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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CIRCUITOS ELECTRICOS II.
Unidad 1. RESPUESTA ESTACIONARIA DE CIRCUITOS SIMPLES CON EXCITACIONES
SINUSOIDALES POR EL MÉTODO FASORIAL.
Números complejos
Los números complejos son una extensión de los números reales. Los números complejos incluyen
todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede
representarse como la suma de un número real y un número complejo.
En matemáticas, pueden ser considerados como puntos del plano: el plano complejo.
Representaciones
𝑨 = 𝐴𝑒 𝑗𝜃 : 𝐸𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙.
𝑨 = 𝐴∠𝜃: 𝐸𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟.
𝑨 = 𝐴 cos 𝜃 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 ∶ 𝐸𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟.
Donde :
𝑨: Número complejo. (En negrilla)
𝐴: Magnitud del número complejo (|A| = A).
𝜃: Ángulo barrido desde el eje real positivo.
𝑗: Componente unitaria del eje complejo.
PROPIEDADES UTILES DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sea 𝑨 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 ; 𝑩 = 𝑎2 + 𝑗𝑏2
Como pasar de rectangular a forma polar.
𝑏1
𝑨 = √𝑎12 + 𝑏12 ∠ arctan ( ) = 𝐴∠𝜃𝐴
𝑎1
Como pasar de polar a rectangular
Si 𝑨 = 𝐴∠𝜃𝐴
𝑨 = 𝐴 cos(𝜃) + 𝑗𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜃)
NOTA: Debe fijarse en el cuadrante para
verificar el ángulo correcto.
Suma de complejos:
Propiedad del índice complejo.
𝑪 = 𝑨 + 𝑩 = (𝑎1 + 𝑗𝑏1 ) + (𝑎2 + 𝑗𝑏2 )
1∠90 = 𝑗
𝑪 = (𝑎1 + 𝑎2 ) + 𝑗(𝑏1 + 𝑏2 )
𝑗 ∗ 𝑗 = −1
1∠90 ∗ 1∠90 = 1∠180 = −1∠0 = −1
Multiplicación de números complejos:
𝑪 = 𝑨 ∗ 𝑩 = (𝐴∠𝜃𝐴 )(𝐵∠𝜃𝐵 )
𝑪 = (𝐴. 𝐵)∠(𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 ) = 𝐶∠𝜃𝐶
Conjugado de un número complejo:
𝑨∗ = (𝐴∠𝜃𝐴 )∗ = 𝐴∠−𝜃𝐴
𝑨∗ = (𝑎1 + 𝑗𝑏1 )∗ = 𝑎1 − 𝑗𝑏1
1
= −𝑗
𝑗
División de números complejos
𝑪=
𝑨 (𝐴∠𝜃𝐴 )
𝐴
=
= ( ) ∠(𝜃𝐴 − 𝜃𝐵 ) = 𝐶∠𝜃𝐶
𝑩 (𝐵∠𝜃𝐵 )
𝐵
Negativo de un número complejo
Si 𝑨 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1
Entonces (– 𝑨) = − 𝑎1 − 𝑗𝑏1
Si 𝑨 = 𝐴∠𝜃𝐴
Entonces (– 𝑨) = −𝐴∠𝜃𝐴 = 𝐴∠(𝜃𝐴 ± 180)
PROPIEDADES TRIGONOMETRICAS UTILES
cos(𝜃 ± 180) = − 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
cos(𝜃 ± 90) = ∓ 𝑠𝑒𝑛 (𝜃)
sen(𝜃 ± 180) = − 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
sen(𝜃 ± 90) = ± 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝐵
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝐶𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃); 𝐶 = √𝐴2 + 𝐵 2 ; 𝜃 = atan ( )
𝐴
Consejo: Cuando se suman o se restan es mejor tenerlos en rectangular.
Cuando se multiplican o dividen es mejor tenerlos en polar.
Ejemplo 01: Sea 𝑨 = 3∠10𝑜 ; 𝑩 = 2∠ − 30𝑜 ; 𝑪 = 3 + 2𝑗
a) Hallar 𝑫 = 𝑨 + 𝑩 ∗ 𝑪
Desarrollo:
𝑫 = 𝑨 + 𝑩 ∗ 𝑪 = 3∠10𝑜 + (2∠ − 30𝑜 ) ∗ (3 + 2𝑗) = 3∠10𝑜 + (2∠ − 30𝑜 ) ∗ (3.6∠33.7)
= 3∠10𝑜 + 2 ∗ 3.6∠(−30𝑜 + 33.7) = 3∠10𝑜 + 7.2∠ − 3.7𝑜
3 cos(10) + 𝑗3 sen(10) + 7.2 cos(−3.7𝑜 ) + 𝑗7.2 sen(−3.7𝑜 )
= 2.95 + 0.52𝑗 + 7.18 + 𝑗0.46 = (2.95 + 7.18) + 𝑗(0.52 + 0.46) = 10.13 + 𝑗0.98
b) Hallar 𝑬 = 𝑐𝑜𝑛𝑗(𝑫) = 𝑫∗
Desarrollo:
𝑬 = 𝑫∗ = (10.13 + 𝑗0.98)∗ = 10.13 − 𝑗0.98
Ejemplo 02: Sea 𝑽 = 3∠10𝑜 ; 𝑰 = 2∠ − 30𝑜 ; 𝒁 = 3 + 2𝑗
Hallar: 𝑰𝒙 =
𝑽
𝒁
+ 𝑰 ∗ 𝑗2
Desarrollo:
𝑰𝒙 =
𝑽
3∠100
3∠100
+ 𝑰 ∗ 𝑗2 =
+ (2∠ − 30𝑜 ) ∗ 𝑗2 =
+ (2∠ − 30𝑜 ) ∗ (2∠90𝑜 )
𝒁
3 + 𝑗2
(3.6∠33.7𝑜 )
𝑰𝒙 = (
3
) ∠(10 − 33.7) + (2 ∗ 2)∠(−30 + 90) = 0.83∠ − 23.7 + 4∠60 = 4.17∠48.6°
3.6
Ejemplo 03: Sea 𝑥(𝑡) = −5 sen(100𝑡 − 50).
Exprese 𝑥(𝑡) en forma de una función coseno.
Desarrollo:
Utilizando la identidad trigonométrica: cos(𝜃 ± 90) = ∓ 𝑠𝑒𝑛 (𝜃)
Si se tiene una función (-seno), y se desea una función +coseno, entonces se suma 90.
Entonces: 𝑥(𝑡) = 5 cos(100𝑡 − 50 + 90) = 5cos(100𝑡 + 40)
SISTEMA DE ECUACIONES COMPLEJO DE PRIMER ORDEN
Las variables y los términos de la ecuación pueden ser complejos.
Ejemplo 01: Determine: 𝑰𝑨 𝒆 𝑰𝑩.
(1 + 𝑗0.5)𝑰𝑨 + 2𝑗𝑰𝑩 = 2
2𝑗𝑰𝑨 − (3 − 1𝑗)𝑰𝑩 = 0
Desarrollo: Se puede usar cualquier método de solución de ecuaciones lineales.
Usando el método de Cramer.
2
2𝑗
|
|
−2 ∗ (3 − 1𝑗)
−6 + 2𝑗
0 − (3 − 𝑗)
𝑰𝑨 =
=
=
= −8 − 4𝑗
(1 + 0.5𝑗)
2𝑗
−(1 + 0.5𝑗) ∗ (3 − 1𝑗) − (−4) 0.5 − 0.5𝑗
|
|
2𝑗
− (3 − 𝑗1)
(1 + 0.5𝑗) 2
|
−4𝑗
−4𝑗
2𝑗
0
𝑰𝑩 =
=
=
= 4 − 4𝑗
(1 + 0.5𝑗)
2𝑗
−(1 + 0.5𝑗) ∗ (3 − 1𝑗) − (−4) 0.5 − 0.5𝑗
|
|
2𝑗
− (3 − 𝑗)
|
O en forma matricial:
Sea 𝑨 = [
(1 + 0.5𝑗)
2𝑗
−8 − 4𝑗
𝑰
2𝑗
2
] ; 𝒃 = [ ] ; 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 [ 𝑨 ] = 𝒊𝒏𝒗(𝑨) ∗ 𝒃 = [
]
𝑰
4 − 4𝑗
− (3 − 𝑗1)
0
𝑩
Ejercicio propuesto 01: Determine: 𝑽𝒂 𝑦 𝑽𝒃 .
(0.5 + 2𝑗)𝑽𝒂 + 3𝑗𝑽𝒃 = 2 + 𝑗
3𝑗𝑽𝒂 + (5 − 2𝑗)𝑽𝒃 = 0
Solución:
[
0.607 − 0.288𝑗
𝑽𝒂
]= [
]𝑉
𝑽𝒃
−0.023 − 0.373𝑗
Ejercicio propuesto 02: Determine: 𝑰𝟏 𝑦 𝑰𝟐 .
8 + 𝑗8
𝑗2
𝑰
𝑗50
[
] [ 𝟏] = [
]
𝑗2
4 − 4𝑗 𝑰𝟐
−𝑗30
Solución:
𝑰
3.6∠550
[ 𝟏] = [
]
𝑰𝟐
6.12∠ − 35.220