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ASIGNATURA TRIGONOMETRIA PROFESORA: Eblin Martínez M. GUÍA Nº 02 GRADO: 10° ESTUDIANTE: PERÍODO:2 DURACIÓN: 20 horas LOGRO: Resuelve problemas de tipo trigonométrico a través de la resolución de triángulos rectángulos y la aplicación del teorema de Seno y Coseno. INDICADORES DE LOGRO: Soluciono triángulos rectángulos encontrando la medida de sus ángulos y lados. Aplico el teorema de seno y Coseno en la resolución de triángulos rectángulos. Resuelvo problemas que se modelan a través de triángulos. OBJETIVO: Desarrollar un proceso de comprensión en la resolución de problemas relacionados con triángulos. COMPETENCIA: Resuelvo y propongo situaciones de la vida diaria que tengan solución a través de triángulos. RETOS DE INGENIO SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Solucionar un triángulo rectángulo es hallar la medida de: B Los tres lados Los tres ángulos Su perímetro y, Su área. Perímetro: a + b + c c a Area: (base x altura)/ 2 A b C EJEMPLO. RESOLVER EL SGTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO: B 12 cm c 36º A b C SOLUCIÓN: La suma de los ángulos internos es 180º, el ángulo recto sabemos que mide 90º, por lo tanto el ángulo B será: 90º - 36º = 54º. Para hallar el lado b, utilizamos la tangente de 36º: tan 36º = CO = 12 cm CA b De donde, b = 12 cm/ tan 36º = 16.52 cm. La hipotenusa, se puede hallar por teorema de Pitágoras ó por cualquier razón trigonométrica donde intervenga su valor: sen 36º = 12 cm/ c c = 12/sen 36º c = 20.42 cm. Area: (base x altura)/ 2 = 99.12 cm2 Perímetro: a + b + c = 12 cm + 16.52 cm + 20.42 cm = 48.94 cm Nota: Para hallar la medida de cualquier ángulo, teniendo su seno, coseno ó tangente, podemos proceder en la calculadora de la siguiente forma: Shift Tan (sen ó cos) =( ) Shift “º” = ____. Lo que equivale a encontrar el valor del ángulo mediante la función inversa sen-1, cos-1, tan-1 para ese valor. TALLER N°1 1. Soluciona los siguientes triángulos rectángulos: B A 25 7 c c B c A C 5 C c 28º C b c a 12 a 48 A B A B C 52º A B 6,5 3cm 4 cm C 85 6 100 D ¿Será rectángulo el triángulo ABC? A 80 B 2. Calcula la medida de la diagonal de un cubo de 4 cm de arista. 3. Una escalera de 9 m de longitud se apoya sobre una pared. La escalera forma un ángulo de 54º con el suelo. Calcula la distancia entre el pie de la escalera y la pared. 4. Las bases de un trapecio isósceles miden 6 cm y 4 cm. El ángulo de la base mide 60º. Calcula el área del trapecio. AT = (B1 + B2 /2) x h. 5. En una carretera para una distancia horizontal de 150 m, se ascienden 12 m. Calcula el desnivel en grados. Ángulo de elevación Ángulo de depresión 6. A cierta hora el sol se observa con un ángulo de elevación de 55º. Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 10.89 m. 7. Desde un punto situado 30 m arriba en un faro se observa una pequeña embarcación con un ángulo de depresión de 33º. Calcula la distancia, al pie del faro, a que se encuentra la embarcación. 8. Desde la ventana de un edificio, a 46 m de altura, se observa un automóvil con un ángulo de depresión de 55º. Calcula la distancia que hay desde el automóvil hasta la base del edificio. 9. A cincuenta metros de la base de un edificio se observa la base de la chimenea con un ángulo de elevación de 56º y el punto más alto de la chimenea se observa con un ángulo de elevación de 64º. Calcular la longitud de la chimenea. 50 m C 10. Desde un avión que vuela a 1860 m de altura se observa una embarcación con un ángulo de depresión de 31º y desde el mismo plano, en sentido opuesto se observa el puerto con un ángulo de depresión de 53º. Calcula la distancia que separa a la embarcación de la costa. TEOREMA DEL SENO En un triángulo cualquiera, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. B Para el triángulo, se cumplen cualquiera de las tres relaciones: c a = b Sen A Sen B a = c. Sen A Sen C b = c. Sen B Sen C a A C b EJEMPLO. RESOLVER EL SGTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO MEDIANTE EL TEOREMA DEL SENO: C SOLUCIÓN: Utilizando la ley del Seno, 40 cm B b 45º a = b Sen A Sen B 60º c 40 cm Sen 60º = b Sen 45º b = 40 cm x sen 45º Sen 60º A De donde, b = 32.5 cm Además, C = 180º - (45º + 60º) = 180º - 105º = 75º Para hallar c, aplicamos el teorema del srno con la ec. 2 ò la ec. 3: a = c. Sen A Sen C 40 cm Sen 60 = c. Sen 45º c = 44.5 cm ACTIVIDAD N°1: 1. Resuelve cada triángulo aplicando ley del Seno de acuerdo a los valores indicados: a. b. c. d. e. b = 70 cm, < A = 30º, < C = 105º c = 60 cm, < A = 50º , < B = 75º a = 7cm, b = 6cm, A = 30º < A = 30º, B = 60º, a = 20 cm a = 10 cm, <B = 53º, c = 12 cm TEOREMA DEL COSENO En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el doble producto de ellas por el coseno del ángulo que forman dichos lados. Para el triangulo, se cumplen cualquiera de las tres relaciones siguientes: a2 = b2 + c2 - 2 b c Cos A b2 = a2 + c2 - 2 a c Cos B c2 = a2 + b2 - 2 a b Cos C EJEMPLO: B c a A C b Dado el triángulo ABC, si a = 12 cm, b = 8 cm y <C = 36º. Determinar c. Solución. Dibujemos un triángulo y ubiquemos los valores conocidos. Usando la fórmula: B c 36º A c2 = a2 + b2 - 2 a b Cos C c = (12 cm)2 + (8 cm)2 - 2 (12 cm) (8 cm) Cos 36º c2 = 52.7 cm2 c = 7.25 cm a = 12 cm 2 C b = 8cm Con el valor de a, < C, b y c, se pueden encontrar los ángulos A y B mediante la ley de los Senos. ACTIVIDAD N° 2: 1. Dado el triángulo ABC, resuélvelo en cada caso si: a) b) c) d) e) a = 20 cm, b = 30 cm, < C = 45º b = 8cm, c = 5cm, <A = 60º a = 40 cm, c = 50 cm, <B = 120º a = 24, b = 16 cm, <C = 45º a = 21 cm, b = 24 cm, c = 27 cm 2. Completa la siguiente tabla de las funciones Seno, Coseno y Tangente. (Grafícalas en hoja milimetrada) < º 360 Sen Cos Tan 330 300 < 15º º Sen Cos Tan 30º 45º - 270 - 240 - 210 - 180 - 150 - 120 90 60º 90º 60 45 - 30 15 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º 3. DETERMINA: a. b. c. d. II. ¿Cuál de las funciones anteriores no es continua? ¿En qué puntos esa función no está determinada y por qué? ¿Para qué intervalos la función Seno crece y para qué intervalos decrece? ¿Para qué intervalos la función Coseno crece y para qué intervalos decrece? ¿Para qué intervalos la función Tangente crece y para qué intervalos decrece? ¿Cuál es el período, amplitud y desfase de cada una de las funciones anteriores? 0