Download Valor de verdad de una proposición lógica

GRUPO TEMATICO:
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Proposiciones lógicas.
Valor de verdad de una proposición.
Introducción a la teoría de conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números enteros y su representación.
Proposiciones lógicas
Proposiciones
En nuestro lenguaje usualmente se hace uso de cuatro tipos de proposiciones, a saber:
1. Aseverativas o declarativas
En cultura Griega se llamaban Barbaros a quienes no hablaban su misma lengua.
2. Exclamativas o admirativas
¡Qué tremendo saber esto!
3. Interrogativas
¿Quién es el culpable de la situación del País?
¿Quién soy yo?
4. Imperativas
¡Recuérdalo ya!
¡Vete ya!
Serán de nuestro interés las primeras, es decir, las aseverativas o declarativas, en las
cuales se niega o se acepta algo, para decir que es verdadero o falso, y es a este tipo de
proposiciones a las que llamaremos proposiciones lógicas.
Verdadero = (V).
Falso = (F).
Valor de verdad de una proposición lógica
Ley del tercio excluido
En el caso de la lógica matemática, las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas, pero
nunca ambas a la vez, es decir, una proposición no puede ser verdadera y falsa
simultáneamente. Esta formalización fue propuesta por Aristóteles, y es cuando una tercera
cosa no se da por hecho.
En la gramática estamos acostumbrados a ver que las oraciones pueden ser verdaderas o
falsas, según se ajusten o no a la realidad que expresan, por ejemplo si llueve y digo que
“hace sol”, esa oración es falsa. En cambio la lógica considera que las proposiciones pueden
ser verdaderas o falsas con independencia de que en la realidad lo sean; por eso habla de
valores de verdad1.
Ejemplos:
Colombia es un país que tiene una gran diversidad cultural (V).
El idioma que más usan los estadounidenses es el latín (F).
Representación de una proposición lógica: Una proposición lógica puede ser
representada mediante una oración gramatical y también por medio de una expresión
matemática.
Una expresión matemática es una combinación de símbolos con sentido y significado que
se usan en las ciencias exactas. Podemos decir que hay varios tipos, por ejemplo las
expresiones matemáticas aritméticas y las expresiones matemáticas algebraicas.
Ejemplos:
a) 1 + 2 = 3
es una expresión matemática aritmética
b) 𝑛 + 𝑛 = 2𝑛
es una expresión matemática algebraica
c) La capital del departamento del Cauca es Popayán
es una oración gramatical
Algunos símbolos matemáticos:
<
Menor que
Mayor que
>
Para todo
∀
Menor o igual
≤
=
≠
∃
≥
Igual a
Diferente que
Existe un
Mayor o igual
Lo contrario a decir “menor que” es “mayor que”; y lo contrario a decir “igual a” es
“diferente que”.
Negación de una proposición
1
Consultado el 15 de febrero de 2012 en :
http://www.educared.org/wikiEducared/L%C3%B3gica_proposicional.html#Valores_de_verdad
2
Negar una proposición, significa cambiar su valor de verdad inicial u original,
construyendo otra proposición.
Proposición
7 es múltiplo de 2
2 es primo
2+3≠ 5
Valor
verdad
F
V
F
de
Negación de la Proposición
7 NO es múltiplo de 2
2 NO es primo
2+3=5
Valor de
verdad
V
F
V
Actividad 1
1. Indica con una “X” cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones lógicas
a. ¡que susto!
b. ¡fuera!
c. Egipto está ubicado en Asía.
d. El 2 es un número par y primo.
e. 2 + 8 ≠ 10
f. ¿Quién es?
2. Escribe la negación de cada una de las siguientes proposiciones y halla su valor de
verdad, completando el siguiente cuadro.
Proposición
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Valor Negación
de
verdad
Valor
de
verdad
5+3≠2
7 es menor o igual que 3
5+3≥2
15 + 8 < 2
19 es múltiplo de 6
7≤2
Todos los hombres son
mortales
Conectivos lógicos
Las proposiciones que hemos trabajado anteriormente, son proposiciones simples, a continuación
iniciaremos a construir a partir de estas proposiciones (simples) otras, las cuales se llaman
proposiciones compuestas.
3
Proposiciones compuestas
Para construir proposiciones compuestas, es necesario utilizar conectivos lógicos. Algunos
conectivos lógicos aparecen en la siguiente tabla:
Nombre
Conjunción
Disyunción
Disyunción exclusiva
Implicación
Doble implicación
Conectivo lógico
y
o
o…o
Si…entonces
Si y sólo si
Símbolo
∧
∨
∨
⟹
⟺
Ejemplos de proposiciones compuestas
1. El número 2 es par y es primo
Proposiciones simples:
P: el número 2 es par.
Q: el número 2 es primo (es primo).
2. Si 6 es un número divisible por 2 entonces el número 6 es par.
Proposiciones simples:
P: 6 es un número es divisible por 2.
Q: el número 6 es par.
3. O 5 es un número es par o 5 es impar.
4. 8 no es primo si y sólo si 8 tiene más de dos divisores.
Proposiciones simples:
P: 8 no es primo.
Q: 8 tiene más de dos divisores.
Valor de verdad de una proposición compuesta
Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta, es necesario, hacer uso de las
tablas de verdad, las cuales nos dan, las posibles combinaciones, de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen.
4
Tabla de verdad para la conjunción (y)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P∧Q
V
F
F
F
La anterior tabla, nos está diciendo: que una proposición compuesta cuyo conector lógico es la “y”
es verdadera, únicamente cuando las proposiciones simples que la componen son verdaderas.
Ejemplos
1. 4 es par y 4 es divisible entre 2. (V)
(V)
(V)
2. 5 es primo y 5 es par. (F)
(V)
(F)
3. 3 + 4 = 9 ∧ 5 > 9.
Tabla de verdad para la disyunción (o)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P∨Q
V
V
V
F
Ejemplos
1. 4 es par o 4 es divisible entre 2. (V)
(V)
(V)
2. 5 es primo y o es par.
3. 3 + 4 = 9 ∨ 5 > 9.
Para el caso de la disyunción, diremos que una proposición compuesta, en la que aparece el
conector lógico “o”, es falsa, solo cuando las proposiciones simples que la componen son falsas. En
caso contrario, la proposición compuesta será verdadera.
5
Tabla de verdad para la disyunción exclusiva (ó)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P∨Q
F
V
V
F
Actividad
¿Qué nos está queriendo decir esta última tabla y las que siguen? Cita por lo menos cinco ejemplos
distintos a los anteriormente dados, en donde aparezcan diferentes casos y concluye de manera
similar con las tablas que se muestran a continuación.
Tabla de verdad para la implicación (Si… entonces…)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P⟹Q
V
F
V
V
Ejemplo
1. Si 6 es un número divisible por 2 entonces el número 6 es par. (V)
(V)
(V)
Tabla de verdad para la doble implicación (…si y sólo sí…)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P⟺Q
V
F
F
V
Ejemplo
1. 6 es un número compuesto si y sólo si el número 6 no es primo. (V)
(V)
(V)
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Actividad
Cuantificadores
Se usan generalmente en las proposiciones, las cuales llamaremos proposiciones cuantificadas; y
son aquellas en las que aparecen o está implícito un cuantificador existencial o universal, unos de
estos pueden ser: algunos, existe un, no todos y todos.
Cuantificado Universal. ( ∀)
El símbolo del cuantificador universal es: ∀
Se lee: para todos, cualquiera, todos o todo.
Ejemplos
1. Los camaleones cambian de color.
2. Todos los camaleones cambian de color.
3. Todos los peces viven en el agua.
Consideremos que ℕ es el conjunto de los números naturales
4. ∀𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 es par.
Cuantificador Existencial (∃)
El símbolo del cuantificador universal es: ∃
Se lee: algunos, no todos, unos.
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
5.
Algunas aves no vuelan.
Existen mamíferos que nadan en el mar.
A unos hombres no les gustan las mujeres.
No todos aprendemos de la misma manera.
Algunos números son primos.
Consideremos que ℕ es el conjunto de los números naturales
6. ∃𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 es par.
Negación de proposiciones con cuantificadores
Para negar una proposición cuantificada, se debe cambiar el cuantificador y negar la proposición.
7
Ejemplos:
1. Todos los números naturales son primos,
Su negación es:
Algunos números naturales no son primos.
Actividad
A. Indica cuales de las siguientes proposiciones son cuantificadas.
1. Algunos televisores son blancos y negros.
2. Las aves vuelan.
3. Todos los sábados practico algún deporte.
4. No todos los libros de la biblioteca son de matemáticas.
5. Ningún estudiante pierde el examen.
Recuerda: Para negar una
6. El invierno es en el mes de agosto.
proposición cuantificada, se
7. Todos los colombianos son antioqueños.
debe cambiar el
8. La savia va por los tallos de los árboles.
cuantificador (de universal a
9. Algunos hongos son comestibles.
existencial y de existencial a
10. No todo lo que brilla es oro.
universal) y negar la
11. Todos los deportistas son buenos gimnastas.
proposición (se puede
12. Ningún ingeniero estudia matemáticas.
colocar “no” o buscar un
13. Algunos médicos son pediatras.
antónimo o contrario).
14. Todos los insectos son invertebrados.
15. Algunos hombres de ciencia son soberbios.
16. Todos los hombres son felices
17. No todos los vehículos en Colombia están en buen estado.
B.
C.
D.
E.
Di cuales de las proposiciones del ejercicio A son universales y cuales son existenciales.
Escribe el valor de verdad de las proposiciones del ejercicio A
Niega las proposiciones del ejercicio A.
Negar las siguientes proposiciones cuantificadas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
Los camaleones cambian de color.
Todos los camaleones cambian de color.
Todos los peces viven en el agua.
∀𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 es par.
Algunas aves no vuelan.
Existen mamíferos que nadan en el mar.
A unos hombres no les gustan las mujeres.
No todos aprendemos de la misma manera.
Algunos números son primos.
∃𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 es impar.
∀♂, ∃♀.
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Evaluación cognitiva de lógica matemática.
Nombres y apellidos ______________________ Grado______Código _______
1.
Una proposición lógica es aquella de la cual podemos afirmar si es verdadera o falsa. Una de
los siguientes enunciados NO corresponde a una proposición lógica:
A.
B.
C.
D.
2.
Las proposiciones lógicas pueden tener o no cuantificadores, los cuantificadores que se han
estudiado son los cuantificadores universales y existenciales. La proposición lógica que
corresponde a una proposición con un cuantificador existencial es:
A.
B.
C.
D.
3.
Si 4 es par, entonces 8 es divisible por 3.
2 es primo si y sólo si, 2 tiene más de dos divisores.
5 es primo o 5 es par.
5 no tiene dos divisores o 13 es un número impar.
¿Cuál de las siguientes proposiciones está escrita como una expresión matemática?
A.
B.
C.
D.
7.
Negar la proposición
Cambiar el cuantificador
Cambiar el cuantificador y dejar la misma proposición.
Cambiar el cuantificador y negar la misma proposición
Una de las siguientes proposiciones compuesta es verdadera:
A.
B.
C.
D.
6.
Todo cuadrado no tiene cuatro lados
Algunos cuadrados tienen cuatro lados.
Existen cuadrados que tiene cuatro lados.
Unos cuadrados no tienen cuatro lados.
Para negar una proposición lógica con cuantificadores se debe tener en cuenta:
A.
B.
C.
D.
5.
Todos los cuadrados tiene ángulos rectos.
Cualquier número natural puede ser par o impar.
Cada ciudadano mayor de edad puede ejercer el derecho al voto.
Algunos hombres son sabios.
Negar una proposición consiste en cambiar su valor de verdad. La negación de la proposición
todo cuadrado tiene cuatro lados, es:
A.
B.
C.
D.
4.
La raíz cuadra de 25 es igual a 5.
El cuadrado tiene 4 lados.
La medida de los ángulos interiores en un triángulo suman 180°.
¿estudiaste para la prueba cognitiva de matemáticas?
2 + 3 es mayor que 19.
Todo número natural tiene un antecesor y un sucesor.
Existe un único número natural que es par.
∃ 𝑥, 𝑥 + 1 = 3.
Una de las siguientes proposiciones es verdadera:
A.
B.
C.
D.
Todo numero natural tiene un antecesor (por ejemplo el antecesor del 10, es el 9).
Cada número natural es primo.
Cualquier número natural es divisible entre siete.
Existe sólo un número natural que es par y primo.
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Teoría de Conjuntos
Representación de Conjuntos
No podemos decir certeramente que es un conjunto, por ahora tendremos únicamente una
idea intuitiva de lo que es un conjunto, porque generalmente su definición esta asocia a un
sinónimo.
Intuitivamente, un conjunto es una colección de objetos o un encierro de objetos. Cada
objeto de un conjunto se llamará elemento del conjunto.
Acordaremos además lo siguiente:
Los conjuntos se nombran usando letras mayúsculas del abecedario: A, B, C, D, E,…, X,
Y, Z.
¿Cómo nombrar el alfabeto de las letras mayúsculas?, es decir, {A, B, C,…, X, Y, Z}
Los conjuntos se pueden representar, mediante diagramas de Venn y lineales o entre llaves.
Ejemplos
Diagramas
Llaves:
𝑉 = {𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠}
𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}
𝑉 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}
𝑁 = {𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠}
𝑉 = {0,1,2,3,4,5}
𝑉 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠}
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Relación de pertenencia
Los objetos pueden estar o no en un conjunto, en el caso de que estén en el conjunto,
diremos que dicho objeto pertenece al conjunto. Para lo cual asumiremos la siguiente
simbología:
∈ 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎
∉ 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎
Ejemplo
En el conjunto V, podemos establecer las siguientes relaciones:
𝑜∈𝑉
𝑒∈𝑉
1∉𝑉
0∉𝑉
La relación de pertenencia es una relación únicamente y exclusivamente entre elemento y
conjunto.
Lo siguiente no es posible
𝑉∈𝑁
Porque 𝑉 es un conjunto, al igual que 𝑁.
Por lo tanto, dos conjuntos no se pueden relacionar con la relación de pertenencia. Para ello
existen otras relaciones que veremos más adelante, como la de contenencia.
Actividad 2
1. Encuentra cinco sinónimos de la palabra conjunto o que den la idea de conjunto.
2. La colección de letras A, B, C, R, A, D, L, S, T ¿puede considerarse un conjunto? ¿Por
qué?
3. Si A= {las puntas del cuadrado abcd},
a. Dibuja el diagrama correspondiente y ubica los puntos a, b, c, d, m, n, e
b. Escribe según corresponda
4. fd
5.
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Operaciones con conjuntos.
Números enteros y su representación
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