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Departamento de Ciencias. Área de Física
Apuntes :Movimiento circular
Fecha
30
07 2013
Prof.: A. Suárez.L C.Severino. C
Curso: 3°C. Mat
mv2
F
R
1
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Estamos rodeados por objetos que describen movimientos circulares: un disco compacto durante su
reproducción en el equipo de música, las manecillas de un reloj o las ruedas de una motocicleta son ejemplos de
movimientos circulares; es decir, de cuerpos que se mueven describiendo una circunferencia.
¿Qué entendemos por movimiento circular uniforme?
La trayectoria que describe el móvil es circunferencial y la describe con rapidez constante.
¿Por qué este movimiento es periódico?
Porque realiza un mismo número de vueltas o revoluciones en una unidad de tiempo.
Tiene asociada una frecuencia ( f ):
f= (n° de vueltas) / (unidad de tiempo)
Unidad: 1 vuelta/s = 1 s-1 =1 rps
rps: revoluciones por segundo
También se utilizan las rpm (revoluciones por minuto)
Se define Período (T), el tiempo que demora el cuerpo en realizar una vuelta o una revolución.
Unidad: en el (SI), el seg (s)
También se pueden utilizar otras unidades: min, horas, años, etc
¿Cómo se relaciona la frecuencia y el período para un mismo movimiento?
f y T son valores recíprocos, es decir
Ejemplo :
Tf  1
a.- Si el período se duplica, la frecuencia disminuye a la mitad
b.- Si el período disminuye a la cuarta parte, la frecuencia se cuadruplica.
2
¿Qué rapideces se asocian a este movimiento?
En este movimiento, arcos iguales se recorren en tiempos iguales. El concepto de arco tiene dos caras igualmente
válidas: puede ser una medida lineal (cm, metros, etc.) o también puede ser una medida angular (grados,
radianes,etc.). Debido a esta dualidad, es necesario definir dos tipos de rapideces:
Rapidez, lineal, tangencial o circunferencial (v)
Es el cuociente entre la longitud de arco y el tiempo empleado:
v
arco (longitud )
tiempo
Una vuelta en longitud equivale a 2ΠR (R:radio de órbita)y se describe en un tiempo de un período T, luego
v
2R
T
Unidad: m/s, Km/h, Km/min, etc.
Rapidez angular (ω)
Es el cuociente entre la medida angular del arco y el tiempo empleado:

arco(ángulo )
tiempo
Una vuelta equivale 2 Π radianes para un tiempo de un período T, luego

2
T
Unidad: rad/s *** El radián no posee dimensiones físicas.
¿Qué relación existe entre la rapidez lineal y angular?
v  R

v es directamente proporcional a ω si R es constante.
3
Pregunta conceptual: Un disco describe un MCU en torno a O y sobre él se ubican tres alfileres,
P ,Q y R, como lo muestra la figura.
Compare el período, la frecuencia, la rapidez angular y lineal de los tres alfileres.
Solución: Como los tres alfileres está fijos en el disco poseen el mismo período y la misma frecuencia.
En el mismo tiempo los tres alfileres describen el mismo ángulo del centro, luego sus rapideces angulares son
iguales. Como la rapidez líneal depende de la distancia al centro(r:. radio de órbita).
El alfiler de mayor rapidez lineal es R y el de menor es Q.
¿Con qué mecanismos podemos transmitir movimiento circular?
01) Ruedas con diferentes radios, conectadas por una cuerda de transmisión.
- Todos los puntos periféricos de ambas ruedas
se mueven con la misma rapidez tangencial,
ya que el punto A de la cuerda se mueve con
rapidez constante.
- La rapidez angular de ambas ruedas es
diferente. Los radios son inversamente
proporcionales a sus frecuencias, es decir el
disco de menor radio posee mayor rapidez
angular.
- Ambas ruedas giran en el mismo sentido.
02) Engranaje simple.
- Si la rueda pequeña gira en sentido
horario, la rueda grande gira en sentido
contrario.
- Las relaciones del dibujo anterior,
también son válidas para esta situación.
03) Ruedas con eje fijo.
- Ambas ruedas giran en el mismo sentido.
- Ambos ruedas se mueven con la misma rapidez
angular, ya que describen el mismo número de
vueltas por unidad de tiempo.
- Los puntos periféricos de ambas ruedas poseen
diferente rapidez tangencial. Un punto periférico de
A se mueve con mayor rapidez que un punto
periférico de B porque posee mayor radio.
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¿Qué papel desempeña la aceleración centrípeta en el MCU?
El MCU es un movimiento acelerado, porque el vector velocidad cambia en dirección.
El vector aceleración como es perpendicular al vector velocidad lineal, sólo altera su dirección, pero no su
módulo.
¿Cómo se calcula la aceleración centrípeta a c?
Mediante semejanza de triángulos se puede probar la expresión
v2
ac 
  2r
r
Unidad: m/s2
También, Km/h2 , m/min2 , etc.
Considerando esta relación en ambas ecuaciones
a) La aceleración es inversamente proporcional al radio de giro, si la rapidez v es constante.
b) La aceleración es directamente proporcional al radio de giro, si la rapidez angular es constante.
c) El vector aceleración centrípeta cambia de dirección y solo mantiene su módulo.
¿Cómo se representa gráficamente los vectores velocidad lineal, velocidad angular y aceleración
centrípeta?
a. El vector velocidad tangencial, es un vector tangente a la circunferencia.
b. El vector velocidad angular, es un vector perpendicular al plano de giro y se ubica en
el centro de giro, su sentido está dado por la regla de la mano derecha o tirabuzón de
Maxwell.
5
En la figura el cuerpo gira en sentido horario:
El vector velocidad lineal es tangente a la
curva en el punto. Perpendicular al radio de
contacto en el punto.
 La aceleración centrípeta apunta hacia el
centro de la circunferencia y es
perpendicular al vector velocidad lineal.
¿Por qué se produce una aceleración centrípeta en un MCU?
Si existe aceleración centrípeta en un MCU, entonces debe actuar una fuerza neta en la misma dirección y sentido
que ac, dada por la expresión F=ma (ecuación fundamental de la mecánica).
mv2
F
 m 2r
r
Esta fuerza es radial y provoca sólo cambio en la
dirección del vector velocidad lineal.
Unidad: Si m se expresa en Kg, v en m/s y r en m, entonces la fuerza centrípeta se expresa en
Newton.
Ejemplos: de fuerza centrípeta
01) Auto tomando una curva con rapidez constante. La fuerza normal ( n ) y el peso mg son fuerzas
verticales que se anulan. Sólo queda actuando la fuerza de roce estática máxima, que es la
responsable de proporcionar la fuerza centrípeta necesaria para que el vehículo tome la curva.
Se puede demostrar que
𝑽 = √𝝁𝒈𝒓
Donde v es la rapidez lineal, μ es el coeficiente de roce estático, g la aceleración de gravedad
y r es el radio de órbita.
6
02) Péndulo cónico: la masa se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante.
Si no existe roce, las fuerzas que
actúan sobre la masa son su peso
mg y la tensión T en la cuerda.
La suma vectorial de ambas fuerzas
proporciona la fuerza centrípeta (Fc).
03) Auto tomando una cuerva peraltada con rapidez constante.
Suponemos que no existe roce con la carretera.
En este caso la fuerza normal ( n ) es de mayor
magnitud que la fuerza peso ( mg ).
La fuerza centrípeta corresponde a la fuerza
resultante de ambas fuerzas, y coincide
numéricamente con la componente horizontal de la
normal.
Se puede demostrar que si no existe roce con la
carretera
tgΘ = v2/r
Donde Θ es el ángulo de peralte, v la rapidez tangencial y r el radio de órbita.
04) Satélite orbitando en torno a la Tierra con rapidez
constante.
La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza
gravitacional que el planeta ejerce ( Fg ).
Esta fuerza juega el papel de fuerza centrípeta.
Conclusión: La fuerza centrípeta corresponde a la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo en el
sentido radial (apunta al centro) del movimiento .
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¿Existe la fuerza centrífuga?
En la Dinámica existen dos tipos de sistemas de referencia: los sistemas inerciales y los sistemas no inerciales.
a) Un sistema es inercial cuando está en reposo o tiene movimiento rectilíneo uniforme. Para un sistema
inercial son válidas las leyes de Newton. En un sistema inercial solamente producen aceleración las
fuerzas reales. Una fuerza es real cuando pertenece a una interacción, así por ejemplo la fuerza peso nos
indica que dos cuerpos interactúan la Tierra y el cuerpo que es atraída por esta.
b) Un sistema no inercial es aquel que tiene aceleración. Para que se cumplan las leyes de Newton es
necesario introducir fuerzas ficticias causantes de esa aceleración.
En rigor una fuerza ficticia no es ejercida por ningún cuerpo, porque no forma parte de una interacción.
Ejemplo: Suponga que un bloque de masa “m” que se encuentra sobre una plataforma horizontal giratoria que
no presenta fricción y que está conectado a una cuerda unida al centro. ¿Cómo describiría cada uno de los
observadores la segunda ley de Newton para el bloque?
Según el observador inercial (con sus pies en la Tierra) , el bloque
gira con MCU, luego experimenta una aceleración centrípeta v2/r,
donde v es su rapidez tangencial.
Él concluye que esta aceleración centrípeta es proporcionada por
la fuerza T que es ejercida por la cuerda, la cual se expresa por la
ecuación T= mv2/r.
Según una observadora en un sistema no inercial ubicada en la plataforma giratoria, el bloque está en reposo y
que su aceleración es cero. Por lo tanto, ella debe introducir una fuerza ficticia hacia afuera, de módulo mv 2/r,
para equilibrar la fuerza interior ejercida por la cuerda. Para ella, la fuerza neta sobre el bloque es nula, y ella
escribiría la segunda ley de Newton de la siguiente manera T – mv2/r = 0.
La fuerza ficticia contraria a la tensión se denominaría fuerza centrífuga, ya que tiraría hacia afuera el objeto, sin
embargo no es aplicada por ningún cuerpo físico.
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Problemas modelos resueltos:
01) Un disco que se sostiene sobre aire y cuya masa es de
0,25 kg se ata a un cordel y se le permite girar en un
círculo de 1 m de radio sobre una mesa horizontal sin
fricción. El otro extremo del cordel atraviesa un orificio
en el centro de la mesa y tiene un masa de 1 Kg atada
a él.
La masa suspendida permanece en equilibrio mientras
el disco gira sobre la cubierta de la mesa.
a) ¿Cuánto vale el módulo de la tensión en el cordel?
b) ¿Cuánto vale la fuerza que causa la aceleración
centrípeta?
c) ¿Cuánto es la rapidez del disco?
Solución:
a) La tensión en la cuerda se equilibra con el peso del objeto que cuelga, es decir T = mg
T= 1 x 9,8 = 9,8 N
b) La fuerza que provoca la aceleración centrípeta es la tensión de la cuerda, es decir T=9,8 N
c) Se sabe que Fc= mv2/r , despejando v de esta relación se obtiene v = ( r Fc/m)
½
Reemplazando valores, v = (1 x 9,8/0,25)1/2 = 6,3 m/s
02) Tarzán tiene una masa de 85 Kg, trata de cruzar un río columpiándose en una liana de 10 m de largo. Su
rapidez en la parte inferior(apenas por encima del agua) es de 8 m/s. Él no sabe que la liana tiene una
resistencia a la ruptura de 1000 N. ¿Puede cruzar el río con seguridad?. Justifique su respuesta.
Solución:
T
v
mg
En la parte inferior la fuerza neta es la fuerza centrípeta, es decir (T – mg) = mv2/r
Despejando T y reemplazando valores: T = 85 x 9,8 + 85 x (8 2/10) = 1,4 x 103 N
Como T > 1000 N, entonces no puede cruzar el río con seguridad.
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03) Una niña de 40 Kg viaja en una “rueda de la fortuna” que da 4 vueltas por minuto y tiene un diámetro de
18 m.
a)
b)
c)
d)
¿Cuánto es el módulo de la aceleración centrípeta experimentada por la niña?
¿Qué fuerza ejerce el asiento sobre la niña en el punto más bajo de su trayectoria?
¿Qué fuerza ejerce el asiento sobre la niña en el punto más alto su trayectoria?
¿Qué fuerza ejerce el asiento sobre la niña cuando ella está a la mitad entre la parte superior y la
inferior?
Solución:
a) La rueda gira con MCU, siendo su frecuencia f = 4/60 (rps)= 1/15 (rps)
Su rapidez angular es ω = 2πf , reemplazando datos
ω = 2π/15 (rad/s)
La aceleración centrípeta se calcula mediante ac= ω2 r , sustituyendo valores
ac = (2π/15)2 x 9 = 1,58 m/s2
b) En la parte inferior, actúan dos fuerza verticales de diferente sentido, la normal y el peso, entonces
N - mg = Fc
,
despejando N , N = ( Fc + mg ) sustituyendo valores
N = 40 x 1,58 + 40 x 9,8 = 455 N vertical hacia arriba
c) En la parte superior, la fuerza normal es menor en módulo que el peso, entonces
mg – N = Fc , despejando N,
N = mg - Fc reemplazando valores numéricos
N= 40 x 9,8 – 40 x 1,58 = 329 N vertical hacia arriba
d) Representemos vectorialmente la situación
N
Fc
mg
Calculamos el peso de la persona, P= mg = 40 x 9,8 =392 N
Fc = mac , entonces Fc = 40 x 1,58 = 63,2 N
La fuerza normal tiene el mismo módulo que la fuerza resultante entre Fc y mg, utilizando el teorema de
Pitágoras.
N= ( 3922 + 63,22 )1/2 = 397 N
Θ= tg-1 ( 392 /63,2 ) = 80,8°
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04) Un juego mecánico muy popular de un parque de diversiones, es un cilindro giratorio de 3 m de diámetro,
que se pone en rotación a una rapidez angular de 5 rad/s (ver fig.) En algún instante, el piso cae y deja a la
persona suspendida contra la pared en una posición vertical. ¿Cuál es el mínimo coeficiente de roce entre la
ropa de una persona y la pared, necesario para evitar que la persona resbale?
Solución:
La fuerza normal N que recibe la persona juega el papel de la fuerza
centrípeta, es decir
N = mω2r (*)
Además la fuerza de roce estática máxima generada entre la ropa y el
cilindro, está dada por
femax= μeN = mg
Despejando μe y reemplazando la ecuación (*)
μe = mg/N = mg/( mω2r) = 9,8/(3 x 52)= 0,131
05) Un resorte sin masa, de constante k= 78,4 N/m , está fijo en el lado izquierdo de una vía a nivel. Un bloque
de masa m=0,5 Kg se presiona contra el resorte y lo comprime una distancia d (ver fig.).
El bloque inicialmente en reposo se suelta y se mueve hacia un aro circular de radio R = 1,5 m.
Toda la vía y el aro carecen de fricción excepto la sección horizontal entre los puntos A y B cuya longitud es
de 2,5 m. Dado que el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la vía a lo largo de AB es μ c= 0,3,
determine la compresión mínima d del resorte que haga posible que el bloque apenas llegue al punto C.
(Sugerencia: la fuerza ejercida por la vía sobre el bloque será cero si el bloque apenas da vuelta al aro.)
Solución:
Cuando el bloque llega al punto C, la fuerza normal es nula, luego la fuerza que proporciona la fuerza centrípeta
es sólo el peso del bloque. Luego se puede plantear
Fc= mg= mvc2/R , despejando vc , se obtiene vc= (Rg)1/2
Por conservación de la energía:
ETf – ETi= Troce
ETC - ETB = Troce
( Uc + Kc ) – ( kx2/2 ) = -fd
mg2R + mvc2/2 – kd2/2= -μc mgd y considerando que vc= (Rg)1/2
mg2R + mRg/2 - kd2/2 = --μc mgd despejando d y reemplazando valores se obtiene:
d= 0,75 m
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¿Qué sucede en un movimiento circular si la velocidad también cambia en módulo?
MOVIMIENTO CIRCULAR CON ACELERACIÓN ANGULAR CONSTANTE
Este movimiento se presenta cuando un móvil con trayectoria circular aumenta o disminuye en cada unidad
de tiempo su velocidad angular en forma constante, por lo que su aceleración angular permanece constante.
La aceleración angular se define como la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo.
Su ecuación está definida de la siguiente manera:
𝛼 =
∆𝜔
∆𝑡
=
𝜔 − 𝜔0
𝑡
→
𝜔 − 𝜔0 = 𝛼 ∙ 𝑡
por lo tanto
𝝎 = 𝝎𝟎 + 𝜶 ∙ 𝒕


Concepto
Unidad de
medida
Aceleración angular
[rad / seg2]
Velocidad angular
[rad / seg]
Tiempo
[seg]
Si ω y α poseen igual signo, entonces ω aumenta en módulo.
Si ω y α poseen diferente signo, entonces ω disminuye en módulo.
Las ecuaciones de este movimiento tiene la misma estructura que el movimiento rectilíneo uniforme
acelerado. La siguiente tabla establece un paralelo entre ambos tipos de movimiento.
TABLA COMPARATIVA
Aceleración lineal constante
Aceleración angular constante
𝑉 = 𝑉0 + 𝑎𝑡
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼 ∙ 𝑡
𝑉 + 𝑉0
𝑑= [
]∙𝑡
2
𝜔 + 𝜔0
∆𝜃 = [
] ∙𝑡
2
𝑉 2 = 𝑉02 + 2𝑎𝑑
𝜔2 = 𝜔0 + 2𝛼∆𝜃
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 +
𝑎𝑡 2
2
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0 ∙ 𝑡 +
𝛼𝑡 2
2
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Ejemplo:
Un CD acelera uniformemente desde el reposo hasta su rapidez operativa de 500 rpm en 3.50 s. Calcule la
aceleración angular del CD α durante este lapso y b) al término de este lapso.
c) Si el CD se detiene uniformemente en 4.50 s, ¿que aceleración angular tendrá entonces?
Solución:
Ejercicios:
01) Una partícula (a) inicialmente en reposo , en un tiempo “ t “ alcanza la rapidez angular “ ω “ con la
aceleración angular “ α “ . Otra partícula (b) a partir del reposo alcanza la velocidad angular “ 4ω “ en
un tiempo el doble que el anterior. Por lo tanto la aceleración angular de la partícula (b) es:
A) α / 4
B) α / 2
C) α
D) 2α
E) 4α
02) Un cuerpo posee la rapidez angular inicial 4 [rad/seg] , durante 3 [seg] sufre la aceleración angular
de 5 [ rad/seg2], por lo tanto la rapidez angular que alcanza, medida en [rad/seg] es:
A) 12
B) 15
C) 19
D) 20
E) 21
03) Una partícula gira con la rapidez angular de 12 [rad/seg], si sufre la desaceleración angular constante
de 3 [rad/seg2], podemos afirmar que:
I.
II.
III.
Se detiene en 4 seg.
Su rapidez a los 3 seg. debe ser 21 [rad/seg].
A los 3 seg. su rapidez angular es 3 [rad/seg].
De las afirmaciones es o son correctas:
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo III.
D) Sólo I y III.
E) Sólo II y III.
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04) Una rueda gira con una aceleración constante de 3,5 [rad/seg 2].
a) Si la rapidez angular inicial de la rueda es 2 [rad/seg]. ¿Cuál es el ángulo que gira la rueda entre t = 0 seg.
y t = 2 seg.? , expresada en radianes es:
A)
B)
C)
D)
E)
5
6
11
22
30
b) La rapidez angular medida en [rad/seg], en el tiempo 2 [seg] es:
A)
B)
C)
D)
E)
3
6
9
12
25
¿Cómo calculamos la aceleración tangencial en un movimiento circular?
Aceleración tangencial
Nosotros sabemos que la velocidad tangencial en un punto está dada por: 𝑉 = 𝜔 ∙ 𝑟 . Si varía dicha
velocidad, podemos expresarla de la siguiente manera:
∆𝑉 = 𝑟 ∙ ∆𝜔 ,
si luego dividimos por el tiempo :
∆𝑉
∆𝑡
=𝑟 ∙
∆𝜔
∆𝑡
, por lo tanto
𝒂𝒕 = 𝜶 𝒓
La aceleración tangencial en un punto, es igual al producto entre la magnitud del radio de giro y
la aceleración angular.
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Ejercicio:
Un disco de radio 5 ( cm) gira desde el reposo hasta que alcanza la rapidez angular de 31,4 (rad/seg), en un
tiempo de 0,6 (seg). Si la aceleración sufrida es constante. Determinar:
i.- Aceleración angular del disco.
ii.- ¿Cuántas vueltas realiza mientras acelera?
iii.- ¿Cuál es la rapidez lineal de un microbio en el borde del disco?
iv.- La aceleración tangencial sufrida por el microbio.
¿Qué mantiene a los planetas del sistema solar en órbitas predecibles?
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Otro de los múltiples logros de Isaac Newton fue la formulación de lo que se conoce cómo la ley de la
gravitación universal. Se trata de una ley poderosa y fundamental.
Sin ella, no entenderíamos, por ejemplo, la causa que origina las mareas, ni sabríamos cómo colocar satélites en
órbitas específicas alrededor de la Tierra. Esta ley nos permite analizar los movimientos de planetas, cometas,
estrellas e incluso galaxias. La palabra universal en su nombre indica que, hasta donde sabemos, es válida en
todo el universo.
En su forma matemática, la ley de la gravitación de Newton relaciona de forma sencilla la interacción
gravitacional entre dos partículas, o masas puntuales, m1 y m2, así como la distancia r que las separa.
Básicamente, toda partícula del universo tiene una interacción gravitacional atractiva con todas las demás
partículas, a causa de sus masas. Las fuerzas de interacción mutua son iguales en módulo y opuestas en sentido,
y forman un par de fuerzas de acción y reacción.
La ley establece: La fuerza gravitatoria es directamente proporcional al producto de las masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que une sus centros.
Fg: fuerza gravitacional , con Fg = F12=F21
𝐹𝑔 = 𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑟2
Donde G es una constante universal, cuyo valor es G = 6,67x10-11 (Nm2)/Kg2
Esta constante también se conoce como “G grande” para distinguirla de la “g pequeña”, que es la aceleración
debida a la gravedad. La ecuación indica que Fg se aproxima a cero solo cuando r es infinitamente grande. Por lo
tanto, la fuerza gravitacional tiene un alcance infinito.
¿Cómo llego Newton a estas conclusiones acerca de la fuerza de la gravedad?
Cuenta la leyenda que su inspiración fue una manzana que caía al suelo desde un árbol. Newton se preguntaba
de donde provenía la fuerza centrípeta que mantenía a la Luna en su órbita, y tal vez pensó lo siguiente: “Si la
gravedad atrae una manzana hacia la Tierra, quizá también atraiga a la Luna, y la Luna está cayendo o
acelerando hacia la Tierra, bajo la influencia de la gravedad”
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Haya sido o no la legendaria manzana la responsable, Newton supuso que la Luna y la Tierra se atraían
mutuamente y podían tratarse como masas puntuales, con su masa total concentrada en sus centros.
Algunos contemporáneos habían especulado acerca de la relación del cuadrado inverso. El logro de Newton fue
demostrar que la relación podía deducirse de una de las leyes del movimiento planetario de Johannes Kepler.
Newton expresó la ecuación en forma de proporción (F α m1m2/r2), pues desconocía el valor de G. No fue sino
hasta 1798 (71 años después del fallecimiento de Newton) que el físico ingles Henry Cavendish determinó
experimentalmente el valor de la constante de la gravitación universal. Cavendish usó una balanza muy sensible
para medir la fuerza gravitacional entre masas esféricas separadas (como las de la figura anterior). Si se conocen
F, r y las m, se calcula G a partir de la ecuación.
¿De qué factores depende la aceleración de gravedad?
P
h
R
Supongamos que sobre el suelo terrestre a una altura h en el punto P colocamos un cuerpo de masa “m”,
entonces podemos establecer la siguiente igualdad
mg = GmM/r2
Es decir
𝑔=𝐺
con r= R + h , siendo R la longitud del radio terrestre.
𝑀
𝑟2
Siendo M: masa del planeta y r distancia entre el punto considerado y el centro del planeta.

La ecuación se interpreta matemáticamente: la aceleración de gravedad es directamente proporcional a
la masa del planeta es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
¿Cómo colocar un satélite en órbita?
Vamos a suponer que el satélite en su órbita describe un movimiento
circular uniforme.
La fuerza centrípeta es la fuerza gravitacional, entonces
Fc= mv2/r = GmM/r2
m es la masa del satélite, M es la masa del planeta y r= (R + h)
Despejando v de la ecuación se obtiene
𝑣 = √𝐺

𝑀
𝑟
Se desprende de la ecuación que a mayor r menor v, aunque dichas variables no son inversamente
proporcionales.
16
Peso aparente e ingravidez
Se dice que la gente y otros objetos en un satélite que gira alrededor de la Tierra experimentan una ingravidez
aparente. Consideremos primero un caso más sencillo: un elevador , en cuyo interior existe una báscula colgada
al techo y una carga en su extremo inferior, además existe una persona testigo de lo que sucede.
(1)
(2)
(3)
En la figura (1), si el ascensor está en reposo o se mueve con velocidad constante (subiendo o bajando) su
aceleración es cero, entonces w= mg , es decir no existe ningún peso aparente de la carga.
La fuerza w es la que nos señala el peso aparente, que en esta situación no existe ya que no hay aceleración.
En la figura (2) si el elevador asciende con una aceleración también hacia arriba de valor 0,5g , entonces la
segunda ley de newton, nos permite plantear:
F= ma
w – mg = ma con a=0,5g
luego
w= 0,5g + mg
w= 1,5 mg
En esta situación la carga tiene un peso aparente mayor que su propio peso. La persona como testigo siente que
el piso comprime sus piernas, y como respuesta dobla sus rodillas.
En la figura (3) en una situación hipotética, el cable metálico del ascensor se corta y la persona se da cuenta que
la báscula no marca nada, es decir el peso de la carga es nulo. Los pies de la persona no sienten el piso en la
caída libre. Todos los cuerpos, elevador, carga, báscula y la persona caen con la misma aceleración “g”,
experimentado un estado de “ ingravidez” , es decir no “pesan”.
Si la persona en el elevador que acelera a -g, por ejemplo, deja caer un lápiz, éste no caería al piso. De hecho, el
lápiz caería con aceleración g. Pero lo mismo sucede con el elevador y con la persona. El lápiz flotaría enfrente de
la persona. Este fenómeno se denomina ingravidez aparente porque, en el marco de referencia de la persona,
los objetos no caen o parecen no tener peso, aunque la gravedad en realidad no desaparece, más bien sigue
actuando sobre el objeto y su peso es aún mg. La persona y los demás objetos parecen no tener peso sólo
porque el elevador está acelerando en caída libre, y no hay fuerza de contacto sobre la persona que la haga
sentir el peso.
La “ingravidez” experimentada por la gente en el interior de una nave o satélite cerca de la Tierra es la misma
ingravidez aparente experimentada en un elevador en caída libre. Parecerá extraño al principio creer que un
satélite cae libremente. Sin embargo, un satélite en órbita cae hacia la Tierra, como se mostró La fuerza de
la gravedad ocasiona que “caiga” fuera de su trayectoria natural en línea recta. La aceleración del satélite debe
ser la aceleración debida al peso en ese punto, ya que la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza de
gravedad.
17
Ingravidez aparente.
Toda la nave y sus tripulantes caen con la
misma aceleración.
¿Cuáles son las leyes que gobiernan los cuerpos celestes?
LEYES DE KEPLER
La fuerza de la gravedad determina los movimientos de los planetas y satélites y mantiene unido al Sistema Solar
(y a la galaxia). El astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler (1571-1630) había propuesto, poco antes de
la época de Newton, una descripción general del movimiento planetario. Kepler formuló tres leyes empíricas a
partir de datos de observaciones recopilados en un periodo de 20 años por el astrónomo danés Tycho Brahe
(1546-1601).
Kepler visitó Praga como asistente de Brahe, quien era el matemático oficial en la corte del sacro emperador
romano. Brahe murió el año siguiente y Kepler fue su sucesor, heredando sus datos acerca de la posición de los
planetas. Después de analizar esos datos, Kepler anunció las dos primeras de sus tres leyes en 1609 (el año en
que Galileo construyó su primer telescopio). Esas leyes se aplicaron en un principio únicamente a Marte. La
tercera ley de Kepler llego 10 años después. Resulta interesante que las leyes del movimiento planetario que
Kepler tardó 15 años en deducir a partir de datos observados, ahora se pueden deducir teóricamente con una o
dos páginas de cálculos. Estas tres leyes son válidas no solo para los planetas, sino también para cualquier
sistema compuesto por un cuerpo que gira en torno a otro más masivo, donde es válida la ley de cuadrado
inverso de la gravitación (como la Luna, los satélites artificiales de la Tierra y los cometas atrapados por el Sol).
La primera ley de Kepler (ley de órbitas) señala lo siguiente:
Los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el
Sol en uno de los puntos focales. Las elipses, como
puede verse en la figura, tienen, en general, forma
ovalada o de círculo aplanado. De hecho, el círculo
es un caso especial de elipse donde los puntos
focales o focos están en el mismo punto (el centro
del círculo). Aunque las órbitas de los planetas son
elípticas, la mayoría no se desvían mucho del
círculo (Mercurio y Plutón son notables
excepciones).Por ejemplo, la diferencia entre el
perihelio y el afelio de la Tierra (sus distancias más
corta y más larga respecto al Sol,
respectivamente) es de unos 5 millones de km.
Esta distancia parecería grande; pero no es mucho
más del 3% de 150 millones de km, que es la
distancia promedio entre la Tierra y el Sol.
18
La segunda ley de Kepler (ley de áreas) señala lo siguiente:
Una línea del Sol a un planeta barre áreas iguales en lapsos de tiempo iguales.
Esta ley se ilustra en la figura. Puesto que el tiempo necesario para recorrer las diferentes distancias orbitales (s1
y s2) es el mismo, de forma que las áreas barridas (A1y A2) sean iguales, esta ley nos indica que la rapidez orbital
de un planeta varía en diferentes partes de su órbita. Dado que la órbita del planeta es elíptica, su rapidez
orbital es mayor cuando está más cerca del Sol que cuando está más lejos.
Tercera ley de Kepler (ley de periodos):
El cuadrado del periodo orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia promedio entre
el planeta y el Sol; es decir,
T2 =K r3.
Es fácil deducir la tercera ley de Kepler para el caso especial de un planeta con orbita circular, utilizando la ley de
gravitación de Newton. Como la fuerza centrípeta proviene de la fuerza de gravedad, igualamos las expresiones
para tales fuerzas:

El valor de la constante depende del sistema de unidades:
K= 2,97x10-19 s2/m3 o K= 1 (año)2/(ua)3
1 (ua) = 150 millones de Km = distancia media entre el Sol y la Tierra.
Tabla: datos de planetas del sistema solar.
19
Guía: MOVIMIENTO CIRCULAR.
Movimiento circular uniforme
a) Preguntas de respuesta breve.
1) Completar la frase con la (s) palabra (s) o la relación matemática correcta:
a) La magnitud que se expresa en rad/s se denomina……………………………………………
b) Tiempo requerido para dar una revolución completa es………………………………………..
c) El número de vueltas por segundo se denomina………………………………………………………
d) La magnitud que se expresa en m/s es………………………………………
e) La relación matemática entre v y ω es……………………………………..
f)
La velocidad lineal es un vector ………………………….. a la curva en un punto.
g) El vector velocidad lineal es perpendicular al vector…………………………………… y al
vector………………………………
h) La fuerza centrípeta es un vector que apunta hacia el……………………………….. de la ……………………………
i)
La fuerza centrífuga es una fuerza ficticia porque no forma parte de una………………………………….
j)
La fuerza centrífuga permite crear……………………………..en una nave espacial que rota.
2) Un cuerpo se mueve con MCU, girando en sentido antihorario (ver fig). Dibujar:
a) El vector velocidad lineal en los puntos A y B.
b) El vector aceleración centrípeta y fuerza centrípeta en C y D.
c) El vector velocidad angular.
3) En el dibujo de la figura adjunta, determinar la rapidez
angular del minutero y el horario en rad/hr.
4) Dos cuerpos A y B giran en circunferencias de igual radio, sus rapideces son V y 2V respectivamente.
Compare las magnitudes de sus aceleraciones centrípetas.
5) Dos cuerpos P y Q se mueven con la misma rapidez V en circunferencias de radios R y 2R respectivamente.
¿En qué razón se encuentran los módulos de sus aceleraciones centrípetas?
20
6) En la figura, dos cuerpos A y B de masa respectivas 2m y 3m y de rapideces VA y VB iguales. Compare los
módulos de las fuerzas centrípetas sobre los cuerpos A y B.
b) Ejercicios
01) Una rueda de 50 [cm] de diámetro da 15 vueltas cada 0.75 minutos.
Calcular:
i) Periodo
ii) Frecuencia
iii) Número de vueltas que realiza en 6 [min]
02) Una partícula se mueve circularmente describiendo un ángulo de
Calcular:
5π
2
en un tiempo de 24 [seg].
a) Período
b) Frecuencia
c) Cuánto demora en dar 36 vueltas
03) El ciclista de la figura se mueve en una carretera rectilínea con
rapidez constante.
Las ruedas de la bicicleta tiene un radio de 30 [cm] y la frecuencia
de ellas es 2 [vueltas / seg ].
Determinar:
i) Distancia que recorre en 10 [minutos]
ii) Cuántas vueltas dan las ruedas cuando recorre 2 [Km]
04) La piedra de la figura describe un ángulo de 3.060º en un tiempo de 12 [seg].
Determinar:
i) Frecuencia
ii) Período
iii) Rapidez angular
05) Un automóvil de 800 [Kg] se mueve a 108 [Km/hr], entra en
una curva cuyo radio es 100 [m]. Determinar:
i) Valor de la aceleración centrípeta.
ii) Valor de la fuerza centrípeta.
21
(2)
(1)
06) En la figura dos discos 1 y 2 que giran unidos tienen sus radios en
la razón 2 : 3. Si el disco de menor radio da 12 vueltas
en 4 [seg].
Determinar:
i) Frecuencia del disco de mayor radio.
ii) La cantidad de vueltas que da el disco (2) en ½ [min].
c) Problemas
01) Un auto entra en curva perpendicular cuyo radio de giro es 50 [m], el coeficiente de roce es 0,45 y
considerando la aceleración de gravedad como 10 [m/s 2].
Determinar la máxima rapidez que puede tener el móvil en la curva.
02) Una bola de 4 [Kg], sujeta a una cuerda de 1,2 [m] de longitud, se mueve a una velocidad de 1 [m/s]
sobre un plano vertical. Suponiendo rozamiento nulo.
Calcular el valor de la tensión de la cuerda en el punto más bajo de la trayectoria.
03) Una cabina cilíndrica gira respecto a su eje con una velocidad de 5 [rad/s]. En contacto con la pared
interior hay un cuerpo que gira solidariamente con la cabina. El coeficiente de rozamiento entre la
pared y el cuerpo es 0,2.
¿Cuál es el radio de la cabina?
Más ejercicios
1.- La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 [cm] y da 40 revoluciones en 1 [min].
a) ¿Cuál es su velocidad angular?
b) ¿Qué distancia se desplazará la rueda?
2.- Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 (rad/s) recibe una
aceleración constante de 2 (rad / s2), durante 3 [seg].
a)
b)
c)
¿Cuál será su desplazamiento angular en los 3 seg?
¿Cuál es su velocidad angular final?
¿Cuál será su aceleración tangencial, si la rueda tiene un radio de 05[m]?
22
3.- Un punto al borde de una gran rueda cuyo radio es de 3 [m] y se mueve a través de un ángulo de 40°.
Encuentre la longitud del arco descrito por el punto.
4.- Una pieza cilíndrica para almacenamiento de 6 [cm] de diámetro gira en un torno a 800 R.P.M .
¿ Cuál es la velocidad lineal en la superficie del cilindro?
5.- Un piloto de avión bien entrenado aguanta aceleraciones de hasta 8 veces la de la gravedad, durante
tiempos breves, sin perder el conocimiento. Para un avión que vuela a 2.300 [Km/h].
¿Cuál será el radio de giro mínimo que puede soportar?
6.- La Estación Espacial Internacional gira con velocidad angular constante alrededor de la Tierra cada
90 [minutos] en una órbita a 300 [Km] de altura sobre la superficie terrestre por tanto, (el radio de la
Tierra es de 6370 Km).
a) Rapidez angular
b) Rapidez circunferencial
7.- Una partícula sigue una trayectoria circular de 3 [m] de radio. Si el ángulo descrito viene dado por la
ecuación: Ψ = t2 – 1, donde Ψ está expresado en [rad] y t en [seg].
¿Cuál es la longitud del arco recorrido entre los instantes t = 1 s y t = 3 s?
8.- Un camión de 13 [toneladas] toma una curva de 200 [m] de radio a una
velocidad de 50 [Km/h] . Suponiendo que no hay peralte.
a) Calcular la fuerza de rozamiento de las ruedas sobre el asfalto, para
mantener el movimiento circular.
b) ¿Qué valor tendrá la aceleración normal?
9.-Un automóvil se mueve en una carretera rectilínea con la velocidad “ V “ , al finalizar la recta
tiene dos posibilidades de caminos , una curva a la derecha y otra a la izquierda. A la derecha tiene un radio
R y coeficiente de roce “ µ “ , en cambio en la curva a la izquierda, tiene un coeficiente de roce “ 2µ “
y el doble de radio de giro. Respecto a las velocidades máximas en las curvas , la alternativa correcta es:
A)
B)
C)
D)
E)
En ambas curvas la velocidad es la misma.
En la curva a la izquierda la velocidad es cuatro veces mayor.
En la curva a la derecha, la velocidad es el doble que a la izquierda.
La velocidad en la curva a la izquierda es doble que en la curva a la derecha del camino.
Las cuatro alternativas anteriores son incorrectas.