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TEMA 3.
MOVIMIENTOS EN DOS DIMENSIONES
1. MOVIMIENTOS EN 2 DIMENSIONES
SUPONEMOS MÓVILES PUNTUALESPOSICIÓN
QUEDA DETERMINADA POR UN PUNTO P
 ESTA
POSICIÓN SE EXPRESA CON LAS
COORDENADAS x E y DE ESTE PUNTO P
 VECTOR POSICIÓN: SU PUNTO DE APLICACIÓN ES
EL ORIGEN DE COORDENADAS Y SU EXTREMO EL
PUNTO P, QUE
ES EL LUGAR
QUE OCUPA EL MÓVIL



r  x(t )i  y (t ) j

r  (rx , ry )

DISTANCIA QUE SEPARA A UN MÓVIL DEL ORIGEN:
MÓDULO DEL VECTOR POSICIÓN
¡¡¡SIEMPRE ES UN VALOR POSITIVO!!!
2
2
r x y
1. MOVIMIENTOS EN 2 DIMENSIONES

VECTOR DESPLAZAMIENTO: PROPORCIONA EL
DESPLAZAMIENTO DE UN MÓVIL PUNTUAL
ENTRE DOS INSTANTES t1 Y t2
 SU
ORIGEN ES LA POSICIÓN EN EL INSTANTE t1 Y
SU EXTREMO LA POSICIÓN EN EL INSTANTE t2
  
r  r2  r1
1. MOVIMIENTOS EN 2 DIMENSIONES

ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA: EXPRESA LA
COORDENADA y EN FUNCIÓN DE LA
y  y (x )
COORDENADA x
 LA
TRAYECTORIA ES LA LÍNEA QUE DESCRIBEN LAS
SUCESIVAS POSICIONES DEL MÓVIL
 SE CALCULA DESPEJANDO t
DE LA EXPRESIÓN DE LA
COORDENADA x Y SUSTITUYENDO
EN LA EXPRESIÓN DE LA y
2. VELOCIDAD

VELOCIDAD MEDIA: El vector velocidad media
entre dos instantes es el cociente del vector
desplazamiento entre el intervalo de tiempo
transcurrido
  
r r2  r1

vm 

t t 2  t1
 Los vectores vm y r son paralelos en cada
intervalo considerado
2. VELOCIDAD

VELOCIDAD INSTANTÁNEA: Es el vector
velocidad media evaluado en un tiempo muy
pequeño (tiende a 0)

 r
vi 
cuando t  0
t
 La
dirección del vector velocidad instantánea es
tangente a la trayectoria en cada punto
3. ACELERACIÓN

VECTOR ACELERACIÓN MEDIA: COCIENTE
ENTRE LA VARIACIÓN DEL VECTOR VELOCIDAD
EN DOS INSTANTES t1 Y t2 Y EL INTERVALO DE
  
v v2  v1

TIEMPO TRANSCURRIDO
a 

m

EL VECTOR
PORQUE:
 VARÍA
VELOCIDAD
EL MÓDULO
 VARÍA LA DIRECCIÓN
 VARÍA MÓDULO Y DIRECCIÓN
t
t 2  t1
PUEDE
VARIAR
3. ACELERACIÓN
VECTOR ACELERACIÓN INSTANTÁNEA: ES LA
ACELERACIÓN DE UN MÓVIL EN UN INSTANTE
DETERMINADO

 v
ai 
cuando t  0
t
 SERÁ TANGENTE A LA TRAYECTORIA EN
MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS
 SERÁ PERPENDICULAR A LA TRAYECTORIA EN
LOS MOVIMIENTOS CIRCULARES

3. ACELERACIÓN: COMPONENTES INTRÍNSECAS

COMPONENTE TANGENCIAL
 MIDE
LA VARIACIÓN DEL MÓDULO DEL VECTOR
VELOCIDAD CON RESPECTO DEL TIEMPO
 ES TANGENTE A LA TRAYECTORIA EN CADA
INSTANTE Y SU SENTIDO ES EL DEL MOVIMIENTO SI
EL MÓDULO DE LA VELOCIDAD AUMENTA Y EL
CONTRARIO SI EL MÓDULO VELOCIDAD DISMINUYE

 v
at 
t
3. ACELERACIÓN: COMPONENTES INTRÍNSECAS

COMPONENTE NORMAL
 MIDE
LA VARIACIÓN DE LA DIRECCIÓN Y SENTIDO
DEL VECTOR VELOCIDAD
v2

an 
 SE
R
ENCUENTRA SOBRE EL EJE NORMAL A LA
TRAYECTORIA EN CADA INSTANTE Y SU SENTIDO ES
SIEMPRE HACIA EL INTERIOR DE LA CURVA
 R ES EL RADIO DE LA CURVATURA DE LA
TRAYECTORIA EN CADA PUNTO
3. ACELERACIÓN: COMPONENTES INTRÍNSECAS
  
a  at  an
a  at  an
2
2
4. MOVIMIENTO CIRCULAR
TRAYECTORIA DEL MÓVIL: CIRCUNFERENCIA
 MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS:

 POSICIÓN
ANGULAR (j)
 RADIO DE LA TRAYECTORIA (r)
 POSICIÓN LINEAL (s)  Es el arco recorrido
s = j ·r
s y r en metros
j en radianes
4. MOVIMIENTO CIRCULAR
DESPLAZAMIENTO ANGULAR: ÁNGULO
DESCRITO POR EL MÓVIL j = j2 - j1
 DESPLAZAMIENTO LINEAL: ARCO RECORRIDO
POR EL MÓVIL s = s2 – s1
 RELACIÓN DESPLAZAMIENTO ANGULAR Y
DESPLAZAMIENTO LINEAL

s = j ·r
4. MOVIMIENTO CIRCULAR

VELOCIDAD MEDIA LINEAL:
se mide en m/s

VELOCIDAD MEDIA ANGULAR:
se mide en rad/s
s s2  s1
vm 

t t 2  t1
j j   j
wm 

t
t 2  t1
RELACIÓN VELOCIDAD ANGULAR-LINEAL:
vm=wm·R
4. MOVIMIENTO CIRCULAR

MCU = MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
 TRAYECTORIA
CIRCULAR
 VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR
CONSTANTES (v=cte; w=cte)
 VECTOR VELOCIDAD TIENE DE MÓDULO v = w·R=cte Y
DIRECCIÓN TANGENTE A LA TRAYECTORIA CIRCULAR
 VECTOR ACELERACIÓN TIENE DE MÓDULO EL VALOR
DE LA ACELERACIÓN NORMAL (CTE), SU DIRECCIÓN
ES LA DEL RADIO Y SU SENTIDO HACIA EL CENTRO
DE LA CIRCUNFERENCIA (aceleración centrípeta)
4. MOVIMIENTO CIRCULAR

MCU = MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
 PERÍODO
(T): tiempo que tarda el móvil en realizar
una vuelta completa. Se mide en segundos
 FRECUENCIA
(f): número de vueltas que realiza el
móvil en un segundo. Se mide en s-1
1
f 
T
5. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
5.1. DOS MRU PERPENDICULARES
 EJEMPLO: BARCA QUE CRUZA UN RÍO
El movimiento real de la barca está compuesto
por:
 MRU perpendicular a la
orilla del río, debido al
esfuerzo de los remeros.
 MRU paralelo a la orilla
por la corriente del río.

5. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
5.1. DOS MRU PERPENDICULARES
 EJEMPLO: BARCA QUE CRUZA UN RÍO
 vx= vcorriente río = cte
 vy=vbarca=cte




v  vríoi  vbarca j
x= vcorriente río ·t
 y= vbarca·t





r  x i  y j  vcorrienterío·t i  vbarca·t j
5. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
EJEMPLO: BARCA QUE CRUZA UN RÍO. CÁLCULO
DE MAGNITUDES
1. Tiempo que tarda la barca en cruzar la anchura
del río  y= vbarca·t
2. Desviación que sufre la barca  x= vcorriente río ·t
3. Distancia total recorrida por la barca 
L y 2  x 2
4. Ángulo de inclinación respecto
v
y
tag  
de la orilla 
x v
5.Ecuación trayectoria 

barca
corrienterío
t
x
vcorrienterío
 y  vbarca·t  vbarca
x
vcorrienterío
5. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
5.2. TIRO PARABÓLICO
 EJEMPLOS:
BALÓN
CHUTADO
POR
UN
FUTBOLISTA, LANZAMIENTO PELOTA DE TENIS O
DE GOLF, …
 ES EL QUE SIGUEN LOS OBJETOS LANZADOS
HORIZONTAL
U
OBLICUAMENTE

5. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
5.2. TIRO PARABÓLICO
 El movimiento real está compuesto por:
 MRU en el eje horizontal (suponemos nulo el
rozamiento con el aire y la acción del viento; a=0)
 MRUA en el eje vertical porque actúa la gravedad,
vertical y hacia abajo

5. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS


1.
2.
3.
5.2. TIRO PARABÓLICO
CONVENIO DE SIGNOS:
ORIGEN DE COORDENADAS: SUELO EN LA VERTICAL DE
LANZAMIENTO (x0 = 0 ; y0 valdrá 0 cuando el objeto se
lanza desde el suelo)
VELOCIDAD: LA COMPONENTE VERTICAL ES POSITIVA
CUANDO EL SENTIDO ES HACIA ARRIBA Y NEGATIVA
HACIA ABAJO. LA HORIZONTAL SIEMPRE ES POSITIVA
ACELERACIÓN: EN LA VERTICAL ACTÚA LA GRAVEDAD,
QUE TIENE VALOR NEGATIVO PORQUE VA HACIA ABAJO
5.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO.ECUACIONES
EJE HORIZONTAL (MRU):
 vx = v0x=v0·cos  = cte
 x= x0+v0x·t  x = x0 +v0·cos  ·t

EJE VERTICAL (MRUA):
 vy = v0y-g·t = v0·sen - g·t
 y = y0+v0y·t + 0,5·a·t2  y = y0 +v0·sen ·t-0,5·g·t2

5.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO.ECUACIONES

VECTOR VELOCIDAD:

VECTOR POSICIÓN:





v  vx i  v y j  v0 cos  i  (v0 sen  gt ) j
 

1 2 

r  xi  yj  ( x0  v0 cos  )i  ( y0  v0 sent  gt ) j
2
5.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO. RESOLUCIÓN
DE ACTIVIDADES
COMPONENTES INICIALES DE LA VELOCIDAD:
 v0x=v0·cos
v0y=v0·sen

SI >0º
SI =0º
SI <0º
v0x=v0·cos
v0x=v0·
v0x=v0·cos
v0y=v0·sen
v0y=0
v0y=-v0·sen
ALTURA MÁXIMA: Cuando se alcanza, vy=0
 PUNTO DE IMPACTO EN EL SUELO (alcance):
Cuando se alcanza, y = 0

5.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO. RESOLUCIÓN
DE ACTIVIDADES

VELOCIDAD FINAL: Si conocemos el tiempo
total, podemos calcular las dos componentes
de la velocidad
módulo velocidad final :
v f  (v 0 cos )  (v 0 ·sen - g·t T )
2

2
angulo :   arctg
ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA (y (x)):
1 2
y  y0  v0 ·sen ·t  g·t
2
x
donde t 
v 0 ·cos
vy
vx