(9,8 m/s2 + 9,8 m/s2 )
FN = (0,25 kg)(19,6 m/s2)
FN = 4,9 N
Nota que esta fuerza normal es del doble de lo que sería si lo que sostiene el agua fuera inmóvil. El peso
aparente del agua es del doble en la base y es cero en la cima del círculo.
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A veces la fuerza que mantiene un objeto en movimiento circular se debe a la fricción. En este caso, hay en
realidad tres dimensiones involucradas en la resolución del problema: las dos dimensiones en las cuales el
movimiento circular es definido, más la fuerza normal, que es perpendicular al plano del movimiento
circular. Veremos que en estos casos la masa del objeto no afecta el resultado.
Ejemplo 7
Un auto toma una curva a una velocidad de 20 m/s. En ese momento, la curva puede aproximarse a un círculo
de radio 150 m. ¿Cuál es el coeficiente mínimo de fricción estática que va a permitir que el auto complete la
curva sin deslizarse fuera del camino?
Desde arriba, un gráfico de este problema mostraría el auto viajando por un círculo. Sin embargo, desde esa
perspectiva no es posible dibujar un diagrama del cuerpo libre mostrando todas las fuerzas necesarias para
resolver este problema. Entonces, también es importante realizar un gráfico desde la perspectiva de
alguien que está parado en el camino viendo el auto alejarse.
Diagrama del cuerpo libre – Vista desde arriba
Diagrama del cuerpo libre – Vista de perfil
dirección radial
ΣF = ma
Fsf = ma
μsFN = m(v2/r)
μsmg = mv2/r
μs = v2/gr
μs = (20 m/s)2/((9,8 m/s2)(150 m))
μs = 0,27
dirección vertical
ΣF = ma
FN – mg = 0
FN = mg
Nota que la masa del auto no importa. Entonces cuando se está diseñando un camino, no es importante
saber la masa de los autos que lo usarán cuando se determina el máximo de la curvatura del camino.
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