Download TEMA EM4. CORRIENTE ELCTRICA

TEMA 6. CORRIENTE ELECTRICA. CIRCUITOS DE
CORRIENTE CONTINUA
6.1. CORRIENTE ELECTRICA.
Hasta ahora, el análisis que se ha realizado de los fenómenos eléctricos se ha
limitado a las cargas en reposo o conductores en equilibrio electrostático, ahora se
considerarán situaciones que comprenden cargas eléctricas en movimiento en el interior de
un medio material: electrones libres en un metal, iones positivos y negativos en un
electrolito, o electrones y huecos en semiconductores, aunque estos ultimos se estudiaran
más ampliamente en la parte final.
Ya se ha analizado en temas anteriores la redistribución de cargas que se produce en
un conductor cuando éste se introduce en un campo eléctrico, o el paso de cargas entre dos
conductores, cargados ambos o solo uno, que se unan mediante un hilo. En ambos casos se
produce un movimiento de cargas electricas en su interior y, por tanto, se produce una
corriente eléctrica, es decir, un chorro de partículas cargadas o iones, de la misma
manera que moléculas de agua en movimiento dan lugar a una corriente de agua. En
definitiva, para producir una corriente eléctrica en un conductor es necesario que exista en
su interior un campo eléctrico no nulo o, lo que es igual, que exista un gradiente de
potencial.
Pero en los dos ejemplos citados transcurrido un brevisimo intervalo de tiempo se
alcanza el equilibrio electrostático, se igualan los potenciales de todos los conductores y
desaparece la corriente eléctrica. Para obtener una corriente eléctrica permanente es preciso
mantener una diferencia de potencial eléctrico entre los dos extremos de un conductor o
entre los conductores unidos por un hilo. Esto se puede lograr conectándolos a un
generador o fuente que mantiene un estado de desequilibrio permanente en los conductores.
Se hablará en secciones posteriores de los generadores y sus características.
El régimen así establecido es estacionario, es decir las magnitudes asociadas al
desplazamiento de las cargas son independientes del tiempo y dan lugar a la corriente
eléctrica continua.
Si el régimen establecido es transitorio, es decir las magnitudes asociadas son
dependientes del tiempo, dan lugar a la corriente eléctrica variable o transitoria, muy
común en el establecimiento o desaparición de un régimen estacionario.
En el tema de corriente alterna se estudiaran más extensamente corrientes eléctricas
variables en régimen permanente, en las cuales las magnitudes asociadas al desplazamiento
de las cargas varian mediante funciones periodicas.
124
6.1.1.- INTENSIDAD Y DENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA.
Considerando una superficie S, a través de la cual se desplazan las cargas eléctricas
(Fig. 6.1). Se denomina intensidad de corriente eléctrica I a la
carga eléctrica neta que pasa por unidad de tiempo a través de la
superficie S. Teniendo en cuenta que la carga que atraviesa la
superficie puede variar en el tiempo la intensidad de corriente
instantanea se expresará como
Q dQ

t 0 t
dt
I  lim
(6.1)
Su unidad en el SI es el Amperio A (unidad fundamental), que por tanto será
1A 
1C
1s
definiéndose posteriormente a partir de las propiedades magnéticas de las corrientes
eléctricas.
La intensidad de corriente eléctrica a través de una superficie puede expresarse
también en función de las características del flujo de partículas cargadas, de la velocidad de
las cargas eléctricas o velocidad de arrastre, del número de cargas, etc., (en el tema 14 se
tratan los modelos de movimiento de cargas eléctricas en el interior de los materiales).
Tomando una porción de conductor de sección S dentro del cual hay un campo
eléctrico E, donde se encuentran n1 cargas positivas q1 por unidad de volumen
moviendose con velocidad media v1 en el mismo sentido del campo eléctrico
perpendicular a la sección S y n 2 cargas negativas q 2 por unidad de volumen moviendose
con velocidad media v 2 en sentido contrario al campo y perpendicular a S (Fig. 6.2 a).
Observando primero a las cargas positivas, en un tiempo dt cada una de ellas
avanza una distancia v1dt , por tanto, todas las cargas que se encuentren dentro del cilindro
de base S y longitud v1dt , y solo ellas, atravesarán la superficie S en el tiempo dt, como se
aprecia en la (Fig. 6.2 b). El volumen del cilindro dV, teniendo en cuenta que v1 y us son
paralelos, es Sv1dt ; el número de cargas en su interior es n1Sv1dt , de modo que la carga
125
total es dQ1  n1q 1Sv1dt . Por consiguiente la intensidad de corriente producida por estas
cargas vale, sustituyendo en (6.1)
I1 
dQ1
 n 1q 1Sv 1
dt
Obrando del mismo modo con las q2 cargas negativas, se obtiene que la intensidad
de corriente es
I2 
dQ 2
 n 2 (q 2 )S(v 2 )  n 2 q 2 Sv 2
dt
en donde se observa que el efecto de la corriente es el mismo que si las n 2 q 2 cargas
negativas hubiesen sido n 2 q 2 cargas positivas desplazándose con velocidad v 2 en el
mismo sentido que el campo. Por ello es común denominarlas cargas móviles o portadores
de carga sin considerar su signo.
Así en general la intensidad de corriente que atraviesa una superficie S de un
conductor es
in
I  S n i qi vi
(6.2)
 in

I    n i q i v i   SuS 
 i 1

(6.3)
i 1
o bién (6.2) en notación vectorial
no necesariamente la sección del conductor debe ser tranversal al movimiento de las cargas
móviles.
La intensidad de corriente cuantifica el flujo total de carga a traves de una sección
del conductor, pero no ofrece ninguna información sobre la distribución puntual de este
flujo de cargas móviles. El estado de movimiento de las cargas puede ser descrito a través
de la densidad de corriente eléctrica J que es una magnitud vectorial. La densidad de
corriente eléctrica se define como la intensidad de corriente por unidad de área transversal
J
in
I
u   n iqi vi
Sn
i 1
(6.4)
es decir, la densidad de corriente es un vector cuya dirección es la de la velocidad de
arrastre en cada punto y cuyo módulo es la carga que atraviesa, en la unidad de tiempo, una
unidad de superficie normal a v. Su unidad en el S.I. es A/m2 y su ecuación de dimensiones
J  I L-2
126
Por tanto (6.3), también se puede expresar como
I
 J  dS
(6.5)
La intensidad de corriente es, por definición, una cantidad escalar, por lo que no es
correcto hablar de la "dirección de la corriente". Sin embargo se utiliza con frecuencia esta
expresión y en realidad lo que se expresa es la dirección y sentido del vector densidad de
corriente. Y siempre J tendrá la misma dirección y sentido que E, incluso en un conductor
metálico, en donde como se sabe, las cargas móviles son los electrones que se mueven en
sentido contrario a E, pero el producto de la carga por la velocidad es positivo.
Por todo ello, al describir el comportamiento de un circuito se acostumbra a
considerar las corrientes como si consistieran totalmente en un flujo de carga positiva,
incluso en los casos en que la corriente real se sabe que es debida a electrones.
6.2. LEY DE OHM. RESISTIVIDAD Y RESISTENCIA.
Se ha observado que al aplicar un campo eléctrico sobre un material que posee
cargas libres, se produce una corriente eléctrica. Parece pues natural, suponer que el campo
eléctrico esté relacionada con la corriente eléctrica y que esta relación sea una consecuencia
directa de la estructura interna del material. Esta relación se produce entre la intensidad del
campo eléctrico y la densidad de corriente mediante una propiedad eléctrica de los
materiales denominada resistividad  o mediante su inversa denominada conductividad .
Así
E  J 
1
J

(6.6)
es decir, la resistividad  (no confundir con densidad volumétrica de carga) es una
caracteristica del conductor y de su temperatura, e independiente del campo eléctrico y de
la densidad de corriente. Se emplea más la resistividad que la conductividad, porque los
conductores se caracterizan por sus resistencias eléctricas, como se verá más adelante.
Observando la ecuación (6.6) se podría decir que un conductor perfecto tendría
resistividad nula y un aislante perfecto resistividad infinita. Pero no hay materiales de este
tipo, lo que si se encuentran son metales y aleaciones con resistividades bajas (buenos
conductores) y vidrios, micas y maderas con resistividades altas (buenos aislantes). Entre
medias están los semiconductores que su importancia no reside, primordialmente, en sus
resistividades, si no en la forma en que son afectados por la temperatura y por pequeñas
impurezas.
Fué George S. Ohm (1787-1854) quien descubrió que la resistividad es una
constante para un conductor metálico a temperaturas constantes, por ello a la expresión
(6.6) se la denomina ley de Ohm. Un material que verifica esta ley se denomina conductor
óhmico o lineal y si no la verifica se denomina no lineal. Por tanto la ley de Ohm describe
127
una propiedad especial de ciertos materiales, pero no es en modo alguno una propiedad
general de toda la materia.
A menudo es dificil medir directamente E y J, por lo que es más práctico poner esta
relación en una forma que intervengan cantidades facilmente mensurables. Para ello, se
considera una porción de conductor cilindrico entre A y B, de sección tranversal S,
resistividad , longitud L y por el que circula una intensidad de corriente I (Fig 6.3).
Si se multiplican los dos miembros de la ley de
Ohm (6.6) por un elemento de longitud dr del
conductor, y se integra entre los extremos de la porción
del conductor que se encuentran a los potenciales VA y
VB siendo VA > VB, se obtiene

B
E  dr 
A

B
J  dr 
A

B
J dr
(6.7)
A
o bién, teniendo en cuenta (3.10) y (6.4), en (6.7)
VA  VB 

B
I
 dr  I
A S


B
A

dr
S
(6.8)
B

dr  R se la denomina resistencia
A S
eléctrica y la dificultad en su calculo depende de la forma del conductor y del material o
L
materiales de que este hecho. En el caso considerado sería R   .
S
en (6.8) la integral del segundo miembro
Así se puede expresar la ley de Ohm (6.6) de la siguiente forma
VA  VB  I R
(6.9)
es decir, la diferencia de potencial (o tensión) entre dos puntos de un conductor es igual al
producto de la intensidad de corriente que circula multiplicada por la resistencia eléctrica
del conductor entre esos dos puntos.
La resistencia eléctrica de un material se mide en ohmios () en honor de Ohm
1 
1V
1A
siendo su ecuación de dimensiones
R   M L2T3I2
128
y por tanto la resistividad  se mide en  m. En adelante se identificará a los conductores
por su resistencia eléctrica que en los circuitos se representa por
aquellos conductores con resistencia despreciable se representaran mediante lineas rectas.
La resistividad de todos los conductores metálicos aumenta al elevar la temperatura,
como se aprecia en la (Fig. 6.4). No existe una teoria enteramente satisfactoria para
explicar este efecto, que parece deberse a la creciente
probabilidad de choques entre cargas móviles e iones
metálicos.
Para un intervalo de temperatura no demasiado
grande, la resistividad de un metal puede representarse
por la ecuación
  o 1    T  20º  
(6.10)
siendo   coeficiente térmico de resistividad y  y o  resistividades a T ºC y a 20 ºC
respectivamente.
En los semiconductores se analizará en los ultimos temas y cabe destacar que hay
una clase de materiales cuya resistividad se anula por debajo de una determinada
temperatura Tc , conocida como temperatura crítica; estos materiales se conocen como
superconductores.
Lo notable de los superconductores es el hecho
de que una vez que se establece una corriente eléctrica
en el material, tal corriente persistirá sin que haya
voltaje alguno aplicado (ya que R=0), su gráfica viene
dada por la (Fig. 6.5). Este fenómeno fue descubierto
por H. K. Onnes en 1911 para el mercurio, el cual es
un superconductor por debajo de 4.15 K o  269 º C .
En la actualidad se conocen miles de
superconductores de distintos oxidos que contienen tierras raras, con temperaturas críticas
más altas, pero todavia son poco rentables para la industria. La temperatura crítica es
sensible a la composición química, la presión y la estructura cristalina, siendo en general
frágiles y quebradizos.
6.3. ASOCIACION DE RESISTENCIAS.
En los circuitos eléctricos se pueden encontrar dos o más conductores, pudiéndose
calcular el conductor equivalente (caracterizado por su resistencia) de ciertas
combinaciones como se indica a continuación:
129
ASOCIACION EN SERIE: Cuando se conectan dos o más conductores entre sí de tal
forma que solo tengan un punto en común por par, se dice que están en serie. En la (Fig.
6.6) se muestran dos resistencias conectadas en serie.
Se observa que la corriente es la misma
a través de cada resistencia, ya que cualquier
carga que fluya a través de R1 debe ser igual a
la carga que fluye a través de R2.
Como la diferencia de potencial desde A hasta B, según (6.9), es igual a IR1, y la
diferencia de potencial desde B hasta C a IR2, la diferencia de potencial desde A hasta C es
VA  VC  IR1  IR 2  I(R1  R 2 )  IR eq
Por tanto, se pueden reemplazar las dos resistencias en serie por una sola resistencia
equivalente R eq cuyo valor es la suma de las resistencias R1 y R2, ya que la corriente en el
circuito permanece inalterada cuando se reemplaza R1 y R2 por R eq . De esta forma, la
resistencia equivalente de tres o más resistencias conectadas en serie es
in
R eq  R1  R 2  ...  R n   R i
(6.11)
i 1
Como consecuencia la resistencia equivalente de una conexión en serie de
resistencias siempre es mayor que cualquiera de las resistencias por separado.
ASOCIACION EN PARALELO: Considérese ahora dos resistencias conectadas como se
aprecia en la (Fig. 6.7). En este caso se observa que la diferencia de potencial a través de
cada resistencia es la misma VA  VB . Sin
embargo, la corriente en cada resistencia en
general no es la misma.
Cuando la corriente I llega al punto N,
denominado nudo (punto donde se juntan tres
o más conductores), se separa en dos partes,
I 1 que pasa por R1 e I 2 que pasa por R 2 . Si
R1 es mayor que R 2 , entonces I 1 será menor
que I 2 . Esto es, el flujo de carga toma
mayoritariamente el camino de menor resistencia. Evidentemente, como la carga debe
conservarse, la corriente I que entra por el punto N debe ser igual a la corriente total que
sale de este punto
I  I1  I 2
Aplicando la ley de Ohm (6.9)
130
I  I1  I 2 
 1
VA  VB VA  VB
1 
1
  VA  VB 

 VA  VB  

R1
R2
R eq
 R1 R 2 
Se pueden reemplazar las resistencias R1 y R2 por una R eq cuya inversa de su valor
sea igual a la suma de las inversas de R1 y R2 . Una extensión de este análisis a tres o más
resistencias en paralelo conduce a la siguiente expresión general
in
1
1
1
1
1


 ... 

R eq R 1 R 2
R n i 1 R i
(6.12)
A partir de esta expresión puede verse que la resistencia equivalente de dos o más
resistencias conectadas en paralelo, siempre es menor que la menor resistencia del grupo.
6.4. GENERADOR. FUERZA ELECTROMOTRIZ.
El rectángulo de la (Fig. 6.8) representa esquematicamente un dispositivo como una
bateria, un termopar, células fotovoltaicas, un generador
electromagnético, es decir, un generador o fuente aunque el
término no es muy acertado ya que no crea electricidad ni
energía, solo transforma energía. Elemento necesario como
se expreso al principio de este tema para mantener una
corriente eléctrica en los conductores.
El generador mantiene el borne a a un potencial
superior al borne b, por lo que existirá un campo electrostático, ya que el propio generador
es un conductor y tiene cargas libres. Si la única fuerza sobre las cargas libres, situadas
dentro del generador, fuese la ejercida por el campo electrostático, transcurrido un tiempo,
el exceso de carga en los bornes, así como la diferencia de potencial entre los bornes a y b
se anularia.
Pero esto no ocurre así, y es debido a que además de la fuerza electrostática existe
otra de caracter no electrostático, de igual magnitud, dirección y sentido opuesto a la fuerza
electrostática, como se aprecia en la (Fig. 6.9).
F  qE
(fuerza electrostá tica)
Fn  qEn
(fuerza no electrostática)
Más concretamente es la fuerza no electrostática
Fn la que origina el exceso de carga en los bornes a y b al
producir el desplazamiento de las cargas positivas a a y las
cargas negativas a b, creando estas después un campo electrostático E que genera una
fuerza eléctrica F sobre las cargas libres que se opone al movimiento de más cargas
positivas y negativas a a y b como consecuencia de la fuerza no electrostática.
131
El origen de la fuerza no electrostática es muy diverso, de origen químico, por
diferencia de temperaturas, un campo magnético variable con el tiempo, mecánica en un
generador de Van Graaff, de luz en una célula fotoeléctrica, etc.
Tal como se ha expresado anteriormente F  Fn o tambien se puede expresar
como relación entre los campos eléctricos, electrostático E y no electrostático En , también
denominado campo electromotor, es
E  En
(6.13)
o sea, cuando los bornes del generador no están conectados con otros conductores, las
cargas están en equilibrio y el campo resultante en el interior del generador es
nulo ET  0 .
Si se multiplica escalarmente la expresión de igualdad de campos (6.13) por un dr
dirigido desde a hasta b y se integra

b
E dr  
a

b
En  dr 
a

a
En  dr
(6.14)
b
a la integral curvilínea del campo no electrostático desde b hasta a de (6.14), es decir a la
circulación En o al trabajo realizado por Fn por unidad de carga, cuando la carga se mueve
desde b hasta a, se denomina fuerza electromotriz (fem) 


a
En  dr
(6.15)
b
Teniendo en cuenta que la integral del primer miembro de (6.14) según (3.10) es la
diferencia de potencial entre a y b, se observa que en un generador no conectado a ningún
elemento externo (circuito abierto) la diferencia de potencial entre sus bornes coincide con
su fuerza electromotriz.
Va  Vb  
(6.16)
La unidad en el SI de la fuerza electromotriz es el voltio, no obstante NO es lo
mismo potencial eléctrico que fuerza electromotriz, pues la primera deriva de la circulación
de un campo electrostático y la segunda de uno no electrostático y no conservativo.
El campo electromotor En , en la mayoria de los casos, no depende de la intensidad
de corriente eléctrica, por lo que la fuerza electromotriz representa una propiedad del
generador, que a menos que se exprese lo contrario, se considerá constante.
132
Supongase que ahora se unen los bornes del generador mediante un conductor que
tiene una resistencia R (circuito cerrado), como se aprecia en la (Fig. 6.10). La única fuerza
que actúa sobre las cargas libres del conductor es la debida al campo electrostático E
creado por los bornes cargados.
Este campo crea en el conductor una corriente eléctrica desde el borne a hasta el
borne b. Las cargas situadas sobre los bornes disminuyen, así como el campo electrostático
y la fuerza electrostática en el generador y
en el conductor. Esto hace que la fuerza no
electrostática sea superior a la electrostática
y en el interior del generador aparezca una
fuerza resultante f que hace que las cargas
positivas que han llegado por el conductor
al borne b sean impulsadas a. El circuito
alcanza un estado estacionario, en el cual la
intensidad de corriente eléctrica es igual en
todas las secciones transversales.
Aquí se puede observar la
incorrección que se comete al decir "el
sentido de la corriente es siempre de   a  , pues las cargas en una parte del circuito
cerrado "descienden" de potencial de Va a Vb (por el conductor), pero en otra parte son
"impulsadas" desde un potencial menor Vb a uno mayor Va (en el generador que es otro
conductor).
En estas condiciones, la carga que entra al conductor a través del borne a es
reemplazada inmediatamente por el flujo de carga que pasa por el generador, y por tanto se
puede comprobar que se mantiene la igualdad (6.16). Como la diferencia de potencial está
tambien relacionada con la corriente eléctrica y la resistencia del conductor, por la ley de
Ohm (6.9), se puede escribir
  IR
(6.17)
Pero esta expresión es relativa, debido a que los generadores reales no son perfectos
y, por tanto, poseen resistencia interna (r). En condiciones de circuito cerrado el campo
eléctrico total ET  E  En , dentro del generador no puede ser exactamente nulo porque es
necesario que exista algún campo neto que empuje la carga a través de la resistencia interna
del generador. Por tanto E debe tener una magnitud algo menor que En , y en
consecuencia Va  Vb  es menor que ; la diferencia es igual al trabajo por unidad de
carga realizado por la fuerza resultante, que es Ir. Así se tiene
Va  Vb    Ir
(6.18)
es decir, la diferencia de potencial entre los bornes de un generador real es igual a la fem
menos la caida de tensión ohmica debida a su resistencia interna.
133
La ecuación que determina la intensidad de corriente del circuito es entonces,
considerando (6.9) en (6.18)
I r  I R
(6.19)
y despegando en (6.19) la intensidad de corriente
I

Rr
(6.20)
Igual que se expreso anteriormente con la fem, la resistencia interna es
independiente de la intensidad de corriente. Es decir se van a considerar generadores
lineales. Los generadores de corriente continua se representan en los circuitos mediante
con la polaridad indicada.
6.5. ENERGIA ELECTRICA. LEY DE JOULE.
En general, cuando fluyen cargas móviles en el interior de un conductor, la carga
posee energía potencial eléctrica en cada punto del conductor, transformándose parte de
ella en energía cinética al moverse entre dos posiciones y dicha energía cinética se
transfiere en los choques, a los iones que forman el conductor, convitiendose esta ultima en
energía térmica (o calor) del conductor.
Considerese un conductor de forma cualquiera, en el que se ha establecido una
corriente eléctrica continua caracterizada por una densidad de corriente J o una intensidad I
y se limita una parte del conductor por dos secciones equipotenciales de valores V1 y V2
(Fig. 6.11). Se va analizar la variación de
energía eléctrica de las cargas móviles al pasar
de la sección S1 a la sección S2, siendo el
potencial eléctrico mayor en S1 que en S2.
Una cantidad de carga dq que pasa por
S1 durante un tiempo dt, posee una energía
potencial eléctrica, que aplicando (3.11) vale
dE P1  V1dq
(6.21)
Durante este intervalo de tiempo la misma cantidad de carga dq pasa por S2 donde
posee una energía potencial eléctrica
dE P2  V2 dq
134
(6.22)
que es menor que (6.21). La energía perdida por la carga al pasar a través de este segmento
de conductor S1 a S2  , o el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para transportar la
carga por el segmento de conductor viene dado por (3.12)
dW  dE P  (V1  V2 ) dq
(6.23)
esta energía eléctrica se transforma en calor, lo que constituye el efecto Joule.
Teniendo en cuenta (6.1) en (6.23)
dW  Idt (V1  V2 )
y, por tanto, la potencia disipada en el conductor es
P
dW
 I (V1  V2 )
dt
(6.24)
La expresión (6.24) permite definir de otra forma el voltio, como la diferencia de
potencial existente entre dos puntos de un conductor cuando, al circular un amperio de
intensidad de corriente, la potencia disipada entre dichos puntos es de un vatio.
Considerando la resistencia del conductor R, se obtienen otras expresiones útiles de
la potencia perdida por las cargas móviles
( V1  V2 )2
P  I (V1  V2 ) 
 I2 R
R
(6.25)
Hay que señalar que la noción de resistencia está ligada al efecto Joule; así, una
resistencia pura queda caracterizada por el hecho de que toda la energía que consume se
transforma en calor a diferencia de otros elementos que transforman la energía eléctrica en
otros tipos de energía. La energía eléctrica transformada en energía térmica es
calor  Pt  I2Rt
(  0.24 para expresarla en calorias )
Todas estas expresiones fueron obtenidas experimentalmente por James P. Joule
(1818-1889), por lo que se conocen como Ley de Joule.
Ya que se conoce la potencia que se disipa en
un conductor de resistencia R, consideremos un
circuito simple como el de la (Fig. 6.12).
Teniendo en cuenta el valor de la diferencia
de potencial entre los bornes del generador (6.18), la
potencia disipada se expresa
135
P  I (Va  Vb )  I(  Ir)  I  I 2 r
(6.26)
donde los términos tienen un significado claro:
P
 potencia suministrada al circuito exterior por el generador.
 I  potencia que cede el agente suministrador del campo
electromotor a las cargas que circulan por el generador.
I 2 r  potencia disipada en el interior del generador por efecto Joule.
6.6. DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DE UN CIRCUITO.
Considerese un tramo de un circuito eléctrico entre los puntos A y B que se
encuentran a los potenciales VA y VB respectivamente, siendo VA > VB. Entre estos dos
puntos existe una resistencia R y un generador de fuerza electromotriz  y resistencia
interna r, tal y como se aprecia en (Fig. 6.13).
Las cargas libres en el tramo
AB están sometidas a un campo
electrostático y a un campo no
electrostático. El campo impulsante
neto ET es entonces
ET  E  En
según la naturaleza del circuito, uno u otro de los campos E o En , pueden ser nulo, y en el
caso de existir ambos, cabe que sean del mismo o de opuesto sentido, o pueden que existan
más campos no electrostáticos. En el caso que se ha considerado, ambos existen y tienen el
mismo sentido. Como a través de AB pasa una densidad de corriente J, por la Ley de Ohm
E  En  J
(6.27)
Si se multiplica ambos términos de (6.27) por un elemento de longitud dr del tramo
AB y se integra entre ambos extremos

B
E  dr 
A

B
En  dr 
A

B
J  dr
(6.28)
A
teniendo en cuenta (3.10), (6.7) y (6.15) en (6.28)
(VA  VB )    I(R  r)
136
(6.29)
De una forma más general, si entre A y B existen varios generadores (i , ri ) y
varias resistencias, de (6.29) se tiene
in
in
i 1
i 1
(VA  VB )   i  I R i  ri 
o bien
in
in
i 1
i 1
VA  VB  I  R i  ri    i
(6.30)
que se conoce como ley de Ohm generalizada.
Conviene hacer notar que en el sumatorio de las fuerzas electromotrices de la
expresión (6.30) su signo algebraico será positivo si la dirección de la corriente y del
campo electromotor coinciden (Fig. 6.14a) y su signo será negativo en caso de que no
coincidan (Fig. 6.14b). En el caso de que no cincidan la dirección de la corriente y el
campo electromotor a la  se la denomina fuerza contraelectromotriz, ya que el generador
esta actuando como motor, es decir consumiendo energía eléctrica.
6.7. REGLAS DE KIRCHOFF.
En las secciones anteriores se han considerado circuitos simples. En esta sección,
aunque se tratará con mayor profundidad en el tema 12, se van a mostrar dos reglas que
permiten la resolución de circuitos más complejos (redes), es decir, un conjunto de
conductores y generadores conectados entre si de cualquier manera en corriente continua,
como se aprecia en la (Fig.6.15).
Previamente se recordará el concepto de nudo, y se conoceran los de rama y malla.
 Se entiende por nudo en una red al punto donde se unen tres o más
conductores, o ramas.
 Se entiende por rama a los elementos o componentes existentes entre
dos nudos.
137
 Se entiende por malla al conjunto de ramas que hay que recorrer, para
que partiendo de un nudo se vuelva al mismo, despues de haber
recorrido varias ramas sin interrupción y sin pasar dos veces por la
misma rama.
Para estudiar los circuitos complejos Gustav R. Kirchhoff (1824-1887) estableció
dos reglas que se citan a continuación.
Primera regla o ley de los nudos:
La suma algebraica de las intensidades de las corrientes que llegan y
salen de un nudo es nula.
in
I
i 1
i
0
(6.31)
Esta regla se basa en la conservación de la carga eléctrica. Cualquier
carga que llega a un nudo no puede quedarse en él o desaparecer.
Segunda regla o ley de las mallas.
En toda malla, la suma algebraica de las fuerzas electromotrices es
igual a la suma algebraica de las caidas de tensión debidas a las resistencias.
in
in
i 1
i 1
 i   I i R i
138
(6.32)
Esta regla se basa en la conservación de la energía, es decir, cualquier
carga eléctrica que se mueve siguiendo un circuito cerrado debe llegar al
mismo punto de partida con la energía que tenia al salir.
Para aplicar las reglas de Kirchhoff a los circuitos o se conocen los sentidos de las
corrientes eléctricas o se fijan arbitrariamente. Para aplicar la segunda regla se requiere dar
un sentido de giro arbitrario a cada malla, con lo que las intensidades de corriente eléctrica
que se opongan a dicho sentido se consignarán como negativas al igual que las fem de los
generadores que tienden a producir corriente de sentido opuesto al giro asignado a la malla.
Antes de escribir las ecuaciones conviene ver si la red presenta simetrias, pues esto
permite reducir el número de ecuaciones. Siempre se aplican las dos reglas a la vez. La
primera a todos los nudos menos uno y la segunda a todas las mallas distintas (las que por
lo menos tienen una rama no utilizada en las otras mallas). Si la resolución del sistema de
ecuaciones, arroja como solución una intensidad de corriente negativa, debe entenderse que
el sentido asignado a la misma es el contrario.
6.8. CIRCUITOS RC.
Se va a estudiar, ahora, un circuito en donde la intensidad de corriente varia con el
tiempo I  t  , o sea no estacionario o transitorio. Más concretamente se trabajará sobre un
circuito eléctrico que contiene un conductor con resistencia R y un condensador de
capacidad C, de ahí su nombre RC. Se obtendrán las ecuaciones físicas que permiten
conocer como se carga y descarga un condensador.
En primer lugar se abordará el caso de la descarga de un condensador.
Para ello se considerará el circuito de la (Fig. 6.16), que muestra un condensador
con una carga inicial + Q o en la placa superior y Q o en la inferior. Dicho condensador se
conecta a una resistencia R y a un interruptor A que está
abierto para evitar que la carga fluya a través de la
resistencia.
La diferencia de potencial a
condensador es inicialmente, según (5.2)
Vo 
Qo
C
través
del
(6.33)
puesto que no existe corriente eléctrica, esa será la
diferencia de potencial Vo existente entre los extremos del interruptor.
Se cierra el interruptor en el instante t  0 , la intensidad de corriente inicial es
aplicando la ley de Ohm
139
Io 
Vo
R
(6.34)
La corriente eléctrica se debe al flujo de carga por la resistencia y así, despues de un
cierto tiempo, la carga del condensador se verá reducida. Si q es la carga del condensador
en un instante cualquiera, la intensidad de corriente en dicho instante es según (6.1)
I
dq
dt
(6.35)
y la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador en un instante será igual a
la que exista entre la resistencia, con lo cual, aplicando (6.9) y (5.2) e igualando
IR 
q
C
(6.36)
Sustituyendo el valor de I de (6.35) en (6.36)
R
dq q

dt C
(6.37)
separando variables e integrando en (6.37), teniendo en cuenta las condiciones iniciales

q
dq
1

RC
Qo q
 dt
t
0
es decir
Ln q Q  
q
o
1 t
t
RC 0

Ln
q
1

t
Qo
RC
(6.38)
eliminando el logaritmo y despejando el valor de la carga para un instante cualquiera de
(6.38) se obtiene
q  Q o e  t RC  Q o e  t t c
(6.39)
expresión que proporciona la forma en la cual el condensador se esta descargando.
1
de su valor
e
original, y se denomina constante de tiempo del circuito. Despues de un tiempo t c la carga
El tiempo t c  RC , es durante el cual la carga disminuye hasta
que permanece en el condensador es Q o e 1 , despues de 2t c la carga es Q o e 2 y así
sucesivamente.
140
La interpretación de la constante de tiempo es la siguiente: Originalmente, la carga
Q
del condensador es Qo y su variación respecto del tiempo es  o . Si esta variación fuese
RC
constante, la carga disminuiria hasta alcanzar su valor cero en el instante t  t c .
Sin embargo, la variación de la carga con el tiempo no es constante, sino
proporcional a la carga. Como esta disminuye, la magnitud de la pendiente decrece
respecto al tiempo. Como puede verse en la (Fig. 6.17), transcurrido un largo periodo de
tiempo q0.
La expresión de la intensidad de corriente
se obtiene de sustituir el valor de q de (6.39) en
(6.35) y derivar
I
Qo  t RC
e
RC
(6.40)
teniendo en cuenta (6.33) y (6.34) en (6.40)
I
Vo  t RC
e
 Io e  t t c
R
(6.41)
evidentemente, la intensidad de corriente decrece, también exponencialmente, hasta
hacerse nula cuando se haya descargado el condensador.
Ahora se va considerar el caso de la carga de un condensador.
Para ello, sobre el circuito considerado anteriormente se añade un generador de
fuerza electromotriz y resistencia interna despreciable, para poder realizar el proceso de
carga del condensador que, en este caso, está inicialmente totalmente descargado, como se
muestra en la (Fig. 6.18).
El interruptor A, abierto inicialmente,
se cierra en el instante t  0 , la intensidad de
corriente inicial es aplicando la ley de Ohm
Io 

R
(6.42)
Inmediatamente empieza a fluir la
carga depositándose sobre las placas del
condensador. Si la carga del condensador en
un instante cualquiera es q y la intensidad de corriente en el circuito es I, la fuerza
electromotriz será igual a la diferencia de potencial del circuito externo, es decir, a la suma
141
de las diferencias de potencial que hay en la resistencia y el condensador, teniendo en
cuenta (6.9) y (5.2) se puede escribir
V
R
 VC  IR 
q
C
(6.43)
y la corriente en dicho instante, aplicando (6.1)
I
dq
dt
(6.44)
Sustituyendo (6.44) en (6.43)
  dq R  q
dt
(6.45)
C
separando variables e integrando en (6.45)

q
0
dq

q

C

t
1
dt
R
0
o también
q
q 
1 t

C Ln       t 0
C o R

(6.46)
sustituyendo los límites de integración y operando en (6.46)
 q
C  t
Ln

RC
(6.47)
despejando el valor de la carga en (6.47), se obtiene la expresión que indica como se carga
el condensador
q  C 1  e  t RC   Q 1  e  t t c


(6.48)
en donde Q  C es la carga final que alcanza el condensador y t c la constante de tiempo
del circuito.
La ecuación de la intensidad de corriente se obtiene de sustituir el valor de q de
(6.48) en (6.44) y derivar, teniendo en cuenta (6.42)
142
I
e
 t RC
R
 Io e  t t c
(6.49)
Se pueden apreciar las ecuaciones (6.48) y (6.49) en las (Fig. 6.19 a) y (Fig. 6.19 b).
De lo analizado en esta sección se puede concluir que en un circuito de corriente
continua o en parte del circuito, si tiene un condensador y esta cargado no fluirá la
corriente eléctrica continua, solo existirá la corriente eléctrica cuando sé este cargando o
descargando el condensador.
Durante el proceso de carga del condensador hasta alcanzar su carga final Q  C
exige al generador realizar un trabajo sobre las cargas móviles del circuito, es decir un
aporte de energía, que como se vio en la sección 6.5 vale
W  Q
(6.50)
Despues de que el condensador quede completamente cargado, la energía
almacenada en el condensador es, según se indico en (5.27)
Ee 
1
1
C2  Q
2
2
(6.51)
que es aproximadamente la mitad de la energía aportada por el generador (6.50). La otra
mitad restante de la energía se disipa en forma de calor por efecto Joule en la resistencia.
Por tanto cuando un condensador se carga mediante una fem constante, la mitad de la
energía proporcionada por el generador se almacena en el condensador y la otra mitad se
transforma en calor independientemente de la resistencia.
143