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SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 2008 MATERIA: FÍSICA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 2008 FÍSICA SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla OPCIÓN A 1. a) Explique las experiencias de Öersted y comente cómo las cargas en movimiento originan campos magnéticos. b) ¿En qué casos un campo magnético no ejerce ninguna fuerza sobre una partícula cargada? Razone la respuesta. Unidad: Acción del campo magnético en cargas móviles Conceptos: Campo magnético; fuerza sobre una carga en movimiento; Movimiento circular uniforme. Campo creado por una corriente rectilínea e indefinida. Ley de Biot-Savart RESPUESTAS: a) Las experiencias consistieron en disponer de una aguja imantada que pudiera girar en torno a un eje que pasa por su centro. Inicialmente, sobre la aguja sólo actúa el campo magnético terrestre de forma que ésta se orienta en la dirección Norte-Sur. Con la aguja en equilibrio, colocamos un tramo de conductor recto paralelo a la aguja. Un amperímetro conectado en serie con el conductor nos indicará cuando circula corriente por el mismo. En esta situación, si hacemos circular una corriente elevada por el conductor, del orden de 6 amperios, observamos que la aguja se desvía de su posición de equilibrio, oscilando en torno a las direcciones paralela y perpendicular al conductor. Al eliminar la corriente, la aguja vuelve a oscilar en torno a la dirección paralela al conductor (Norte-Sur) hasta que se detiene. Seguidamente se invierte el sentido de la corriente, observándose que ahora la aguja se desvía en sentido contrario. Podemos concluir que cuando circula corriente por el conductor sobre la aguja magnética actúan dos fuerzas, la fuerza debida al campo magnético terrestre y la fuerza originada por el campo magnético que el conductor crea en su entorno. A continuación se realiza un montaje en el que mediante imanes se contrarresta el campo magnético terrestre en la zona donde se encuentra situada la aguja magnética. Haciendo pasar nuevamente corriente por el conductor se observa que la aguja, afectada casi exclusivamente por la fuerza magnética que origina la corriente, oscila en torno a la dirección perpendicular al conductor. SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla El experimento de Oersted puso por primera vez de manifiesto que existía una conexión entre los fenómenos eléctricos y magnéticos. La publicación de este trabajo causó inmediatamente sensación, dando lugar a muchas interrogantes y estimulando un gran número de investigaciones. A partir de esta experiencia pudo revelarse la verdadera naturaleza del magnetismo, cuyo origen debe situarse en el movimiento de cargas eléctricas. Tomando como punto de partida el experimento de Oersted, a fines de 1820 se conocían las primeras leyes cuantitativas de la electrodinámica y hacia 1826 Ampère ultimaba una teoría que permaneció durante casi 50 años, hasta la formulación de la teoría electromagnética por Maxwell. Ampére repitió las experiencias de Öersted, estudiando las acciones entre corrientes (que permitió definir la unidad de intensidad de corriente con precisión) y formula matemáticamente la ley que rige dichas interacciones. Al mismo tiempo, Biot-Savat formulan la ley que lleva sus nombres y que permite calcular una campo magnético creado por una corriente eléctrica. Estas experiencias características: B permitieron determinar las siguientes El campo el perpendicular a la dirección de la corriente. Es directamente proporcional a la intensidad de corriente. Es inversamente proporcional a la distancia del conductor. 0 ·I ·u B , siendo u B un vector unitario perpendicular al vector 2 ·r unitario que contiene a la corriente “I” y al vector unitario que contiene la posición a la distancia “r”, es decir: u I u r . La ley de Biot-Savat puede obtenerse como integración de la llamada 2ª ley de Laplace. b) Toda partícula cargada, en movimiento, que penetra en una región donde existe una campo magnético uniforme, experimenta una fuerza que se determina por la expresión: F q·(v B) SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla En módulo sería: F=q·v·B·sin(α), siendo α el ángulo formado entre La dirección de la velocidad de la partícula cargada y la del campo magnético. Por lo tanto, para que no se observe fuerza magnética sobre una partícula cargada, ésta deberá seguir una dirección paralela al campo magnético, es decir: α=0º ó 180º. 2. a) Describa la estructura de un núcleo atómico y explique en qué se diferencian los isópotos de un elemento. b) Razone cómo se transforman los núcleos al emitir radiación alfa, beta y gamma. Unidad: Física nuclear. Conceptos: Número atómico; Número másico; Núclido-isótopo; Partícula α( 24 He 2 ). Transformaciones en las emisiones radiactivas naturales; RESPUESTAS: a) Para comprender la estructura del núcleo, la Física nuclear se basa en la medición de distintas propiedades de éste, como la carga, la masa, el radio. La masa y la carga eléctrica de los nucleones (partículas que forman parte del núcleo atómico), es decir, protones y neutrones. El número de protones de un átomo es su número atómico, Z El número de nucleones de un átomo se conoce como su número másico, A Si N es el número de neutrones: A=N+Z Cada elemento se caracteriza por su número atómico. Es decir, todos los átomos de un determinado elemento tienen el mismo valor Z. Sin embargo, pueden existir núcleos de un elemento que sean diferentes. Al ser del mismo elemento, tendrán el mismo número de protones, por lo que se diferenciarán en el número de neutrones. A estos átomos diferentes de un mismo elemento, se les denomina isópotos. b) Las radiaciones que emiten sustancias radiactivas naturales pueden ser de tres tipos, que se nombran con las tres primeras letras del alfabeto griego: alfa (α), beta (β) y gamma (γ). Las emisiones α son núcleos de helio-4 ( 24 He ). Su velocidad depende del núcleo que las emite, pero oscila entre un 5 y un 7,5% de la velocidad de la luz en el vacío. Son de corto alcance, puesto que son núcleos de helio, con dos cargas positivas que rápidamente toman electrones de otros átomos para convertirse en helio neutro. Su poder de ionización es muy elevado. En una transformación alfa el número SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla atómico del nuevo núcleo es dos unidades inferior al del núcleo de partida; el número másico disminuye en cuatro unidades. Las emisiones β son electrones (originados en una transformación del núcleo) con una velocidad que puede llegar a más del 90% de la velocidad de la luz. Estas emisiones, al ser los electrones más pequeños que las partículas alfa, tienen un poder de penetración muy superior a las alfa, aunque su poder de ionización es menor. La emisión de una partícula beta es el resultado de la interacción débil por la que un neutrón se transforma en un protón (que pertenece al núcleo) y en un electrón ( la partícula beta), que es emitido a gran velocidad, además se emite un antineutrino; el proceso que tiene lugar es: 1 0 n11p 10 e El antineutrino prácticamente no tiene masa y no tiene carga eléctrica; su emisión no afecta a la identidad (Z y A) de núclido-isótopo hijo. La radiación gamma es de tipo electromagnético, por lo que se propaga a la velocidad de la luz. Su longitud de onda (λ<10-10 m) es menor que la de los rayos X. Esta radiación es la más penetrante pero tiene la menor energía de ionización. El núcleo que emite radiación gamma se encuentra en un estado excitado, mediante la emisión de radiación gamma se desprende de parte de este exceso de energía. No se altera el número atómico ni el número másico del núcleo que las emite. 3. Los satélites meteorológicos son medio para obtener información sobre el estado del tiempo atmosférico. Uno de estos satélites, de 250 kg, gira alrededor de la Tierra a una altura de 1000 km en una órbita circular. a) Calcule la energía mecánica del satélite. b) Si disminuye el radio de la órbita, ¿aumentaría la energía potencial del satélite? Justifique la respuesta G=6,67·10-11 Nm2Kg-2; Rt=6400 km; Mt=6,0·1024 kg Unidad: Interacción gravitatoria. Conceptos: Fuerza gravitatoria; Fuerza central y conservativa: Energía potencial gravitatoria; Principio de conservación de la energía. Energía mecánica. RESPUESTAS: a) La energía mecánica es la suma de las energías que poseen un cuerpo. En este caso tan solo existen dos, la debida al movimiento –energía cinética- y la generada por el único campo existente, el gravitatorio, la energía potencial gravitatoria. SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos viene dada por la G·M expresión: F m· 2 , siendo un vector que tiene la dirección R radial y sentido hacia el centro del planeta. Sobre un cuerpo en órbita se ejerce esta fuerza que la haría caer hacia el planeta. Pero por el segundo principio de Newton esta fuerza ha de ser igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración que posea este cuerpo. Como se trata de un movimiento circular uniforme, el cuerpo tiene una aceleración central, puesto que se produce la variación de la dirección del vector velocidad en el tiempo. La dirección de esta aceleración también es radial y dirigida hacia el centro de curvatura. Luego: G·M t v2 luego los F m·ac m· 2 m· , r r cuerpos no caen a Tierra debido a la existencia de una aceleración central. Simplificando la última expresión, podremos deducir la velocidad orbital: G·M t . Por lo tanto, la expresión de v0 r la energía mecánica, será: G·M t 1 E m ·m s · r 2 2 G·M t ·ms r G·M t ·ms 2r Sustituyendo los datos, tendremos: Em G·M t ·ms 6,67·10 11 ·6,0·10 24 ·2,5·10 2 6,76·10 9 Julios 6 2r 7,4·10 b) El trabajo realizado por una fuerza central viene dado por la expresión: B G·m´·m G·m´·m W F ·d r C C ; W Ep g , nos indica que A rA rB el trabajo realizado no depende del camino seguido y sí de los puntos inicial y final de su trayectoria. Será, además, una fuerza conservativa. Si tomamos el origen de potencial un punto situado en el infinito, r= , el valor de C=0. G·m´·m G·m´·m > , luego la energía potencial Si rA > rB, entonces: r r A B gravitatoria disminuye. Estamos cayendo hacia el campo gravitatorio. SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla Por el principio de conservación de la energía, dado que estamos en regiones donde sólo existen una fuerza central y conservativa que es la debida al campo gravitatorio, la variación negativa de la energía potencial entre dos puntos se transforma íntegramente en variación de la energía cinética. Es decir: E c Ep g Por ello, si un cuerpo cae hacia regiones de menor potencial gravitatorio, hacia un planeta, el cuerpo experimenta un incremento de su energía cinética o de su velocidad. 4. Un teléfono móvil opera con ondas electromagnéticas de frecuencia f=9·108 Hz. a) Determine la longitud de onda y el número de ondas en el aire. b) Si la onda entra en un medio en el que su velocidad de propagación se reduce a 3c/4, razone qué valores tiene la frecuencia y la longitud de onda en ese medio y el índice de refracción del medio. c=3·108 m·s-1; naire=1 Unidad:Óptica Conceptos: longitud de onda; frecuencia; nº de ondas; velocidad de propagación; índice de refracción. RESPUESTAS: a) La velocidad de propagación se define como: v p T · f . Si la velocidad de propagación en el aire coincide con la del vacío –ondas electromagnéticas-, entonces: c · f 1 c . Sustituyendo: m 3 f Por otro lado, definimos el nº de ondas como la cantidad de ondas que hay en 2π. Lo expresamos como: k k 2 2 6 ·m 1 1 3 2 . Sustituyendo los datos: b) Cuando un movimiento ondulatorio penetra en una región con un índice de refracción dado, no se modifica la frecuencia de éste. Sin embargo, si lo hace la longitud de onda, debido a la variación de la velocidad de propagación. SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla 3 1 c v medio medio · f medio · medio m 4 4 El índice de refracción en un medio nos relaciona la velocidad en el vacio con la de propagación en un medio, por lo tanto: n c c 3c vp 4 4 3 OPCIÓN B 1. a) Principio de conservación de la energía mecánica. b) Desde el borde de un acantilado de altura “h” se deja caer libremente un cuerpo. ¿Cómo cambian sus energías cinética y potencial? Justifique la respuesta. Unidad: Interacción gravitatoria. Conceptos: Fuerza gravitatoria; Fuerza central y conservativa: Energías cinética y potencial gravitatoria; Principio de conservación de la energía. RESPUESTAS: a) Supongamos un cuerpo de masa “m” sometido a varios tipos de fuerzas: centrales, de rozamiento y constantes. Para calcular el trabajo total B r Wtotal Ftotal ·d r realizado por las fuerzas A F m·a , utilizamos la definición de trabajo entre dos puntos A y B a través del desplazamiento r , tendremos tres términos: SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla F constante, a lo largo de un desplazamiento r , aplicamos la expresión: Wcte Fcte ·r , que es la definición del producto escalar de dos vectores: Wcte F · r ·cos , siendo el ángulo formado por los cte vectores anteriores. Esta expresión nos indica que el módulo de la fuerza debe ser constante en todo el desplazamiento realizado por el cuerpo. El trabajo realizado por una fuerza central, como la gravitatoria, dividimos el desplazamiento r en infinitos desplazamientos ri , entre los que el módulo de la fuerza central no varía. Por lo tanto, podemos aplicar la expresión de W . Hemos calculado el trabajo Wi . Si repetimos este proceso para todos y cada uno de los infinitos desplazamientos: B G·m´·m G·m´·m Wc Fc ·d r C C ; Wc Ep g , nos indica A rA rB que el trabajo realizado no depende del camino seguido y sí de los puntos inicial y final de su trayectoria. Será, además, una fuerza conservativa. Si tomamos el origen de potencial un punto situado en el infinito, r= , el valor de C=0. En el caso de la fuerza de rozamiento, que como sabemos tiene la misma dirección pero sentido opuesto al desplazamiento, su módulo es constante en toda la trayectoria. Wr Fr · r ·cos ·m·g · r ·cos(180º ) ·m·g · r , luego, en este caso el valor del trabajo sí depende de la trayectoria, por lo que sería una fuerza no conservativa. Por lo tanto, el trabajo total realizado será la suma de estos tres términos: Wtotal Ep g ·m·g·r F · r ·cos cte B G·m´·m G·m´·m + Wtotal Ftotal ·d r A rA rB ·m·g·r ·cos(180º ) Fcte ·r ·cos m·a·r Este último término lo podemos desarrollar, recordando una de las expresiones del M.R.U.A., de la siguiente manera: SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla 2 2 1 m·v b m·v a 2 2 m·a·r m· v b v a · , a cada uno 2 2 2 de estos términos se les denomina energía cinética. Por lo tanto, el trabajo realizado por todas las fuerzas que se puedan aplicar sobre un cuerpo a través de un desplazamiento, generan una variación de la energía cinética. A esta expresión se la conoce como el teorema generalizado de la energía. Ec b Ec a Ep g ·m·g·r F cte · r ·cos Si no existiesen la fuerza de rozamiento y la constante, tendremos el principio de conservación: b) Supongamos un Ec Ep cuerpo de masa “m” que se deja caer 1 libremente vo 0ms , a una altura “h” respecto del suelo (que tomaremos como origen de potenciales). En este problema dicho cuerpo tan sólo está sometido a la atracción del campo gravitatorio –central y conservativo- y, además, no actúan fuerzas exteriores ni de rozamiento. Consideremos tres puntos de la trayectoria: (A) punto donde se deja caer el cuerpo; (B) punto situado a una altura “h1” de la trayectoria de caída; y (C) momento del impacto con el suelo. Punto(A).- La energía cinética es nula ( Ec A 0 )puesto que se deja caer el cuerpo. La energía potencial gravitatoria valdrá: Ep( A) mgh . Por lo tanto, la energía mecánica tendrá este mismo valor. Punto (B).- La energía potencial gravitatoria valdrá Ep( A) mgh1 , sabiendo que h>h1, como la energía mecánica se conserva: Ec Ep , Ec B Ec ( A) Ep A E p ( B) Ec B mg (h h1 ) >0 Punto (C).- En este momento la altura respecto al origen de coordenadas en nula, por lo que no existe la energía potencial gravitatoria y la cinética toma todo el valor de la mecánica: Ec (C ) Em , pudiéndose calcular la velocidad de impacto. “La energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma” SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla 1. Razone si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas: a) “Los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico se mueven con velocidades mayores a medida que aumenta la intensidad de la luz que incide sobre la superficie del metal”. b) “Cuando se ilumina la superficie de un metal con una radiación luminosa sólo se emiten electrones si la intensidad de luz es suficientemente grande”. Unidad: Introducción a la Física del siglo XX; Conceptos: Efecto fotoeléctrico; Dualidad onda-corpúsculo; Fotón; Trabajo de extracción; Constante de Planck. RESPUESTAS: a) En 1.905 Einstein interpreta el efecto fotoeléctrico como un fenómeno de partículas que chocan individualmente. Si el efecto fotoeléctrico tiene lugar es porque la absorción de un solo fotón por un electrón incrementa la energía de este en una cantidad h· . Algo de esta cantidad se gasta en separar al electrón del metal. Esa cantidad, W e -función trabajo-, varía de un metal a otro pero no depende de la energía del electrón. El resto está disponible para proporcionar energía cinética al electrón. Así pues: e e . En consecuencia, el balance energético nos lleva a: h· We Ec . Se comprueba que, la frecuencia umbral y la relación lineal entre la energía cinética del electrón, con respecto a la frecuencia, está contenida en esta expresión. La proporcionalidad entre la corriente y la intensidad de radiación puede ser entendida también en términos de fotones: una mayor intensidad de radiación emite más fotones y, por tanto, un número mayor de electrones pueden ser liberados. Pero no implica que aumenten su velocidad, que queda en función del trabajo de extracción (W e). Luego la afirmación es FALSA. b) Según la teoría ondulatoria, cualquier υ podría extraer electrones de un metal dependiendo sólo de la intensidad de este movimiento ondulatorio. La experiencia demostró que, para que se justificara este proceso, debíamos entender este fenómeno como un conjunto de corpúsculos dotados de energía proporcional a la frecuencia (υ). Además, la emisión de electrones se producía a partir de ciertos valores de frecuencia y no dependía de la intensidad de estos corpúsculos. Einstein encontró la relación entre la frecuencia de la radiación incidente y la energía cinética de los fotoelectrones emitidos (por ello, se le concedió el premio Nobel): SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla h· We Ec , siendo W e el llamado trabajo de extracción de los electrones, que indica la energía necesaria para que los electrones rompan los enlaces con sus núcleos. Este trabajo depende de cada material y existe una υmin para que se produzca el fenómeno fotoeléctrico. Conclusión: la afirmación es FALSA. 2. Una espira circular de 0,5 m. de radio está situada en una región en la que existe un campo magnético perpendicular a su plano, cuya intensidad varía de 0,3T a 0,4T en 0,12 s. a) Dibuje en un esquema la espira, el campo magnético y el sentido de la corriente inducida y explique sus características. b) Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira y razone cómo cambiaría dicha fuerza electromotriz si la intensidad del campo disminuyese en lugar de aumentar. Unidad: Inducción electromagnética. Conceptos: Flujo magnético; Ley de Henry-Faraday-Lenz RESPUESTAS: a) Integrando la 2ª Laplace para una espira, obtenemos la expresión ·I del campo magnético: B 0 ·u B , siendo u B un vector unitario 2R perpendicular al vector unitario que contiene a la corriente “I” y al vector unitario que contiene la posición a la distancia “R”, es decir: u I u r . Supongamos un sistema de referencia en el que los ejes XY están en el plano del papel y Z perpendicular a este. Supongamos que B está en el semieje positivo de Z y R en el semieje positivo de Y, entonces I, estará en l semieje negativo de X, lo que nos indica que la corriente tiene un sentido de circulación antihorario. Supongamos que B está en el semieje negativo de Z y R en el semieje positivo de Y, entonces I, estará en l semieje positivo de X, lo que nos indica que la corriente tiene un sentido de circulación horario. b) La fuerza electromotriz inducida (f.e.m.) viene dada por la expresión de Henry-Faraday-Lenz. Nos indica que la corriente inducida se opone a la variación del flujo de un campo magnético sobre una espira, es decir: d ; S.I. Voltios=Wb/sg. dt SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla B·S 0,1· 0,5 Entonces, a 0, la f.e.m. d 0,20· voltios<0, (C.C. negativa)luego a mayor dt incremento del flujo en el tiempo la f.e.m. aumenta en valor pero, su sentido de circulación, se opone a la variación de dicho flujo. 2 Sin embargo, si se produce una disminución del campo en la misma cantidad y en el mismo tiempo, resultaría una f.e.m. positiva del mismo valor. 3. En una cuerda tensa de 16 m. de longitud, con sus extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación: y ( x, t ) 0,02·sen 2 ·x ·cos(8 ·t ) 4 a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia. b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m. y 6 m. respectivamente de uno de los extremos y comente los resultados. Unidad: Movimiento ondulatorio. Conceptos: Características de un movimiento ondulatorio; ecuación de onda. Interferencia; ondas estacionarias. RESPUESTAS: a) La ecuación de onda dada corresponde a una onda estacionaria, generada por la superposición de dos ondas de igual frecuencia, amplitud y velocidad de propagación, pero con sentidos opuestos. Además, presenta un nodo en el punto x=0 y es de tipo transversal, puesto que sus puntos vibran perpendicularmente a la dirección de propagación: y(x,t) Por comparación con la ecuación general de una onda estacionaria con nodo en x=0: k 2 y ( x, t ) 2·A·sen(k ·x)·cos(w·t ) , deducimos que: 4 8 m, y, w 2 1 2 · f 8 f Hz T 4 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla b) Para calcular la velocidad de un punto de la cuerda –velocidad de fasederivamos la expresión dada respecto al tiempo: dy ( x, t ) 8 ·0,02·sen( ·x)·sen(8 ·t ) , sustituyendo los puntos dados, dt 4 tendremos: vf vf vf x4 x 6 dy ( x, t ) 8 ·0,02·sen( ·4)·sen(8 ·t ) 0 ms-1 dt 4 dy ( x, t ) 8 ·0,02·sen( ·6)·sen(8 ·t ) 0,041·sen(8 ·t ) ms-1 dt 4 Por lo tanto, el punto x=4 se encuentra en uno de los extremos de oscilación y, para x=6, se encuentra en sentido descendente de la oscilación, con un valor máximo de la velocidad en el origen de la oscilación de 0,041ms-1