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INSTITUCIÓN EDUCATIVA LA PAZ
GEOMETRÍA
GUÍA DIDÁCTICA PARA RESOLVER EN AUSENCIA DEL DOCENTE
GRUPO: 8 __
FECHA:
DOCENTE: MARTA AYALA
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD:
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Lectura de los temas aquí planteados y elaboración de un resumen en el cuaderno.
Desarrollo de los ejercicios en el cuaderno.
*La actividad puede realizarse individual o por parejas y será evaluada por el docente a su regreso.
HISTORIA DE LAS MATEMATICAS
La palabra Geometría se deriva del antiguo griego y significa “medida de la Tierra”. Esto nos hace pensar que en
sus comienzos era muy práctica. Parecen que fueron algunos egipcios los primeros en trabajar y desarrollar esta
ciencia. Hay pruebas tales como las inscripciones y registros en donde se ve que los egipcios utilizaron principios
de geometría para describir y delinear la superficie de un terreno.
Hoy sabemos que no fueron los griegos los que empezaron con la geometría, pero llegaron a conocerla gracias a la
relación que guardaban con el pueblo egipcio, quienes parece fueron los primeros en trabajar y desarrollar esta
ciencia.
Recordemos que los egipcios habían utilizado una geometría rudimentaria para el deslinde de terrenos y la
medición de edificios, simplemente como operación de tipo practico de recuento y medición.
SUBTEMA 1: Área y Perímetro de Figuras Planas
Definición – Generalidades
GEOMETRÍA PLANA: Rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el
triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría Euclídea, en honor al matemático
griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como
texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas geometrías no Euclídeas en el siglo XIX.
FIGURAS PLANAS: Son todas aquellas figuras que carecen de grosor o espesor están formadas por líneas rectas o curvas
cerradas. Estas además se clasifican en cuatro grupos: Triángulos, Cuadriláteros, Polígonos Regulares y Figuras Circulares.
TRIÁNGULO: Polígono de tres lados, determinado por tres rectas que se cortan dos a dos entre puntos (que no se
encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son
los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Por lo tanto, un triángulo tiene
3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.
PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
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Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS
Se clasifica según la longitud de sus lados y según la medida de sus ángulos:
Según la longitud de sus lados: los triángulos se clasifican en
equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos
lados iguales, y escalenos, si los tres lados son distintos.
Según la medida de sus ángulos: La suma de los tres ángulos de un
triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El
tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres
ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene un ángulo
recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.
CUADRILÁTEROS: Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero
es igual a 360°. La notación de un cuadrilátero se indica por las letras mayúsculas de sus vértices.
PROPIEDADES DE LOS CUADRILATEROS
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Los “LADOS OPUESTOS” son iguales y que no tienen ningún vértice en común.
Los “LADOS CONSECUTIVOS” son los que tienen un vértice en común.
Los “VÉRTICES Y ÁNGULOS OPUESTOS” son los que no pertenecen a un mismo lado, siendo los ángulos iguales.
La “SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES” es igual a cuatro rectos (360°).
Los “ÁNGULOS ADYACENTES” a un mismo lado son suplementarios, es decir, suman 180°.
Las “DIAGONALES” se cortan en su punto medio.
CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS
Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides.
PARALELOGRAMO: Cuadrilátero que tienen los lados paralelos dos a dos, cuyos dos pares de lados opuestos son iguales
entre sí. Se clasifican en:
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Cuadrados: Sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos de 90°
cada uno
Rectángulos: Sus cuatro lados iguales dos a dos, sus ángulos son rectos de 90°
cada uno.
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Rombos: Sus cuatro lados son iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90°.
Romboides: Sus cuatro lados no son iguales y no tienen ningún ángulo recto.
TRAPECIOS: Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Sus cuatro lados son distintos de
90°.Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos, altura. Si un trapecio tiene dos lados iguales
se llama isósceles y si tiene dos ángulos rectos se llama rectángulo.
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Trapecio Rectángulo: Tiene un ángulo recto
Trapecio Escaleno: No tiene ningún lado igual ni ángulo recto
Trapecio Isósceles: Tiene dos lados no paralelos iguales.
TRAPEZOIDE: Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.
POLÍGONOS REGULARES: Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están
circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:
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Triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados.
Cuadrado: polígono regular de 4 lados.
Pentágono regular: polígono regular de 5.
Hexágono regular: polígono regular de 6 lados.
Heptágono regular: polígono regular de 7 lados.
Octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.
CÍRCULO: En geometría, superficie plana definida por una circunferencia. Aunque ambos conceptos están relacionados,
no se debe confundir la circunferencia (curva) con el círculo (superficie).
AREA Y PERÍMETROS
PERÍMETRO: Es el borde de una figura plana y se halla sumando cada uno de sus lados, su respuesta se extrema en la
unidad de medida dada, es decir, cms. ómts. Entre otros.
ÁREA: Es la medida de lo que se encuentra dentro de una figura plana y se determina en la unidad de medida al cuadrado
es decir; cm² ó mts² entre otras.
FORMULAS PARA DETERMINAR EL ÁREA:
Calcule el área y realice el dibujo de la figura con las dimensiones de:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
El lado de un cuadrado cuya área es 169 cm2
La base de un rectángulo que tiene 52 dm2 de área y su altura mide 4 dm.
El área de un rombo que tiene 5 cm de lado y 6 cm de diagonal menor
La altura de un trapecio cuyas bases miden 38 cm y 18 cm y el área es 196 cm
La base de un triángulo de 14 cm2 de área y 4 cm de altura.
La altura de un triángulo de 735 cm2de área y 42 cm de base.
El área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno.
El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor mide 10 m. ¿Cuánto mide la otra base?
Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la mitad de la mayor.
SUBTEMA 2: Ejercicios de Aplicación y Solución de Problemas
Lea con atención:
«Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una excusa». (Proverbio chino)
«La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo entero, y la humanidad ha tolerado
esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseñanza no
debe ser una tortura, y no seríamos buenos profesores si no procuráramos, por todos los medios, transformar este
sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de estímulos y de
esfuerzos deseados y eficaces». (Puig Adam, 1958)
EJERCICIO: Son aplicaciones o situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias, ayudan a aprender conceptos,
propiedades y procedimientos. Para resolver un ejercicio se aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta,
para ello se debe tener en cuenta tres elementos básicos:
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Los datos necesarios para resolverlo (siempre explícitos),
El método o relación entre los datos (que es lo que el estudiante debe averiguar) y
El resultado buscado (al que se llega tras seguir ciertas reglas de razonamiento y supuestos que surgen de los
datos)
PROBLEMA: Los problemas didácticos suelen ser matemáticos y se utilizan en todos los niveles educativos para enseñar a
asociar situaciones del mundo real con el lenguaje abstracto de las matemáticas y a pensar con lógica. Para resolver
cualquier tipo de problema didáctico matemático generalmente es necesario utilizar una serie de mecanismos de una
manera inconsciente, también se debe tener en cuenta el conocimiento, la práctica, identificar los procesos llamados
"heurísticos": operaciones mentales y aplicarlos de una forma planificada y con método, se aprecian tres pasos básicos:
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Comprender lo que se está preguntando,
Abstraer el problema (encontrar una expresión matemática que permita representar el problema y resolverlo) y
Entender que quiere decir el resultado al que se ha llegado.
Polya (1945) formuló cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, «sólo los grandes descubrimientos
permiten resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento»; pero que, si se
resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, «este género de experiencia, a una determinada edad, puede
determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una
vida».
Pasos para la solución de problemas Didáctico – Matemático:
1. COMPRENDER EL PROBLEMA:
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Se debe leer el enunciado despacio.
¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos)
¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos)
Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas.
Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.
2. TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO: Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del
mecanicismo.
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¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos?
¿Se puede plantear el problema de otra forma?
Imaginar un problema parecido pero más sencillo.
Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?
¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?
3. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN: También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del
mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su
puesta en práctica.
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Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.
¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?
Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto?
Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace.
Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y
probar de nuevo.
4. COMPROBAR LOS RESULTADOS: Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto
del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos
resolver.
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Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado.
Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible?
¿Se puede comprobar la solución?
¿Hay algún otro modo de resolver el problema?
¿Se puede hallar alguna otra solución?
Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha
hallado.
Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos
problemas.
EJERCICIOS
1. En un cuadro escriba las diferencias entre ejercicio y problema basado en la información anterior.
2. Para hallar la respuesta de las siguientes situaciones presentadas tenga en cuenta los pasos para la solución de
problemas Didáctico – Matemático. Resuelva las siguientes situaciones y realice el dibujo de la información:
a) Calcula el número de baldosas cuadradas que hay en un salón rectangular de 6 m de largo y 4,5 m de ancho, si
cada baldosa mide 30 cm de lado.
b) Calcula el número de árboles que se pueden plantar en un campo de 32 m de largo y 30m de ancho, si cada árbol
necesita para desarrollarse 4 m2
c) Una piscina tiene 210 m2 de área y está formada por un rectángulo para los adultos y un trapecio para los niños.
Halle:
d) El área de cada zona de la piscina.
e) La longitud de la piscina de adultos
f) Las casillas cuadradas de un tablero de ajedrez miden 4 cm de lado. Calcula cuánto miden el lado y el área del
tablero de ajedrez.
g) Un señor compró un solar cuadrado en el centro del pueblo de 36 metros de lado para hacerse una vivienda. Pagó
$1’120.750 el metro cuadrado. ¿Cuánto dinero ha invertido en el solar?
h) Una finca cuadrada mide 348 metros, esta plantada de árboles de durazno. Si cada árbol ocupa una extensión de 9
m. ¿cuántos duraznos habrán plantados en dicha finca?
i) Una familia ha decidido cambiar piso del comedor que es de forma rectangular y mide 6,75 m. de largo y 4,5 m. de
ancho. Desean colocar baldosas cuadradas de 25 cm.de lado, cuales valen $2.300 cada una ¿Cuántas baldosas
necesitarán? Y ¿Cuánto le costara cambiar el piso del comedor?
j) En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el
área del jardín.
k) Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se
construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda.
l) En una parcela de 450 m. se quiere construir una casa de planta (base) rectangular de 15m de lado y 12 m de
ancho. ¿Qué superficie libre quedará en la parcela para el jardín?
EL CRUCIGRAMA DE HIPATIA
El crucigrama que aquí se encuentra fue hecho pensando en una de
las más grandes matemáticas de la historia: ¡Antes de que empiece a
resolver el crucigrama!
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Los resultados de los problemas del crucigrama son números, no
palabras.
En cada casilla del crucigrama escribe uno y sólo un dígito
Cada respuesta debe ir desarrollada con todo su proceso
1
VERTICALES
¿Cuántos cuadrados hay en este dibujo?
De todos los números que están entre los números 1
y 100 ¿Cuántos tienen el dígito 5?
Una niña en un examen se puso muy nerviosa y en un
problema en el que se le pedía que dividiera entre 4
un número lo que hizo fue restar 4. Su resultado fue
48, si en lugar de restar, hubiera dividido ¿cuál
hubiera sido su resultado?
El cuadrado de la figura tiene un área de 36cm2.
¿Cuál es el radio del círculo inscrito?
2
¿Cuántos minutos hay entre las 11:41 y las 14:02?
4
La fecha 8 de noviembre de 1988 tiene algo de
especial. Si la escribimos 8-11-88, es fácil darse
cuenta de que el día (8) multiplicado por el mes (11)
da como resultado el año (88) ¿Cuántas fechas que
cumplieran esta propiedad hubo en 1990?
¿Cuánto suman los tres números que tenemos que
acomodar en los cuadritos vacíos para que la suma
quede correcta?
9
Acomoda los números 1, 2, 3, 4, 5 en la figura de
manera que los que queden en la columna sumen 8 y
que los que queden en el renglón, también sumen 8.
¿Cuál es el número que va en el cuadrito del centro?
6
¿Cuál es el ángulo que forman las manecillas de un
reloj si son las 12:15?
10
¿Cuántos segundos hay en una hora?
7
Esta es la figura de un pentágono con dos de sus
diagonales dibujadas. El pentágono está dividido en
tres regiones. Si dibujas todas las diagonales ¿en
cuántas regiones quedará dividido el pentágono?
11
¿Cuántas de estas afirmaciones son verdaderas?
a. 15 ÷ 1 / 2 = 30
b. 0.3 x 0.2 = 0.6
c. 1 / 9 < 1 / 7
d. 3 / 4 >1 / 2
e. 7 / 5 x 9 / 3 = 63 / 15
f. 0.01 x 0.1 = 0.11
g. 0.01 < 0.1
12
¿Cuánto vale el ángulo A?
1
3
7
8
HORIZONTALES
Beatriz es 8 cm. más alta que Jaime. Toña es 12 cm.
más baja que Beatriz. Jaime mide 1metro y 25cm.
¿Cuánto mide Toña? (La respuesta debe ir en
centímetros)
5
SUBTEMA 3: CONSTRUCCIÓN DEL TANGRAM
Historia del tangram
El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado "Chi Chiao Pan" que significa "juego de los siete elementos" o "tabla de
la sabiduría". Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la
palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantones "tang" que significa chino con el vocablo latino "gram" que significa
escrito o gráfico. Otra versión narra que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que
reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre. No se sabe con certeza quien inventó el juego ni cuando,
pues las primeras publicaciones chinas en las que aparece el juego datan del siglo XVIII, época para la cual el juego era ya
muy conocido en varios países del mundo. En China, el Tangram era muy popular y era considerado un juego para mujeres
y niños.
A partir del siglo XVIII, se publicaron en América y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las
reglas del Tangram, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos,
personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes. Napoleón Bonaparte se volvió un verdadero
especialista en el Tangram desde que fue exiliado en la isla de Santa Elena. En cuanto al número de figuras que pueden
realizarse con el Tangram, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo
unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900.
Actualmente se pueden realizar con el Tangram alrededor de 16,000 figuras distintas. Hoy en día el Tangram no se usa sólo
como un entretenimiento, se utiliza también en la psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. En el
área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se usa para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el
desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños pues permite ligar de manera lúdica la manipulación
concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.
PASOS:
1
Dibuje un cuadrado de 10 cm por lado. (20
cuadritos de la hoja)
2
Trace una de las diagonales del cuadrado y la recta que
une los puntos medios de dos lados consecutivos del
cuadrado; esta recta debe ser paralela a la diagonal.
3
Dibuje la otra diagonal del cuadrado y llévelo hasta la
segunda línea.
4
La primera diagonal que trazó deberá partirla en cuatro
partes iguales. (Cada pedacito medirá 5
cuadritos)
5
Trace la recta que se muestra en el dibujo
6
Por último trace esta otra recta.
7
Ahora deberá graduar el tangram haciendo marcas de
1cm (o de dos cuadritos) tal y como se muestra en el
dibujo. Para marcar las diagonales necesariamente
deberá usar una regla.
EJERCICIOS:
1. Teniendo en cuenta los pasos anteriores construya un Tangram en una hoja cuadriculada de cuaderno.
2. Construir los dibujos: 1,2,3,4,5 y con ayuda de una regla medir cada uno de sus lados y hallar el Perímetro y Área.