Download Razones y Proporciones

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ET31AA8.2
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
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Se llama MCD de un conjunto de dos o más números
enteros positivos, al número que cumple dos condiciones:

Es divisor común de los números dados.

Es el mayor posible.
2.
Hallar el MCM (120 ; 200)
120 – 200 2
60 – 100 2
Todos los factores
30 –
50 2
MCM (120 ; 200) = 23 . 3 . 52
15 –
25 5
MCM (120 ; 200) = 600
3 –
5 3
1 –
5 5
1 –
1
POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA:
Ejemplo:
Dados los números: 120 = 23 . 3 . 5
Ejemplo: Sean los números 32 y 40
200 = 23 . 52
32 
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32
MCD (120 ; 200) = 23 . 5 ...... Factores comunes
elevados al menor
exponente
Divisores
40 
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40
Los divisores comunes son: 1; 2; 4; 8, de los cuales el
mayor es 8, entonces MCD (32 ; 40) = 8
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Se llama MCM de un conjunto de dos o más números
enteros positivos, al número positivo que cumple dos
condiciones:

Es un múltiplo común de todos los números.

Es el menor posible.
MCM (120 ; 200) = 23 . 3 . 52... Todos los factores
elevados al mayor
exponente
OBSERVACIONES:

1.
Si: N = a


N = MCM (a ; b)
N= b

Ejemplo: Sean los números 12 y 8
2.
Si: N = a  r

12 
N= br
12; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96 ; ....

N = MCM (a ; b ; c )  r

8

N= cr
8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; ........
Los múltiplos comunes son: 24 ; 48 ; 72 ; ...., de los cuales
el menor es 24, entonces MCM (12 ; 8) = 24
DETERMINACIÓN DEL MCD Y MCM
1.
Encontrar el menor número de cuatro cifras que
dividido entre 12, 14 y 16 da como residuo 7.
2.
Si 213 y 292 se dividen entre “n”, los residuos
respectivos son 13 y 17. Hallar “n”, sabiendo que es el
mayor posible.
3.
Si 199 y 369 se dividen entre “n” se obtiene por restos
a 7 y 9 respectivamente. ¿Cuántos valores puede
tomar “n”?
1. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA:
Ejemplos:

Hallar el MCD (360 ; 480)
360 – 480 2
180 – 240 2
Factores comunes
MCD (360 ; 480) = 23 . 3 . 5
90 – 120 2
MCD (360 ; 480) = 120
45 –
60 3
15
3
–
–
20
4
5
Av. Universitaria 1875 – Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) /
 261 - 8730
4.
Se trata de formar un cubo de ladrillos cuyas
dimensiones son 20 cm, 15 cm y 6 cm. ¿Cuántos
ladrillos son necesarios para formar el cubo más
pequeño posible?
5.
Se han colocado postes igualmente espaciados en el
contorno de un campo triangular cuyos lados miden
210; 270 y 300 m. Sabiendo que hay un poste en cada
vértice y que la distancia entre poste y poste es la
mayor posible ¿Cuántos postes se colocaron?
6.
14. Julio compró cierto número de trajes por $ 3150 y
vendió unos cuantos por $1500 cobrando por cada
traje lo mismo que les había costado. Hallar cuantos
trajes quedan si el precio de estos es el mayor
posible?
Se han plantado árboles igualmente espaciados en el
contorno de un campo triangular cuyos lados miden
144m, 180m y 240m. Sabiendo que hay un árbol en
cada vértice y que la distancia entre dos árboles
consecutivos es un número entero de metros
comprendido entre 4m y 10m. Calcular el número de
árboles.
7.
Un móvil se desplaza con velocidad constante;
recorriendo primero 180 km y luego 240 km. Si el
m.c.m. de los tiempos empleados es 96 horas.
¿Cuántas horas se ha demorado en total?
8.
Una ciudad A esta a 224 km de otra B y a 624km de la
ciudad C. Un avión que vuela a velocidad constante
hace escala en B al ir de A hacia C. Suponiendo que
tarda nada en la ciudad B y que el m.c.m. de los
tiempos empleados en ir de A a B y de B a C es 700
minutos. ¿Cuántos minutos dura el viaje de A a C?
9.
13. Se dispone de un terreno rectangular de dimensiones
480 × 72 m y se desea sembrar íntegramente con
árboles equidistantes a lo largo y ancho del terreno,
de modo que haya uno en cada vértice ¿Cuántos
árboles serán necesarios si se desea emplear la
menor cantidad posible de ellos?
15. Dos empresarios pagan el mismo sueldo a cada uno
de sus trabajadores. Si el primero invierte $10080
para el pago total de sus trabajadores y el segundo
invierte $7560; siendo el sueldo el máximo posible
¿Cuantos trabajadores tienen en total ambas
empresas?
En una empresa trabajan 180 empleados. Se
selecciona un grupo de ellos, notándose que si se les
agrupa de 8 en 8, de 10 en 10 o de 12 en 12 siempre
sobra 1. Del número de no seleccionados ¿Cuál es la
suma de sus cifras?
10. Se desea construir un prisma rectangular recto de
dimensiones 135; 189 y 261m respectivamente, con la
menor cantidad de ladrillos cúbicos de dimensiones
enteras de metros posible ¿Cuántos ladrillos se
utilizaran?
11. El número de alumnos de un colegio se encuentra
entre 520 y 550. Si a los alumnos se les hace formar
en columnas de 10, sobran 3 alumnos; si forman en
columnas de 15 sobran 8 alumnos y si forman en
columnas de 18 sobran 11 alumnos. ¿Cuántos
alumnos tiene el colegio?
12. ¿Cuántos divisores de 10040 son divisores de 20030;
30020 y 40010?
-2-
1.
Un negociante tiene tres barriles de vino de 360; 480 y
600 litros. Desea venderlos en recipientes pequeños
de máxima capacidad de modo que, no sobre vino en
ninguno de los barriles. ¿Cuántos recipientes
necesita?
A) 15
B) 12
C) 24
D) 30
E) 10
2.
Si tenemos que llenar 4 cilindros de capacidades: 72;
24; 56 y 120 galones ¿Cuál es la capacidad del balde
que puede usarse para llenarlos exactamente si esta
comprendida entre 2 y 8 galones?
A) 6
B) 3
C) 5
D) 4
E) 7
3.
Se trata de formar un cubo compacto utilizando
ladrillos cuyas dimensiones son 20; 15 y 6 cm. Si el
número de ladrillos es el más cercano a 6000 ¿Cuál
fue la arista del cubo?
A) 120
B) 180
C) 240
D) 300
E) 360
4.
¿Cuántos múltiplos comunes de cuatro cifras tienen
los números: 24; 50 y 60?
A) 14
B) 10
C) 12
D) 15
E) 6
5.
¿Cuál es el menor número de losetas de 34 × 18 cm
necesarias para construir un cuadrado?
A) 135
B) 184
C) 153
D) 306
E) 148
6.
7.
8.
9.
pesitas de 40; 50; 60 o 70 g ¿Cuál es el peso exacto
del objeto?
A) 4,2kg
B) 2,8
C) 5,8
D) 6,3
E) 3,9
Un terreno de forma rectangular cuyos lados miden
144m y 152m está sembrado con árboles
equidistantes y separados lo más posible. Si se
observa que hay un árbol en cada vértice y uno en el
centro del terreno ¿Cuántos árboles hay en total?
A) 112
B) 135
C) 56
D) 40
E) 41
15. ¿Cuántos números dividen exactamente a 6750; 6300
y 4050?
A) 18
B) 12
C) 20
D) 10
E) 15
Tres aviones parten de un mismo punto a las
8:00 a.m.; el primero regresa a la base cada hora y
cuarto, el segundo cada 3/4 de hora y el tercero cada
50 minutos ¿A qué hora se encontrarán por primera
vez en la base?
A) 17h50
C) 16h30
E) 8h20
B) 15h30
D) 17h20
16. Se desea dividir tres barras de acero de longitudes
165; 225 y 345cm en trozos de igual longitud ¿Cuál es
el menor número de trozos que se puede obtener?
A) 40
B) 44
C) 147
D) 55
E) 49
17. El número de páginas de un libro es mayor que 500
pero menor que 600. Si se cuentan de 3 en 3 sobran
2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6 ¿Cuántas
páginas tiene el libro?
A) 512
B) 514
C) 524
D) 522
E) 536
Un suceso ocurre cada 5 minutos, otro cada 10
minutos y un tercero cada 8 minutos. Si a las
5:00 p.m. ocurren los tres sucesos a la vez ¿A qué
hora ocurrirán los tres sucesos por última vez en el
día?
A) 8:40 p.m.
C) 11:00
E)11:20
B) 11:30
D) 11:40
18. Se trata de llenar una caja de dimensiones 216 × 126
× 72 con cubitos que tengan el mayor volumen
posible. ¿Cuántos cubitos son necesarios?
A) 336
B) 320
C) 48
D) 84
E) 672
Un obrero trabaja 10 días seguidos y descansa 2 días.
Si empieza a trabajar un día lunes ¿Cuántos días han
de pasar para que le toque descansar sábado y
domingo?
A) 121
B) 110
C) 154
D) 143
E) 82
19. Al dividir 1015 y 666 entre “n” los restos respectivos
fueron 7 y 18. Hallar el mayor valor de “n”
A) 72
B) 64
C) 90
D) 108
E) 80
20. “N” es el mayor número natural tal que al dividir 1572
y 670 entre “N” deja como residuos 36 y 30
respectivamente ¿Cuál es la suma de cifras de “N”?
A) 12
B) 11
C) 14
D) 10
E) 16
10. Se tiene cubos de 2; 3 y 4 cm de aristas y uno que
puede contener a un número entero de cada uno de
ellos y cuya arista es un número entero de cm. Hallar
el valor de dicha arista.
A) 16
B) 40
C) 24
D) 30
E) 32
21. Se trata de depositar aceite de tres barriles de
capacidades 210; 300 y 420 litros en envases que
sean iguales entre si ¿Cuál es la menor cantidad de
envases que se emplearían para que todos estén
llenos y no desperdiciar aceite?
A) 30
B) 51
C) 31
D) 50
E) 36
11. ¿Cuántos múltiplos comunes de 8 y 20 poseen tres
cifras?
A) 24
B) 22
C) 30
D) 18
E) 16
12. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números:
5040; 6720 y 12600?
A) 16
B) 20
C) 32
D) 40
E) 24
22. Fabrizio compra cierta cantidad de metros de tela en
$3000. Se da cuenta que no necesita tanta tela y
vende cierta parte a $1750 con un precio por metro
igual al que lo compró (que esta comprendido entre
$100 y $200)¿Cuantos metros de tela le quedan?
A) 10
B) 24
C) 14
D) 18
E) 20
13. De tres personas que se encuentran en un consultorio
se sabe que la primera asiste cada 3 días, la segunda
cada 5 días y la tercera cada 7 días ¿Qué numero de
días debe transcurrir para que vuelvan a encontrarse
de nuevo estas tres personas?
A) 210
B) 150
C) 105
D) 35
E) 75
23. Rodrigo trabaja 11 días seguidos y descansa el
duodécimo. Si comenzó a trabajar un día lunes ¿cuál
es el mínimo número de días que debe transcurrir
para que le toque descansar en domingo?
A) 83
B) 84
C) 78
D) 90
E) 96
14. Para que un objeto que pesa mas de 2000 g complete
un peso de 10 kg, se puede utilizar un número de
-3-
24. Hallar la menor distancia que se puede medir
exactamente con una regla que se puede dividir en
pedazos de 2; 5 u 8 pies de longitud?
A) 50
B) 20
C) 30
D) 40
E) 70
tienen el mismo precio y es el mayor posible,
¿cuántos productos vendió en total?
A) 19
B) 34
C) 44
D) 48
E) 54
25. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se
puede llenar en un número exacto de minutos con
cualquiera de tres llaves que surten: la primera 12 l
por minuto, la segunda 18 l por minuto y la tercera 20 l
por minuto?
A) 198
B) 172
C) 154
D) 180
E) 145
33. Un comerciante tiene tres cajas de galletas sueltas
con 288; 360 y 408 unidades; desea venderlas en
pequeños paquetes de igual cantidad que están
contenidas exactamente en cada una de las cajas.
¿Cuál es el menor número de paquetes que se
obtiene, sin desperdiciar galletas?
A) 24
B) 32
C) 44
D) 47
E) 51
26. En un patio de forma cuadrada se desean acomodar
losetas de 15×24 de tal manera que no falte ni sobre
espacio ¿Cuál es el menor número de losetas que se
requiere?
A) 15
B) 20
C) 40
D) 80
E) 120
34. El número de páginas de un libro es mayor que 400
pero menor que 500. Si se cuentan de 2 en 2 sobra
una, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en
7 sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
A) 419
B) 420
C) 421
D) 439
E) 440
27. Dos letreros luminosos se encienden con
intermitencias de 42 y 54 segundos respectivamente.
A las 20 horas y 15 minutos se encienden
simultáneamente a que hora vuelven a encenderse
juntos?
A) 25h31m18s
D) 5h40
B) 30h46m
E) 8h
C) 20h21m18s
35. El MCD de a7a y 7b7 es 11. Hallar “a + b”.
A) 7
B) 9
C) 10
D) 12
E) 14
36. Se tiene un terreno triangular de 1260 m, 1320 m y
3900 m. ¿Cuántos árboles equidistantes son
necesarios plantarlos al contorno del terreno, de modo
que la distancia entre árboles esté comprendida entre
10 m y 15 m? (Hay un árbol en cada vértice)
A) 360
B) 540
C) 1080
D) 1200 E) 1430
28. Hallar cuantos números de 4 cifras son divisibles por
24; 33 y 42.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
37. ¿Cuántas cajas cúbicas como máximo se podrán
utilizar para empaquetar 12 000 barras de jabón cuyas
dimensiones son 20 cm, 15 cm y 12 cm de modo que
todas estén completamente llenas?
A) 180
B) 200
C) 220
D) 240
E) 260
29. Hallar el menor número de cuadrados iguales en que
se puede dividir un terreno rectangular cuyas
dimensiones son 408 y 216
A) 99
B) 13
C) 198
D) 153
E) 144
38. Se tienen ladrillos cuyas dimensiones son 15  18 
12 cm3. ¿Cuántos se necesitan para formar 3 cubos
de los más pequeños?
A) 1800
B) 2000
C) 3600
D) 4000 E) 5400
30. El número de niños de un colegio esta comprendido
entre 100 y 150. Si se agrupan de 10 en 10 sobran 7,
de 12 en 12 sobran 7 y de 15 en 15 sobran 7
¿Cuántos niños tiene el colegio?
A) 147
B) 123
C) 127
D) 159
E) 100
39. Tres reglas de 2 400 mm cada una están divididas en
300; 200 y 96 partes iguales. Si se hace coincidir los
extremos de las tres reglas, ¿en cuántas divisiones,
además de los extremos coinciden?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
31. De un terreno rectangular que mide 360 m de largo y
240 m de ancho, se quieren hacer lotes cuadrados, lo
más grandes posibles. ¿Cuántos lotes saldrán?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
40. Hallar el número de ladrillos necesarios para construir
un cubo compacto sabiendo que su arista está
comprendida entre 200 y 300 cm y que las
dimensiones del ladrillo a usarse son de 15, 8 y 20
cm.
A) 720
B) 5 760 C) 1 020 D) 8 160 E) 960
32. Un comerciante realiza la venta consecutiva de
dos productos. Recibió S/. 9 750 por los productos A y
S/. 12 350 por los productos B. Si ambos productos
-4-