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Movimiento vibratorio
Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal
Vibraciones. Movimiento vibratorio
Oscilaciones
En el caso de un gallo que meta su cabeza en un
recipiente de vidrio vacío y cante de manera que por ello
se rompa el recipiente, habría que pagar el costo total.
EL TALMUD
En este capítulo volvemos al campo de la Dinámica, concretamente al estudio de las vibraciones y ondas.
Estos dos términos nos son familiares. La palabra vibración nos trae a la mente el punteado de una
cuerda de guitarra, el aleteo de un colibrí o la vibración casi silenciosa del áncora de un reloj.
Análogamente, la palabra onda nos hace pensar en las olas del mar o las ondulaciones en la superficie
de un estanque. A pesar de lo familiares que nos resultan estos términos, su importancia es nimia frente
al hecho de que la mayor parte de nuestro contacto con el mundo que nos rodea -todo lo que vemos y
oímos- nos llega a través de las vibraciones y ondas causantes de la visión y el sonido. Comenzaremos
nuestro estudio de las vibraciones y ondas con lo que constituye su fundamento: las oscilaciones.
Son múltiples los ejemplos de oscilaciones que conocemos: Las barquitas se mueven arriba y abajo, los
péndulos de los relojes oscilan a derecha e izquierda y las cuerdas y lengüetas de los instrumentos
musicales vibran. Otros ejemplos menos familiares son las oscilaciones de las moléculas del aire en una
onda sonora y las oscilaciones de corrientes eléctricas en circuitos de radios o televisores. La
característica más destacada del movimiento oscilatorio es que éste se repite. El tiempo que dura cada
repetición se denomina período. La oscilación se produce cuando perturbamos un sistema que está en
una posición de equilibrio estable.
En los movimientos oscilatorios o vibratorios, una partícula realiza un movimiento de vaivén con una
cierta amplitud en torno a una posición de equilibrio. La causa de que el objeto vibre es la aplicación de
una fuerza.
MOVIMIENTO ARMÓNICO
Entre los movimientos oscilatorios periódicos, el más importante y al mismo tiempo el más habitual es el
llamado movimiento armónico simple.
Ecuación del movimiento armónico simple
De todos los movimientos vibratorios que se dan en la naturaleza los más importantes son los armónicos
simples. Se llaman así porque se pueden expresar mediante funciones armónicas, como son el seno y el
coseno, de una sola variable.
x(t)=A sen wt
ó
x(t)=A cos wt
Nosotros utilizaremos la expresión:
x(t)=A sen wt
x: Recibe el nombre de elongación. Es la posición de la partícula vibrante en cualquier instante referida
a la posición de equilibrio. Se considera positiva hacia arriba o derecha y negativa hacia abajo o izquierda.
la elongación representa el desplazamiento que ha experimentado la partícula en el tiempo t.
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A: Amplitud. Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Esto ocurre cuando ha transcurrido un
cuarto de período, si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio.
Si la amplitud disminuye paulatinamente, decimos que el movimiento vibratorio es amortiguado.
T: Período. Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse. También se puede definir así: Período es
el tiempo que tarda el m.a.s. en realizar una vibración completa. Esto ocurre cuando la partícula pasa dos
veces consecutivas por la misma posición y en el mismo sentido del movimiento. El período es constante
para un movimiento vibratorio determinado aunque éste sea amortiguado.
f: Frecuencia. Es el número de vibraciones completas realizadas en un segundo. Representa la rapidez
con que tienen lugar las vibraciones. En el SI se mide en hertzios (Hz), en honor de Heinrich Hertz, quien
demostró por primera vez la existencia de las ondas de la radio.
Se mide en s-1, vibraciones/s, ciclos/s. De las definiciones de período y frecuencia se deduce:
f = 1/T.
w: velocidad angular: es la variación del ángulo descrito por unidad de tiempo. En sentido estricto
w
d
. En el caso que nos ocupa, ya que se trata de movimientos circulares uniformes, la w es
dt
constante. Se mide en radianes por segundo rad/s. Su relación con la frecuencia f es: w (rad/s)= 2πf y,
por tanto, su relación con el periodo: w (rad/s)= 2π/T
Para visualizar la ecuación del m.a.s. se puede considerar como la proyección de un movimiento circular
uniforme sobre el diámetro de la circunferencia.
Tomamos el punto O' como origen de! sistema de referencia.
Suponemos que la partícula que recorre la circunferencia se
encuentra en el punto O. Para t = O su proyección será el
centro de la circunferencia O'.
Cuando la partícula sobre la circunferencia va tomando las
sucesivas posiciones 1,2,3,...en el diámetro se obtienen las
posiciones correspondientes 1', 2', 3',...
Si observas la Figura 1. comprobarás que cuando se ha
recorrido un cuarto de vuelta, el tiempo transcurrido ha sido un
cuarto de período, y el movimiento vibratorio ha recorrido un
radio, que es el valor máximo del desplazamiento. Cuando
hemos recorrido la circunferencia completa, el tiempo
circular uniforme
transcurrido es de un período y en el diámetro se ha realizado
una vibración completa. A partir de ese instante, los dos movimientos se repiten.
Figura 1. El m.a.s. se obtiene
proyectando un movimiento
En la figura 2 vemos que a un desplazamiento angular θ = wt, realizado en el movimiento circular en el
tiempo t, corresponde un desplazamiento x en el diámetro, tal que:
x = A sen wt
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Si proyectamos sobre el diámetro vertical el desplazamiento
correspondiente, sería
x = A cos wt.
En la Figura 3 está representado el diagrama x-t de este movimiento.
En el caso de que empecemos a medir el tiempo a partir de la
posición P (se ha recorrido previamente un ángulo φ ) (Fig. 4), el
valor de x será:
Figura 2
x = A sen (wt + φ)
Ecuación general del m.a.s.
(wt + φ): Fase en cualquier instante. Su valor determina el estado
de vibración o fase del movimiento.
Figura 3
φ: Fase inicial o corrección de
fase. Su valor determina el estado
de vibración para t =0. En ese caso,
x = A senθ. Si empezamos a
contar el tiempo cuando la
partícula pasa por la posición de
equilibrio, resulta φ = 0.
Para los cálculos posteriores supondremos φ = 0.
Figura 4
Velocidad y aceleración del m.a.s.
Ya conoces la ecuación del movimiento armónico. Estudiamos a continuación su velocidad y su
aceleración instantáneas;
Velocidad del movimiento armónico simple
Recuerda que la velocidad instantánea de una partícula es la velocidad que posee dicha partícula en
cualquier instante o en cualquier punto de su trayectoria y se obtiene derivando respecto al tiempo la
ecuación del movimiento. En este caso se halla derivando la ecuación
x = A sen wt.
v  dx / dt  Aw cos wt  Aw 1  sen 2 wt  w A2  A2sen 2 wt  w A2  x 2
Para llegar a esta expresión se ha tenido en cuenta que
sen 2 wt  cos2 wt  1; cos 2 wt  1  sen 2 wt; cos wt 
1  sen 2 wt.
Resumiendo, hay dos expresiones para la velocidad instantánea:
v = Aw cos wt
v  w A2  x 2
en función del tiempo
en función de la posición
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En la Figura 5 se ha representado la gráfica de esta velocidad en función de t.
Figura 5. velocidad en función del tiempo en un movimiento
vibratorio
Consecuencias:
1. La velocidad del movimiento armónico es función periódica del tiempo.
2. Su valor depende de la posición de la partícula. Tiene el valor máximo en el centro de la trayectoria y
se anula en los extremos.
Aceleración del movimiento armónico
Recuerda que la aceleración se obtiene, en general, derivando la ecuación de la velocidad. Si derivamos
la función
v = Aw cos wt
a = dv/dt = -Aw2 sen wt
x = A sen wt
de donde a= -w2x
Consecuencias:
1. La aceleración también es periódica.
2. Su valor depende de la posición de la partícula. Es proporcional a la posición, pero de sentido
contrario a ella.
3. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la velocidad angular.
4. Es nula en el centro y máxima en los extremos.
5. Está desfasada θ/2 de la velocidad.
El movimiento armónico, pues, es retardado cuando la partícula vibrante se dirige hacia los extremos, y
acelerado cuando dicha partícula se mueve hacia el centro. Teniendo en cuenta esto, podemos dar otra
definición de movimiento armónico: es un movimiento rectilíneo cuya aceleración es proporcional a la
posición o elongación pero de sentido contrario.
La aceleración y la elongación tienen sentidos opuestos y sus módulos son proporcionales. Esta relación
sirve para identificar un sistema que tenga m.a.s.
De la gráfica de la Figura 6 se deduce que la aceleración está en fase con la elongación.
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Consecuencias:
1. La aceleración también es periódica.
2. Su valor depende de la posición de la partícula. Es proporcional a la posición, pero de sentido
contrario a ella.
3. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la velocidad angular.
4. Es nula en el centro y máxima en los extremos.
5. Está desfasada θ/2 de la velocidad.
El movimiento armónico, pues, es retardado cuando la partícula vibrante se dirige hacia los extremos, y
acelerado cuando dicha partícula se mueve hacia el centro. Teniendo en cuenta esto, podemos dar otra
definición de movimiento armónico: es un movimiento rectilíneo cuya aceleración es proporcional a la
posición o elongación pero de sentido contrario.
La aceleración y la elongación tienen sentidos opuestos y sus módulos son proporcionales. Esta relación
sirve para identificar un sistema que tenga m.a.s.
De la gráfica de la Figura 6 se deduce que la aceleración está en fase con la elongación.
Figura 6. aceleración en función del tiempo en un movimiento
vibratorio.
Resumen: ecuaciones del m.a.s y cinemática del movimiento
x = A sen wt
x = A sen (wt + φ)
v = Aw cos wt
v  w A2  x 2
a = -Aw2 sen wt
a= -w2x
V=0
-A
V=0
x=0
x =-A
V = - Aw
x=A
A
V = Aw
a = Aw2
a= 0
a = - Aw2
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Dinámica del movimiento armónico simple
1er caso: movimiento de un resorte
Hasta ahora, nuestro estudio del MAS se ha limitado a sus características cinemáticas. En este apartado
estudiaremos la dinámica y la energía del MAS, aplicadas a un ejemplo concreto de oscilador armónico
(sistema animado de MAS debido a la acción de una fuerza recuperadora).
A partir de la ecuación de la aceleración del MAS podemos calcular la fuerza que debe actuar sobre un
cuerpo o partícula de masa m a fin de que oscile con dicho movimiento.
Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica y sustituyendo en ella el valor de la aceleración del
MAS, tenemos:
F=ma
a = -w2 x
F = -m w2 x
Como m y w no varían, aparece una constante K (K= mw2), en el caso de los muelles, denominada
constante elástica o recuperadora:
F = -Kx
Esta expresión indica que en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él. Es decir,
se dirige siempre hacia el punto de equilibrio O, punto en el que se anula.
Conocemos esta fuerza porque aparece cuando deformamos un cuerpo elástico, por ejemplo, un resorte,
o cuando sacamos a la masa de un péndulo de su posición de equilibrio. La constante K es siempre
positiva y, cuanto mayor sea, mayor será la fuerza que atrae al móvil hacia la posición O de equilibrio.
La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a
la distancia a éste.
A partir de las expresiones anteriores podemos obtener las relaciones que ligan la velocidad angular y el
período de este movimiento con la masa m y la constante K.
mw 2 = K;
Y puesto que T = 2π/w,
recuperadora:
w = K/m
podemos calcular el período de un movimiento producido por una fuerza
w=2 f; f =
w
1
; f=
2
2
K / m : T  2 m / K
El período de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de su constante recuperadora y de su
masa, pero no depende de la amplitud del movimiento.
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Al aplicar una fuerza Fex en la dirección
del eje X, el cuerpo se desplaza de la
posición de equilibrio
Al cesar la Fex, el resorte comienza a
comprimirse, ya que ejerce una fuerza
recuperadora F opuesta al
desplazamiento. Ésta tiende siempre a
llevar al cuerpo a la posición de equilibrio
y produce en él una aceleración a.
Una vez sobrepasada la posición de
equilibrio, la fuerza recuperadora cambia
de sentido, aunque el cuerpo continúa
desplazándose hacia la izquierda.
F= ma
F= -Kxi m.a = -Kxi
a =-
K
xi
m
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DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DE UN MUELLE DESDE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO
x=0
x=A
F = - mAw2
A
V=0
a = - Aw2
V = - Aw
a = 0; F = 0
x= - A
F = mAw2
-A
V=0
a = + Aw2
V = Aw
a= 0 F=0
Fíjate que la aceleración, y por lo tanto la fuerza, dependen del desplazamiento pero de signo contrario.
En el caso de muelles que se encuentren situados verticalmente, es muy fácil determinar la constante del
muelle:
Al colgar sobre él una masa m, se calcula el alargamiento producido Δ y y puesto que F = - K y, la
constante del muelle K, será igual a la fuerza ejercida por el muelle -mg dividido por el desplazamiento:
-mg = - K Δ y;
K= mg/ Δ y
Esta ecuación es muy utilizada para calcular constantes K de los muelles.
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Δy
-mg
mg
2º caso: movimiento de un péndulo simple
Un ejemplo bien conocido de movimiento oscilatorio es el del péndulo. El movimiento de un péndulo será
armónico simple tan sólo si la amplitud del movimiento es pequeña. En la figura 8 se ha representado un
péndulo simple, el cual consiste en un hilo de longitud L y una lenteja de masa m. Las fuerzas que se
ejercen sobre la lenteja son su peso y la tensión del hilo. Cuando éste forma un ángulo θ con la vertical, el
peso tendrá una componente mg cos θ dirigida a lo largo del hilo y otra mg sen θ perpendicular a él.
θ
L
x = L sen θ
T
x
mg senθ
mg cosθ
mg
Figura 8
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Péndulo simple. Las fuerzas que se ejercen sobre la lenteja son su peso mg y la tensión T. La fuerza
perpendicular a la cuerda es:
-mg sen θ = - mg (x/L),
ya que x = L sen θ
En el caso de desplazamientos pequeños, el movimiento del péndulo es armónico simple
Si el ángulo θ es pequeño, la componente perpendicular al hilo estará dirigida aproximadamente en el
sentido negativo de la dirección x. La ley de Newton para el movimiento a lo largo del eje x nos da
entonces
Fx= max= -mg sen θ
En la figura vemos que sen θ = x/L. La aceleración, será por tanto
ax = -g sen θ = -g x/L = - (g/L) x
Vemos que en el caso de ángulos pequeños, la aceleración es proporcional al desplazamiento y de
sentido contrario. El movimiento será, por tanto, armónico simple. Como hemos visto anteriormente:
a = - w2 x
tenemos, por tanto, que:
w2 = g/L
La frecuencia:
(2 π f)2 = g/L;
f  1/ 2  g / L
El período del movimiento será, pues,
T  1/ f  2p L / g
Esto es coherente con la observación experimental de que al aumentar la longitud del péndulo aumenta
su período. Observemos que éste no depende de la masa. Ello se debe a que la fuerza recuperadora es
proporcional a la masa. La aceleración, a = F/m, será por tanto independiente de la masa. Notemos
también que la frecuencia y el período son independientes de la amplitud de vibración, lo que es una
característica general del movimiento armónico simple.
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RESUMEN DE
EQUILIBRIO
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DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DE UN PÉNDULO DESDE SU POSICIÓN DE
x máx > 0
v=0
a máx < 0; a = a = - w2 x
x máx < 0
v=0
a máx > 0
a = w2 x
F
- mg senθ
F
mg senθ
x =0
V = Aw;
V = - Aw
a = 0; F = 0
¿Qué pasa con la energía en los Movimientos Armónicos?
Como ya sabemos, para cualquier campo de fuerzas se cumple que:
W = ΔEc; W = Ecf - Eci
Es decir, el trabajo se invierte en incrementar la energía cinética.
Por otro lado, para campos de fuerza conservativos, sabemos que el trabajo es igual a la menos variación
de una función que depende del punto en el que se encuentre el sistema y no de la trayectoria. A esta
función, propia de campos de fuerzas conservativas se la denomina energía potencial. Dicho de otra
manera:
W = -ΔEp; W = Epi - Epf
Bien. Situémonos ahora en un campo de fuerzas conservativo (campo gravitatorio, campo electrostático,
campo de fuerzas de un muelle, etc..). Está claro que el trabajo realizado por dichas fuerzas ha de ser:
W = ΔEc ó W = -ΔEp
y ambos trabajos han de ser los mismos, es decir:
Que puesto de otra manera:
ΔEc = -ΔEp
Ecf - Eci = Epi - Epf
Eci + Epi = Ecf + Epf
Es decir, la energía mecánica se conserva, o se mantiene constante en todos los puntos del proceso.
1er caso: movimiento de un resorte
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Consideremos el caso de un resorte u oscilador mecánico.
Inicialmente se encuentra en una situación de equilibrio (x = 0). No actúa ninguna fuerza sobre el bloque
de masa m (P1). Seguidamente, se estira hasta un punto x = A mediante una fuerza externa (P2). El
muelle responderá a esta fuerza con otra de sentido contrario y valor F = - Kx. Si se suelta el bloque, por
efecto de la fuerza pasará por diferentes posiciones hasta alcanzar la antigua posición de equilibrio (P 3).
Seguirá avanzando hasta alcanzar una posición simétrica a P2, en x = -A; la posición de máxima
compresión (P4).
Situación inicial de equilibrio
Centro de coordenadas
x=0
m
F = - Kx
x=A
Ec = 0
Ep =
A
V=0
a = - Aw2
Ec = 1/2mv2
Ep = 0
V = - Aw
Ec = 0
Ep =
-A
x= - A
F = Aw2
V=0
a = + Aw2
Ec = 1/2mv2
Ep = 0
V = Aw
a= 0 F=0
Fíjate que la aceleración, y por lo tanto la fuerza, dependen del desplazamiento pero de signo contrario.
Energía cinética
La energía cinética de la masa m debida al movimiento es : Ec = 1/2 mv2
Esta energía está en función de la masa del objeto y del cuadrado de la velocidad.
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Hay otra forma de expresar la energía cinética de un oscilador mecánico. Demuestra que la energía
cinética Ec = 1/2 mv2 puede expresarse también como 1/2 K (A2 - x2).
Energía potencial elástica
Si la fuerza ejercida por un muelle obedece a la ley de Hooke: F(x) = -Kx, siendo x la deformación del
muelle, sabemos que el trabajo realizado por las fuerzas del muelle entre dos puntos A y B es:
WA-B =-Kx dx = 1/2 Kx2 = 1/2 K (x22 - x12)
Fíjate que el trabajo realizado por las fuerzas elásticas depende exclusivamente de los puntos x 2 y x1
¿qué quiere decir esto?
Ahora determinaremos la energía potencial elástica. Sabemos que WA-B = -ΔEp, es decir:
EpB - EpA = - WA-B
Si queremos determinar la energía potencial en un punto tendremos que establecer un sistema se
referencia (x = 0) en el cual su energía potencia sea cero EpA = 0. Así:
EpB - EpA = - WA-B = - -Kx dx = K x dx = 1/2 K x2
0
Ep = 1/2 K x2
Tomando como referencia la figura de la página anterior analiza los puntos dónde presenta máxima
energía cinética y mínima energía potencial, y viceversa.
Si tenemos presente el principio de conservación de la energía mecánica, en todo momento, la suma de
la energía cinética y potencial se ha de mantener constante
Eci + Epi = Ecf + Epf
a medida que la masa disminuye su energía potencial debe ir aumentando su energía cinética. Como
puedes comprobar, la máxima Ep la tiene en los extremos, cuando x = A. Progresivamente, va
disminuyendo x y, por tanto, su energía potencia, a la vez que incrementa su energía cinética; que será
máxima cuando x = 0. De nuevo, hacia la izquierda del eje de coordenadas, comienza a disminuir la
energía cinética y a aumentar la potencial. El proceso se repite indefinidamente a lo largo del movimiento
vibratorio.
Determina el valor de la suma de la energía cinética y potencial en cualquier instante del movimiento:
resultado (Em= 1/2 KA2)
Ejercicio 1: Se conecta a un resorte de constante elástica K=5,0 N/m un cuerpo de 200 g de masa que
puede oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Estirando el resorte se desplaza
el cuerpo 5 cm desde la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. Calcula:
a) El período del movimiento.
b) las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo.
c) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración.
d) la fuerza recuperadora cuando x = 0,05 m.
Ejercicio 2: Un cuerpo de 0,68 Kg se fija al extremo libre de un resorte de constante recuperadora K =
43,79 N/m. Colocamos el sistema sobre un plano horizontal y estiramos el cuerpo hasta 10 cm de la
posición de equilibrio y lo soltamos proporcionando un movimiento armónico. Calcula:
a) la velocidad máxima y la aceleración máxima del cuerpo
b) la velocidad, la aceleración, la energía cinética y la energía potencial del cuerpo cuando x = 5 cm.
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Ejercicio 3. Una masa de 2 kg cuelga de un resorte cuya constante elástica es k = 200 N/rn y puede
oscilar libremente sin rozamiento. Desplazamos la masa 10 cm de su posición de equilibrio y la soltamos
para que empiece a oscilar. Calcula:
a) La ecuación del movimiento de la masa.
b) El período del movimiento.
c) La velocidad y la aceleración máximas.
d) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra 5 cm por encima de la posición de equilibrio, la
aceleración de la masa en ese instante.
Ejercicio 4. De un muelle situado verticalmente se ha colgado un bloque de 5 kg, produciendo un
alargamiento de 18 cm. Más tarde el bloque se estira 7,5 cm más y se suelta.
Con estos datos calcula:
a) La constante elástica del muelle.
b) La amplitud del movimiento.
c) El período del movimiento.
d) La energía potencial elástica del muelle en el instante en que se deja el bloque en libertad.
Ejercicio 5. Una masa de 1 kg cuelga de un resorte. Si añadimos a la masa anterior otra de 500 g, el
resorte se alarga 2 cm. Al retirar la segunda masa, la primera empieza a oscilar. ¿Con qué frecuencia lo
hará?
Ejercicio 6. Un cuerpo de masa m está unido a un resorte horizontal de constante recuperadora K. que
oscila con MAS sobre una superficie horizontal sin rozamiento.
a) Determina el valor de su aceleración si: x = 0, x = A, x = - A.
b) Di para qué valores de x la aceleración es máxima.
Ejercicio 7. Un cuerpo unido a un resorte horizontal oscila con movimiento armónico simple sobre una
superficie horizontal sin rozamiento. Si se duplica la masa del cuerpo, ¿cómo variarán la frecuencia, la
frecuencia angular (w), el período, la velocidad máxima y la aceleración máxima?
Ejercicio 8. Un cuerpo de 200 g se sujeta al extremo libre de un resorte de constante recuperadora K= 25
N/m y se le hace oscilar verticalmente. Calcula:
a) la amplitud del movimiento,
b) b) el período.
Sol.: a) 0,08 m; b) 0,56 s
Ejercicio 9. Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de 2,0 kg en su extremo libre y se requiere una fuerza
de 8,0 N para mantenerlo a 20 cm del punto de equilibrio. Si el cuerpo realiza un MAS al soltarlo, halla:
a) la constante recuperadora del resorte,
b) b) el período de su oscilación.
Sol.: a) 40 N/rn: b) 1,4 s
Ejercicio 10. Calcula la constante recuperadora de un resorte sabiendo que, si se cuelga un cuerpo de
50 g del extremo libre del resorte y se le hace oscilar verticalmente, el período vale 1,5s.
Sol.: 0,88 N/m
Ejercicio 11. Un cuerpo de 2 kg colocado en el extremo de un muelle de constante recuperadora 65 N/rn
se estira 0,3 m desde su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. a) ¿Cuánto vale la energía
potencial inicial del cuerpo? b) ¿Qué velocidad máxima alcanzará éste?
Sol.: a)2,92J; b) ±1,7 m/s
Ejercicio 12. Un bloque de acero de 1 ,5 kg, sujeto a un resorte de constante K = 1,5 N/rn, efectúa un
MAS. Si su máxima rapidez es de ±3 m/s, calcula: a) la energía del bloque parado, b) la amplitud del
movimiento, c) la aceleración máxima.
Sol.: a) 6,75 J; b) 3 m; c) ±3 m/s
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Ejercicio 13. Disponemos de un muelle que se alarga 5 cm cuando se cuelga de él una masa de 1,0 kg.
Colocamos este muelle unido a una masa de 500 g sobre una rnesa horizontal sin rozamiento. La rnasa
se separa 3 cm de su posición de equilibrio y se deja vibrar sobre el eje horizontal. Calcula:
a) La constante de recuperación del resorte.
b) La energía potencial en el punto de máxima deformación.
c) La energía potencial y la cinética cuando x = 2 cm.
d) La velocidad en este punto.
Sol.:a)196 N/m,; b)0,088 J; c)Ep = 0,039 J, Ec = 0,049 J; d) 0,443 m/s
2er caso: movimiento de un péndulo
En el caso de un péndulo tenemos una situación similar al caso de un muelle.
En este proceso, es la fuerza gravitatoria la encargada de provocar la oscilación armónica entre los
puntos 1, 2, 3, 2, 1...
Como hemos visto con anterioridad, si colocamos la masa m en la posición 1, actúa una fuerza -mgsenθ
que hace que el objeto, con velocidad inicial cero, sea acelerado hasta conseguir una velocidad máxima
en 2. A partir de este punto la masa sufre una deceleración que la hace detener en el punto 3.
En una consideración energética, sobre el péndulo actúa la fuerza de la gravedad (fuerza conservativa)
por lo que la energía mecánica se conservará a lo largo de su movimiento.
θ
L
L
L cosθ
Ec =0
Ep = mgh
1
3
h =(L -L cosθ)
Ec =0
Ep = mgh
2
SR
Ec =0
Ep = mgh = mgL(1-cosθ)
Tomaremos un sistema de referencia de energías potenciales, al igual que hicimos con el muelle. En este
caso, consideraremos el origen de energías potenciales o sistema de referencia, en el punto más bajo de
la trayectoria del péndulo -punto 2-. De esta manera tendremos que en el punto 1 y 3 la energía potencial
gravitatoria que posee la masa del péndulo es : Ep = mgh, considerando h como la altura alcanzada por
la masa desde el sistema de referencia.
Al separar la masa m del péndulo un pequeño ángulo θ, adquiere una altura h respecto de la posición de
equilibrio. Esta altura h tiene un valor h = L(1-cos θ), tal como se puede apreciar en la figura. Su energía
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potencial gravitatoria es Ep = mgh = mg L(1-cos θ). En este punto de máxima altura, su energía cinética
es cero.
Al tratarse de un campo de fuerzas conservativo, y teniendo presente el principio de conservación de la
energía mecánica, en todo momento, la suma de la energía cinética y potencial se ha de mantener
constante:
Eci + Epi = Ecf + Epf
En el punto 1, su energía mecánica es la suma de la Ec + Ep = 0 + mg L(1-cos θ). Esta energía se
mantiene constante en todo el movimiento. Así, a medida que desciende en la oscilación, aumenta la
energía cinética y disminuye la potencia, manteniendo constante la energía mecánica. En el punto más
bajo, su energía mecánica será: Ec + Ep = ½ mv2 + 0;
Por lo tanto, aplicando el principio de conservación:
mg L(1-cos θ) = ½ mv2;
ecuación que nos permite determinar la velocidad en el punto más bajo: v  2L(1  cos )
Cuando comienza de nuevo la ascensión de la masa del péndulo, disminuye progresivamente la Ec y
aumenta la potencial, hasta llegar a su valor máximo Ep = mg L(1-cos θ) con Ec =0
Esta ecuación de conservación Eci + Epi = Ecf + Epf nos permite calcular la energía cinética y potencial
en cualquier instante.
Ejercicio. Un péndulo consta de un un hilo de longitud L = 1m al que se encuentra unida una masa
m = 10 g. Se saca a dicha masa de su posición de equilibrio y se coloca en un punto a 5 cm de altura.
Determina:
a) la velocidad que posee la masa cuando ha descendido 3 cm.
b) la velocidad en el punto más bajo de la trayectoria.
c) energía mecánica en un punto a 1 cm de la posición más baja de la trayectoria
d) fuerza que actúa sobre la masa en el punto de la cuestión a)
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