Download trigonometría

Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
T.P.N° 3: Funciones trigonométricas
El origen de de la trigonometría data de hace más de 2000 años, cuando los griegos
necesitaron métodos precisos para medir ángulos y lados de triángulos. En la actualidad, el
interés de las funciones trigonométricas radica en la posibilidad de modelar cualquier
“fenómeno periódico” a través de ellas. Ejemplos de estos fenómenos son: la actividad cardíaca,
el movimiento de los planetas, la variación de la presión que produce en el aire la propagación
de un sonido, la luz, los rayos x, las ondas electromagnéticas, etc. Este tipo de variaciones
pueden describirse en forma de ondas y representarse gráficamente.
1) Utilizando los deslizadores en Geogebra, se pide:
a) Introducir una función lineal de proporcionalidad directa de la forma y  m  x, m  0 .
b) Introducir una recta perpendicular al eje x. De esta forma queda determinado el
triángulo BOA , rectángulo en  . (tal cual se muestra en la figura).
c) Deslizando el punto A del triángulo observar cómo varía el cociente entre la altura y la
base del triángulo.
d) ¿Qué representa dicho cociente geométricamente?

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo:
cat.opuesto c

hipotenusa a
cat.adyacente b
cosα̂ 

hipotenusa
a
cat.opuesto
c
tgα̂ 

cat.adyacente b
senα̂ 
1
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
2) Completar:
senβ̂ 
cat.opuesto

hipotenusa
cosβ̂ 
cat.adyacente

hipotenusa
tgβ̂ 
cat.opuesto

cat.adyacente
3) Hallar la altura del árbol sabiendo que ̂  45  y la sombra que proyecta es de 7 m.
Rta: 7m, ¿se puede resolver mentalmente? ¿por qué?
Como las razones trigonométricas de muchos ángulos tienen infinitas cifras decimales, en
lo sucesivo, para los casos en los que resulte necesario hacer aproximaciones, adoptaremos,
como mínimo, los siguientes criterios:
• Las razones trigonométricas las redondearemos a los milésimos.
• En las medidas angulares, los segundos los redondearemos a las unidades.
• En el resto de las medidas, redondearemos los resultados a los centésimos.
4) Sabiendo que la altura de la escalera es de 2 m y la longitud del tobogán de 2,5 m, hallar
la medida del ángulo que forman el tobogán con el piso.
Rta: 53°7´48´´
5) Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared formando un ángulo de 70°
con el piso. Calcular la distancia del piso a la punta de la escalera.
Rta: 9,4 m
2
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
6) Calcular la altura de la bandera si a cierta hora del día el ángulo que forma el extremo
de su sombra con la punta del asta mide 37°.
Rta: 15,08 m
7) Desde un faro situado se observa un barco bajo un ángulo de 24° como se muestra en
el dibujo. ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro?
Rta: 66,75 m
8) A cierta hora del día un edificio proyecta una sombra de 150 m sobre un punto en el
piso formando un ángulo de 40° desde el punto en el piso hasta la parte más alta del
edificio, como se muestra en el dibujo. ¿Qué altura tiene el edificio?
Rta: 125,85 m
9) ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo de la figura? (medidas en cm)
Rta: V=83,28 cm3
3
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos

Definición de la terminología utilizada en la determinación de un ángulo:
Línea de visión
Línea horizontal
Ángulo de elevación o depresión
Es la línea imaginaria que va desde el ojo del
observador hasta el objeto de interés.
Es la línea paralela a la superficie.
Es el ángulo formado por la línea horizontal y
la línea de visión localizada arriba o debajo de
la línea horizontal.
10) Al observar el techo de un edificio Mateo encuentra que el ángulo de elevación mide
45°. El teodolito1 está a 5 m sobre el piso y a 200 m del edificio. Calcular la altura del
edificio.
Rta: 205 metros.
11) Hallar una medida de ˆ en grados que verifique cada igualdad.
a)senˆ 
3
2
, b) cos ˆ 
, c)tgˆ  0
2
2
Rta: Un posible valor es: a) 60°, b) 45° y c) 0°.
12) Un helicóptero viaja de una ciudad hacia otra, distantes entre sí 40 km. En un
determinado momento, los ángulos que forman las visuales, desde el helicóptero, hacia
las ciudades con la horizontal son de 14° y 26°, respectivamente. ¿A qué altura está el
helicóptero? ¿Qué distancia hay en este momento entre el helicóptero y cada una de
las ciudades?
Rta: El helicóptero se encuentra a una altura de 6,59 km aproximadamente. La distancia del
helicóptero a la ciudad B es de 15,05 km y a la A, de 27,25 km, aproximadamente.
1
El teodolito es un instrumento utilizado tanto por los agrimensores como por los topógrafos. En la
actualidad, hay artefactos que se conectan a computadoras, que realizan los cálculos trigonométricos e
informan, además del ángulo, la distancia que se quiere medir.
4
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
13) En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden 50°, y el lado distinto, 12 cm.
¿Cuál es el perímetro y la superficie del triángulo?
Rta: P=30,66 cm, S=42,9 cm2
14) María está mirando por la ventana cómo llega su hijo de la escuela. Cuando está parado
en el cordón de la vereda de enfrente, lo ve con un ángulo de 40°, y cuando llega al
cordón de la vereda de su casa, lo ve con un ángulo de 28°. Si el ancho de la calle es de
15 m, ¿a qué altura está la ventana?2
Rta: 48,8 m
15) Juan observa un árbol que está en la orilla opuesta de un río, mide el ángulo que forma
su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35°. Pedro, que está 10 m más lejos
de la orilla que Juan, mide un ángulo de 55°. ¿Qué altura tiene el árbol?
Rta: 13,74m.
16) Demostrar los siguientes teoremas:
a) Dado un triángulo cualquiera con ángulos ˆ , ˆ , ˆ y los lados a, b, c, respectivamente
opuestos a dichos ángulos, se verifica que:
TEOREMA DEL SENO
senˆ senˆ senˆ


a
b
c
b) Dado un triángulo cualquiera con ángulos ˆ , ˆ , ˆ y lados a, b, c, respectivamente
opuestos a dichos ángulos, se verifica que:
TEOREMA DEL COSENO
c 2  a 2  b 2  2  a  b  cos ˆ
a 2  c 2  b 2  2  c  b  cos ˆ
b 2  a 2  c 2  2  a  c  cos ˆ
17) Calcular los ángulos interiores de un triángulo cuyos lados miden 24 cm, 35 cm y 30 cm.
Rta: 42°28´15´´, 79°57´42´´ y 57°34´3´´.
18) Las ciudades A, B y C están ubicadas como se muestra en el esquema. ¿Cuántos km
recorre un automóvil que sale de A, se dirige a B y C y vuelve al punto de partida sin ir
dos veces por la misma ruta?
2
Resolverlo con GEOGEBRA.
5
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
Rta: 1656,78 km.
19) Una tormenta de viento inclinó un pino como se muestra en el dibujo. ¿A qué “distancia
prudencial” tiene que estar ubicado el automóvil para no correr riesgos de que el pino
caiga encima de él?
Rta: Más de 8,11 m.
20) Dos aviones parten del mismo aeropuerto a la misma hora. El avión 1 vuela a una
velocidad constante de 200 km/h y el avión 2, a una velocidad constante de 250 km/h.
¿A qué distancia entre sí se encuentran los aviones después de volar 5 horas?3
Rta: 1383,84 km.
21) Julieta divisa la ventana del departamento de Romeo con un ángulo de elevación de 12°.
Camina 50 m hacia el departamento, hasta el punto A que muestra el esquema, y lo
observa con un ángulo de elevación de 18°.
a) ¿A qué distancia se encuentra de la entrada del departamento?
b) A qué altura está la ventana si Julieta mide 1,60 m?
Rta: a) 95,58 m, b) 32,22 m.
22) En un partido de fútbol se cobra penal. El jugador encargado de ejecutarlo ubica la
pelota a 9,15 m del arco, equidistante de ambos palos. El jugador patea, sin comba, al
3
Resolverlo con GEOGEBRA.
6
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
ras del piso, a 23° a la derecha de la línea perpendicular al arco. El arquero se tira, por
intuición, hacia el otro lado. Teniendo en cuenta que el largo del arco es 7,15 m, averigua
si es gol.
Rta: No es gol.
23) Desde cierta distancia se observa una torre de altura h con un ángulo de elevación de
60°. ¿Con qué ángulo de elevación se observaría si la distancia fuese el doble? Justificar.
Rta: 40°53´36´´.
24) Desde la terraza de un edificio de 85 m de altura se ve un automóvil con un ángulo de
depresión de 29°10´. Calcular la distancia del automóvil a la base del edificio.
Rta: 152 m.
 Generalización de las definiciones de las relaciones trigonométricas:
Consideremos un par de ejes cartesianos y una circunferencia con centro en el origen de
coordenadas. Si trazamos un ángulo ˆ con un lado sobre el eje positivo x, éste determina un
punto P(a; b) en la circunferencia y un triángulo rectángulo.
Para simplificar los cálculos resulta conveniente trabajar con un triángulo cuya hipotenusa
mida 1. A esta circunferencia, cuyo radio es 1, se le llama circunferencia trigonométrica.
senˆ  b
cos ˆ  a
tgˆ 
b
a
Relación pitagórica: sen 2ˆ  cos 2 ˆ  1
De acuerdo con el signo de las coordenadas de cada punto, se cumplirá:
7
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos

Sistema circular de medición de ángulos:
En el sistema circular, los ángulos se miden en radianes. Un radián es la medida del ángulo
central que en una circunferencia determina un arco de la misma medida que el radio.
Como el radio está comprendido 2π veces en la longitud de la circunferencia, un ángulo
de un giro corresponde a 2π radianes.
Si conocemos la medida de un ángulo en grados, y queremos calcular su medida en
radianes, o viceversa, debemos tener en cuenta que 180° equivalen a π radianes, es decir:
ˆ () ˆ (rad )

180 

25) Expresar en radianes:
a) 270°, b) 60°, c) 210°, d) -30°4, e) 120° y f) -135°.
3
2
Rta: a)  , b)

3
7

2
3
, c )  , d )  , e)  , f )   .
6
6
3
4
26) Expresar en grados sexagesimales: (en caso de ser necesario aproximar).
a)
3
5
 , b)  , c) 4 , d) 1,2, e) 1 y f) 3.
3
4
Rta: a) 135°, b) 300°, c) 720°, d) 68°45´18´´, e) 57°17´45´´ y f) 171°53´14´´.
27) El voltaje, V (en volts), de un tomacorriente de una casa, en función del tiempo, t (en
segundos), está dado por la siguiente fórmula: V (t )  220  cos(2  t ) .
a) Calcular cuál será el voltaje del enchufe a los 30 segundos.
b) ¿En qué momento el voltaje es de 110 volts?
Rta: a) 220 volts, b) t=0,17 ó t=0,83 s aprox., pero también hay otros ángulos a los que les
corresponde el mismo valor del coseno como observaremos a continuación.
28) Observar las gráficas de g(x)= sen(x) y de f(x) = cos(x) y completar la tabla en 0;2 :
4
Si la rotación se efectúa en sentido contrario al de las agujas del reloj diremos que el ángulo es
positivo, en caso contrario el ángulo es negativo.
8
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
T
(Período)
Función
Imagen
Ceros
Máximo
C+
Mínimo
C-
Sen(x)
Cos(x)
Rta:
Función
Sen(x)
T
(Período)
2𝜋
Cos(x)
2𝜋
Imagen
Ceros
Máximo
Mínimo
C+
C-
[−1; 1]
{0; 𝜋; 2𝜋}
y=1
y=-1
(0; 𝜋)
(𝜋; 2𝜋)
[−1; 1]
𝜋 3
{ ; 𝜋}
2 2
y=1
y=-1
𝜋
3
(0; ) ∪ ( 𝜋; 2𝜋)
2
2
𝜋 3
( ; 𝜋)
2 2
29) Calcular los valores del seno y el coseno para los ángulos de 30° y 60° considerando un
triángulo equilátero cualquiera.
Rta: sen60 
3
3
1
1
, cos 30 
, cos 60  , sen30 
2
2
2
2
Algunos valores que nos será útil tener disponibles son:
ˆ (grados)
0°
30°
45°

60°


90°

6
4
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
ˆ (radianes)
0
sen̂
0
1
2
cos ̂
1
3
2
1
0
9
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
30) Un ingeniero desea construir una rampa de 50 m de largo que se levante 5 m del suelo.
Calcular el ángulo que debe formar la rampa con la horizontal.
Rta: 5°44´21´´
Si f(x) es una función trigonométrica, se llama amplitud de dicha función a la altura de cada onda
del gráfico.
La frecuencia de una función del tipo seno o coseno es el número de veces que entra en un
intervalo de longitud igual a 2 .
El ángulo de fase es el valor donde comienza el ciclo que comenzaba en 0 en la función original.
Las gráficas de f ( x)    sen(ax  b)  c y f ( x)    cos(ax  b)  c tienen amplitud =  ,
=
período
b
2
, frecuencia = a , ángulo de fase =  .
a
a
31) Verificar las definiciones anteriores utilizando los deslizadores en GEOGEBRA.
32) Graficar las siguientes funciones en GEOGEBRA, como corrimientos de f(x) = senx:
a) f ( x)  2  senx
b) f ( x)  senx  2
c) f ( x)  2  sen3x     1
33) Las siguientes figuras muestran la gráfica de funciones del tipo y    sen(ax) en un
intervalo de longitud T. Analizarlos y completar la tabla.
10
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
𝛼
a
Fórmula
T
Ceros
C+
Máximo Mínimo
C-
f1
f2
f3
Rta:
𝛼
a
Fórmula
3
2
y  3  sen(2 x)
f2
2
2
3
f3
2
1
3
f1
T

2
y  2  sen( x)
3
1
y  2  sen( x)
3
3
6
Ceros
Máxim
o
Mínim
o
C+
C 
 ; 
2 
3

  ;3 
2

0;3 
2
3
x  0; x  
2
y 3
y  3
y2
y  2
 
 0; 
 2
 3 
 0;  
 2 
x  0; x  3
y2
y  2
3 ;6 
x  0; x 

34) Representar gráficamente cada una de las siguientes funciones en un intervalo de
longitud T.
a) y  4  sen(2 x), b) y 
1
 sen(4 x), c) y  senx
4
35) Las siguientes figuras muestran la gráfica de funciones del tipo y    cos(ax) en un
intervalo de longitud T. Analizarlos y completar la tabla.
11
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
𝛼
a
T

Fórmula
T
Ceros
C+
Máximo Mínimo
C-
f1
f2
f3
Rta:
𝛼
a
Fórmula
f1
1
4
y  cos(4 x)
f2
2
1
y  2  cos(x)
f3
3
2
3
2
y  3  cos( x)
3
2
2
3
Ceros
Máximo Mínimo
x
C-
y 1
y  1
   3  
 0;     ; 
2
 8  8
1 3 
 ;  
8 8 
3

2
y2
y  2
   3

 0;     ;2 
 2 2

 3 
 ; 
2 2 
3
9
; x  
4
4
y 3
y  3
3 9 
 ;  
4 4 
 3  9

 0;      ;3 
 4  4

1
3
x  ; x  
8
8
x
C+

2
;x 
La función y  tgx no está definida para los valores de x correspondientes a ángulos cuyo
lado terminal está incluido en el eje de ordenadas. Es decir que: D f    ...; 

 
;
2 2
;3

2

;... . En

cada uno de estos valores excluidos del dominio, la gráfica presenta una asíntota vertical. El
período de esta función es T   . No tiene máximo ni mínimo, y su imagen es  .
36) Visualizar en la circunferencia trigonométrica la tg̂ .
12
Matemática - Tercer Año
Guía de Trabajos Prácticos
Ejemplificar numéricamente las igualdades que siguen mediante alguna función lineal.
13