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Curso académico 2006-07 DPTO ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD I LICENCIATURA EN ADMINISTRACION Y DIRECCION DE EMPRESAS Plan 2000 MATEMATICAS EMPRESARIALES I 9 Créditos Código 606 Troncal, Primer Curso Anual Curso 2006-07 PROFESORES: Blanco García, Susana Busto Caballero, Ana Isabel Calvo Martín, Mery Emilia Del Pozo García, Eva García Pineda Pilar Garma Pons, Santiago Murciano Sánchez, Federico Nuñez del Prado, José Antonio Segovia Vargas, Mª Jesús Ficha de la asignatura Títulación: LADE Departamento: ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD I Nombre Asignatura: Matemáticas Empresariales I Código: 606 Tipo: Troncal Plan 2000 Semestre 1 y 2 Créditos 9 Teoría : 1.5 Prácticas:1.5 Curso 1 Horas semanales: 3 Nombre del profesor/es que imparte/n la asignatura: Blanco García, Susana Busto Caballero, Ana Isabel Calvo Martín, Mery Emilia Del Pozo García, Eva García Pineda Pilar Garma Pons, Santiago Murciano Sánchez, Federico Nuñez del Prado, José Antonio Segovia Vargas, Mª Jesús 1) Objetivos. Analizar los conocimientos matemáticos previos y avanzar en nuevos conceptos, métodos y técnicas de análisis. Con la finalidad de acercar el razonamiento matemático a los análisis económicos 2) Destrezas y competencias que se van a adquirir: Conocimientos y razonamientos matemáticos par la compresión de otras materias Prerrequisitos para cursar la asignatura: Estar matriculado en 1º de Lade Contenido (breve descripción de la asignatura): Elementos básicos de: - Álgebra Lineal: espacio vectorial, sistemas lineales, cálculo matricial, aplicaciones lineales, diagonalización de endomorfismos y formas cuadráticas. - Cálculo Diferencia: Continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones. Optimización matemática. Bibliografía recomendada (máximo 4 títulos): Apóstol TM: “Calculus, vol. I y II” Reverte 1989 Balbas , Gil, Gutierrez. “Análisis matematicos para la Economía” Ed. AC.1988 Blanco , Del pozo, Garcia Pineda. “Matematicas empresariales. Algebra Lineal”. ED. Thomson 2001 Blanco , Del pozo, Garcia Pineda. “Matematicas empresariales. Cálculo Diferencial ”. ED. Thomson 2004 Gutierrez S. “Algebra Lineal” Ed AC 1986 Método docente: clase magistral. Ejercicios prácticos Tipo de evaluación: (exámenes/ trabajos/ evaluación continua) Exámenes según calendario de la facultad, realización de ejercicios, seguimiento del alumno Idioma en que se imparte: Castellano Observaciones: enlaces a más información Resumen: El programa de la asignatura de Matemáticas Empresariales I está formada por dos bloques temáticos: Algebra Lineal y Cálculo Diferencial Los conceptos básicos de Álgebra Lineal tienen un carácter formativo y simbólico y son abundantes e interesantes sus aplicaciones en economía aplicada, economía financiera, estadística, econometría, teoría económica y economía de la empresa. El Cálculo Diferencial de campos escalares y vectoriales es quizás la parcela matemática con mayor tradición de aplicación a la Economía. Para el estudio de los modelos estáticos no lineales y bajo el enfoque marginalista predominante en los análisis económicos, esta herramienta matemática se muestra como una de las más idóneas. Los supuestos de cambios suaves, de divisibilidad perfecta y de sustitución perfecta permiten el uso de funciones continuas y diferenciables tanto para valorar magnitudes económicas como para expresar relaciones entre las variables de los modelos. La derivada y la diferencial son los conceptos matemáticos a través de los cuales se expresan algunas magnitudes económicas, como son la elasticidad, el valor marginal, la relación marginal de sustitución, etc., que representan las tasas de cambio entre distintas variables económicas. Las técnicas de derivación de funciones implícitas son utilizadas en el análisis de estática comparativa, última etapa del análisis de los modelos estáticos Todo ello hace que el Cálculo Diferencial, al igual que el Álgebra Lineal, sea considerada una de las técnicas matemáticas básicas en el curriculum de los estudiantes de Administración y Dirección de Empresas. Exámenes Estos se ajustarán al calendario oficial dado por la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales ÁLGEBRA LINEAL Lección 1. Análisis económicos lineales 1. 2. 3. 4. 5. La necesidad de las Matemáticas en la Economía. Introducción al planteamiento matemático del equilibrio económico Análisis marginales Análisis lineales Objetivo del Álgebra Lineal Lección 2. Espacios vectoriales 1. Introducción. Nociones matemáticas básicas: proposiciones lógicas. Conjuntos. Relaciones binarias, correspondencias. Aplicaciones. Leyes de composición. Estructuras algebraicas básicas 2. Espacio vectorial: definición y propiedades 3. Combinación lineal de vectores 4. Dependencia e independencia lineal 5. Sistema generador y base de un espacio vectorial 5.1. Teoremas de la base 5.2. Cambio de base de un espacio vectorial 6. El espacio vectorial Rn Lección 3. Subespacios vectoriales 1. 2. 3. 4. 5. Definición de subespacio vectorial Condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial Variedad lineal generada por un conjunto de vectores Dimensión y base de un subespacio vectorial Suma e intersección de subespacios vectoriales Lección 4. Matrices 1. Definición de matriz. Tipos de matrices 2. Álgebra de matrices 3. Espacio vectorial de matrices M(mxn) 4. Transposición de matrices. Propiedades Lección 5. Determinante de una matriz cuadrada. Rango de una matriz. Inversión matricial 1. 2. 3. 4. 5. 6. Definición, cálculo y propiedades Relación del determinante y la base de un espacio vectorial Rango de una matriz Relación entre el rango y la dependencia e independencia lineal de vectores de Rn Matriz inversa de una matriz cuadrada. Matrices regulares Expresiones y ecuaciones matriciales Lección 6. Métodos matriciales para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales 1. 2. 3. 4. 5. Definición de sistema de ecuación lineal Tipología de los sistemas Estudio de la compatibilidad. Teorema de Rouché-Frobenius Resolución de sistemas. Regla de Cramer Aplicaciones económicas Lección 7. Sistemas lineales homogéneos y subespacios vectoriales 1. Definición de sistema lineal homogéneo. 2. Discusión y resolución del sistema 3. Ecuaciones de un subespacio vectorial: paramétricas e implícitas Lección 8. Aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita. 1. Definición de aplicación lineal 2. Propiedades y clasificación de las aplicaciones lineales 2.1. Isomorfismo entre un espacio vectorial de dimensión n y Rn 3. Núcleo e imagen de una aplicación lineal. Propiedades 4. Análisis de una aplicación lineal a través de su matriz 5. Efecto de un cambio de base en la matriz de la aplicación. Matrices equivalentes Lección 9. Operaciones con aplicaciones lineales 1. 2. 3. 4. Álgebra de las aplicaciones lineales. Isomorfismo entre £(Un, Vm) con M(mxn) Aplicación lineal inversa Endomorfismos.: Matrices semejantes. Propiedades Cambio de base en los endomorfismos Lección 10. Diagonalización de matrices cuadradas 1. Concepto de autovalor, autovector y polinomio característico. Subespacios propios. Propiedades. Teorema de CaleyHamilton 2. Endomorfismo diagonalizables. Existencia de una matriz diagonal diagonalizable. 3. Potencia n-ésima de una matriz 4. Aplicación económica Lección 11. Diagonalización de matrices simétricas reales 1. Introducción. 2. Producto escalar. Propiedades. Espacio vectorial euclídeo 3. Norma o módulo de un vector. Ortogonalidad 4. Matrices ortogonales. 5. Matrices simétricas. Propiedades de los autovalores y autovectores 6. Diagonalización de matrices simétricas reales. Lección 12. Formas lineales y bilineales 1. Formas lineales 1.1 Matriz asociada a una forma lineal 2. Formas bilineales 2.1. Matriz asociada a una forma bilineal 2.2. Forma bilineal simétrica Lección 13. Formas cuadráticas 1. Definición de una forma cuadrática. Expresión matricial y polinómica 2. Clasificación de una forma cuadrática 3. Cambio de base en las formas cuadráticas. Congruencia matricial 3.1. Expresión canónica de una forma cuadrática 3.2. Teorema de Inercia de Sylvester 4. Estudio del signo de una forma cuadrática sin restricciones 5.1. Criterio de los autovalores 5.2. Criterio de los menores principales 5. Estudio del signo de una forma cuadrática con restricciones CÁLCULO DIFERENCIAL Lección 14. Valoración de magnitudes a través de las funciones 1. Valoración de magnitudes 2. Formas de valorar la magnitud: funciones Lección 15. Nociones topológicas en Rn. 1. Norma y distancia euclídea. Concepto de bola 2. Caracterización topológica de los puntos en Rn 2.1 Exterior y Adherencia 2.2 Puntos aislados y de acumulación 2.3 Puntos frontera e interior 2.4 Abiertos y cerrados. Conjuntos compactos Lección 16. Funciones y Límites de funciones 1. Funciones 1.1 Definición de función 1.2. Funciones reales y funciones vectoriales 1.3. Dominio de una función 1.4 Álgebra de funciones 1.5 Análisis del comportamiento local y global de una función. 1.6 Representación gráfica de funciones reales. Curvas de nivel 2. Límite finito de una función en un punto. Definición y propiedades 3. Límites de funciones reales de una variable. 3.1 Límite infinito en un punto. Asíntotas verticales 3.2 Límite finito en el infinito. Asintótas horizontales y oblicuas 3.3 Cálculo de límites. Indeterminaciones 3.4 Límites restringidos: límites laterales Condición necesaria y suficiente para la existencia de límite 4. Límites de funciones reales de varias variables 4.1 Límites restringidos: límites direccionales 4.2Cálculo del límite: Límites iterados Cambio a coordenadas polares Condición necesaria y suficiente para la existencia de límite 5. Límites de funciones vectoriales 5.1Condición necesaria y suficiente para la existencia de límite Lección 17. Continuidad de funciones 1. 2. 3. 4. 5. Definición de continuidad en un punto. Función continua Comportamiento continuo en una dirección Álgebra de las funciones continuas. Continuidad de la función compuesta Clasificación de las discontinuidades Teoremas de las funciones reales continuas de variable real: de Bolzano, de Darboux y de Weierstrass Lección 18. Derivada de una función 1. Función real de variable real 1.1. Derivada de una función real en un punto. Definición 1.2. Función derivada primera, segunda y sucesivas 1.3. Derivadas laterales 1.4. Reglas de derivación 1.5. Relación entre derivabilidad y continuidad 1.6.Intervalos de crecimiento, decrecimiento y estacionariedad de la función. 1.6.1. Caracterización de los puntos críticos 1.7.Intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión 1.7.1.Caracterización de los extremos locales 1.8.Teoremas sobre funciones derivables: de Rolle, del valor medio de Lagrange y de Cauchy. Regla de L´Hopital 2. Función real de varias variables 2.1. Definición de derivada según un vector. 2.2. Derivada direccional. 2.3. Derivada parcial primera. Vector gradiente. Matriz jacobiana 2.4. Derivada parcial segunda. Matriz hessiana 2.4.Relación entre derivabilidad y continuidad 3. Funciones vectoriales 3.1. Derivada direccional 3.2. Función derivada 4. Aplicaciones económicas de las derivadas Lección 19. Funciones diferenciables 1. Funciones diferenciables de R en R. Introducción 1.1. Aproximación afín 1.2. Definición 1.3. Equivalencia entre derivabilidad y diferenciabilidad 2. Funciones diferenciables de Rn en R. Definición y propiedades 2.1. Matriz asociada a la diferencial 2.2. La diferencial como mejor aproximación lineal a la función 2.3. Continuidad y diferenciabilidad 2.4.Derivabilidad y diferenciabilidad. Relación entre el gradiente y las derivadas direccionales. 2.4.1. Direcciones de crecimiento y decrecimiento. 2.4.2 Direcciones de máximo crecimiento 2.4.3. Definición de extremo local. Condición necesaria. Punto crítico. 2.5. Funciones dos veces diferenciables. Relación entre la matriz hessiana y las derivadas segundas direccionales 2.6 Condición suficiente de difenciabilidad. Función de clase Ck 2.6.1. Teorema de Schwart 2.6.2. Condición suficiente de extremo local 3. Funciones diferenciables de Rn en Rm. Definición 3.1. Diferencial de la función 3.2. Matriz asociada a la diferencial. 3.2.1. Relación entre la matriz jacobiana y las derivadas direccionales 3.3. Diferencial de la función compuesta. Regla de la cadena Lección 20. Teorema de Taylor y aplicaciones 1. 2. 3. 4. Aproximación de funciones por el polinomio de Taylor Teorema de Taylor para funciones reales de variable real. Aplicaciones Desarrollo en serie de Taylor Teorema de Taylor para funciones reales de varias variables. Aplicaciones Lección 21. Optimos de campos escalares: libres y restringidos 1. Programas libres o sin restricción. 2. Programas con restricciones de igualdad. Definición y formulación matemática. 2.1. Función objetivo 2.2. Conjunto factible 3. Transformación de un programa con restricciones de igualdad en un programa sin restricciones 4. Teorema de los multiplicadores de Lagrange 4.1. Función lagrangiana 2.2. Multiplicadores de Lagrange 4.3. Condición necesaria de óptimo 4.4. Condición suficiente de óptimo 5. Análisis de sensibilidad de los multiplicadores de Lagrange Lección 22. Función implícita 1. Función implícita. Definición 2.1. Teorema de la función implícita 2.2. Derivadas parciales de funciones implícitas 2.3. Aplicaciones económicas. Relaciones de sustitución Lección 23. Función homogénea 1. Definición y propiedades de las funciones homogéneas 2. Teorema de Euler 3. Aplicaciones económicas. Rendimientos a escala 3.1. La función de producción de Cobb-Douglas Bibliografía Básica ALEGRE, P; y varios (1995): Matemáticas empresariales Madrid AC APOSTOL, T. (1989): Calculus I y II Barcelona Reverte BALBAS, A; GIL, J.A; GUTIERREZ, S. (1989) Análisis matemático para la Economía I (Cálculo diferencial). Madrid AC BLANCO S. GARCIA P. GARCIA E (2002) Matemáticas Empresariales I. Algebra Lineal. Ed Thomson BLANCO S. GARCIA P. GARCIA E (2004) Matemáticas Empresariales I. Cálculo Diferencial. Ed Thomson CABALLERO, R.E. (2000): Matemáticas aplicadas a la Economía y a Empresa. Madrid Pirámides GUTIERREZ, S.; FRANCO, A (2000): Matemáticas aplicadas a la economía y a la empresa. Madrid AC HERAS, A.; VILAR, J.L. (1989): Problemas de Álgebra Lineal para la Economía. Madrid AC JARNE, G; PEREZ, I; MINGUILLON E. (1997): Matemáticas para la Economía. Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial. Madrid Mc Graw-Hill Bibliografía Complementaria AYRES F. ( 1986) Matrices. Teoría y 340 problemas resueltos. Mexico McGraw Hill, Serie Schaum BARBOLLA, R; SANZ P.( 1989): Álgebra lineal y teoría de matrices. Madrid Prentice Hall CANCELO, JR et al (1987): Problemas de Álgebra Lineal para economistas. Vol. II, Albacete Tebar-Flores FLOREY, F. (1997): Fundamentos de Álgebra Lineal y aplicaciones; Madrid Prentice Hall LIPSCHUTZ, S. (1993): Álgebra Lineal, Madrid McGraw Hill SANZ, R.; VAZQUEZ, F.; ORTEGA, P. (1998): Problemas de Álgebra Lineal. Cuestiones. Ejercicios y tratamiento en Derive. Un enfoque teórico práctico. Madrid Prentice Hall