Download ECUACIONES_DE_MAXWELL_2
Document related concepts
Transcript
ECUACIONES DE MAXWELL YULEIDIS SIERRA ZEQUEIRA YICELL CAROLINA ACOSTA LIC. JUAN PACHECO UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICAS FACULTADA DE CIENCIAS BÁSICAS DE LA EDUCACIÓN VALLEDUPAR CESAR 2016 ECUACIONES DE MAXWELL YULEIDIS SIERRA ZEQUEIRA YICELL CAROLINA ACOSTA Este informe se hace con el fin de profundizar en las leyes de Maxwell que fueron expuestas en clase por cada una de las integrantes del presente grupo UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICAS FACULTADA DE CIENCIAS BÁSICAS DE LA EDUCACIÓN VALLEDUPAR CESAR 2016 Ley de Gauss La ley de Gauss describe una relación general entre el flujo eléctrico neto que atraviesa una superficie cerrada y la carga encerrada por la superficie. Flujo Eléctrico: son cantidades de líneas de fuerzas que atraviesan un área determinada. Es una integral de superficie, lo que significa que debe ser evaluada sobre la superficie en cuestión. El valor del flujo depende tanto del patrón de campo como de la superficie. La evaluación del flujo que pasa por una superficie cerrada, Se define como aquella que divide el espacio en una región exterior y una interior, de manera que no es posible pasar de una región a la otra sin atravesarla. Por ejemplo, la superficie de una esfera tiene una superficie cerrada. Definición de la ley de Gauss La superficie gaussiana de radio r que rodea una carga puntual q. cuando la carga está en el centro de la esfera, el campo el eléctrico es normal a la superficie en todos los puntos y de magnitud constante. Las superficies cerradas de diversas formas que rodean una carga q. el flujo eléctrico neto es el mismo a través de todas las superficies. carga puntual localizada fuera de una superficie cerrada. El numero de lineas que entran a la superficie es igual al numero de lineas que salen de la misma. La integral de area del campo electrico sobre cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada en esa superficie dividida por la permitividad del vacio. La ley de gauss es una de las formas de las ecuaciones de maxwell. Por medio de la ley de gauss podemos partir para llegar a lo que es campo electrico, ley de coulom y energia potencial. Acontinuacion, demostracion: ∯ 𝐸⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝑞𝑖𝑛 𝜀0 Resolviendo el producto punto, nos quedaria asi: ∯ 𝐸 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑞 𝜀0 Considerando que el angulo es 𝜃 = 0° entonces: ∯ 𝐸 𝑑𝑠 = 𝑞 𝜀0 Resolvemos la integral y decimos que el campo es estacionaria, es decir; que no varian con el tiempo sino con el radio. 𝐸 ∯ 𝑑𝑠 = 𝐸𝑠= 𝑞 𝜀0 𝑞 𝜀0 Donde el area de la superficie es 4𝜋𝑟 2 Teniendo en cuenta que la superficie es una esfera: 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = 𝐸= 𝑞 𝜀0 𝑞 4𝜋𝑟 2 𝜀0 1 Donde 𝐾 = 4𝜋𝜀 0 𝐸= ⃗𝑬 = 𝑘𝑞 𝑟2 𝒌𝒒 𝒓̂ 𝒓𝟐 Operamos por una carga 𝑞0 tenemos: 𝑞0 𝐸 = Donde 𝐹 = 𝑘𝑞𝑞0 𝑟2 𝑘𝑞𝑞0 𝑟2 𝐹 = 𝑞𝐸 Reemplazamos el campo: 𝐹= 𝑘𝑞𝑞0 𝑟2 Asi nos quedaria la ley de coulom, que dice que la fuerza es proporcional al producto de las dos cargas e inversamente proporcionalal radio cuadrado. ⃗𝑭 = 𝒌𝒒𝒒𝟎 𝒓̂ 𝒓𝟐 La fuerza electrica es igual a menos el graciente de la energia potencial. ⃗𝑈 𝐹 = −∇ 𝐹=− 𝑑𝑈 𝑑𝑟 𝑑𝑈 = −𝐹𝑑𝑟 𝑈 = − ∫ 𝐹 𝑑𝑟 𝑈 = −∫ 𝑘𝑞𝑞0 𝑑𝑟 𝑟2 𝑈 = −𝑘𝑞𝑞0 ∫ 𝑟 −2 𝑑𝑟 𝑟 −1 𝑈 = −𝑘𝑞𝑞0 −1 Energia potencial: 𝑼= 𝒌𝒒𝒒𝟎 𝒓 hay algunas leyes de conservacion que se presentan y son: Ley de conservacion del flujo Ley de conservacion de la carga Ley de conservacion de la energia Elementos de simetria Simetria esferica El siguiente informe lo Vamos a empezar hablando solo un poco acerca de la vida de estos grandes personajes en el campo de la física y muchos otros campos en lo que se destacaron, me refiero a André-Marie Ampère y a James Clerk Maxwell, le voy a contar un poco de la vida de cada uno de ellos André Marie Ampère - André-Marie Ampère (1775/01/20 - 1836/06/10) André-Marie Ampère Científico francés Nació el 20 de enero de 1775 en Polémieux-au-Mont-d'Or, localidad próxima a Lyon (Francia). En el año 1801, con veintiséis años, es nombrado profesor de física y química en el Instituto de Bourg, y en 1809, profesor de matemáticas en la Escuela Politécnica de París. El amperio (A), la unidad de intensidad de corriente eléctrica, toma su nombre de él. Su teoría electrodinámica e interpretaciones sobre la relación entre electricidad y magnetismo se publicaron en su Colección de observaciones sobre electrodinámica (1822) y en Teoría de los fenómenos electrodinámicos(1826). Inventor de la aguja astática, que hizo posible el galvanómetro. También fue el primero en demostrar que dos conductores paralelos por los que circula una corriente en el mismo sentido, se atraen el uno al otro, mientras que si los sentidos de la corriente son opuestos, se repelen. André-Marie Ampère falleció el 10 de junio de 1836, en Marsella, Francia. James Clerk Maxwell (1831/06/13 - 1879/11/05) James universidades Clerk Maxwell Físico británico Nació el 13 de junio de 1831 en Edimburgo, en el seno de una familia acomodada. En 1841 comenzó sus estudios en la Academia de Edimburgo, donde demostró un excepcional interés por la geometría, disciplina sobre la cual versó su primer trabajo científico, publicado cuando contaba sólo catorce años de edad. Cursó estudios en las de Edimburgo y Cambridge. Fue profesor de física en la Universidad de Aberdeen desde 1856 hasta 1860. En 1871 se le reconoce como el profesor más destacado de física experimental en Cambridge, donde supervisa la construcción del Laboratorio Cavendish. Amplía la investigación de Michael Faraday sobre los campos electromagnéticos, demostrando la relación matemática entre los campos eléctricos y magnéticos. También demostró que la luz está compuesta de ondas electromagnéticas. Su obra más importante es el Treatise on Electricity and Magnetism (Tratado sobre electricidad y magnetismo, 1873), en donde, por primera vez, publicó su conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales en las que describe la naturaleza de los campos electromagnéticos en términos de espacio y tiempo. James Clerk Maxwell falleció en Cambridge, Reino Unido, el 5 de noviembre de 1879, ocho años antes de la confirmación experimental de su teoría electromagnética. Ley de ampere Ampere formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampere nos dice que la circulación en un campo magnético (B) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente (I) sobre la superficie encerrada en la curva C, la ley de ampere nos dice que una corriente genera un campo magnético y la dirección del campo la encontramos con la mano derecha, colocamos el dedo pulgar en dirección hacia donde este la corriente y hacia donde apunten los otros cuatro dedos va a ser hacia donde se dirija el campo, matemáticamente se representa así: ∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝒔 = 𝝁𝟎 𝑰𝒆𝒏𝒄 𝑐 Circulación del campo magnético atraves de una trayectoria cerrada Permitividad del medio el en vacio La corriente encerrada en la trayectoria (FUENTE) Algo semejante pasa con la ley de Gauus una carga encerrada en una superficie Gaussiana, se dibujaba una superficie Gaussiana y se preguntaba por la carga encerrada en dicha superficie, en la ley de ampere pasa algo similar se encierra una o varias corrientes en una trayectoria cerrada y se pregunta por las cargas encerradas Ahora nos vamos a concentrar en el lado matemática de la ley de ampere izquierdo de la representación La magnitud del campo Magnético es tangencial a la línea de campo B B ds Ahora vamos a suponer una corriente entrando y resolvemos solo el lado izquierdo de la ecuación y podremos concluir algo muy importante ∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝑳 = ∮ ‖𝑩‖‖𝒅𝒔‖ cos 𝜃 𝑐 𝒄 x ∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝑳 = ∮ 𝐵 𝑑𝑠 𝑐 𝒄 Como el campo magnetico esta siempre a la misma distancia de la corriente y no va a variar lo podemos considerar constante ∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝑳 = 𝐵 ∮ 𝑑𝑠 𝑐 𝒄 ∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝑳 = 𝐵 2𝜋𝑟 𝑐 𝐵 2𝜋𝑟 = 𝜇0 𝐼 𝐵= 𝜇0 𝐼 2𝜋𝑟 La longitud del alambre es inversamente proporcional al campo magnético X Y con la imagen anterior podemos decir que el campo magnético es más intenso entre más cerca se este de la corriente (que en este caso es la fuente) que lo produce El lado derecho Incluye dos fuentes para el campo magnético; Una corriente de conducción estable y un flujo eléctrico cambiante a través de cualquier superficie S limitada por la trayectoria C. Se debe tener siempre presente que una corriente eléctrica o un flujo eléctrico cambiante a través de una superficie produce un campo magnético circulante alrededor de cualquier trayectoria que limite esa superficie. En otras palabras, se produce un campo magnético a lo largo de una trayectoria si hay corriente encerrada por la trayectoria o si el flujo eléctrico a través de cualquier superficie. Es importante que entender que la trayectoria puede ser real o puramente imaginaria, el campo magnético se produce si la trayectoria existe o no. Ahora maxwell se puede decir que el completo o generalizo la ley de ampere debido a que en la ley de ampere se encontraban algunas inconsistencias, por ejemplo en un capacitor de placas paralelas entra una corriente y sale la misma corriente en la misma dirección pero entre las placas no hay una corriente lo que hay es un campo eléctrico, entonces como podemos encontrar una corriente dentro del capacitor si lo que hay es un campo eléctrico, es donde entra Maxwell y completa la ley de ampere, Maxwell induye que hay una corriente de desplazamiento la cual es generada por la variación del campo eléctrico con respecto al tiempo Ahora tendremos en cuenta lo siguiente, llamaremos a Jd a la corriente de desplazamiento, entonces 𝐽𝑑 = 𝜀0 𝜕𝑬 𝜕𝑡 𝑬= 1 1 𝑸 𝝑= 𝜺𝟎 𝜺𝟎 𝑨 Donde 𝜗 es una constante del flujo electrico Entonces tambien es importante aclarar que 𝜕𝑬 1 𝜕𝑄 = 𝜕𝑡 𝜀0 𝐴 𝜕𝑡 Donde 𝜕𝑄 𝜕𝑡 es igual a la corriente 𝜕𝑬 1 = 𝐼 𝜕𝑡 𝜀0 𝐴 En este punto podemos ver que un campo eléctrico genera una corriente y que dicha corriente se encuentra en una trayectoria cerrada, esa corriente genera un campo magnético, entonces un campo eléctrico que varia en el tiempo nos va a generar un campo magnetico Procedemos a agregarle la modificación de Maxwell a la ley de ampere ∮ 𝑩 ∙ 𝑑𝒔 = 𝝁𝟎 𝑰𝒆𝒏𝒄 + 𝜇0 𝜀0 𝑐 𝜕𝑬 . 𝑑𝐴 𝜕𝑡 Veamos la misma ley pero en diferencial ∇x𝐵 = 𝜇0 𝐽 + 𝜇0 𝜀0 𝜕𝑬 𝜕𝑡 CON ESTO CONCLUYE ESTE INFORME GRACIAS POR SU TAENCIÓN BIBLIOGRAFIA http://datateca.unad.edu.co/contenidos/299010/Carpeta_AVA/Fisica_2.pdf documentos enviados por el profesor (ecuciones de maxwell pdf en ingles, videos) http://www.buscabiografias.com/biografia/verDetalle/2079/James%20Clerk%20Ma xwell http://www.buscabiografias.com/biografia/verDetalle/6230/Andre%20Marie%20Am pere http://www.asifunciona.com/biografias/ampere/ampere.htm https://www.youtube.com/watch?v=G6PzOw-hmiw https://www.youtube.com/watch?v=ymrUA_mS29U&t=44s