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COLEGIO SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS
SECUNDARIA
Profesor Daniel Romero
MATEMÁTICA
BLOQUE V - TRIGONOMETRÍA
CUARTO
Teorema de Pitágoras.
En todo triángulo rectángulo el cuadrado
.............................................................................(Completa)
de
la
hipotenusa
es
igual
a
la
suma
de....
Ejercicio 1.
1
a
En símbolos: a2 =
b
c
¿Qué longitud tiene la diagonal de un rectángulo de base 4 y altura 3?
Ejercicio 2.
Calcula la medida de la diagonal de un rectángulo, sabiendo que el área del mismo es de 60 cm 2.y que uno
de sus lados mide 5 cm.
Ejercicio 3.
Calcula el perímetro del triángulo BAD.
B
C
x
5
A
D
3
Ejercicio 4.
En un cuadrado de lado 1 se marcan los puntos medios y que al unirlos se obtiene otro cuadrado. Calcula
el área y el perímetro de ambos, justifica.
Ejercicio 5.
Emplea el teorema anterior para representar gráficamente en la recta numérica a:
2 , 3, 5
Ejercicio 6.
Demuestra que si en un triángulo sus lados miden 1,
n , n  1 entonces es rectángulo.
Ejercicio 7.
Aproxima por defecto y por exceso a
2 y 3 a milésimos.
Trigonometría
La trigonometría, es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de
triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas
fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la
trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
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Relaciones trigonométricas.
Hemos trabajado con el Teorema de Pitágoras, que relaciona la medida de los lados de un triángulo
rectángulo; hemos comprobado que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180 0.
Ahora, estudiaremos las relaciones trigonométricas que se presentan entre ángulos y lados de un triángulo
rectángulo.
Construcción
Demostraremos a continuación la relación que existe entre el cateto opuesto del ángulo A
 
hipotenusa AB .
Para ello toma la medida de dichos lados y halla su cociente.
Luego extiende los lados AB y AC, traza una recta paralela a BC
mide nuevamente los lados del triángulo, y determina su cociente.
B´C ´ , hasta formar otro triángulo rectángulo,
B´
B
Repite el procedimiento
tres veces
A
C
C´
Medida del cateto opuesto

Medida de la hipotenusa
BC y la 2



Compara los resultados. ¿Qué observas? ................................................
Definimos la razón trigonométrica seno de un ángulo como el cociente entre la medida del
cateto opuesto a ese ángulo y la medida de la hipotenusa.
Por lo tanto
sen A 
De la misma manera se puede demostrar y definir la razón trigonométrica coseno y tangente.
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En general:
sen 
c . opuesto
hipotenusa
cos 
c . adyacente
hipotenusa
tg  
c . opuesto
c . adyacente
Ejemplo.
Sabiendo que el sen  =
3
2
, ¿qué ángulo le corresponde?
3
Resolución:
Procedemos de forma inversa.
Construimos un triángulo de tal forma que su cateto opuesto mida 2 cm. y su
hipotenusa 3 cm.
Luego medimos el ángulo con el transportador y así obtenemos el ángulo.
Dibuja aquí el triángulo y calcula el ángulo.
(Debe medir 410 aprox.)
Este procedimiento puede ser inexacto ya que nuestra herramienta de trabajo
sólo mide grados
De ahora en adelante lo resolveremos con nuestra calculadora, de esta manera:
Por dato sen  =
2
, luego empleando la función inversa
3
2 
 = 410 48´37”
3 
 = arc sen 
Ejercicio 1.
Halla el seno y el coseno de un ángulo de 30º.
Ejercicio 2.
Halla la tangente de un ángulo de 45º.
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Ejercicio 3.
Halla el perímetro de un triángulo rectángulo si su hipotenusa mide 12 m y tiene un ángulo de 33º.
Ejercicio 4.
Halla el área de un triángulo rectángulo si su base mide 8,5 m y tiene un ángulo de 78º.
Ejercicio 5.
Un edificio proyecta una sombra de 150m cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte,
calcular la altura del edificio.
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Ejercicio 6.
Desde un faro de 40m se observa un barco bajo un ángulo de depresión de 120. Determina la distancia
entre el barco y el faro
Ejercicio 7.
Un camino asciende verticalmente 38m. sobre una distancia horizontal de 540m. ¿Cuál debe ser el ángulo
de elevación del camino?
Ejercicio 8.
Un avión tiene una dirección N - 280 - E volando a 580 Km. /h.
¿Cuántos kilómetros al norte y cuántos al este del punto de despegue se encuentra el avión al cabo de dos horas?
Ejercicio 9.
Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo,
por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra
orilla. calcular la anchura del río.
Ejercicio 10.
Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si
avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.
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Ejercicio 11.
Calcular el área de la superficie sombreada.
10 m
5
50 m
550
Ejercicio 12.
A qué distancia debe ubicarse dos cuerpos de edificios de 30 m de altura, para que la sombra que arroja
uno de ellos llegue al pie del otro cuerpo cuando el sol está a 30º sobre el horizonte.
SOL
30 m
30º
Ejercicio 13.
x
Una rampa de acceso a subsuelo desde planta baja, tiene las características y datos indicados en el corte.
Calcular x, y z.
x
Nivel de Planta
y
2m
0,20 m de espesor
entrepiso
2,40 m
8º
z
Nivel subsuelo
Ejercicio
14.
De un terreno cuyas medidas son: base menor: 28 m, base mayor: 35 m, altura: 12,5 m se pide:
a) ¿Cuánto miden los lados AB y CD?
b) ¿Cuánto miden los ángulos α, β, y ω?
c) Cuál es la superficie del terreno?
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B
D
ω
α
β
A
C
5m
Ejercicio 15.
Calcular la medida de la ochava (x) de un terreno en esquina de ángulo 60º, con una vereda de 3m de
ancho y la otra de 2,5 m de ancho.
3m
L.M.
9m
x
L.M.
60º
2,5 m
9m
Problema 1.
¿Cuál es el área de un paralelogramo cuyos lados miden 15,6 cm. y
entre ellos es de 60º?
Rta: h = 5,8889 cm.
6,8 cm.,
A = 91,8679 cm.
Problema 2.
Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que  = 30º y c = 20, sin utilizar la
(Considera c su hipotenusa)
Rta: a = 10
si el ángulo
b = 17,3205
calculadora.
B = 60º
Problema 3.
Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m. se ve un
árbol justo enfrente.
¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta
del río, hasta llegar a un punto B desde el que
se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?
Rta: BA = 28,867
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Objetivo:
Determinar la altura de un objeto.
Materiales empleados:
Cinta métrica, estaca de L metros de longitud.
Desarrollo:

Comenzamos colocando el poste en posición vertical.

Medimos la longitud de su sombra.

Medimos la longitud de la sombra del objeto en cuestión (esto conviene realizarse al mismo tiempo que la
medición anterior, ya que debido a los movimientos terrestres las sombras varían rápidamente de longitud)

Por último, resolvemos aplicando trigonometría.
Esquema y resolución:
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Objetivo:
Determinar la altura de un objeto.
Materiales empleados:
Cinta métrica y clinómetro.
Desarrollo:
Esquema y resolución:
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Triángulos oblicuángulos.
Resolver un triángulo es determinar sus elementos fundamentales (ángulos y lados) conociendo tres de
ellos, de los cuales uno al menos debe ser un lado.
Un triángulo queda determinado entonces si se dan:
a) dos lados y el ángulo comprometido.
b) un lado y dos ángulos.
c) los tres lados.
d) dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (admite doble solución).
Dado, entonces, un triángulo, para la resolución del mismo, emplearemos los teoremas del seno y del
coseno que enunciaremos sin demostrar:
Teorema del seno
A
c
B
a
b
c


sen A sen B sen C
b
a
C
Teorema del coseno
a 2  b 2  c 2  2.b.c. cos A
b 2  a 2  c 2  2.a.c. cos B
c2 
Ejercicio 16.
Dado el triángulo ABC, encuentre los elementos faltantes para cada caso:
a) a = 3; c = 5; B = 600
b) c = 7; b = 6; A = 1500
c) a = 3; b = 8; c = 7
Ejercicio 17.
Para construir un túnel subterráneo, un observador se sitúa a 12 Km de uno de sus extremos y a 5 Km del
otro. Si el ángulo formado entre éstas rectas es de 1120, ¿Cuál es el largo del túnel?
Respuesta: 14,627 Km.
Ejercicio 18.
Dos barcos se encuentran separados por una cierta distancia y desean comunicarse con sus radios, cuyo
alcance es de 200km. Ambos partieron del mismo puerto, cuyas trayectorias forman un ángulo de 99 0, y recorren
213km. y 300km. respectivamente. ¿Lograrán comunicarse?
Respuesta: No. La distancia es de 394,15km.
Ejercicio 19.
Dos aviones parten del mismo aeropuerto con una diferencia de 30 minutos. Si el primero en despegar
tiene la dirección de N-450-E y viaja a 800km/h, y el segundo toma una dirección de N-400-O a 700km/h, ¿cuál es la
distancia que los separa después de haber volado durante 2 horas el segundo avión?
Respuesta: 2339,215 Km.
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Ejercicio 20.
Halla todos los elementos de las siguientes figuras:
A
3,5m
B
x
Respuestas: x = 85022’26”
AD = 3,528 m
DB = 4,764 m
9m
C
23
x
D
8m
10
A
B
2,03m
Respuestas: CB = 3,683m
B̂ = 98048’41”
D̂ = 81011’18”
330
C
3,4 m
D
DB = 11,588 cm.
Problema 21.
En las orillas opuestas de un río se sitúan dos puntos A y B. En la orilla donde se sitúa el punto A se
determina un segmento AC = 275 m. y se miden los ángulos a = 125 0 40’ y c = 480 50’. Encuentra la longitud del
lado AB.
Respuesta: AB = 2159,923 m.
Problema 22.
El curso de un barco está a 11 Km de un punto sobre la playa con dirección N-200-E. Un submarino tiene
una dirección N-550-O y está a 34 Km respecto del mismo punto. ¿Qué distancia separa al barco del submarino?
Respuesta: La distancia es de 32,915 Km.
Problema 23.
Un terreno está limitado como sigue: se parte de un árbol que sirve de marca inicial, se recorre 402 m en
dirección sur, luego en dirección N-30010’-E y desde allí se sigue al oeste hasta llegar al punto inicial. ¿Cuánto
alambre será necesario para cerrar el terreno?
Respuesta: Se necesitarán 1100,629m
Problema 24.
Si las distancias aproximadas del Sol a la Tierra y a Venus son 1,5. 10 8 Km y 1,1. 108 Km respectivamente.
Encuentra la distancia posible de la Tierra a Venus cuando el ángulo VST es igual a 280 y el tiempo que tardaría en
recorrer la luz esa distancia.
Respuesta: La distancia es de 73910276,63 Km y la luz tardaría en llegar 4’ 6”
Problema 25.
Un barco es rastreado por dos estaciones de radar F y T que están situados en la línea NS y distantes una de
otra 4600m. La estación F lo localiza en la dirección N-600-E y la T en N-480-E. ¿A qué distancia está el barco de la
estación F?
Respuesta: La distancia es de 16160m.
Problema 26.
Dos observadores separados por una distancia de 789m dirigen sendas visuales a un punto notable de una
nube. Los dos observadores y el punto están en un mismo plano vertical y los ángulos de elevación son de
58030’20” y 76011’23”. Calcular a qué altura se halla el punto.
Respuesta: La altura es de 2150,721 m.