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Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 11
PRÁCTICA 11 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En esta práctica, con ayuda de la calculadora ClassPad 300 PLUS, aprenderemos
cómo utilizar algunos comandos de los diferentes menús de las aplicaciones Principal y
Geometría para visualizar determinados aspectos de las Transformaciones Geométricas en
el Plano.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado los temas relativos a
las Transformaciones Geométricas en el Plano.
11.1 Transformaciones Geométricas en el Plano.
La primera aplicación del concepto de transformación lineal se encuentra en la geometría. En la
geometría plana en particular, las rotaciones alrededor del origen, las reflexiones respecto a una recta
que pasa por el origen, las homotecias con centro en el origen, como transformaciones en el plano,
son transformaciones lineales en R 2 , en consecuencia, estas transformaciones geométricas pueden
representarse por medio de operaciones matriciales.
Las rotaciones y reflexiones presentan un interés particular ya que son transformaciones que, al igual
que las traslaciones, no alteran ni las distancias, ni los ángulos; son isometrías.
11.1.1 Translaciones en el Plano.

 
Consideremos un vector v  o en R n , una traslación en la dirección, sentido y tamaño del vector v ,

 
es una transformación geométrica Tv : R n  R n definida por Tv (x )  x  v .
1.
Demuestre que:
a) Una traslación no es una transformación lineal?
b) Toda traslación es una isometría.
c) To  Id donde Id es la transformación identidad.
En la siguiente actividad usaremos la Aplicación Geometría para mostrar que si Tv y Tv son
2
1


traslaciones en el plano, entonces Tv oTv  Tv oTv  Tv  v para vectores no nulos v 1 y v 2 .
2
Prof. Robinson Arcos
1
1
2
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1
2
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2.
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Práctica 11
Operación con la ClassPad
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione [ON/OFF]
para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder al menú de las Aplicaciones Incorporadas.
(3) Toque
para acceder a la Aplicación Geometría.
(4) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar la ventana de esta aplicación.
3.


Considere los vectores r  (2, 1) , s  (1, 3) y el triángulo cuyos vértices son los puntos
A(2, 2) , B(3, 1) y C(3, 3) .
    
a) Trace las gráficas de los vectores r , s , t  r  s y el triángulo ABC.
b) Trace las gráficas de las imágenes del triángulo ABC mediante Tr y Ts oTr . ¿Qué concluye?
c) Trace las gráficas de las imágenes del triángulo ABC mediante Ts y Tr oTs . ¿Qué concluye?
d) Trace la gráfica de la imagen del triángulo ABC mediante Tt . ¿Qué concluye?
(5)
(6)
Toque
[Preferencias ►] [ventana vis.].
En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:
mínx : 3 ; máxx : 7 y medy : 3 . Toque [Acep.].
(7)
Toque [Ver] y active la rejilla entera tocando el cuadro de verificación
(en caso de no estar activa).
(8)
Toque
(9)
 Al terminar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la
Figura 1.
Toque [Dibuj] [Vector].
varias veces hasta que aparezcan los ejes numerados.
 Observe que en la barra de herramientas la opción Vector está
activada. Esto está indicado por el resaltado del botón
.

(10) Dibuje el vector r tocando primeramente el origen y luego el punto de
coordenadas (2, 1) .
Figura 1
 Recuerde que si se equivoca en el momento de tocar un punto por
error, en la barra de herramientas toque [Edit] [Borrar].
 Para borrar un elemento trazado o dibujado, en la barra de
herramientas toque
. Esto activará la función de selección
resaltándose el botón
, toque seguidamente el punto, vector o
lado a borrar y éste quedará resaltado por uno(s) pequeño(s)
recuadro(s) negro(s)  y luego toque [Edit] [Borrar].

(11) Dibuje el vector s tocando primeramente el origen y luego el punto de
coordenadas (1, 3) .
  
(12) De manera análoga dibuje el vector t  r  s .
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Figura 2
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Práctica 11
(13) Toque [Dibuj] [Polígono].
 Observe que en la barra de herramientas la opción Polígono está
activada. Esto está indicado por el resaltado del botón
.
(14) Trace la gráfica del triángulo ABC tocando cada uno de los puntos
A(2, 2) , B(3, 1) , C(3, 3) y nuevamente A(2, 2) .
(15) Toque el botón
para activar la función de selección.
 En la barra de herramientas esta función se indicará activa con el
botón resaltado
.
(16) Toque ahora cada uno de los lados del triángulo ABC.
 Cada uno de los lados aparecerán resaltados con dos recuadros
negros .
(17) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación].
Figura 3
 En el cuadro de diálogo Traslación se presentan dos opciones: una
en la parte superior para indicar las componentes del vector de
traslación y otra, en la parte inferior, para seleccionar un vector ya
dibujado.

(18) Toque [Seleccione vector]. Toque seguidamente el vector r .
 Aparece el triángulo A´B´C´ como imagen del triángulo ABC mediante
la traslación Tr .
(19) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la
selección del triángulo ABC. Toque cada uno de los lados del triángulo
A´B´C´. Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación].

(20) Toque [Seleccione vector]. Toque seguidamente el vector s .
 Aparece el triángulo A´´B´´C´´ como imagen del triángulo ABC
mediante la traslación Ts oTr (Figura 3).
Figura 4
(21) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la selección. Toque cada uno
de los lados del triángulo ABC. Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación]. En el cuadro de diálogo

elija [Seleccione vector] y toque el vector s .
 Aparece el triángulo A´B´C´ como imagen del triángulo ABC mediante la traslación Ts .
(22) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la selección. Toque cada uno
de los lados del triángulo A´B´C´. Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación]. En el cuadro de diálogo

elija [Seleccione vector] y toque el vector r .
 Aparece el triángulo A´´B´´C´´ como imagen del triángulo ABC mediante la traslación Tr oTs
(Figura 4).
 Observe que la imagen del triángulo ABC mediante Tr oTs aparece superpuesta a la imagen de
mismo triángulo mediante Ts oTr .
(23) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la selección. Toque cada uno
de los lados del triángulo ABC. Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación]. En el cuadro de diálogo

elija [Seleccione vector] y toque el vector t .
4.
¿Qué puede concluir de lo observado en este experimento?
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Las isometrías son transformaciones que preservan las distancias y los ángulos. La
composición de isometrías es también una isometría. Las traslaciones son isometrías y lo dicho
anteriormente se corrobora en el experimento. Observe que los triángulos que se han obtenido como
imágenes en las distintas traslaciones son congruentes. Esto se puede apreciar en el siguiente experimento
haciendo uso del cuadro de medidas:
(24) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la
selección.
(25) Toque el lado AB del triángulo ABC.
(26) En la barra de herramientas toque el botón
de medidas.
para acceder al cuadro
 En el recuadro aparecerá la longitud del lado AB. Esto queda indicado
por el botón
.
(27) Toque el lado homólogo a AB en cualquiera de los triángulos obtenidos
en una de las traslaciones, digamos A´B´.
 El botón
se utiliza para establecer la congruencia entre dos
segmentos. Observe que en el recuadro aparece el anuncio SÍ para
indicar que los lados AB y A´B´ son congruentes.
(28) Cancele la selección y toque los lados AB y BC.
Figura 5
(29) En el cuadro de medidas toque
. Al desplegarse el menú toque
para calcular la medida del
ángulo formado por los lados AB y BC.
(30) Cancele la selección y de manera análoga toque los lados homólogos correspondientes A´B´ y B´C´.
 Al terminar observará que estos lados forman un ángulo de la misma medida anterior.
11.1.1 Transformaciones ortogonales en el plano.
Las únicas transformaciones ortogonales en el plano son las rotaciones alrededor del origen y las
reflexiones (simetrías axiales) con respecto a una recta que pasa por el origen. Las matrices
cos(  )  sen( )
cos(  ) sen( ) 
ortogonales que las representan son: R( )  
y S( )  

.
sen( ) cos(  ) 
sen( )  cos(  )
La matriz R( ) representa la rotación de ángulo  alrededor del origen y la matriz S( ) representa
una reflexión con respecto a una recta que pasa por el origen con vector director

u( / 2)  (cos(  / 2), sen ( / 2)) .
En particular, puede verificarse que S( )  R( )S(0) .
5.
¿Qué transformación geométrica representa el producto de matrices S( )  R( )S(0) ?
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6.
7.
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Práctica 11
x  0  1 x  2 2
Considere la transformación en el plano definida por T    

    . ¿Qué
 y  1 0   y  2 2
composición de transformaciones geométricas están representadas por T? Explique.
Encuentre la ecuación de la imagen, mediante T, de la elipse de ecuación
x 2 y2

 1.
4
9
(31) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(32) Toque
[Preferencias ►] [ventana vis.].
(33) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:
mínx : 6 ; máxx : 8 y medy : 0 . Toque [Acep.].
(34) Para trazar la gráfica de la elipse toque primeramente [Dibuj] [Elipse].
(35) Toque cada uno de los siguientes puntos: A(0, 0) , B(2, 0) y C(0, 3) .
 Al tocar estos puntos se está indicando el centro, el semieje menor y
el semieje mayor de la elipse.
(36) Toque
y luego toque la gráfica de la elipse para seleccionarla.
(37) En la barra de herramientas toque el botón
de medidas.
para acceder al cuadro
 En el recuadro aparecerá la ecuación de la elipse. Esto queda
indicado por el botón
Figura 6
.
 De acuerdo a las transformaciones geométricas representadas por T.
Efectuaremos primeramente una traslación en la dirección, sentido y

longitud del vector v  (2,  2) .
(38) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación].
(39) En el cuadro de diálogo registre las componentes del vector

v  (2,  2) y toque [Acep.].
(40) Cancele la selección de la elipse con centro A y seleccione la elipse
con centro A´.
 Como segundo paso realizaremos una rotación de 90º alrededor del
origen.
(41) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Rotación] y luego toque el origen A.
(42) En el cuadro de diálogo registre el ángulo de rotación (90º) y toque
[Acep.].
(43) Finalmente efectúe una traslación en la dirección, sentido y longitud del

vector  v de la elipse con centro en A´´.
Figura 7
 En el cuadro de medidas se indica la ecuación de la elipse imagen.
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Práctica 11
8.
De acuerdo con lo observado, explique ¿por qué T no es lineal y sin embargo es una
isometría?
9.
Sea T la transformación de simetría en el plano respecto a la recta de ecuación y  x , S la
transformación de rotación de 135º alrededor del origen. Encuentre la ecuación de la imagen,
mediante ToS, de la recta de ecuación y  2x  1.
(44) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(45) Toque
[Preferencias ►] [ventana vis.].
(46) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:
mínx : 6 ; máxx : 6 y medy : 0 . Toque [Acep.].
 Encontremos ahora la imagen mediante S de la recta de ecuación
y  2x  1 .
(47) Para trazar la recta de simetría cuya ecuación es y  x , toque [Dibuj]
[Recta].
(48) Toque el origen A(0, 0) y luego toque el punto B(5, 5) .
(49) Para trazar la recta de ecuación y  2x  1, toque [Dibuj] [Recta] y
luego toque cada uno de los puntos C(0, 1) y D(1, 3) .
(50) Seleccione la recta CD .
(51) En la barra de herramientas toque el botón
de medidas.
Figura 8
para acceder al cuadro
 En el cuadro de medidas aparecerá la ecuación de la recta CD .
(52) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Reflexión] y luego toque la recta de
simetría AB .
 Aparecerá la imagen de la recta y  2x  1 mediante S.
(53) Cancele la selección y toque la recta imagen.
(54) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Rotación] y toque el origen A(0, 0) .
(55) En el cuadro de diálogo registre el ángulo de rotación (135º) y toque
[Acep.].
(56) Cancele la selección y toque la nueva recta imagen.
 En el cuadro de medidas aparecerá la ecuación de la recta imagen
mediante ToS.
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Figura 9
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11.1.2 Homotecias, similitudes y otras transformaciones geométricas.


La homotecia de razón k y centro en el origen es una transformación lineal H definida por H(x )  kx .
Las matrices que representan estas homotecias en R 2 tienen la forma kI donde I es la matriz identidad
de orden 2. La homotecia de razón k  1 es la identidad y la de razón k  1 representa una simetría
respecto al origen (o una rotación de 180º alrededor del origen). Si k  1 la homotecia es una
ampliación y una reducción si k  1; si k  0 la ampliación o la reducción se completa con una simetría
con respecto al origen. Si k  0 se obtiene la transformación nula.
Una similitud en R 2 es la composición de una rotación alrededor del origen y una homotecia
con centro en el origen. Su matriz con respecto a una base ortonormal es del tipo R(kI)  kR donde R es
la matriz de rotación (ortogonal con determinante igual a 1).
Otras transformaciones geométricas lineales se describen en la siguiente tabla:
Transformación
Matriz
Homotecia
k 0
0 k  , k  R


Ampliación a lo largo del eje OX
k 0
0 1 , k  1


Ampliación a lo largo del eje OY
 1 0
0 k  , k  1


Reducción a lo largo del eje OX
k 0
0 1 , 0  k  1


Reducción a lo largo del eje OY
 1 0
0 k  , 0  k  1


Corte a lo largo del eje OX
1 k
0 1 , k  R


Corte a lo largo del eje OY
 1 0
k 1 , k  R


TABLA 1
10.
Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 3) , B(3, 1) y C(3, 3) .
a) Transforme el triángulo ABC mediante homotecias con centro en el origen de razones
k  0.5, 2,  1,  2 .
b) Verifique, en cada uno de los casos anteriores, que la razón entre el área del triángulo
imagen y el área del triángulo ABC es k 2 .
(57) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(58) Toque
[Preferencias ►] [ventana vis.].
(59) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:
mínx : 7 ; máxx : 7 y medy : 0 . Toque [Acep.].
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(60) Dibuje el triángulo de vértices A(1, 3) , B(3, 1) y C(3, 3) .
 Para visualizar, en este caso, el efecto de ampliación/reducción que
produce cada homotecia sobre el triángulo ABC, tracemos las gráficas
de las rectas OA , OB y OC donde O es el origen de coordenadas.
(61) Toque [Dibuj] [Función]. En el cuadro de diálogo Función, registe la
ecuación cartesiana de la recta OA tocando
 El botón
[Acep.].
aparece resaltado en la barra de herramientas.
(62) Toque
y registre la ecuación cartesiana de la recta OB .
(63) Toque
y registre la ecuación cartesiana de la recta OC .
(64) Seleccione el triángulo ABC.
(65) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Homotecia] luego toque el origen de
coordenadas para indicar el centro de la homotecia.
Figura 10
(66) En el cuadro de diálogo Homotecia, registre el valor 0.5 y toque [Acep.].
 En la barra de herramientas aparece el botón
de la transformación homotecia. Utilice este
botón para ejecutar el siguiente paso.
(67) De manera análoga, encuentre las imágenes del triángulo ABC para los demás valores que toma el
parámetro k.
(68) Toque cualquier punto de la pantalla fuera de los triángulos trazados.
 Al terminar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 10.
11.
¿Qué observa para los diferentes valores del parámetro k?
(69) Seleccione el triángulo ABC y toque el
botón
medidas.
para acceder al cuadro de
 El cuadro de medidas muestra el área
del triángulo ABC.
(70) Oprima la tecla
para efectuar un
acercamiento Seleccione el primer
triángulo transformado A´B´C´.
Figura 11
Figura 12
 El cuadro de medidas muestra el área
del triángulo A¨B¨C¨.
(71) De manera análoga encuentre las áreas de los demás triángulos transformados. De ser necesario
utilice las teclas
/
para realizar Acercamientos/ Alejamientos. El botón
pantalla para visualizar la figura trazada.
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ajusta la
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12.
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Área(A BC)
para cada triángulo transformado, ¿qué relación
Área(ABC )
encuentra entre este cociente y el valor respectivo de k?
Al efectuar el cociente
En la Aplicación geometría, podemos trabajar con transformaciones más
generales en el plano. Al tocar en la barra de menús [Construir ►] [Transf
gral] aparecerá el cuadro de diálogo Transformar que permite, a la
izquierda, registrar la matriz asociada a una transformación lineal en R 2 y a
la derecha registrar el vector asociado a una traslación.
Haga uso de la transformación general y de la aplicación Principal,
cuando sea necesario, para realizar cada una de las siguientes
actividades:
13.
Figura 13
Considere la simetría S en el plano respecto de la recta de ecuación y  x / 2 . Sea T la

transformación de traslación con vector asociado v  (2, 2)
a) Encuentre la ecuación de la imagen mediante S de la circunferencia de ecuación
x 2  ( y  2) 2  4 (para dibujar la circunferencia, toque el punto A(0, 2) y luego B(0, 0) ).
Sugerencia: Use las fórmulas conocidas cos(  ) 
1  m2
; sen( ) 
2m
donde m  tan( / 2) .
1  m2
b) Encuentre la ecuación cartesiana de la imagen mediante ToS de la misma circunferencia.
14.
1  m2
a)
b)
Las rotaciones, reflexiones, homotecias y similitudes en el plano no son necesariamente
transformaciones lineales pero sí, afines. Por ejemplo, efectuar una rotación de ángulo  alrededor del
punto A (distinto del origen), como hemos visto, consiste en:

Trasladar el origen al punto A.

Efectuar una rotación de ángulo  centrada en el origen.

Devolver el origen a su posición inicial.

De modo que si X es la matriz de un punto x en el plano, R( ) es la matriz de rotación de ángulo 


alrededor del origen y X  es la matriz de x  (imagen de x por la rotación de centro A y de ángulo  ),
entonces:
X  A  R( )( X  A) .
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15.
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Práctica 11
Efectúe una rotación de centro A(2,5) y de ángulo  / 3 sobre la recta que pasa por los
puntos B(1, 1) y C(3,  2) .
a) Encuentre la ecuación de la nueva recta.
b) Trace la gráfica de la circunferencia que tiene por centro al punto A y radio 5. ¿Por qué la
recta y la recta imagen son tangentes a esta circunferencia?
Sugerencia: Al trazar una circunferencia y seleccionarla, en el cuadro de medidas puede
establecerse su radio y su centro. Si se requiere modificar uno de estos elementos, haga la
corrección en el cuadro de medidas y oprima [EXE].
16.
a)
b)
17.
 1 2
 1 0
1 0 
 1 0
 1 2
Las matrices M  
 ; N1  3 1 , N2  0  1 , N3  0 2 y N4  0 1 satisfacen
3
4










M  N1N2N3N4 .
a) Sean T, U1 , U2 , U3 y U4 las transformaciones lineales que tienen a M, N1 , N2 N3 y N4
como sus matrices asociadas respectivamente. Explique qué transformación geométrica
representa T en términos de las transformaciones U1 , U2 , U3 y U4 . Haga uso de la Tabla 1.
b) Considere el rectángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0) , B(3, 0) , C(3, 2) y D(0, 2) .
Realice paso a paso, en la Aplicación Geometría, cada una de las transformaciones que sufre
el rectángulo ABCD hasta obtener su imagen mediante T e indique los vértices del
paralelogramo imagen mediante T.
18.
a)
b)
17.
Indique la expresión analítica de una transformación geométrica que transforme a la elipse
de ecuación
18.
(x  3) 2 ( y  2) 2

 1 en la circunferencia de ecuación x 2  y 2  1 .
4
9
Expresión:
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cos(  )  sen( )
Considere las matrices ortogonales R( )  
 y S( ) 
sen( ) cos(  ) 
19.

Práctica 11
cos(  ) sen( ) 
sen( )  cos(  ) .


Diseñe experimentos para verificar que:
a) S( )  R( )S(0) .
b) R 1()  R( ) ; S 1( )  S() .
c) R 2 ()  R (2) ; R 2 ()  R (2) , …
d) S 2 ( )  I ; S 3 ( )  S( ) , …

Utilice, de ser necesario, el comando simplify en la aplicación Principal para mostrar
analíticamente las cuatro proposiciones anteriores.

Establezca una fórmula general para R n ( ) donde n es un entero.

Establezca una fórmula general para S n () donde n es un entero.
20.
R n ( ) 
Sn () 
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