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CAPITULO 1
ENERGIA RADIANTE
1.1- LA LUZ Y LA RADIACIÓN TERMICA
Es sabido que si se somete un cuerpo a la acción -por ejemplode los rayos solares, éste aumenta su temperatura; ello nos conduce a
considerar la luz visible como un transporte de energía.
Si se obtiene mediante un prisma el espectro de la luz (ver
apéndice1), se encuentra que el mismo se extiende hacia ambos lados de la
banda visible en los denominados rayos infrarrojos y ultravioletas, en los cuales
también se manifiesta la presencia de energía al calentar cuerpos, impresionar
placas fotográficas, etc.
Lambert y Pictet demostraron que la propiedad de radiar energía
no es exclusiva de aquellos cuerpos que emiten luz visible. Para ello tomaron
dos espejos cóncavos -fig. 1-1- colocando un termómetro en el foco A y un
cuerpo cualquiera a temperatura TB en el foco B
“Fig. 1-1”
Colocando el cuerpo B a distintas temperaturas comprobaron que si TB era
mayor que la temperatura ambiente TO , la temperatura T A del termómetro
aumentaba, pero si TB TO , T A disminuía.
En la primer comprobación (TB TO ) , el flujo neto de energía es de B hacia A ,
dado que T A aumenta, mientras que en la segunda (TB TO ) debe ser de A
hacia B . Sin embargo en ambos casos la temperatura inicial del termómetro es
la misma y si en el segundo está evidentemente radiando energía (flujo
A
 B ), lo debe de estar haciendo en el primero (parte de las mismas
condiciones iniciales, a pesar de lo cual igualmente aumenta su temperatura
 A ).
pues en este caso recibe más energía de la que emite (flujo B 
Por lo tanto podemos decir que “todo sistema material a cualquier
temperatura irradia energía” y además que lo está haciendo en forma
independiente de los sistemas que lo rodean.
1.2- NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ.
ELECTROMAGNETISMO DE MAXWELL
Desde la época de los griegos se sostuvo que la luz estaba
compuesta por corpúsculos que impresionaban nuestros sentidos, hasta que
en 1670 Huyghens llegó a la conclusión que para explicar los fenómenos de
superposición, interferencia y difracción de la luz era necesaria una
propagación ondulatoria de la misma.
El paso más importante para explicar la propagación ondulatoria
de la luz fue dado por James Clerk Maxwell, cuando en 1873 presenta su teoría
sobre la radiación de ondas electromagnéticas.
Maxwell se propuso determinar la relación de dependencia entre
los campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo y es el intentar
formular matemáticamente este problema, que se ve obligado a introducir la
hipótesis de que no sólo la corriente de conducción, sino también la de
desplazamiento pueden producir un campo magnético, resultando el sistema
de ecuaciones (ver apénd. 2  a 2.a )
D

x H    t

x E   B

t

  B  0

  D  
(1.2  1a)
(1.2  1b)
(1.2  1c)
(1.2  1d )
que planteadas para un medio homogéneo en el cual no haya cargas ni
corrientes de conductividad, como por ejemplo los espacios interestelares:

E
x H  

t

x E     H

t
(1.2  2a)
(1.2  2ab)
x H  0
(1.2  2c)
x E  0
(1.2  2d )
Según las ecs. (1.2-2) un campo magnético variable en el tiempo induce un
campo eléctrico y recíprocamente.
Una solución simultánea de las (1.2-2) (ver apénd. 2-A2b) nos
lleva a que las mismas se satisfacen con ecuaciones de onda que tienen una
cierta velocidad de propagación. O sea que un campo eléctrico variable en el
tiempo induce un campo magnético pero no en el mismo lugar en que él varía;
por lo tanto la energía transferida del campo eléctrico al campo magnético
originado se ha trasladado en el espacio. A su vez el campo magnético
inducido por ser variable en el tiempo induce un campo eléctrico en otro lugar y
así sucesivamente se van produciendo transferencias de energía entre los
campos eléctricos y magnéticos con el resultado que dicha energía se está
trasladando.
De acuerdo con la solución de las ecuaciones de Maxwell, si las
partículas eléctricas que constituyen la materia fueran excitadas de tal manera
que variaran su velocidad en el tiempo, las mismas se tendrían que comportar
como dipolos elementales e irradiar energía en forma de ondas
electromagnéticas en todas las direcciones. A efectos del observador a partir
de una cierta distancia el frente de ondas irradiadas aparece como plano. Una
solución de onda plana para las ecuaciones de Maxwell con desplazamiento en
la dirección x es (ver apénd. 2  A2 b )
EY  f 1 ( x  t )




fs(  t )


HZ 
(1.2  3)
de velocidad de propagación
a
1
(1.2  4)


siendo  la constante dieléctrica o permitividad del medio en el cual se
propagan las ondas y  su permeabilidad magnética.
Si f1 se toma como una función senoidal resulta
EY  Ksen n
HZ 
(  at )

K sen (  at )






(1.2  5)
La representación espacial de las (1.2  5) es
“Fig. 1-2”
Donde se ve la perfecta uniformidad en el plano y  E
O sea que si efectivamente la corriente de desplazamiento puede producir un
campo magnético, resulta posible transmitir energía en forma de ondas
electromagnéticas, dado que la propagación ondulatoria del campo eléctrico y
magnético implican la traslación de la energía asociada a ellos.
Si consideramos una superficie cualquiera atravesada por ondas
electromagnéticas, el régimen de emanación de energía por unidad de área a
través de ella está dado por el vector de Poyntis (ver apénd. 2  A2c ) N
N  EX H
(1.2  6)
Para la propagación dada por (1.2  5)
N
 2
K sen 2 n ( x  at )( j x k )

N  K2


sen 2 n ( x  at ) i
(1.2  7a)
(1.2  76)
La ecuac. (1.2  7b) nos dice que el flujo de energía tiene, como es lógico la
dirección de propagación de la onda (eje x) y que se anula cuando H  E  O .
Si la luz es un fenómeno electromagnético, su velocidad de propagación en el
vacío debe ser
c
1
 0 0
Maxwell que conocía los valores de  0 y  0 obtenidos a partir de medidas
eléctricas
 0  8,85 x10 12
foradio
m
 0  4x10 7
Henry
m
calculó
c
1
8,85 x10 12 x 4x10 7
 3x10 8
m
seg
que coincide con la velocidad de la luz obtenida por vía experimental.
Las hipótesis de Maxwell fueron ampliamente confirmadas en 1887 por
Heinrich Hertz, quien utilizando un circuito oscilante (ver apénd. 2-d) obtuvo
ondas electromagnéticas de longitud de onda  que podía medir y como
conocía su frecuencia  en base a las características de circuito pudo calcular
la velocidad de propagación mediante
  
(1.2  7)
encontrando que efectivamente tenían la misma velocidad de la luz.
Mediante experiencias de reflexión, concentración por lentes,
polarizaciión, etc. demostró que las mismas son en un todo análogas a la luz a
excepción de la longitud de onda.
1.3- ESPECTRO ELECTROMAGNETICO
Conocidas ya las ondas herzianas, el espectro electromagnético
se completó con el posterior descubrimiento en 1895, de los rayos X, cuya
naturaleza electromagnética determinó Von Laue y el hallazgo de las
radiaciones
, quedando perfectamente determinado que lo único que
diferencia a las distintas clases de radiaciones electromagnéticas es su longitud
de onda.
Las distintas denominaciones son debidas fundamentalmente a
causas históricas y a sus distintos usos.
En particular en el capítulo siguiente nos referiremos a la
radiación térmica, debiéndose entender por la misma a aquella que se origina
en los cuerpos únicamente a causa de la agitación térmica de los mismos y que
por lo tanto excluye a fenómenos como los de quimioluminiscencia, etc.
Un diagrama general del espectro electromagnético es el de la
fig. 1-3.
“Fig. 1-3”
CAPITULO 2
RADIACION TERMICA
2.1En la sec. 1-3 quedó establecido que la única diferencia entre las
distintas clases de energía radiante (luminosa, térmica, ultravioleta, etc.) es la
longitud de onda de c/u de ellas.
En este capítulo se hará un estudio del fenómeno de radiación de
energía, que por la razón apuntada más arriba se efectuará sobre una sola de
sus formas (radiación térmica), (1), debiéndose entender que lo que se diga de
aquí en adelante sobre ella, es susceptible de ser generalizado a todas las
demás.
2.2- LEY DE PREVOST
Prevost en 1791 resumió los resultados obtenidos por Lambert y Pictet
(1)
La elección de la radiación térmica no es arbitraria, dado que además de
una justificación cronológica, su estudio lleva directamente a la teoría cuántica
de Plank que es el punto de partida de toda una nueva rama de la física (sec.
1.1), enunciando que “todo sistema material a cualquier temperatura emite
energía radiante. La intensidad de radiación de cada sistema es independiente
de los sistemas que lo rodean, pero simultáneamente está absorbiendo parte o
la totalidad de la radiación que proveniente de los demás llega a él. Si el
sistema se halla en equilibrio térmico con los que los rodean, su temperatura no
varía y emite tanta energía como la que absorbe”.
Si ahora centramos el estudio en la energía total emitida por un cuerpo
determinado, midiéndola a distintas temperaturas T del emisor (2), se
encuentra que la misma aumenta si T crece y disminuye al disminuir T,
resultando que la energía total irradiada por unidad de área y por unidad de
tiempo o poder emisor total del cuerpo ET es una cierta función de la
temperatura del mismo.
ET  f (T )
El determinar esta función es uno de los problemas a resolver.
EMISIÓN Y ABSORCIÓN DE LA ENERGIA RADIANTE
2.3- CUERPO NEGRO
Ya sabemos (capítulo 1) que la radiación térmica no es
monocromática, dado que presenta un espectro, por lo tanto la energía total
ET debe ser la resultante de la transportada a las distintas longitudes de onda
que componen el espectro.
Se denomina energía monocromática E a la irradiada por un
cuerpo con longitud de onda  . Para relacionar la energía emitida con las
características del emisor, consideremos la energía dE
irradiada por un
cuerpo C a través de un elemento de área ds, en el intervalo espectral
 ,   d que alcanza un elemento ds’ exterior a C
(fig. 2-1)
“Fig. 2-1”
(2)
Experiencias de este tipo fueron realizadas por Tindall, que medía la
radiación total proveniente de alambres calientes de Platino.
La energía irradiada que está en condiciones geométricas de alcanzar ds’ es la
que propaga en el ángulo sólido d  con que se ve ds’ desde ds; por lo tanto
dE resultara proporcional a la superficie de emisión ds, a d y al intervalo
espectral d considerado.
d d 
cos ds
(2.3  1)
dE  e
El factor de proporcionalidad e se denomina poder emisivo monocromático, y
es el que caracteriza las propiedades emisivas del cuerpo a través de su
superficie para dicha longitud de onda. (1)
De acuerdo con la ec (2.3-1), e es el flujo normal de energía irradiada por
unidad de superficie, unidad de ángulo sólido y unidad de intervalo espectral.
Si C no constituye un sistema aislado, estará incidiendo sobre él energía
radiante proveniente de otros sistemas, en particular a través del mismo cono
d estará llegando a C una cantidad de energía d1 E con longitudes de
onda entre  y   que incidirá sobre ds. De esta cantidad, una parte d1
E '  será reflejada por ds; otra parte dE " será absorbida por el cuerpo y el
resto dE"  lo atraviesa, o sea que la energía d1 E incidente la podemos
escribir como la suma
d1 E  d1 E ' d1 E 'd1 E ' ' '
( 2 .3  2 )
y div. por d1 E
1
d1 E  ' d1 E  ' ' d1 E  ' ' '


d1 E 
d1 E 
d1 E 
1 r  a d
(2.3  3)
( 2 .3  4 )
Los tres sumandos del segundo miembro nos definen:
1) El poder reflector monocromático
d E'
(2.3  5)
r  1 
d1 E 
que por definición es la fracción reflejada por el cuerpo de la energía radiante
incidente sobre él con esa longitud de onda.
(1) Es evidente que aún cuando el poder emisivo esté referido a la superficie
del cuerpo, la radiación se origina en todo el cuerpo, pues la radiación se
estará haciendo a expensas de otro tipo de energía que posea el emisor.
2) El poder absorbente monocromático
a 
d1 E ' ' 
d1 E
( 2 .3  6 )
que es la fracción absorbida por el cuerpo de la energía radiante incidente
sobre él con esa longitud de onda.
3) El poder diatérmano monocromático que se define como la fracción de
la energía monocromática incidente que lo ha atravesado.
D 
d1 E  ' ' '
d1 E 
(2.3  1)
De todas estas definiciones, las que más nos interesan son las
correspondientes al poder emisivo monocromático e  y al poder absorbente
monocromático a  , pues en base a las mismas podemos introducir el concepto
de un emisor muy particular denominado cuerpo negro. “Se define como
cuerpo negro aquel que absorbe toda la energía radiante que incida sobre su
superficie, cualquiera sea la longitud de onda considerada”, o sea que
a  1 para todo  , lo cual implica que absorbe toda la energía total
ET
incidente sobre él.
De (2.3-4) surge inmediatamente que para que un cuerpo sea
negro tiene que tener r  0 y O  0 , es decir que no debe reflejar nada de
la radiación cualquiera sea su longitud de onda y además tener suficiente
espesor como para que ninguna parte de la radiación lo atraviese y pueda ser
totalmente absorbida.
Aún cuando en la naturaleza no existe el cuerpo negro, hay
sustancias como ser el negro de humo y el musgo de platino que se le
aproximan bastante, siendo posible con pequeños espesores absorber toda la
energía radiante que penetre en ellos. No llegan a constituir cuerpos
perfectamente negros pues sus poderes de reflexión aunque muy bajos no son
nulos.
Experimentalmente se construye un dispositivo llamado espacio
hueco de Kirchoff, cuyas características de emisión y absorción corresponden a
las del cuerpo negro. Esto se consigue mediante un recinto cerrado de paredes
interiores ennegrecidas y mantenido a temperatura constante (fig. 2-2), en el
cual se efectúa un orificio en una de sus paredes.
“Fig. 2-2”
En estas condiciones un rayo que penetre por el orificio es totalmente
absorbido, dado las muchas reflexiones que tendría que dar antes de poder
salir.
En las discusiones de las siguientes secciones sobre el fenómeno
de la radiación térmica, será en general de mayor interés el conocer la
densidad de energía  en el medio en el cual se encuentra la radiación, que
la energía emitida o incidente E por unidad de área y tiempo. Por lo tanto se
define como densidad de energía total  en un medio en el cual hay radiación,
a la energía por unidad de volumen en dicho medio. Análogamente se define la
densidad de energía monocromática  como la energía por unidad de
volumen contenida en el medio de longitud de onda  .
Estando relacionadas ambas mediante

T    d
0
2.4- LEY DE KIRCHOFF
La Ley de Kirchoff establece (ver apénd. 4) que el cociente entre
el poder emisivo monocromático y el poder absorbente monocromático a una
temperatura dada y para cada longitud de onda es una constante para todos
los cuerpos.
e
 f ( , T )
a
(2.4  1)
Donde la función es la misma para todos los emisores.
O sea que para un sistema A, B, C, ... N, de cuerpos en equilibrio
termodinámico se cumple que
eA eB eC
eN


 ..................  N
aA aB aC
a
( 2 .4  2 )
si alguno de ellos fuera un cuerpo negro tendría por definición a a

eA eB eC
 B  C  ..................  e( negro)
A
a
a
a
( negro)
1
(2.4  3)
pudiendo por lo tanto enunciar que “el cociente entre el poder emisivo y el
poder absorbente, para una longitud de onda dada, de cuerpos que se hallan
todos a la misma temperatura, es constante para todos ellos, e igual al poder
emisivo del cuerpo negro a esa temperatura y para esa longitud de onda”.
De la ec. (2.4-3), es inmediato que el cuerpo negro además de ser
mejor absorbente es el mejor emisor para cualquier longitud de onda, pues
siendo su a el mayor de todos para cada
exige que también lo sea su e  .
 , la verificación de la (2.4-3)
2.5- PODER EMISOR TOTAL – LEY DE STEFAN-BOLTZMAN
Según la sec. (2.2) la energía total emitida por un cuerpo es
función de su temperatura.
Stefan en 1879 basándose en las ya mencionadas experiencias
de Tindall, determinó que ET es proporcional a la cuarta potencia de la
temperatura.
Boltzman en 1884 a partir de consideraciones termodinámicas
(ver apénd. 5-A5b) aplicadas a la radiación del cuerpo negro llega en forma
teórica a la misma conclusión, obteniendo la relación
ET  T 4
(2.5  1)
que para cuerpos distintos del negro, se escribe
ET  eT 4
( 2 .5  2 )
donde e es un coeficiente específico de emisión cuyo valor varía desde 0 a 1.
La ec. (2.5-2) nos da la energía irradiada por unidad de área y por
unidad de tiempo cuando la temperatura absoluta del emisor es T.
El valor de la constante de proporcionalidad  no pudo ser
determinado analíticamente, obteniéndose por vía experimental:
  5,73x10 8
joule
seg
2
m grado 4
cal
 1,37.10 8
seg
m 2 grado 4
2.6- DISTRIBUCIÓN ESPECTRAL DE LA ENERGIA RADIANTE
Lummer y Pringhsheim efectuaron una serie de experiencias en
las cuales resolvían las radiaciones provenientes de un cuerpo negro y medían
la energía transportada a distintas longitudes de onda. Encontraron que la
distribución de la energía en las distintas longitudes de onda no era uniforme, o
sea que variaba al considerar distintos intervalos espectrales.
Los resultados para cuatro temperaturas pueden verse en la fig.
2-3. En ella se observa que al aumentar la temperatura, la longitud de onda m
que corresponde al máximo E m
de la distribución energética se despaza
hacia las longitudes de onda menores.
“Fig. 2-3”
Si E es la energía emitida con longitud de onda  la energía total está dada
por

ET   E a
0
(2.6  1)
Por lo tanto el área cercada por cada curva representa la energía total emitida
a esa temperatura, debiendo variar esta área con la cuarta potencia de T según
la ec. (2.5-1)
2.7- LEYES DEL DESPLAZAMIENTO DE WIEN
Con las experiencias de Lummer y Pringhsheim se llega a que
E tiene que ser función de la longitud de onda considerada y de la
temperatura del emisor.
Wien en 1893 estudia las consecuencias de una expansión
adiabática (ver apénd. 5-A5c) de las radiaciones provenientes de un cuerpo
negro, determinando que al pasar la temperatura del sistema de un valor inicial
T1 a otro T2 la radiación de longitud de onda 1 debe pasar a un valor  2
tal que
T1 2
(2.7  1)

T2 1
o sea que en forma general se debe cumplir
( 2 .7  2 )
T .  cte
Resultando que durante la transformación la longitud de onda ha variado en
forma inversa con la temperatura.
Las longitudes de onda que satisfacen la ec. (2.7-2) se denominan
correspondientes.
La ec. (2.7-1) se debe cumplir también para las ordenadas
máximas
T1 2 m
( 2.7  3)

T2 1m
( 2 .7  4 )
Tm  a
el valor de la constante a determinado por vía experimental es
a  2,884.10 3 m.grado
Por lo tanto conocido el valor de la temperatura de un cuerpo negro es
inmediato determinar con la ec. (2.7-4) la longitud de onda a la que se tiene
máxima emisión.
Simultáneamente Wien determinó que la relación entre la energía
monocromática emitida y la temperatura es
E
( 2 .7  5 a )
 cte
T5
que escrita para el máximo
Em
b
T5
(2.7  5b)
con b  2,8971 joule.grado 5
Las ec. (2.7-4) y (2.7-5) son las expresiones matemáticas de las Leyes de
Wien, obtenidas por éste en forma analítica a excepción de las constantes, las
cuales debieron ser determinadas por vía experimental pues los razonamientos
termodinámicos no eran suficientes para hacerlo.
2.8- TEORIAS DE WIEN Y DE RAYLEIGH-JEANS
DISTRIBUCION ESPECTRAL DE LA ENERGIA RADIANTE
SOBRE
LA
Con la deducción de las leyes de Stefan-Boltzman y del
desplazamiento de Wien la termodinámica agota sus posibilidades, por lo cual
se hace necesario postular un modelo emisor para explicar el espectro
energético de la fig. 2-3.
Wien en 1896 sobre la base de un modelo molecular, en el cual
suponía que la energía era emitida con longitudes de onda proporcionales a la
energía de las moléculas y cuya intensidad para cada  estaba determinada
por el número de moléculas que poseían dicha energía, determinó que:
c
E   
( 2 .8  2 )
4
donde c es la velocidad de propagación de radiación.
La ec. (2.8-1) se puede escribir
  c'15 e  c2 / T
(2.8  3)
La ec. (2.8-1) o la (2.8-3) aún cuando dan muy buenos resultados para
pequeñas longitudes de onda no resultan satisfactorias pues
1) mediante el razonamiento seguido para su obtención es imposible
determinar las constantes c1 yc2 .
2) A medida que  crece su discrepancia con los valores experimentales
se hace cada vez más notable, no reproduciendo en su totalidad la
distribución hallada por Lummer y Pringsheim.
El intento siguiente fue realizado por Lord Rayleigh y Jeans,
quienes en base a la constitución atómica de la materia supusieron que la
radiación de energía era efectuada por los electrones contenidos en la misma,
los cuales actuaban como osciladores lineales emitiendo energía en forma de
ondas electromagnéticas con frecuencias iguales a la frecuencia del oscilador y
cuya intensidad está determinada por el número de osciladores que vibran con
esa frecuencia.
Para determinar el número de osciladores que están emitiendo en
un determinado intervalo espectral d  , consideraron una cavidad de paredes
reflectoras ocupadas por ondas electromagnéticas estacionarias que
constituyen la radiación y determinaron el número de modos de vibración por
unidad de volumen dn de las ondas electromagnéticas para el intervalo d
(ver apénd. 6).
dn 
8a
( 2 .8  4 )
4
Conocido este número, que equivale a conocer el número de osciladores que
están emitiendo en el intervalo d , la densidad de energía transportada en el
mismo tiene que ser igual al producto de dn por la energía media  de los
osciladores.
Como para un oscilador lineal, resulta por el principio de equipartición que:
1
2
  2. KT  K .T
Por lo tanto si   es la densidad de energía monocromática, la densidad en el
intervalo d  será:
  .d  dn . 
 
8a
4
( 2 .8  6 )
KT
8kt
( 2 .8  7 )
4
Donde T es la temperatura de la radiación.
La ec. (2.8-7) tampoco concuerda con la experiencia, pues en ella
0
T 
  lo cual no es cierto.
Además la densidad de energía total T resulta infinita para cualquier
temperatura distinta de 0, pues


0
0
T     d  8KT 
1
4
d
(2.8  8)
que tampoco es cierto.
La expresión de Reyleigh y Jeans resulta satisfactoria para grandes longitudes
de onda.
2.9- TEORIA DE PLANCK SOBRE LA RADIACIÓN TERMICA
Planck toma las ideas de Rayleigh y Jeans y admite que
efectivamente el número de osciladores que emiten en el intervalo
es el
dado por la ec. (2.8-4), debiendo por lo tanto estar el error en la energía media
atribuida a cada oscilador.
Para un oscilador armónico simple, como los supuestos por
Planck, la ecuación del movimiento es
q  qo cos( wt   )
(2.9  1)
qo : amplitud
w : pulsacióna ngular
 : fase
que puesta en función de la frecuencia
q  qo cos(2.t   )
( 2 .9  2 )
La energía del oscilador es igual a la suma de la energía sinética más potencial
  o  P 
1
1
mq 2  q 2
2
2
(2.9  3)
siendo  la constante de fuerza y m la masa.
La cantidad de movimiento P es
P
  2
1
 ( mq 2  q 2 )  mq
q q 2
2
( 2 .9  4 )
que llevada a la ec. (2.9  3)
P22 1 2
( 2.9  5)
 q
2m 2
Como es sabido, para un movimiento armónico simple, la frecuencia resulta


1
2

m
   4 2 2 m
(2.9  6a)
(2.9  6b)
que introducida en ( 2.9  5)

p2
 2 2 2 mq 2
2m
( 2 .9  7 )
reagrupando
q2
 1
 

  2m 


2


P2
2m

2
1
(2.9  8)
que responde a la forma general
q2 p2

1
2 b2
( 2 .9  9 )
correspondiente a la ec. De una elipse en un plano q-p denominado espacio de
las fases, de semiejes
b  2m
a
1
(2.9  10a)

 2m
(2.9  10b)
O sea que cada oscilador estará representado, de acuerdo a su estado
energético, por un punto del espacio de las fases y además según la ec. (2.99) todos los osciladores de igual energía se encuentran sobre un clipse
(figura.2-4).
“Fig. 2-4”
Si N es el número total de osciladores, el número de ellos correspondientes al
elemento de área dqxdp del espacio de las fases (fig.2-5), debe ser
proporcional a N, al área considerada y a la probabilidad de encontrarse en el
estado energético correspondiente a dicho elemento.
dN  C.N .PE .d q .dp
(2.9  11)
De acuerdo con la distribución estadística de Boltzman, la probabilidad de que
un oscilador se encuentre en el estado energético  es
PE  e

(2.9  12)
KT
resultando
dN  CNe

KT
(2.9  13)
dq.dp
El área de un eclipse de semiejes a y b es
A  ab
(2.9  14)
que según las (2.9  10)
A   2m
1


2m



(2.9-15)
por lo tanto
dA  dq.dp 
d

(2.9  16)
resultando
dN  C' Ne
con c' 

KT
d
(2.9  17)
c

que nos da el número de osciladores con energías entre  y   d
Si ahora se divide el espacio de las fases mediante elipses, de tal manera que
todas las badas elípticas así determinadas tengan igual área que designaremos
h (fig.2-6)
“Fig. 2-6”
Resulta que la primer elipse encierra un área
A1  h
y la enésima
An  n h
(2.9  18)
n
  n  An

 n  n h 
(2.9  19)
De la ec. (2.9  15)
An 
y para la elipse n-1
 n1  (n  1)h 
(2.9  20)
Resultando que al salto energético al pasar de una elipse a otra inmediata es
   n   n1  h 
(2.9  21)
Así dividido el espacio de las fases es posible obtener N como la  de los
osciladores correspondientes a cada banda elíptica, si se extiende la sumatoria
a todas las bandas. El número de osciladores comprendido entre las elipses n1 y n es
n
n
n 1
n 1
N n1,n   dN   c' Ne

KT
d
(2.9  22)
Es aquí donde Planok introduce su hipótesis fundamental, al postular que los
N n ,n 1 y  n sino que todos los componentes del grupo deben tener un único
valor de la energía, que él tomó igual a la de la elipse límite inferior (ver sec.
2.10), resultando ahora inmediata la integral (2.9-22)
N n1,n  C ' Ne
n  1
KT
n

d  c' Ne

 n 1
KT

(2.9  23)
n 1
Reemplazando en ésta las ecs. (2.9-20) y (2.9-21)
N n 1n  N1e 
4(n  1)h
KT
con N1  c' Nh
Para n-1 resulta que N1 es el número de osciladores encerrados por la primer
elipse.
Finalmente
N  N1  N 2    N n  
 N1  N1e
h v
KT
 N1e
 2 h
KT
   N 1e

nh
KT

 N1 (1  e h / KT  e 2h / KT    e  nh / KT  )
donde el término entre paréntesis corresponde al desarrollo en serie de
potencias de la expresión
1
1 e
 N  N1 
 h
/ KT
1
1 e
 h
/ KT
(2.9  24)
En la hipótesis de atribuir a los osciladores de onda de cada corona la energía
de la elipse límite inferior, al área encerrada por la primer elipse le corresponde
energía nula, a la corona comprendida entre la primera y segunda elipse
h (según ec. 2.9-20), 2h a la comprendida entre la segunda y la tercera, etc.
Por lo tanto la energía total del conjunto de osciladores resulta:
t  N1  0  N 2  h  N 3  2h    N n (n  1)h  
 N1  0  N1e  h / KT  h  N1e 2 h / KT  2h    N1e  nh / KTnh  
 N1he  h / KT (1  2e  h / KT    ne ( n1) h / KT  )
(2.9  25)
El término entre paréntesis es el desarrollo en serie de
1
(1  e  h / KT ) 2
e  h / KT
(1  e h / KT ) 2
Resultando la energía media de cada oscilador
  t  N1 h

t
N
 h
(2.9  26)
e  h / KT
e  h / KT
(1  e  h / KT ) 2
 h
1
(1  e  h / KT )
N1
(1  e  h / KT )
N 1 h

1
1
1
e h / KT
  h
e
h
1
/ KT  1
(2.9  27)
De acuerdo con ésta y la ec. ( 2.8  4) la densidad de energía transportada en el
intervalo d es:
 a  an  
 
8h

4
e
h
8a

4
h
1
/ Kt  1
y como .  c
e
h
1
/ KT  1
(2.9  28)
 
8ch

5
1
e / KT  1
(2.9  29)
hc
La ec. (2.9-29), es la fórmula de Plank que da la distribución espectral de la
energía radiante y está en perfecta concordancia con los resultados
experimentales.
Resumiendo las hipótesis utilizadas por Plank son:
1) La emisión de energía es efectuada por osciladores armónicos
simples contenidos en el cuerpo negro y que pueden vibrar con
todas las frecuencias.
2) La frecuencia de la energía emitida por un oscilador es igual a la
frecuencia del movimiento del oscilador.
3) La emisión de energía por un oscilador no es una función continúa
y solamente puede tomar una sucesión de valores discretos que
son múltiplos enteros de una cantidad básica de energía
determinada por la frecuencia del oscilador. Si  es dicha
frecuencia, la sucesión de valores denominados cuantos de energía
es
h ,2h ,3h ,, nh ,
Siendo h una constante universal denominada constante de acción de Planck
cuyo valor es
h  6,625 x10 27 erg .seg (1)
(1) Efectivamente la constante h tiene dimensiones de acción, dado
que esta se define por la integral
B
acción   2Ecdt
A
donde Ec es energía cinética. De acuerdo con esta ec., la acción tiene
dimensiones de energía multiplicada por tiempo.
2.10 CONLUSIONES QUE SE DERIVAN DE LA TEORIA DE PLANK
En la ec. (2.9-27), que da la energía media de los osciladores, se hace tender a
cero la discontinuidad impuesta por éste al proceso de emisión de energías:
  h
e
h
para lo cual
Idm  0
T 0
1
/ KT  1
que está de acuerdo con lo que suponía la física clásica debía ocurrir a esa
temperatura.
Pero si se le asignara como se hace hoy en la mecánica ondulatoria, el valor
medio aritmético de los límites, resulta una energía media

h
h
 h
2 e / KT  1
(2.10  2)
Según la ec. (2.10-2) los osciladores
h
energía, e igual a
2
en el cero absoluto todavía tienen
2.11 LAS ECUECIONES DE WIEN, RAYLEIGH Y JEANS Y DE STEFAN
BOLTMAN A PARTIR DE LA FORMULA DE PLANK
La ec. (2.9-29) contiene como casos particulares a las distribuciones de Wien y
Bayleigh-Jeans
En efecto, si en
 
8ch

5
2
e / KT  1
hc
tomamos longitudes de onda muy pequeñas, resulta
hc
muy grande, por lo
KT
tanto
e hc / KT  1  e hc / KT
(2.11  1)
que reemplaza en la anterior
 
8ch

5
1
8ch
 5 e  hc / KT
e / KT

ch
(2.11  2)
resultando la ley de Wien. Si comparmos con la (2.8-3)
 
c'1
5
e c2 / T
debe ser
c'1  8ch
c2 
y
hc
K
(2.11  3)
Desarrollando e hc / KT en serie de potencias
2
e hc / KT  1 
n
hc
 hc 
 hc 

  
 
KT  KT 
 KT 
y considerando longitudes de onda muy grandes , se pueden despreciar las
hc
potencias superiores a la unidad de
resultando:
 KT
 
 
8ch

5
1
8ch KT
 5
hc
hc

1
KT  1
8KT
(2.11  4)
4
que no es otra que la fórmula de Rayleigh y Jeans.
Si   es la densidad de energía monocromática, la densidad total de energía
radiante es

 T     d
0
T  8ch 

0
5
a
e hc / KT  1
Efectuando la sustitución
x
resulta
hc
KT
(2.11  5)
(2.11  6)
 hc 
 

 KTx 
5
d 
5
0
x 
 
con

x 
 0
 hc 1
dx
KT x 2
nuevos límites de integración
Reemplazando en (2.11-6)
h 5 c 5
1 hc 1
8K 4 4  x 3
dx

T  x dx
 K 5T 5 x 5 e x  1 KT x 2
0 e 1
c 3 h3
 T  8ch 
0
(2.11  7)
Efectuando la integral


x3
6
4 / 15
dx


0 e x  1 n0 (n  1) 4  6,494  
Resultando
8 x6,494.k 4 4
T 
T
c3h3
(2.11  8)
que es la ecuación de Stefan-Boltzman
T   'T 4
(2.11  9)
con
 '
8 x6,494 xk 4
c3h3
Teniendo en cuenta la relación que existe entre  T y ET (ver apénd. 3)
La ec. (2.11-9) resulta
ET  T 4
c
con   '
4
El valor de  obtenido de esta manera resulta sensiblemente igual al
determinado por métodos experimentales, con una aproximación que cabe
dentro del margen de exactitud que se le puede atribuir a dichas experiencias.
De la ec. De Plank, podemos obtener también las leyes del desplazamiento de
Wien.
En efecto, si en
 
8ch

5
1
e / k T  1
(2.11  10)
hc
Hallamos el valor de  que hace máxima la función, para lo cual debe ser
d
hc
 0 , o si efectuamos el cambio de variables
x
d
kT
dx
0
dx
Poniendo (2.11-10) en función de x
x 
8k 5T 5 x 5

h4c 4 e x  1
(2.11  11)
y derivando
dx 8k 5T 5 5 x 4 (e x  1)  x 5 e x
 4 4
0
dx
h c
(e x  1) 2
para lo cual debe ser
5x 4 (e x  1)  x 5 e x  0
(2.11  12)
5(e  1)  xe  0
(2.11  13)
e (5  x)  5
x  ln( 5  x)  ln 5
y  5 x
ln y  (ln 5)  x
(2.11  14)
(2.11  15)
(2.11  16)
(2.11  17)
x
x
haciendo
x
La solución de la ec. (2.11-15) debe satisfacer simultáneamente a las ecs.
(2.11-16) y (2.11-17).
Procediendo a una resolución gráfica, mediante la representación de las
funciones (2.11-16) y (2.11-17).
Resultando que el valor de x que hace máxima  es
Xm  4,965
Por lo tanto
hc
 X m  4,965
mkT
m .T 
hc
 cte
k .4,965
(2.11  18)
resultando la primera ley de Wien. De acuerdo a (2.11-18) el valor de la
constante a resulta
a
6,625 x10 34 joulexseg.3x1010 m / seg
joule
1,3803
x 4,965
grado
a  2,8971x10 3 m.grado
que constituye una muy buena aproximación respecto del valor experimental
de 2,884 x 10-3 m x grado. Para obtener la segunda ley del desplazamiento de
Wien, no hay más que reemplazar el valor de m en la ec. (2.11-10):
m 
 m 
 m
T5
8ch
1
 4,965
s s
h c
e
1
5 5
5
k T x(4,965)
8k 5 (4,965) 5 5
T
h 4 c 4 e 4,965  1
(2.11  19)
 b'
con
b'  (4,965) 5
8k 5
1
 4,965
4 4
h c e
1
resultando (2,11-19) la segunda ley de Wien.
APENDICE I
El método general seguido para investigar la distribución espectral de la
energía radiante es resolver las radiaciones mediante un prisma adecuado (sal
de roca , cuarso, fluorita) y medir la energía transportada por las distintas
partes del espectro. Un esquema genera sería:
“Fig. 1”
Dispositivos de medición
Par o pares termoeléctricos-Radiómetro de Boys
AD y BC son conductores de un
mismo material y distinto del AB,
conectados como se indica en la figura
2.
En condiciones isotérmicas del circuito
no circula corriente por él; pero si se
hace TA  TB siendo A y B las
soldaduras de los metales, aparece
una f.e.m. entre D y C que se detecta
por la circulación de corriente en el
galvanómetro G.
Para un par metálico dado, y fijada la temperatura de una de las soldaduras
(TB  cte) , en ciertos intervalos resulta la corriente proporcional a (TA  TB ) lo
que permite tasar G directamente en temperaturas.
Para medir energía radiante se utiliza en realidad (método de Melloni) una
cadena metálica, dispuesta de tal manera que la mitad de las uniones se
encuentran sobre una superficie ennegrecida sobre la cual incide la radiación y
la otra mitad sobre una superficie mantenida a temperatura de referencia.
“Fig. 3”
Un refinamiento del método termoeléctrico para medir radiaciones lo constituye
el Radiómetro de Boys. En él, un par metálico forma la única espira del cuadro
móvil de u galvanómetro de D’ Ansonval (fig. 3)
La soldadura A sobre la cual incide la radiación se encuentra ennegrecida.
La corriente que circula por el cuadro al ser TA  TB lo hace girar en el campo
del imán hasta la posición de equilibrio con la culpa elástica del hilo suspensor.
El giro hace rotar al haz de luz que incide sobre el espejo que es solidario del
hilo, obteniéndose una instrumento de gran sensibilidad.
6 e
Para variaciones tan pequeñas como 10 K se obtienen corrientes del orden
10
de 10 ampere, medibles en este tipo de galvanómetro.
Barómetro
Es un pirómetro de resistencia dispuesto de manera que pueda medir energía
radiante.
Se construye mediante una cinta de platino ennegrecida dispuesta como una
de las ramas de un puente de Wheatstone. Al incidir radiación sobre ella
aumenta su temperatura lo que produce una variación en la resistencia de la
rama.
Esta variación se mide con el puente y siendo conocida la función que
relaciona la resistencia de la cinta con la temperatura, se puede determinar la
energía absorbida.
“Fig. 4”
APENDICE II
A-2ª Ecuaciones de Maxwell
La ley del flujo de Gauss demuestra que si una superficie cerrada S encierra
una colección de cargas eléctricas, el flujo del vector intensidad de campo
eléctrico E, a través de ella es:
o E   E.ds 
s
1
 qj

j
(1)
que para una distribución continua de densidad de carga  podemos escribir
1
s E.ds   s d (2)
siendo  s el volumen encerrado por S.
Aplicando el teorema de la divergencia
 E.ds   (.E)d
s
s
(3)
que reemplazada en (2)
1
 E.ds    d
s
s
(4)
igualdad que se debe verificar para cualquier volumen, lo que exige que sean
iguales los integrados
 ..1E 
1


(5)
Introduciendo en la (5) el vector desplazamiento eléctrico definido por D   E
ésta resulta:
.D  
(6)
La (5) o la (6) constituyen la primera ecuación de Maxwell.
Partiendo de que el flujo del vector inducción magnética B a través de una
B.ds  0
superficie cerrada es nulo scerrada
y aplicando el teorema de la divergencia
 B.ds  .Bd  0
s
s
(7)
que debiendo cumplirse para cualquier volumen exige que
.B  0
(8)
siendo la (8) la segunda ecuación de Maxwell.
Para obtener la tercera de las ecuaciones efectuemos la circulación del vector
intensidad del campo magnético (o excitación magnética) H a lo largo de un
circuito cerrado C, resultando
 H .dl   .x H ds   I .ds
sl
c
sl
 x H  I
(11)
Esta ecuación tal cual está escrita, solamente es aplicable a un conjunto de
casos particulares, dado que para que se cumpliera la ecuación (11) en todo
momento, debería ser siempre nula la divergencia de I (pues la divergencia
de x H de por si es nula en todos los casos), lo cual no es cierto . En efecto,
si consideramos una superficie cerrada y tenemos un flujo neto de corriente
hacia fuera (o adentro) de la misma, esta corriente debe ser igual al régimen de
decrecimiento (o crecimiento) de la carga encerrada por  por lo tanto
i   I .ds  

Q

   d
t
t 
(12)
si la superifie  se estacionaria respecto del tiempo, podemos pasar la
derivación dentro de la integral, y por el teorema de la divergencia

 I .ds   .I d   t d



(13)
debiendo ser válida para todo volumen
 .I  

t
(14)

0
o sea que las ec. (11) solamente es aplicable en aquellos casos en que t
La hipótesis de Maxwell fue que al segundo miembro de la ec. (11) había que
agregarle un término con dimensiones de densidad de corriente y tal que
cumpliera que:
.(  adicional )  .  .adicional  0
(15)
Y además supuso que el término adecuado a agregar es el dado por la ec. (14)
es decir

. adicional= t
y teniendo en cuenta la ec. (6)

D
(.D)  .
. adicional= t
t
 adicional 
( x)
D
t
(17)
(18)
resultando finalmente la tercer ecuación de Maxwell

D
(.D)  .
t pues el operador 
(x) Evidentemente es posible escribir t
implica un conjunto de derivaciones y lo que se ha hecho es cambiar el orden
de las mismas.
x H   
D
t
(19)
La cuarta ecuación se obtiene a partir de la ley de Faraday de las f.e.m.
inducidas. Esta nos dice que un campo magnético variable induce en un


  
t siendo t el régimen de variación del flujo
circuito C una f.e.m.
concatenado por el circuito. O sea que para cada punte de este circuito
tendremos un vector intensidad de campo eléctrico tal que

C
E.dl  


   B.ds
t
t s
siendo S  una superficie cuya frontera es C
Si el circuito es estacionarlo en el tiempo
(20)


B
B.ds   
.ds

S
S
 dt
t 
Aplicando el teorema de Stookes a la ec. (20)
 E.ds   x E.ds  
C
S
S
B
.ds
t
(21)
que para que se cumpla para cualquier superficie exige que
x E  
B
t
(22)
que es la cuarta ec. De Maxwell.
A2b Solución de las ecuaciones de Maxwell
Planteando las ecuaciones de Maxwell para un medio homogéneo en el cual no
haya cargas ni corrientes de conductividad y teniendo en cuenta que
B  H
D E
resulta
x H  
E
t
x E   
H
t
(23a)
(23b)
.H  0
(23c)
E  0
(23d)
Para resolver este sistema, premultiplicamos vectorialmente ambos miembros
de 23-b por el operador 
H
xx E   x
(24)
t
H
2H
nos va a quedar una suma de términos de la forma
en
t
tk
los cuales podemos invertir el orden de derivación resultando por lo tanto que
Al efectuar  x
x
H 
 (x H )
t
t
Desarrollando el triple producto vectorial
xx E  (
E )   2 E   2 E

(25)
0
donde de acuerdo a 23d .E  0 . Reemplazando en (24)
  2 E  

(x H )
t
(26)
e introduciendo la 23-a
 2 E  
2 E
t 2
(27)
Dando un tratamiento similar a la ec. (23-a) por eliminación de E se llega a la
ec. Formalmente análoga
 2 H  
2H
t 2
(28)
Podemos encontrar que tanto la (27) como la (28) se satisfacen por ec. de
onda.
En efecto, supongamos que tanto E como H sean funciones exclusivas de
una cierta dirección (x por ejemplo) y del tiempo t
H  H ( x1t )
E  E ( x1t )
Desarrollando las ecs. (23); de 23-a
E
 H Z H y   H x H z   H y Hx 

k    E x 1  y  E z

1  



 j  
 t
z   z
x   x
y 
t
t
 y

pero
H x H x H y H z



0
y
z
z
y

k 





 (29)




E x
 0  Ex
t
H z
Ey

t
x
E z H y

t
x
estacionario
Análogamente de 23-b
 H x
 t  0  Hx

E
 H y
(30)
 z
x
 t
 H z E y


x
 t
De 23 -c y 23-d
estacionario
E x E y E z
E


0 x 0
x
y
z
x
H x H y H z
H x

0
0
x
y z
x
Resultando Ex y Hx constantes en x y en t podemos considerarlas nulas.
De las ecs. (29) y (30) surge que obtendremos dos paros independientes de
soluciones a partir de
E y
H z 

t
x 
 1er.par de ecuaciones
E y
H z 
 
x
t 
(31)
E z H y 


t
x 
 2do. Par
H y 
E z
 
x
t 
(32)



Busquemos solución para el primer par; de hecho Ey y Hz deben satisfacer a
las ecs. (27) y (28) respectivamente.

2 Ey
 
x 2
2 Ey
(33)
t 2
efectuando el cambio de variables
  x  at
  x  at
resulta E y función de  y  derivando
E y
x

E y  E y 


.
 x
v x
como
u
1
x
E y
x

v
1
x
E y

u
E y
v
derivando nuevamente
2 Ey
x 2
2 Ey
x 2
 2 E y u  2 E y v  2 E y u  2 E y v



 



u 2 x uv x vu x v 2 x

2 Ey
u 2
2
2E y
uv

2E y
(35)
v 2
Análogamente
E y u E y v



t
u t
v t
E y
E y
E y
a
a
t
u
v

E y

 u
 t  a

 v  a
 t
derivando por segunda vez y operando
2Ey
t 2
2
2Ey
2Ey 2Ey 
a  2  2


uv
v 2 
 u
Reemplazando (35) y (36) en (33)
(36)
2Ey
u 2
2
2Ey
uv

2Ey
v 2
2Ey
2Ey 2Ey 
 a  2  2


uv
v 2 
 u
2
y haciendo la constante a 
1
resulta

2E y
uv
0
(37)
Integrando respecto de v
E y

  ( )
Con  (  ) arbitraria. Integrando respecto de 
E y    (  )du  f1
E y  f 2 (u )  f1
(v)
(v)
con f1 (v) y f 2 (u) funciones arbitrarias que de acuerdo a las ecs. (34) son
E y  f1 ( x  at )  f 2 ( x  at )
(38)
Siendo f1 ( x  at ) y f 2 ( x  at ) ecuaciones de onda que se propagan con
1
velocidad a 
en el sentido positivo y negativo del eje de las x.

De igual manera obtendríamos según la ec. (28) que
H z  g1 ( x  at )  g 2 ( x  at )
(39)
pero las ecs. (38) y (39) se hallan relacionadas por las (31), efectuando las
correspondientes derivadas de E y y H z resulta
 (af ' lt  af '2 t )  ( g '1x  g ' 2x )
f '1x  f ' 2x   (ag '1t  ag 't2 )
siendo a 
reordenando



, a 




 g '1x  g ' 2x  
 1  2
f 't 
f 't


 g '1t  g 't2  
 1
 2
f 'x 
f 'x


que para que se verifique debe ser
g1 ( x  at ) 

f 1 ( x  at )

g 2 ( x  at ) 

f 2 ( x  at )

(40)
Resultando finalmente el par de soluciones relacionadas
E y  f1 ( x  at )  f 2 ( x  at )
Hz  

f1 ( x  at ) 





f 2 ( x  at )


(41)
Análogamente a partir de las (32) obtendremos el otro par de soluciones
E z  F1 ( x  at )  F2 ( x  at )
Hy  


F1 ( x  at ) 
F2 ( x  at )


(42)
Habiéndose obtenido las soluciones de las ecuaciones de Maxwell para ondas
planas dado que en todo instante los vectores E y H se encuentran en el
plano Y-Z perpendicular a la dirección de viaje x.
En lugar de fijarnos las condiciones de borde anteriores, podemos buscar
solución al caso determinado por una fuente que emite en todas las direcciones
en un medio homogéneo e isótropo, tal que las funciones resultan depender
únicamente de la distancia r al emisor y del tiempo t . Si una ec. v(r,t) de este
tipo, tiene que satisfacer la ec. de D’Ambert
 2v 
resulta
1  2v
a 2  t 2
(43)
v
1
1
f1 (r  at )  f 2 (r  at )
r
r
(44)
que corresponde a la ecuación de una onda esférica que se propaga con
velocidad a.
A 2-c Energía de la onda
De acuerdo con A 2-a y A 2-b una onda que se propaga transporta energía en
los campos eléctricos y magnéticos; para calcularla consideremos una
superficie cerrada  de volumen   .
La energía electromagnética total encerrada por  es
UT  U E  U M
(45)
U E : Energía campo eléctrico
U M : Energía campo magnético
1

D.E 


2 z

1
  B.H  
2 

UE 
siendo
UM
U T 
(46)
2
2
1
1
(
D
.
E

B
H
)
d


(

E


H
)d
2  
2  
(47)
Si  es atravesada por ondas electromagnéticas, el flujo neto de energía por
unidad de tiempo transportada por las mismas tiene que ser igual al régimen de
variación negativa de U T

2
2
U T
 1

( E   H )

t
t 2  
(48)
si  es estacionaria

U T
1
E
H
   (2 E.
 2 H .
)
t
2 
t
t
(49)
Reemplazando 23-a y 23-b en (49)

U T
  ( H .x E  E.x H )d

t
(50)
La cantidad subintegral de (50) es el gradiente del producto E x H (x)

U T
  .( Ex H )d

t
(51)
que por el teorema de Gauss

U T
  Ex H .ds

t
(52)
(x) Desarrollando según sus componentes es fácil demostrar que
.( E x H )  H .x E  E.x H
Si designamos por N el régimen de emanación de energía por unidad de área
a través de  al ser atravesada por ondas electromagnéticas, el flujo neto de
energía por unidad de tiempo es
 N.ds
(53)

e igualando (52) con (53)
 N .ds   Ex H .ds


(54)
(55)
 N  Ex H
El vector N se lo conoce como vector de Poyntig y según lo expresado más
arriba nos da el régimen de emanación de flujo por unidad de área a través de
una superficie atravesada por ondas electromagnéticas cuyas componentes
eléctricas y magnéticas en esa superficie son E y H .
A 2d Oscilador y Receptor de Hertz
En sus experiencias Hertz utilizó un oscilador abierto constituído por dos
conductores A1, A2, -, de capacidad e inductancias distribuidas, montado como
se indica en la fig. 1.
“Fig. 1”
Al abrir L se produce una diferencia de potencial entre los extremos de la
bobina de Ruhmkoff, suficientemente elevada como para que salte la chispa
entre los conductores, produciéndose una descarga oscilante amortiguada de
alta frecuencia. En tales condiciones A1 A2 vibra produciendo ondas
electromagnéticas con longitud de onda igual a 21.
Como receptor utilizó un circuito oscilante puesto en resonancia con la onda a
detectar, lo que depende de la capacidad del receptor. Hertz lo construyó
mediante una espira como la indicada en la fig. 2
En el oscilador se inducían oscilaciones eléctricas tan intensas que saltaba una
chispa en el chispero c.
APENDICE III
Densidad de energía e intensidad específica de la radiación
Sea una cavidad que contiene radiación en equilibrio termodinámico. Si en ella
se toma un elemento de área (fig. 1), la energía dE (1)
“Fig. 1”
Que lo atraviesa por unidad de tiempo y que se propaga en el ángulo sólido
d , debe ser proporcional al ángulo sólido tomado y a ds
(1)
dE  cos dsd
siendo el factor de proporcionalidad la intensidad total de la radiación, que de
acuerdo con la ec. (1) es el flujo normal de radiación por unidad de superficie y
por unidad de ángulo sólido.
Análogamente si consideramos el flujo dE ,  , correspondiente al intervalo
espectral d a través de ds
dE ,    cos  .ds.dd (2)
donde  es la intensidad específica monocromática de radiación, relacionada
con la total mediante

   d
0
(3)
La intensidad monocromática  de radiación depende del cuadrado del índice
de refracción del medio, de la temperatura y de la longitud de onda 
considerada.
En particular para el vacío cuyo índice de refracción n vacío es igual a 1 resulta
 (vacío)  f ( , T )
(1) el subíndice e indica la orientación del haz respecto de la normal a ds
El flujo dE consideradas todas las direcciones se puede obtener a partir de
las ec (2) si se expresa d en función de las coordenadas angulares y se
realiza la integral correspondiente. Un diferencial de ángulo sólido en función
de las coordenadas angulares y está dado por
d  sen d d
que introducida en (2) e integrando para  entre 0 y 2 , y  entre 0 y
dE  
2
0
 /2

0

2
 cos sendsddd 
2
 /2
0
0
 dsd  d 
cossend  dsd
(5)
Si E es la energía de la radiación correspondiente a la longitud de onda  , el
flujo dE correspondiente al intervalo espectral d a través de ds debe ser
dE  Edsd
(6)
De (5) y (6)
Edsd  dsd
(7)
 E  
La energía total ET se puede obtener a partir de (7) mediante


0
0
ET   Ed    d  
ET  
(8)
De acuerdo con la ec. (2) la energía que se propaga por unidad de tiempo en el
ángulo sólido d es
ds1dd
(9)
siendo ds1  ds cos la sección transversal del haz en el punto de estudio .
Si c es la velocidad de propagación, el espacio recorrido por la radiación en la
unidad de tiempo es c y la energía dada por la ec. (9) debe estar distribuida en
el volumen c ds1 , resultando que la densidad de energía para el intervalo d y
con la sola contribución de la energía que se propaga a través de d es:
ds1dd dd

cds1
c
(10)
Integrando la ec. (10) para todas las direcciones se obtiene la densidad de
energía d
Correspondiente al intervalo espectral d
d  
dd d
4

d 
d

c
c
c
(11)
y por lo tanto la densidad de energía monocromática será:
 
4

c
(12)
y la densidad total

 T     d 
0
T 
4

c
4 
d
c 0
(13)
Si se relacionan las ec. (7) y (12)
E


c

4
c
 E  
4
Análogamente con (8) y (13)
c
ET   T
4
(15)
APENDICE IV
Primera Ley de Kirchoff
Sea un recinto cerrado adiabático que contiene un número cualquiera de
cuerpos en equilibrio termodinámico (fig.1) a temperatura T.
“Fig. 1”
Es evidente que en este estado de equilibrio cada cuerpo emite igual cantidad
de energía que la que absorbe (Ley de Prevost), pues estaría en contra del
segundo principio de la termodinámica el que alguno de ellos variara
espontáneamente su temperatura.
La energía que irradia por unidad de tiempo uno cualquiera de los cuerpos a
través de un elemento ds de su superficie en el ángulo sólido d y en el
intervalo espectral d está dado por la ec. (2.3-1) (sección 2.3)
dE  e ds d d
(1)
Debido a la emisión de energía radiante de todos los cuerpos que componen el
sistema, en el recinto tendremos una intensidad específica de radiación 
para la longitud de onda  , de manera que por d incide sobre ds una
cantidad de energía d1E que según la ec. (2) del apéndice 3 es
d1 E  dsdd
(2)
una parte de d1 E será reflejada por el cuerpo y la otra absorbida. Si a es el
poder de la absorción del cuerpo para esa longitud de onda, la energía
absorbida d1 E'  será:
d1 E '   a d1 E  a  ds d d
(3)
y la diferencia entre la energía emitida y absorbida a través de ds en el intervalo
comprendido entre  y   d
dE  d1 E'   edsdd  adsdd
 (e  a )dsdd
(4)
Integrando la ec. (4) para todas las longitudes de onda, toda la superficie del
cuerpo y todas las direcciones, se obtiene la diferencia neta entre la energía
emitida y absorbida que debe ser nula:
E   (e  e  )ds d d  0
(5)
lo que exige que sea
e  a  0
(6)
para toda longitud de onda
  
e
a
(7)
Siendo  una vez fijado el medio-únicamente función de la temperatura y de
la longitud de onda (apend. 3) considerada resulta:
e
 f ( , T )
a
(8)
APENDICE V
Presión de radiación- Deducción termodinámica de las leyes de Stefan
Boltzman y del desplazamiento de Wien
A.5.a Presión de Radiación
Levedev confirmó experimentalmente (con un dispositivo como el
esquematizado en la fig. 1) la existencia de la presión que según la teoría de
Marxwell debían ejercer las ondas electromagnéticas que inciden sobre una
superficie.
“Fig. 1”
Este encontró que al hacer incidir luz sobre una sola de las paletas, el hilo que
las sostiene gira, hasta que el par elástico antagónico del mismo equilibra el
momento producido por la fuerza que actúa sobre la paleta iluminada . Sea una
superficie perfectamente reflectora y un elemento ds de la misma (fig.2)
“Fig. 2”
La energía dE que llega a ds a través de d en la unidad de tiempo es según
ec. (1) del apéndice3
dE   cosdsd
(1)
como a una cantidad de energía dE que se traslada a velocidad c le
dE
corresponde una cantidad de movimiento
; la cantidad de movimiento que
c
está llegando por unidad de tiempo a ds es
 cos dsd
(2)
c
cuya componente normal a la superficie es
 cos dsd
 cos 2 dsd
cos  
c
c
(3)
y la tangencial
 cos sendsd
c
(4)
Como se ha supuesto la pared perfectamente reflectora, la componente
tangencial no varía durante la reflexión mientras que la normal cambia de
sentido, o sea que pasa a ser

 cos 2 dsd
c
(5)
Por lo tanto la variación neta de cantidad de movimiento durante la reflexión es
 cos 2 dsd
 cos 2 dsd
2
 (
)   cos dsd
c
c
c
(6)
que integrada para todas las direcciones nos da la transferencia total de
cantidad de movimiento entre el haz y ds . Poniendo d en función de las
coordenadas angulares  y  resulta:
2
 c  cos

2
dsd 

2
2
ds  d  2 cos 2 send
0
0
c
(7)
4 
ds
3 c
La transferencia de cantidad de movimiento es igual al impulso que el haz
ejerce sobre ds y el impulso por unidad de tiempo da la fuerza dF que debida a
la radiación actúa sobra ds , por lo tanto
dF  impulso por unidad de tiempo 
4 
ds
3 c
(8)
y la presión P
P
dF 4 

ds 3 c
(9)
Siendo según la ec. (13) del apéndice (3)
TC
4
(10)
1
P  T
3
(11)

resulta
que da la presión de la radiación en función de la densidad de energía.
A.5 Ley de Stefan-boltzman
Sea un cilindro de paredes reflectoras y conductoras del calor (fig.3) lleno de
radiación de cuerpo negro con densidad de energía  T
“Fig. 3”
y en equilibrio termodinámico.
De acuerdo con lo deducido en el apartado anterior la radiación tendrá una
cierta presión p y se puede asimilar a un gas al cual son aplicables las leyes de
la termodinámica.
Por lo tanto de acuerdo con la ec. de Helmholtz la energía libre F del sistema
será:
F  U  TS
donde U es la energía interna, S la entropía y T la temperatura del sistema.
Diferenciando (12)
dF  dU  Tds  SdT
(13)
Tds  dU  pdv
(14)
Para un proceso reversible
que reemplazada en (13)
dF  dU  dU  pdv  SdT
dF   pdv  SdT
(15)