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Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 2
PRÁCTICA 2 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En esta segunda práctica aplicaremos el método de Gauss – Jordan, con ayuda
de la calculadora ClassPad 300 PLUS, para establecer la compatibilidad o
incompatibilidad de los sistemas lineales. Resolveremos sistemas compatibles
indeterminados. Aplicaremos el mismo método para establecer el conjunto solución de
aquellos sistemas lineales que dependen de uno o más parámetros.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica es imprescindible haber estudiado el Proceso de
Eliminación de Gauss – Jordan y haber resuelto la práctica 1 en su totalidad.
Observaciones:
Es importante señalar al estudiante que debe realizar las actividades propuestas
siguiendo cuidadosamente cada instrucción.
Las instrucciones y actividades están destacadas con los iconos
,
y
en el margen
izquierdo, para distinguirlas de la mera transmisión de información. El primer icono indica que el estudiante
debe ejecutar las instrucciones propuestas con la calculadora, el segundo indica el planteamiento de
una situación problemática y el último indica que debe reportar por escrito, la respuesta a la situación
problemática presentada.
2.1. Resolución de un sistema incompatible por el método de Gauss – Jordan.
En esta práctica utilizaremos la Aplicación Principal para resolver sistemas lineales de orden mxn
aplicando operaciones elementales por filas.
1.
Operación con la ClassPad
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre
la mesa. Presione [ON/OFF] para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la
aplicación Principal.
(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el
área de trabajo.
(4) Toque
[Preferencias ►] [Adm. de variable] para acceder al
administrador de variables. Toque main dos veces. Si hay variables
asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.]
[Cerr.] [Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de
trabajo de la aplicación Principal.

Su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 1.
Figura 1
En este momento estamos en capacidad de resolver la primera situación problemática:
2.
En este primer ejercicio se desea resolver el sistema representado por la ecuación
matricial AX = B donde:
0
0
A
1

1
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1
0 7
7 
, B
2 1 2 

1 1  1
0
1
19
 x1 
 1
 
4
  , X  x 2 
x 3 
3 
 
 
3 
x 4 
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Práctica 2
Antes de continuar:
3.
En esta práctica conviene que trabaje de manera paralela con lápiz y papel, a fin de
comparar el procedimiento llevado a cabo con la calculadora. Por otra parte, si comete algún
error que no pueda enmendar con el comando deshacer, tendrá la posibilidad de modificar la
última matriz con la información que tiene escrita o copiando la matriz desde el histórico de la
calculadora.
4.
Operación con la Class Pad
(1) Active el teclado virtual 2D presionando [Keyboard] y tocando [2D].
Toque el botón
para acceder a las plantillas de matrices.
(2) Toque tres veces
y registre los elementos de la matriz A.
(3) Con la tecla direccional [►] ubique el cursor al final de la línea de
entrada y asigne la matriz a la variable A:
.
(4) Toque
y toque tres veces
. Registre los elementos de la
matriz segundo miembro B.
(5) Con la tecla direccional [►] ubique el cursor al final de la línea de
entrada y asigne la matriz a la variable B:
.
(6) Para crear la matriz aumentada [A:B] en el área de trabajo toque
[Acción] [Matriz – Crear ►] [augment]
.
(7) Inicie el proceso de eliminación gaussiana a fin de obtener la matriz
escalonada reducida.
Figura 2
Sugerencias:

Recuerde que la matriz aumentada se encuentra en la memoria de
respuesta [ans].

Para acceder a los comandos de las operaciones elementales toque,
en la barra de menús, [Acción] [Matriz – Calcular ►].

Se sugiere la siguiente secuencia de operaciones elementales:
F1   F4 / F1  F3  F3 / F2   F3 /
F3   F4 / 7F3  F4  F4 /
1
F4 .
3
Éstas corresponden a los comandos:
Swap(ans,1,4) / mRowAdd(–1,ans,1,3) / Swap(ans,2,3) /
Swap(ans,3,4) / mRowAdd(–7,ans,3,4) / mRow(1/–3,ans,4).
Figura 3
Al finalizar el estado de la pantalla de su calculadora debe ser el presentado en la Figura 3.
5.
¿Por qué este sistema es incompatible?
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2.2. Resolución de un sistema indeterminado por el método de Gauss – Jordan.
6.
En este ejercicio se desea resolver el sistema representado por la ecuación matricial AX =
B donde:
 2 4 8  2
1 1 3
0 
, B
A
 4 6 14  2


2 
1  1 1
7.
 x1 
4
 
5
  , X  x 2 
x 3 
14 
 
 
 11
x 4 
Operación con la ClassPad
(8)
En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar
el área de trabajo.
Ubique las plantillas para matrices en el teclado 2D y registre los
elementos de la matriz A.
Asigne la matriz a la variable A.
Registre los elementos de la matriz segundo miembro B.
Asigne la matriz a la variable B.
Para crear la matriz aumentada [A:B] en el área de trabajo toque
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
[Acción] [Matriz – Crear ►] [augment]
.
(14) Inicie el proceso de eliminación gaussiana en esta matriz a fin de
obtener los pivotes normalizados de la matriz escalonada
reducida.
Sugerencias:

Figura 4
Se sugiere la siguiente secuencia de operaciones elementales por
filas:
(1/ 2)F1  F1 / F1  F2  F2 / 4F1  F3  F3 /
F1  F4  F4 / (1)F2  F2 / 2F2  F3  F3 / 3F2  F4  F4 .
Esta secuencia corresponde a los comandos:
mRow(1/2,ans,1) / mRowAdd(–1,ans,1,2) / mRowAdd(–4,ans,1,3)
/ mRowAdd(–1,ans,1,4) / mRow(–1,ans,2) / mRowAdd(2,ans,2,3)
/ mRowAdd(3,ans,2,4).

Figura 5
Usted puede copiar y pegar el comando que mayormente utilice.
Al terminar el estado de la pantalla de su calculadora debe ser el presentado en la Figura 5.
8.
¿Por qué este sistema es compatible indeterminado?
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Escribiendo el sistema equivalente a partir de la matriz escalonada reducida, este sistema puede
resolverse por sustitución regresiva, escribiendo cada una de las variables básicas x 1 y x 2 (variables con
pivotes) en función de las variables libres x 3 y x 4 .
9.
Encuentre el conjunto solución del sistema aplicando sustitución regresiva.
En lo que sigue se resolverá el sistema por la técnica de agregar pivotes:
10.
Operación con la ClassPad
(15) Seleccione la matriz escalonada reducida. Toque
para copiar la
matriz en el portapapeles. Ubique el cursor en la línea de entrada y
toque
para obtener una copia.
(16) El las filas de ceros, complete con unos los pivotes normalizados que
faltan en la matriz ampliada escalonada reducida de la línea de
entrada, borrando únicamente los ceros correspondientes.
(17) Toque
para acceder al teclado de plantillas.
(18) Con el cursor ubicado en cualquier celda, toque dos veces
para insertar dos nuevas columnas.
(19) En cada columna insertada, coloque un uno en la fila correspondiente
al pivote agregado.
(20) Complete con ceros las celdas en blanco y toque
Figura 6
.

Hasta aquí su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la
Figura 6.
(21) Ahora haga ceros por encima de los pivotes (proceso de eliminación
de Jordan) hasta obtener la matriz solución del sistema.

11.
Al terminar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la
Figura 7.
Figura 7
¿Cuál es la matriz solución obtenida? Compare el conjunto solución obtenido por
sustitución regresiva con la matriz solución que se ha obtenido.
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Verificación: Para verificar que la matriz obtenida es la matriz solución, se sigue el siguiente
procedimiento:
12.
Ejecute la siguiente secuencia de instrucciones:
 8 
  3
(22) Registre la matriz columna   en la línea de entrada y toque
 0 
 
 0 
(23) Toque la solapa
(24) Toque
.
para acceder al teclado alfabético.
para activar el teclado de mayúsculas.
Figura 8
(25) Toque
y luego
(Figura 8).

Este es otro modo de realizar asignaciones de variables. Las
siguientes asignaciones sólo son posibles en el teclado alfabético:
(26) Toque
  2
  1
, registre los elementos de la matriz   y toque
 1
 
 0 
(27) Toque

para asignar la matriz columna a la variable P
.
Figura 9
para asignar la variable Q1 a esta matriz.
Compare con la Figura 9.
  1
1
(28) De manera análoga, asigne a la variable Q2 la matriz   .
0
 
1

Compare con la Figura 10.
Figura 10
Recuerde que la matriz S  P  tQ 1  sQ 2 es la matriz solución del sistema para s, t  R. Si P es una
solución particular del sistema no homogéneo AX  B y las matrices Q1 y Q 2 son soluciones del sistema
homogéneo asociado AX  O . Se tendrá que AP  B , AQ 1  O y AQ 2  O .
para verificar que AP  B .
(29) Con el teclado alfabético activado ejecute la secuencia
(30) Ejecute la secuencia
(31)
Ejecute la secuencia
Figura 11
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para verificar que AQ 1  O .
para verificar que AQ 2  O .
Figura 12
23
Figura 13
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13.
Práctica 2
Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones matriciales:
3 2 4 
(I) 7 5 7 
 1 1  1
1
2
(III) 
3

1
14.
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x   1
 y   4 
   
 z  3 
1 1 1
3 2 3
4 2 3

2 1 0
3 2 4 
(II) 7 5 7 
 1 1  1
 x  3 
 y  4 
  
 z  7 
   
 t   1
(I) Conjunto solución:
(III) Conjunto solución:
0
0
(IV) 
0

0
x   1
 y   4 
   
 z  2 
2
3 4 1 11
2 2 2 2

2 2 2 2
0 0
1
x 
 y  1 / 2
   1 

z  
   1 
u   1 

 v  
(II) Conjunto solución:
(IV) Conjunto solución:
2.3. Resolución de un sistema cuyo conjunto solución depende de uno o más
parámetros por el método de Gauss – Jordan.
En esta sección utilizaremos la Aplicación Principal para resolver sistemas lineales cuyo conjunto
solución depende de uno o más parámetros.
Antes de continuar:
Recordemos que se han resuelto ejercicios, por lo que debemos realizar operaciones de limpieza de
variables y pantalla en la ClassPad para iniciar esta sección.
15.
Operación con la ClassPad
(32) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.
(33) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(34) Toque
[Preferencias ►] [Adm. de variable] para acceder al administrador de variables. Toque
main dos veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar]
[Acep.] [Cerr.] [Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la
aplicación Principal.

x1  x 2  x 3  2

16.
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales  x 1  2x 2  x 3  3
para los diferentes
 x  x  (k 2  5)x  k
2
3
 1
valores del parámetro k  R.
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Práctica 2
(35) Active el teclado 2D para registrar la matriz ampliada del sistema.
1
2
1 1

(36) Registre los elementos de la matriz ampliada 1 2
1
3 en la
1 1 k 2  5 k 
línea de entrada y toque

.
No olvide tocar
para acceder al teclado de variables. Para
2
obtener la expresión (k  5 ) escriba (k^2–5).
Figura 14
 Al terminar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 14.
(37) Ejecute la secuencia de operaciones elementales:
(1)F1  F2  F2 / (1)F1  F3  F3
que corresponden a los comandos:
mRowAdd(–1,ans,1,2) / mRowAdd(–1,ans,1,3)
Figura 15
La matriz escalonada que se ha obtenido en el último paso permite realizar el siguiente análisis:

Si el elemento k 2  4 (de la tercera fila y tercera columna) es no nulo o bien, si k  2 y k  2 , la
matriz del sistema equivalente tiene 3 pivotes al igual que la matriz ampliada y como el número de
columnas de la matriz del sistema es también 3, tenemos un sistema compatible determinado.

Si k  2 , la matriz se transforma en una matriz escalonada reducida donde la última fila es una fila
de ceros. La matriz del sistema y la matriz ampliada tienen, ambas, 2 pivotes. Se tiene entonces un
sistema compatible. Dado que el número de columnas de la matriz del sistema es 3, mayor al
número de pivotes 2, tenemos un sistema compatible indeterminado.

Si k  2 , la matriz del sistema tiene 2 pivotes y la matriz ampliada 3. En este caso el sistema es
incompatible. En consecuencia su conjunto solución es S   .
En lo que sigue, se procederá a encontrar el conjunto solución para el caso k 2  4  0 . Sin embargo,
para encontrar el conjunto solución del sistema en el caso k  2 , será necesario almacenar previamente la
matriz presentada en la Figura 15 en una variable, digamos M y luego traerla a la línea de entrada para
proceder a hallar su conjunto solución.
(38) Asigne la matriz de la Figura 15 a la variable M (ver Figura 16).
(39) Ejecute la operación elemental (1/(k 2  4))F3  F3 , que corresponde al comando:
mRow (1/(k 2  4), ans,3) .

Tenga presenta que la variable k es minúscula.
(40) Toque [Acción] [Transformación ►] [Simplify] [ans] [ejec] para simplificar la fracción
k2
k2  4
en
la matriz escalonada (ver Figura 17).
(41) Ejecute las operaciones elementales 2F3  F2  F2 / F3  F1  F1 / (1)F2  F1  F1 que
corresponden a los comandos:
mRowAdd(2, ans,3,2) / rowAdd(ans,3,1) / mRowAdd(1, ans,2,1)
(42) Toque [Acción] [Transformación ►] [Combine] [ans] [ejec] para simplificar los elementos de la
última columna de la matriz escalonada reducida (ver Figura 18).
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Figura 16
17.
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Práctica 2
Figura 18
Figura 17
¿Cuál es el conjunto solución del sistema para el caso k  2 y k  2 ?
Se determinará el conjunto solución para el caso k  2 . Para ello debemos traer a la línea de entrada
la matriz de la Figura 15 y evaluarla para k  2 .
(43) En el teclado 2D (alfabético en mayúsculas) toque M y luego [Ejec] (ver Figura 19).
(44) Asigne a la variable k (minúscula) el valor 2 y repita la instrucción anterior (ver Figura 20).
(45) Seleccione la matriz escalonada reducida. Toque
para copiar la matriz en el portapapeles.
Ubique el cursor en la línea de entrada y toque
para obtener una copia.
(46) Borre el cero que se encuentra en la fila 3 columna 3 y sustitúyalo por el pivote 1. Toque
y
agregue un 1 en la fila 3 columna 4. Complete con ceros las celdas vacías de la última columna y
toque [Ejec] (Figura 21).
Figura 19
Figura 21
Figura 20
(47) Realice las operaciones elementales necesarias para
hacer ceros por encima de los pivotes y obtener la
matriz solución. Obtendrá la pantalla mostrada en la
Figura 22.
Figura 22
18.
¿Cuál es el conjunto solución del sistema para el caso k  2 ?
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19.
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Práctica 2
Encuentre el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas:
x  y  z  2

(I) 2x  3 y  2z  5

2
2x  3 y  (s  1)z  s  1
 kx  y  z  1

(II)  x  ky  z  1
 x  y  kz  k

 x yz  0

(III) mx  y  z  0
 x  y  nz  0

20.
(I) Conjunto solución:
(II) Conjunto solución:
(III)Conjunto solución:
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