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EVLM, Guía del Profesor
Introducción
Durante la última década los avances en tecnología de la computación han tenido lugar con
una velocidad cada vez mayor. Estos avances se han originado en dos frentes: por un lado,
el precio de la tecnología informática se ha reducido significativamente, y por otro se ha
producido un aumento, igualmente significativo, de la potencia del hardware. Como
consecuencia de ello, la mayoría de los estudiantes de toda Europa, bien individualmente,
bien a través de su universidad, tienen acceso con una alta especialización al uso de los
ordenadores personales. Esto otorga oportunidades al profesorado en la introducción de
nuevas formas de enseñar a sus estudiantes. Estas nuevas oportunidades son
particularmente atractivas en matemáticas. Hay diferentes maneras en las que el poder de la
informática puede aprovecharse para mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas.
La primera es con respecto a la visualización. Muchos conceptos matemáticos son mucho
más accesibles y fácilmente comprensibles cuando se visualizan. Las capacidades gráficas
de los ordenadores facilitan el que esas visualizaciones se puedan presentar a los
estudiantes de una forma muy sencilla. Además, es relativamente fácil para los estudiantes
crear sus propias visualizaciones.
Una segunda ventaja es la posibilidad de eliminar distracciones cuando se maneja una gran
cantidad de información. Es evidente que a los alumnos a veces se les oscurece el
significado de los conceptos clave que están tratando de aprender, cuando tienen que
manipular demasiada información relacionada con ellos. Manejar la información puede
convertirse en el objetivo del alumno en lugar de la comprensión de los principios
matemáticos. Cuando se utiliza de manera eficaz, la tecnología puede eliminar esta
distracción y permite a los usuarios concentrarse en la comprensión de los conceptos.
Un tercer beneficio de utilizar la tecnología es que permite a los estudiantes hacer frente en
una escala mucho mayor (y por tanto, más realista) a los problemas. Sólo los estudiantes
más valientes tratarían de resolver seis ecuaciones lineales simultáneas armados sólo de
lápiz y papel. Pero, con la presencia de la tecnología de los ordenadores, un problema con
cien o más variables es un problema bastante habitual.
Estas tres prestaciones pueden realizarse, al menos hasta cierto punto, con el uso de
software estándar como la humilde hoja de cálculo. Por otra parte, sin embargo, hay una
gama de aplicaciones especializadas que utilizan la potencia de los ordenadores actuales
para presentar las matemáticas en una forma mucho más coherente. Esta Guía se centrará
en la introducción de aquellas que son relevantes para uso educativo. Muchos de estos
paquetes han sido diseñados específicamente con propósitos educativos. Otros paquetes
fueron diseñados originalmente para ser utilizados por matemáticos profesionales que
necesitan el apoyo de ordenadores con gran potencia simbólica o de manipulación a gran
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escala para realizar su trabajo. Aunque no estén específicamente diseñados con fines
educativos, estos paquetes pueden ser fácilmente integrados en los programas educativos.
En un mundo ideal, todos los profesores podrían tener acceso a todos los paquetes de
software matemático disponibles con el fin de hacer sus propias comparaciones. En la
práctica, aparte de los que se ofrecen para los desarrolladores de forma gratuita, es
económicamente viable utilizar sólo uno o dos.
Con el fin de proporcionar alguna orientación a los posibles usuarios, se analizan las
ventajas de unos cuantos paquetes de software y se dan breves ejemplos de sintaxis y
capturas de pantalla para presentar una prueba al lector.
El Capítulo 2 analiza el cambio en las competencias de los nuevos ingenieros a nivel
universitario, y porqué se debería hacer más hincapié en el uso de ordenadores para
demostrar conceptos matemáticos. Se utilizan algunas experiencias personales del autor
para sugerir cómo pueden añadirse algunas mejoras.
GEOGEBRA es un paquete de software libre interactivo disponible desde el año 2001. El
proyecto fue iniciado en la Universidad de Salzburgo por Markus Hohenwarter, y ahora
continúa en la Florida Atlantic University. El software ha recibido varios premios europeos
de excelencia. Escrito en Java está disponible en www.geogebra.org. Como su nombre
sugiere, GEOGEBRA está diseñado principalmente para la demostración de conceptos
geométricos y algebraicos, pero también puede ser utilizado para hallar derivadas e
integrales de funciones. Además de contar con la ventaja de ser libre, también es fácil de
utilizar, y permite a los usuarios contribuir con sus ideas y subir materiales al sitio web
GEOGEBRA. Hay una creciente comunidad de usuarios de GEOGEBRA que contribuye
regularmente a los recursos de su web. El Capítulo 3 conduce al lector a través de la
descarga, instalación y lanzamiento de los procedimientos de GEOGEBRA, introduciendo a
continuación los distintos botones de control de la barra de herramientas. El Capítulo 4
muestra el diseño de applets sencillos para producir líneas rectas y gráficos cuadráticos.
El paquete de álgebra DERIVE se desarrolló en la década de los años 70 y ha alcanzado una
fuerte posición en las escuelas de muchos países, especialmente en Austria. Aunque
DERIVE ha sido recientemente sustituido por TI-NSPIRE como la elección de software de
Texas Instruments para calculadoras gráficas, está todavía en uso en muchos colegios y
universidades. El origen de DERIVE se remonta a la década de los 70 y está basado en un
software de una empresa de Honolulu. La empresa fue adquirida por Texas Instruments en
1999 con el fin de integrar el software en su gama de calculadoras.
Aunque menos exhaustivo que los grandes paquetes de software como MAPLE, MATLAB y
MATHEMATICA, DERIVE es, sin embargo, capaz de llevar a cabo manipulaciones
algebraicas simbólicas y puede manejar factorizaciones de números grandes con facilidad.
De hecho, el que DERIVE sea un programa menos complejo que los antes mencionados,
puede ser una ventaja a la hora de utilizarlo para introducir conceptos de álgebra
computacional. El Capítulo 5 proporciona al lector una guía rápida de DERIVE, mostrando
su facilidad de uso y subrayando algunas de las muchas funciones disponibles. Se dan
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ejemplos del uso de sus posibilidades gráficas y de simplificación de expresiones racionales
algebraicas.
El Capítulo 6 introduce CÁLCULUS WIZ, un potente tutorial interactivo de cálculo.
CÁLCULUS WIZ utiliza la potencia de cálculo de MATHEMATICA para proporcionar un
software bastante extenso y relativamente barato para apoyar la enseñanza del cálculo en
niveles no universitarios. Esta edición es totalmente autónoma y viene con un motor de
matemáticas especialmente adaptado, basado en la tecnología de MATHEMATICA.
También basado en tecnología MATHEMATICA, MATHEMATICA EXPLORER combina
texto, gráficos y fórmulas con una interfaz tipo bloc de notas fácil de utilizar, que es
completamente interactivo, lo que hace al usuario partícipe activo de los conceptos
matemáticos. MATHEMATICA EXPLORER permite al usuario explorar acerca de muchas
cuestiones relativas a fenómenos físicos y abstractos interesantes y ampliar conocimientos
en computación y visualización. Se suministra también una base de datos que contiene
información biográfica sobre los matemáticos más importantes de la historia. Esto permite
a los profesores presentar las matemáticas como un conjunto de ideas elaboradas por
personas reales en un contexto histórico.
El Capítulo 6 presenta una breve introducción a ambos programas, CÁLCULUS WIZ y
MATHEMATICA EXPLORER, mostrando a través de una serie de capturas de pantalla la
facilidad de uso que es común a ambos paquetes de software.
MATHEMATICA CALCCENTER es un software de cálculo que combina potentes
capacidades computacionales con un sencillo e intuitivo interfaz de usuario. Cuesta menos
de la mitad del precio del paquete estándar de MATHEMATICA. La característica clave de
CALCCENTER es la 'INSTANTCALCULATOR', un método de cálculo basado en el mismo
tipo de especificación de una operación que MATHEMATICA. El aspecto más innovador de
la INSTANTCALCULATOR es que produce una salida para MATHEMATICA, que
normalmente es invisible para el usuario a menos que él o ella quieran mostrar la secuencia
de comandos resultante. A través de una combinación de capturas de pantalla y ejemplos
prácticos, el Capítulo 7 introduce las principales características de MATHEMATICA
CALCCENTER. Se ponen de relieve las principales diferencias entre MATHEMATICA
CALCCENTER y MATHEMATICA, lo que permite al lector decidir qué paquete es más
apropiado a sus necesidades.
MATHEMATICA es una muy potente herramienta matemática destinada a los profesionales
e investigadores matemáticos. Puede realizar una amplia gama de operaciones matemáticas,
muy por encima de lo que probablemente se requiera en estudios preuniversitarios. Como
consecuencia de ello, se trata de una costosa pieza de software. Sin embargo, hay una serie
de programas derivados de MATHEMATICA que operan de la misma manera que su
software paterno, pero con una capacidad más restringida y, por ende, con un precio más
asequible.
WEBMATHEMATICA añade cálculos interactivos y visualización de una página web
mediante la integración de MATHEMATICA con la última tecnología de servidores web.
Como tal, permite a los usuarios que no están familiarizados con MATHEMATICA llevar a
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cabo cálculos complejos sin necesidad de ningún conocimiento de los programas
informáticos. Los desarrolladores no tienen que preocuparse por la gestión de las sesiones y
la recuperación de errores. WEBMATHEMATICA se encarga de todos los aspectos del
desarrollo de la sesión, permitiendo a los desarrolladores de un sitio web concentrarse en
las soluciones, no en la implementación de los detalles.
El Capítulo 8 presenta un panorama completo de las capacidades de WEBMATHEMATICA,
lo que permite al lector que está desarrollando su propio sitio web tomar la decisión de si
quiere o no incorporarlo en su diseño. En el capítulo 9 se dan algunos ejemplos básicos que
son adecuados para un trabajo de aula, utilizando WEBMATHEMATICA.
Waterloo Maple es una empresa de software canadiense, con sede en Waterloo, Ontario. Su
producto más famoso es The Maple Computer Algebra System. MAPLE se ha convertido
en uno de los estándares de los Sistemas de Álgebra Computacional (CAS) y es una
herramienta habitual en muchas universidades de todo el mundo, así como en gran parte de
la industria y las finanzas. El Capítulo 10 proporciona una breve introducción a MAPLE,
que abarca ideas básicas y muestra su capacidad para trabajar con números racionales e
irracionales. Algunas capturas de pantalla ayudan al lector a familiarizarse con el uso de la
clásica hoja de trabajo.
El Capítulo 11 ofrece asesoramiento a los usuarios de los CAS sobre la mejor manera de
utilizar sus paquetes de software. Se supone ya alguna familiaridad con MAPLE y/o
MATHEMATICA, aunque el capítulo puede ser leído como un avance de cualquier paquete.
A pesar de abordar específicamente el problema de la enseñanza del cálculo en varias
variables, las ideas generales presentadas se pueden aplicar a cualquier supuesto en el que
se esté considerando el uso de los CAS.
MATLAB (abreviatura de Matrix Laboratory) es un paquete de software numérico.
Comercializado en un principio por The Maths Works en 1984, MATLAB ha pasado a ser
desde entonces uno de los paquetes matemáticos más populares, tanto en la educación
como en la industria, con más de un millón de usuarios.
MATLAB permite manipular matrices fácilmente, dibujar funciones y datos, la aplicación
de algoritmos, la creación de interfaces de usuario, y de interfaces con programas en otros
idiomas. A pesar de que se especializa en computación numérica, un conjunto opcional de
herramientas interactúa con el motor simbólico de Maple, lo que le permite formar parte de
un CAS completo. La última versión de MATLAB es R2008a, publicada el 1 de marzo de
2008. El Capítulo 12 proporciona una introducción a MATLAB mediante la demostración
de una serie de entradas de líneas de comandos con sus respectivas salidas, algunas de los
cuales producirán gráficos de funciones. Los ejemplos dados se basan en el álgebra
matricial, un área de las matemáticas para la que MATLAB es especialmente adecuado y
fácil de usar.
Durante muchos años la notación matemática ha sido difícil de reproducir de manera eficaz
en Internet. HTML ha utilizado la conversión de ecuaciones a imágenes que luego se
insertaban en los documentos en-línea. El resultado ha sido que durante muchos años,
cuando se imprimía la notación matemática así tratada, se reproducía a una resolución más
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baja en comparación con el entorno a imprimir. La reciente introducción de MATHML
(Mathematical Markup Language) ha mejorado radicalmente esta situación, ya que éste
permite la reproducción exacta de documentos matemáticos en Internet. El Capítulo 13
proporciona una introducción general a MATHML 2.0, subrayando las razones de dicha
introducción y el lenguaje utilizado. Para aquellos interesados en escribir sus propios
documentos en MATHML, el capítulo incluye varias tablas de elementos, funciones, etc, y
algunos ejemplos prácticos de creación de ecuaciones matemáticas.
Para aquellos autores que deseen publicar documentos matemáticos en línea usando
MATHML, pero que prefieren utilizar una propuesta más intuitiva con la apariencia del
editor de ecuaciones de Microsoft, SCIWRITER es una solución de bajo costo. SCIWRITER
permite al escritor producir elegantes documentos matemáticos de manera rápida y fácil
mediante el uso de una barra de herramientas matemáticas y/o el teclado. El Capítulo 14
muestra esta facilidad mediante capturas de pantalla, y también destaca la facilidad de
cortar y pegar las fórmulas escritas en SCIWRITER a MAPLE o MATHEMATICA.
MATHEMATICA fue concebido por Stephen Wolfram, desarrollado por un equipo dirigido
por él mismo, y se introdujo por primera vez en 1988. Comercializado por Wolfram
Research, la versión más reciente es la versión 6.0.2 a 25 de febrero de 2008.
MATHEMATICA es un Sistema de Álgebra Computacional que puede manejar a la vez
cálculos numéricos y simbólicos, pudiendo hacerlo como cualquier lenguaje que soporta, al
mismo tiempo, programación funcional y procedimental. MATHEMATICA tiene más de un
millón de usuarios en las principales universidades de todo el mundo. El Capítulo 15 da un
panorama general de las capacidades de MATHEMATICA, mostrando características tales
como gráficos y paletas. El Capítulo 16 introduce al lector en toda una serie de comandos
matemáticos disponibles, seguido de una serie de tutoriales que cubren las áreas de cálculo,
series y álgebra lineal. Los dos capítulos tienen por objeto proporcionar a los usuarios que
no están familiarizados con MATHEMATICA, una idea de la facilidad con que puede
utilizarse para la enseñanza de conceptos matemáticos complejos.
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