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TRIÁNGULOS: Teoría y ejercitación
Un triángulo es un polígono de tres lados. Los tres lados de un triángulo determinan tres vértices,
que los nombramos con letras mayúsculas (A, B, C).
Los lados los designaremos con letras minúsculas (a, b, c).
Asociado a cada vértice tenemos un ángulo,
ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES
Un ángulo interior de un triángulo lo forman dos lados.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A + B + C = 180º
Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.
α = 180º - A
PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
Primera Propiedad: “La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º”.
Segunda Propiedad: “En un triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de los
otros dos”.
Observa que en todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos.
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados y los tres ángulos iguales.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Observa que el cuadrado grande, dibujado sobre la hipotenusa, contiene tantos cuadraditos como
entre los dos dibujados sobre los catetos.
¿Cuántos cuadrados componen el cuadrado grande?
25 = 52
¿Y los cuadrados más pequeños?
9 = 32
16 = 42
Observa que 52 = 32 + 42
Recuerda que en un triángulo rectángulo tenemos:
En un triángulo rectángulo los lados que forman ángulo recto se llaman CATETOS. El tercer lado,
que es el mayor, se llama HIPOTENUSA.
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos”.
a2 = b2 + c2 => a =
Observa como conociendo la hipotenusa y un cateto puedes obtener el otro:
c2 = a2 – b2 => c =
Aplicación del Teorema de Pitágoras.
Dado el triángulo: Calcula la longitud de la hipotenusa.
a2 = b2 + c2
a2 = 6 2 + 8 2
a2 = 36 + 64 = 100
lal=
cm = 10 cm
 a = 10 cm (no consideramos el valor negativo)
FIGURAS SEMEJANTES
Estas figuras son ampliaciones o reducciones de un mismo motivo. Es decir, conservan la FORMA
pero no el TAMAÑO. Las figuras que tienen la misma forma se llaman SEMEJANTES. Para que la
forma se conserve, la variación del tamaño no puede ser realizada de cualquier manera, las medidas
deben variar en forma PROPORCIONAL.
Por ejemplo, en la vaca la razón entre las medidas de las colas debe ser igual a la razón entre las
medidas de las cabezas. Si no se cumple con la condición de proporcionalidad, hay una “deformación
de la imagen.
Estas figuras no tienen la misma forma
pues las distintas medidas no se
modificaron proporcionalmente.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:
a) Todos sus lados son proporcionales
Vemos que los lados del ejemplo guardan la misma proporción:
Lado A / Lado A’ = 6 / 3 = 2
Lado B / Lado B’ = 6,4 / 3,4 = 2
Lado C / Lado C’ = 5 / 2,5 = 2
b) Tienen los tres ángulos iguales
Estos dos ángulos tienen los tres ángulos iguales.
c) Un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales
Estos dos ángulos tienen el ángulo C igual (30º) y los dos lados que se inician en dicho vértice son
proporcionales.
Lado A / Lado A’ = 8 / 4 = 2
Lado B / Lado B’ = 9 / 4,5 = 2
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:
a) Tienen un ángulo agudo igual y uno de los catetos proporcionales
En ambos triángulos un lado agudo mide 40º. Como el ángulo recto mide 90º, el otro ángulo agudo
tiene que medir 50º ya que en cualquier triángulo la suma de sus tres ángulos siempre es 180º.
Por lo tanto los tres ángulos son iguales, que ya vimos antes que era uno de los requisitos para que
dos triángulos fueran semejantes.
b) Tienen los dos lados catetos proporcionales
Lado A / Lado A’ = 4 / 2 = 2
Lado B / Lado B’ = 7 / 3,5 = 2
Al tener los dos lados catetos proporcionales, como el ángulo recto que forman mide 90º, cumple
uno de los requisitos que vimos para que dos triángulos fueran semejantes.
c) Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales
Lado A / Lado A’ = 8 / 6 = 1,33
Lado B / Lado B’ = 4 / 3 = 1,33
Aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de los catetos que desconocemos.
Calculamos su proporción:
Lado C / Lado C’ = 6,928 / 5,196 = 1,33
Luego todos los lados son proporcionales que vimos que era uno de los requisitos para
que dos triángulos fueran semejantes.
Más sobre el TEOREMA DE PITÁGORAS
Ejemplo 1
Ejemplo 2
¿Y si los catetos del triángulo midieran 1 y 2 cm, respectivamente?
Plantemos la ecuación y resolvemos:
c1 2  c2 2  h 2
12  22  h 2
 Acá tenemos una raíz cuadrada que no podemos “resolver” de forma exacta, porque
1  4  h 2 obtendríamos un número irracional. Entonces, en un caso como este, la hipotenusa
5  h2
5  h
mide
5 cm (como en el ejemplo anterior, no consideramos el caso negativo)
Ejercitación
1) Los lados de un triángulo miden 4 cm, 5 cm y 6 cm respectivamente. Averigua si ese triángulo es
rectángulo.
2) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. ¿Cuánto mide
el otro cateto?
3) El lado de un cuadrado mide 10 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?
4) Dos de los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm. Calcula cuánto mide su
hipotenusa y halla su perímetro y su área.
5) El lado mayor de un triángulo rectángulo mide 15 cm y uno de los dos lados menores mide 9 cm.
¿Cuánto mide el tercer lado?
6) Observa la figura. Si a = 10 cm, ¿cuánto mide el lado b?
7) Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la
pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
8) Calcula lo que mide la diagonal de un rectángulo sabiendo que uno de sus lados mide 8 cm y que su
perímetro es de 30 cm
9) Clasificar cada triángulo según sus lados y sus ángulos, y decidir cuáles son semejantes entre sí.
Realizá una figura de análisis de cada uno:
A)
B)
C)
D)
A = 90°, B = 40°
AB = 3 cm, BC = 4cm, B = 90°
AB = 6 cm, BC = 8 cm, B = 90°
B = 50°, C = 90°
E) AB = 1 cm, BC = 1 cm, AC = 2 cm, B = 90°
F) AB = 6cm, BC = 6 cm, AC = 7 cm, B = 30°
G) AB = 1 cm, BC = 3 cm, AC = 10 cm, B = 90°
H) AB = 30 cm, BC = 30 cm, AC = 35 cm, B = 30°
10)a) Determinar la medida de los lados de un par de triángulos rectángulos semejantes
b) Calcular la superficie de cada triángulo.
c) ¿Cuál es la razón de semejanza?
d) ¿Cuál es la razón entre sus superficies?
e) ¿Hay alguna relación entre el valor calculado en el punto d) y la razón de semejanza? Probá si tu
respuesta es correcta con otro par de triángulos rectángulos semejantes.
f) Si esa relación existe, ¿se aplicará para cualquier par de triángulos semejantes?
11) En la siguiente tabla figuran los nombres de cuatro triángulos y las medidas de sus lados:
Nombre
Medidas de los lados (en cm)
a) Decidir qué parejas de triángulos tienen
ABC
4,5
6
7,5
lados proporcionales
PQR
12,5
15
17,5
b)
En la tabla se aclara que la unidad de
DEF
15,6
20,8
26
longitud es el centímetro. ¿Influye esta
JKL
3
3,6
4,2
información en la respuesta anterior?
12) Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar:
a) Si se sabe que dos triángulos son congruentes, entonces se puede asegurar que son semejantes
b) Si se sabe que dos triángulos son semejantes, entonces se puede asegurar que son congruentes.
c) Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados de otro
triángulo, entonces se puede asegurar que los dos triángulos son semejantes.
13) El triángulo ABC, cuya área es de 54 cm2, es semejante al triángulo DEF. La razón entre AC y DF es
3 y AB mide 6 cm. Calcular el área de DEF.
14) La superficie del triángulo rectángulo ABC es 30 m2. La suma de sus catetos AB y BC es 17 m.
a) Plantear y resolver un sistema de ecuaciones para calcular la medida de AB y BC
b) ¿Es posible calcular la medida de la hipotenusa AC? De ser posible, calcularla.
c) DEF es semejante a ABC, cuya hipotenusa mide 26 m. Decidir si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Justificar:
I) DEF es un triángulo rectángulo
II) La suma de los catetos de DEF es 34 m, justamente el doble de la suma entre los catetos de ABC
III) No es posible determinar la medida de los catetos de DEF
IV) La razón de semejanza es 13.
15) Dada la figura:
Responder, justificando la respuesta:
a) ¿Los triángulos ABD y ACE son semejantes?
¿Por qué?
b) Determinar la fórmula de la recta que pasa
por los puntos A, D y E
c) Sean los puntos F = (3,0) y G = (3,6). El
triángulo AFG, ¿sería semejante a los
anteriores?
d) Si la fórmula de la recta que pasa por A, D y E
fuera y = 3x, ¿cómo tendrían que ser las
coordenadas de los puntos D y E para que los
triángulos fueran semejantes?
Respuestas de la ejercitación
1) No es rectángulo, pues no cumple el Teorema de Pitágoras 2) Mide 12 cm
3) √200 cm
4) La hipotenusa mide 17 cm, el perímetro es de 40 cm, la superficie es 60 cm2.
5) Mide 12 cm
6) Mide √200 cm 7) La altura es de 8 m.
8) Mide 17 cm
9) A semejante con D, B semejante con C, F semejante con H
A) rectángulo y escaleno
B) rectángulo y escaleno C) rectángulo y escaleno
D) rectángulo y escaleno
E) rectángulo e isósceles F) acutángulo e isósceles
G) rectángulo y escaleno
H) acutángulo e isósceles
10) a) Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo, un triángulo ABC cuyos lados midan 3, 4 y 5 cm, y otro (DEF) cuyos lados
midan 9, 12 y 15 cm.
b) La superficie de ABC es de 6 cm2, y de DEF es 54 cm2.
c) La razón de semejanza en ese caso es 3
d) La superficie de DEF es 9 veces la de ABC
e) La razón entre las superficies es el cuadrado de la razón de semejanza (32 = 9). Si la razón de semejanza fuera 4, la
superficie de DEF sería 16 veces la de ABC, por ejemplo.
f) Esto aplica para todos los pares de triángulos semejantes.
11) a) ABC y DEF, PQR y JKL
b) Esto no influye
12) a) V, pues tendrían los mismos lados y ángulos
b) F, pues no podemos asegurar que los lados sean congruentes
c) V, pues cumple con uno de los criterios de semejanza. De hecho, esa proporción sería la razón de semejanza
13) El área es 6 cm. 14) a) AB y BC miden 5 y 12 cm respectivamente
b) Es 13 cm
c) I)V II) V III) F IV) F
15) a) Son semejantes
b) y = 2x
c) Sí, sería semejante
d) D = (1,3)
E = (2,6)