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Trigonometría
Conceptos básicos
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las diversas
relaciones que se pueden establecer entre los lados y los ángulos de un
triangulo.
TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos.
K = hipotenusa
W
𝑘2 = 𝑠2 + 𝑤 2
Catetos
S
Funciones o razones trigonométricas
Las razones trigonométricas son relaciones que se establecen entre dos lados
y un ángulo en un triangulo rectángulo.
Las razones trigonométricas son seis, a saber:
Seno (𝐬𝐞𝐧 𝜽): es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno (𝐜𝐨𝐬 𝜽): es el cociente entre le cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente (𝐭𝐚𝐧 𝜽) (𝐭𝐠 𝜽): es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente.
Cotangente (𝐜𝐨𝐭 𝜽) (𝐜𝐭𝐠 𝜽): es el cociente entre el cateto adyacente y el
cateto opuesto.
Secante (𝐬𝐞𝐜 𝜽): es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Cosecante (𝐜𝐬𝐜 𝜽): es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Existe una regla nemotécnica para aprender sin esfuerzo la definición de las
razones trigonométricas. Es fundamental el orden de ellas.
sen 𝜃 =
𝐶𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜
cos 𝜃 =
𝐶𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜
tan 𝜃 =
𝐶𝑜
𝐶𝑎
Donde:
Co: Cateto Opuesto
Ca: Cateto Adyacente
Hipo: Hipotenusa
𝐶𝑎
cot 𝜃 = 𝐶𝑜
csc 𝜃 =
Co
Ca
ℎ𝑖𝑝𝑜
sec 𝜃 =
𝐶𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜
𝐶𝑜
𝜃
Hipo
Primero se escribe la secuencia en los numeradores, hacia abajo, y luego en
los denominadores hacia arriba.
Ejemplos
Hallar todas las razones trigonométricas del ángulo dado. Primero encuentre el
valor del lado que falta, simplifique y racionalice cuando sea necesario.
1.
𝑎 = 5𝑏
𝑎 + 3𝑏
𝑥 =?
∅
En primer lugar se debe aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor
del cateto que falta.
(𝑎 + 3𝑏)2 = (𝑎 − 5𝑏)2 + 𝑥 2
Intercambiando los dos miembros de las ecuaciones y aplicando productos
notables, se tiene:
𝑎2 − 10𝑎𝑏 + 25𝑏 2 + 𝑥 2 = 𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 9𝑏 2
Transponiendo términos:
𝑥 2 = 6𝑎𝑏 + 9𝑏 2 + 10𝑎𝑏 − 25𝑏 2
𝑥 2 = 16𝑎𝑏 − 16𝑏 2
Luego:
𝑥 = √16(𝑎𝑏 − 𝑏 2 ) ∶ 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛
𝑥 = 4√𝑎𝑏 − 𝑏 2 ∶ 𝑅𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑐𝑢𝑡𝑜.
Aplicando la definición y reemplazando, se tiene:
sen ∅ =
𝑎 − 5𝑏
𝑎 + 3𝑏
4√𝑎𝑏 − 𝑏 2
cos ∅ =
𝑎 + 3𝑏
tan ∅ =
𝑎 − 5𝑏
√𝑎𝑏 − 𝑏 2
4√𝑎𝑏 − 𝑏 2 √𝑎𝑏 − 𝑏 2
=
(𝑎 − 5𝑏)√𝑎𝑏 − 𝑏 2
4(𝑎𝑏 − 𝑏 2 )
=
(𝑎 + 3𝑏)√𝑎𝑏 − 𝑏 2
4(𝑎𝑏 − 𝑏 2 )
4√𝑎𝑏 − 𝑏 2
cot ∅ =
𝑎 − 5𝑏
sec ∅ =
csc ∅ =
𝑎 + 3𝑏
√𝑎𝑏 − 𝑏 2
4√𝑎𝑏 − 𝑏 2 √𝑎𝑏 − 𝑏 2
𝑎 + 3𝑏
𝑎 − 5𝑏
2.
3𝑚 − 7𝑝
2√21𝑚𝑝
𝑥 =?
Aplicando Pitágoras:
𝑥 2 = (3𝑚 − 7𝑝)2 + (2√21𝑚𝑝)
2
Aplicando productos notables y propiedades de la potenciación y la
radicación:
𝑥 2 = 9𝑚2 − 42𝑚𝑝 + 49𝑝2 + 4(21𝑚𝑝)
𝑥 2 = 9𝑚2 − 42𝑚𝑝 + 49𝑝2 + 84𝑚𝑝
Simplificando y factorando:
𝑥 2 = 9𝑚2 + 42𝑚𝑝 + 49𝑝2 = (3𝑚 + 7𝑝)2
∴ 𝑥 = 3𝑚 + 7𝑝
Por lo tanto:
sen ∝ =
2√21𝑚𝑝
3𝑚 + 7𝑝
cos ∝ =
3𝑚 − 7𝑝
3𝑚 + 7𝑝
tan ∝ =
2√21𝑚𝑝
3𝑚 − 7𝑝
cot ∝ =
sec ∝ =
csc ∝ =
3𝑚 − 7𝑝 √21𝑚𝑝
2√21𝑚𝑝 √21𝑚𝑝
=
(3𝑚 − 7𝑝)√21𝑚𝑝
42𝑚𝑝
=
(3𝑚 + 7𝑝)√21𝑚𝑝
42𝑚𝑝
3𝑚 + 7𝑝
3𝑚 − 7𝑝
3𝑚 + 7𝑝 √21𝑚𝑝
2√21𝑚𝑝 √21𝑚𝑝
Ejercicios