Download Pendiente de una recta

Material de apoyo de Geometría Analítica
Profr. Carlos Justino Arévalo García
Es importante mencionar que es indistinto a cual punto elegir como punto 1, ya que la fórmula dará el mismo
resultado independientemente de eso. Recordar también que es indispensable respetar el signo de las
coordenadas al sustituir.
Ejercicio No. 3 (Con la conducción y apoyo directo de tu profesor). Calcula la distancia de forma analítica
entre el punto C (2,9) y el punto D (10,-4). Ubícalos en un plano cartesiano y traza la distancia. Elige primero al
punto C como punto 1 y realiza el cálculo, luego elige el punto D como punto 1 y repite el proceso. Compara
resultados.
Ejercicio No. 4 Si ubicamos los vértices de un triángulo en el plano cartesiano tendrían las siguientes
coordenadas:
A (-4,-6)
B (2,4)
C (-9,-3)
Traza el triángulo en un plano cartesiano y calcula la longitud de sus lados de forma analítica. Ahora utiliza tus
nuevos conocimientos de Trigonometría y demuestra que se trata de un triángulo rectángulo sin utilizar
transportador.
Ejercicio No. 5 Encuentra de forma analítica la longitud de los lados del triángulo formado por los vértices
ubicados en:
A(-2,-2)
B(3,-1)
C (-1,6)
¿Qué tipo de triángulo es de acuerdo a la longitud de sus lados y por qué? Trázalo.
Cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento de recta
Caso I. Segmento vertical
La coordenada en “x” es constante en
todos los puntos del segmento. Para
sacar la coordenada en “y” del punto
medio se hace un promedio de las
coordenadas en “y” de los puntos
extremos.
Caso 2. Segmento horizontal
La coordenada en el eje “y” es constante en todos
los puntos del segmento. Para sacar la coordenada
en “x” del punto medio se hace un promedio de las
coordenadas en “x” de los puntos extremos.
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Caso 3. Segmento inclinado
Ambas coordenadas cambian a lo largo de todo el
segmento, por lo tanto se hace un promedio para “x” y
uno para “y”.
Dado un segmento de recta con puntos extremos de coordenadas
conocidas se pueden calcular las coordenadas del punto que divide
al segmento en dos partes iguales llamado punto medio.
Para calcular la coordenada en “x” de dicho punto se suman las
coordenadas en “x” de los puntos extremos y el resultado se divide
entre 2; de forma análoga se hace para “y”. Se debe respetar el
signo de todas las coordenadas.
Fórmulas para obtener las coordenadas del punto medio (P) de un segmento de recta
de puntos extremos conocidos:
𝑥𝑃 =
𝑥1 +𝑥2
2
𝑦𝑃 =
𝑦1 +𝑦2
2
Donde:
xP, yP = coordenadas del punto medio del segmento
x1, y1 = coordenadas de uno de los puntos extremos
x2, y2 = coordenadas del otro punto extremo
Recordar que es indistinto cual tomar como punto 1, ya que se obtendrá el mismo
resultado independientemente de eso. Cuidar respetar los signos de las coordenadas.
Ejercicio No. 6. Retomando el ejercicio de la zona militar donde calculaste la longitud aproximada de cada
túnel del proyecto, se desea construir también un módulo de emergencia exactamente a la mitad de cada
túnel. Además, el arquitecto a cargo necesita dar un presupuesto exacto al gobierno de lo que costará la
construcción de todos los túneles, por lo cual no puede basarlo en un método gráfico de cálculo como
aprendiste a hacerlo hace algunas clases, ya que presenta muchos tipos de errores.
Por ello requiere de tu ayuda (remunerada) ahora que conoces un método analítico para hacer los cálculos de
forma exacta. Luego entonces:
1) Determina las coordenadas de cada módulo de emergencia y grafícalos en el plano que ya tenías
trazado (desarrolla los cálculos después del ejercicio No. 5).
2) Calcula la longitud exacta de cada túnel redondeada a dos decimales.
3) Determina el presupuesto del costo total de la obra sabiendo que cada kilómetro de túnel tiene un
costo de construcción de $35,000,000 y cada módulo de emergencia tiene un costo de $780,000.
Encierra tus resultados.
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La recta
La recta se define como la sucesión de puntos en una misma dirección. Una recta es infinita, a diferencia de un
segmento de recta que sí tiene puntos extremos.
Recta
Segmento de recta
Pendiente de una recta
Uno de los elementos importantes para poder trazar una recta en el plano es la pendiente de la misma. Dicha
pendiente está relacionada con el ángulo de inclinación de la recta. Este ángulo se forma tomando como su
lado inicial al eje “x” o una recta paralela al mismo y como lado final a la recta en cuestión. A este ángulo se le
llamará “α”.
Lado final del ángulo (siempre será la recta).
Ángulo de inclinación de la recta
α
Lado inicial del ángulo (siempre será
el eje “x” o una recta paralela al
mismo).
Para obtener la pendiente de una recta basta con calcular el valor de la tangente de su ángulo de inclinación; a
dicha pendiente se le llamará “m”, por lo tanto:
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛 ∝
Donde:
m = pendiente de la recta.
α = ángulo de inclinación de la recta.
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Suponiendo que la recta del gráfico anterior tuviera un ángulo de inclinación de 65°, entonces el valor de su
pendiente es:
𝑚 = tan 65 ≈ 2.14
Ejercicio No. 7. Obtén la pendiente de las rectas con los siguientes ángulos de inclinación. Traza las rectas con
la ayuda de un transportador de distintos colores en un mismo plano cartesiano. La posición de las mismas no
importa, lo único que requieren tus trazos es que se respeten los ángulos de inclinación mencionados para
cada una. Para cada recta traza también su ángulo de inclinación.
∝𝟏 = 𝟒𝟎°
∝𝟐 = 𝟏𝟑𝟓°
∝𝟑 = 𝟖𝟔°
∝𝟒 = 𝟏𝟔𝟓°
Del ejercicio anterior podemos concluir que cuando el ángulo de inclinación es menor de 90° la pendiente es
positiva y la recta estará inclinada hacia la derecha.
Por otro lado cuando el ángulo de inclinación es mayor de 90° y menor de 180° la pendiente es negativa y la
recta estará inclinada hacia la izquierda.
Ejercicio No. 8. ¿Qué pasa con el valor de la pendiente de una recta cuando su ángulo de inclinación vale 90°,
0° y 180°? Averígualo, traza esquemas sencillos de cada caso y reporta tus conclusiones.
Cuando una recta tiene un ángulo de inclinación de 90° su pendiente no está definida ya que la tangente de
90 grados no existe.
Por otro lado un ángulo de inclinación de 0° y 180° representan el mismo caso ya que en ambas situaciones las
rectas son horizontales y la pendiente vale 0.
Ejercicio No. 9. Calcula la pendiente de las rectas con ángulo de inclinación de 35° y 215° respectivamente.
Trázalas en un mismo plano. ¿Qué fenómeno ocurre? Reporta tus conclusiones.
Ambos ángulos hacen referencia a una misma inclinación, por consiguiente toda recta tiene asociados un
ángulo de inclinación mayor o igual a 180° y uno menor de 180°, por lo tanto es preferible siempre utilizar el
menor; para este ejercicio es mejor utilizar el ángulo de 35° para hacer referencia a dicha inclinación. Para 35°
y 215° las pendientes son iguales (m=0.70).
Conclusión: El ángulo de inclinación de una recta únicamente puede tomar los siguientes valores:
0° ≤∝< 180°
Cálculo de la pendiente de una recta conociendo dos puntos de la misma
Cuando se conocen al menos dos puntos de la recta se puede emplear otro método para calcular su
pendiente.
Con ambos puntos se puede formar un triángulo rectángulo como se muestra en la gráfica siguiente. El ángulo
de inclinación de la recta es el que se encuentra en la parte izquierda de dicho triángulo; por ello, en vez de
intentar calcular el valor de dicho ángulo para sacar su tangente y así obtener la pendiente de la recta, es más
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