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UNIVERSIDAD NACIONAL AUT ÓNOMA DE MÉXICO Clave1244 Universidad de Londres Preparatoria , A.C. Clave: 1500 Asignatura:_ Matemáticas V GUÍA DE ESTUDIO Profesora:_ Hugo Daniel Lazcano Rodríguez Escribir las definiciones y/o fórmulas del anexo I Desarrollar los siguientes reactivos 1. Considerando que el conjunto A son todos los números mayores o iguales a 0 pero menores a 10 y que el conjunto B son todos los números par mayores de 0 y menores 10 realce el producto cartesiano BXA 2. Se desea colocar una escalera que mide 20m de tal forma que alcance una ventana que se encuentra a 30 metros de altura ¿A qué distancia de la pared deberá estar la escalera para que alcance sin que sobre o falte altura? 3. Se tiene un triángulo cuya base mide 8m y su altura mide 5m. Utilizando el teorema de Pitágoras y las identidades sen, cos y tan determine los tres lados y los tres ángulos de un triángulo 4. ¿Cuál es el resultado de las siguientes ecuaciones? a) 2x= 35 b) Log (4x) = 20 5. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A(2, 5) y B( 7, -1). 6. Con base en los puntos A(0,8) ; B (7,2) y C (-4,-8) a) Realice la gráfica de 20 intervalos ubicando y uniendo los puntos para formar un triángulo b) Calcule la distancia entre los puntos AB, BC y CA c) Determine y ubique el punto medio de las rectas AB,BC y CA d) Calcule la pendiente de las rectas AB,BC y CA e) Calcule el valor de la ordenada al origen b de las rectas AB,BC y CA f) Expresa las rectas AB, BC y CA en función y=mx+b g) Transforma las funciones anteriores a ecuaciones AX+BY+C=0 h) Calcula el ángulo entre las rectas ABC, BCA, y CAB i) Expresa y grafica la ecuación de las tres mediatrices j) Expresa y grafica la ecuación de las tres alturas k) Expresa y grafica la ecuación de las tres medianas l) Expresa y grafica la ecuación de las tres bisectrices m) Remarca con color rojo el baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro. n) Dibuja la recta de Euler 7. Con base en la ecuación 2x2+6x-10 a) b) c) d) e) f) g) Realiza la grafique de [-6,0] Calcula y ubica el vértice Calcula y ubica el Foco Calcula y ubica el Lado Recto Calcula y ubica la Directriz Calcula y ubica los ejes de simetría en X Calcula y ubica los ejes de simetría en Y 8. Halle la ecuación general, de una circunferencia con radio 6 y centro (3, -4) y grafíquela en un intervalo [0,6]. 9. Con base en la ecuación (𝑥−4)2 81 + (𝑦−6)2 100 =1 a) Grafica la función desde [-5,13] con un avance de 0.5. La gráfica con 20 intervalos en eje X y Y b) Calcula el valor de a y represéntalo en la grafica c) Calcula el valor de b y represéntalo en la grafica d) Calcula el valor de c y represéntalo en la grafica e) Calcula los vértices superiores e inferiores y represéntalos en la grafica f) Calcula los vértices horizontales y represéntalos en la grafica g) Calcula los dos focos y represéntalos en la grafica h) Ubica el centro de la figura cónica representada i) Calcula y ubica los ejes de intersección en X j) Calcula y ubica los ejes de intersección en Y 10. Con base en la ecuación (𝑥−10)2 64 − (𝑦−16)2 30 =1 a) Grafica la función desde [10,22] con un avance de 0.5. La gráfica con 20 intervalos en eje X y Y b) Calcula el valor de a y represéntalo en la gráfica c) Calcula el valor de b y represéntalo en la gráfica d) Calcula el valor de c y represéntalo en la gráfica e) Calcula los vértices y represéntalos en la gráfica f) Calcula los dos focos y represéntalos en la gráfica g) Ubica el centro de la figura cónica representada h) Calcula y ubica los ejes de intersección en X i) Calcula y ubica los ejes de intersección en Y Formulario de Matemáticas V Intervalo de gráfica 𝑋𝑖𝑛𝑡 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑌𝑖𝑛𝑡 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 = Teorema de Pitágoras 2 ℎ = √𝑐𝑜 2 + 𝑐𝑎2 2 𝑐𝑜 = √ℎ2 − 𝑐𝑎2 2 𝑐𝑎 = √ℎ2 − 𝑐𝑜 2 Razones trigonométricas 𝑐𝑜 ℎ 𝑐𝑎 𝐶𝑜𝑠𝛼 = ℎ 𝑆𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜 𝑇𝑎𝑛𝛼 = = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑎 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180° 𝑆𝑒𝑛𝛼 = Ley de senos 𝐴 𝐵 𝐶 = = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑆𝑒𝑛𝛽 𝑆𝑒𝑛𝛾 Ley de Cosenos 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 Transformación de grados a radianes 180° = 1𝜋 𝑅𝑎𝑑 1𝜋 1° = 𝑅𝑎𝑑 180 180° 1 𝑅𝑎𝑑 = 𝜋 Distancia entre dos puntos de una recta D=X2-X1 Distancia entre dos puntos en un plano 𝑑 = √(𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑥1)2 Punto a una razón Dada 𝑥1 + 𝑥2 ∗ 𝑟 𝑦1 + 𝑦2 ∗ 𝑟 Pr( , ) 1+𝑟 1+𝑟 Paralelismo 𝑚1 = 𝑚2 Formula de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Recta: Y= mx + b Valor b Despejando Punto Medio 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑃𝑚 = ( , ) 2 2 Dominio 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑅𝑎í𝑧: ≥ 0 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛: ≠ 0 Rango 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 ∞𝟐 ∞𝟏 ∞ = ∞ =𝟎 =𝟏 𝟏 𝟐 ∞ ∞ ∞ Mediana - Punto Medio -Vértice Opuesto Criterios Semejanzas de triangulos LAL(Lado-AnguloLado) LLL(Lado- Lado – Lado) LLA (Lado-LadoÁngulo) Ángulo entre dos rectas 𝑚2 − 𝑚1 𝛼 = tan−1 ( ) 1 + 𝑚1 ∗ 𝑚2 Punto Medio 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑃𝑚 ( , ) 2 2 Formula de la pendiente 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 Coordenadas Polares 2 𝑟 = √𝑦 2 − 𝑥 2 2 𝑟 = √𝑐𝑎2 − 𝑐𝑜 2 𝑦 𝛼 = tan−1 ( ) 𝑥 Pendiente 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 Pendiente Perpendicular 1 𝑥1 − 𝑥2 𝑚𝑝𝑒𝑟𝑝 = − 𝑜 𝑚 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑦2 − 𝑦1 Intersección eje X (X , 0 ) Intersección en eje Y (0 , Y ) Altura Mediatriz -Perpendicular - Perpendicular -Vértice Opuesto - Punto Medio Bisectriz |𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶1| |𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶2| = 𝟐 𝟐 √𝐴2 + 𝐵2 √𝐴2 + 𝐵2 Parábola Función (x-h)=4p(y-k)2 Ecuación F(x)= ax2+bx+c Vértice (V) / eje de simetría 𝑏 Xsim= h = − 2𝑎 Y = k = f(Xsim) Lado Recto LR= 4P Foco Directríz (h, k+p) (h, k-p) Circunferencia Función (x-h)2 + (y-k)2 = r2 Centro C (h , k) Elipse Función (𝒙 − 𝒉)𝟐 (𝒚 − 𝒌)𝟐 + =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 Centro C(h, k) Vértices superiores e inferiores Vsuperior (h, k+b) Vinferior (h, k-b) Vertices horizontales Vizq (h-a, k) Vder (h+a, h) Focos Fizq (h-b, k) Fder (h+b, k) Valores a, b, c 2 a= √𝑎2 2 b= √𝑏 2 2 2 c= √𝑎2 − 𝑏 2 𝑜 √𝑏 2 − 𝑎2 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝑟𝑎í𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 Hipérbola Función (𝒚 − 𝒌)𝟐 (𝒙 − 𝒉)𝟐 + =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 Centro C(h, k) Vértices Vsuperior (h, k+a) Vinferior (h, k-a) Focos Fsup (h, k+c) Fder (h, k-c) Valores a, b, c 2 a= √𝑎2 2 b= √𝑏 2 2 c= √𝑎2 + 𝑏 2 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝑟𝑎í𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 Anexo I: Definiciones 1. Relaciones y funciones 1.1. Creación de una gráfica 1.1.1.Eje de las Abscisas 1.1.2.Eje de las ordenadas 1.1.3.El origen 1.1.4.Coordenadas 1.2. Producto Cartesiano 1.2.1. A X B 1.2.2. B X A 1.3. Tipos de funciones 1.3.1. Crecientes 1.3.2.Decrecientes 1.3.3.Continuas 1.3.4. Discontinuas 1.3.5.Algebraicas 1.3.6. Trigonométricas 1.4. Dominio de una función 1.5. Rango de una función 2. Funciones trigonométricas 2.1. Razones trigonométricas 2.1.1. Seno 2.1.2. Coseno 2.1.3. Tangente 2.2. Resolución de Triángulos Rectángulo 2.2.1. Cateto Opuesto 2.2.2. Cateto Adyascente 2.2.3. Hipotenusa 2.2.4. Ángulo de Referencia 2.2.5. Teorema de Pitágoras 2.3. Funciones Trigonométricas 2.3.1. Seno [f(x)= A*Sen(B*x)] 2.3.2.Coseno [f(x)= A*cos(B*x)] 2.3.3. Tangente [f(x)= A*Tan(B*x)] 2.3.4.Dominio de las tres anteriores 2.3.5. Rango de las tres anteriores 2.3.6. Amplitud de las tres anteriores 2.3.7. Desfasamiento de las tres anteriores 3. Funciones Exponenciales y logarítmicas 3.1. Características de la función f(x) = ex 3.1.1. Dominio de la función 3.1.2. Rango de la función 3.2. Características de las alteraciones de la función f(x) = ex 3.2.1. f(x) = -ex 3.2.2. f(x) = a*ex 3.2.3. f(x) = ebx 3.2.4. f(x) = e-x 3.3. Características de la función f(x) = ln (x) 3.3.1. Dominio de la función 3.3.2. Rango de la función 3.4. Características de las alteraciones de la función f(x) = ln(x) 3.4.1. f(x) = -ln(x) 3.4.2. f(x) = a*ln(x) 3.4.3. f(x) = ln (bx) 3.5. Características de la función f(x) = log(x) 3.5.1.Dominio de la función 3.5.2. Rango de la función 3.6. Características de las alteraciones de la función f(x) = ln(x) 3.6.1. f(x) = -log(x) 3.6.2. f(x) = a*log(x) 3.6.3. f(x) = log (bx) 3.7. Ecuaciones Exponenciales 3.7.1. Despeje del valor de x en ecuaciones con ex 3.7.2.Despeje del valor de x en ecuaciones con ln(x) 3.7.3. Transformación y despeje del valor de x en ecuación log (x) 3.8. Funciones de Potencias f(x)=xn 3.8.1.Definición de potencia 3.8.2.Definición de Exponente 3.8.3.Dominio de la función 3.8.4.Rango de la función 3.9. Características de las alteraciones de la función f(x) xn 3.9.1. f(x) = x-n 3.9.2.f(x)= a*xn 3.9.3.f(x) = xbn 4. Sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos 4.1. Recta Numérica 4.1.1.Números Positivos 4.1.2.El cero 4.1.3.Números Negativos 4.1.4.Coordenadas Cartesianas 4.1.5. Coordenadas Polares 4.1.6.Distancia entre dos punto en una recta de una dimensión 4.2. El plano 4.2.1.Distancia entre dos puntos en un plano 4.2.2.Punto que divide a la mitad un segmento (Punto Medio) 4.2.3.Punto que divide un segmento a una razón dada 4.2.4.Ángulo entre dos rectas 5. Discusión de ecuaciones algebraicas 5.1. Diferencia entre función y ecuación 5.2. Punto de intersección con los ejes 5.3. Eje de simetría 5.4. Asíntota 5.4.1.Asíntota Vertical 5.4.2.Asíntota Horizontal 5.5. Conjunto Solución 6. Ecuación de Primer Grado 6.1. Definición de la Recta 6.1.1.Función de la recta 6.1.1.1. Pendiente 6.1.1.2. Ordenada al orígen 6.2. Ecuación general dela recta 6.3. Conversión de función a ecuación de la recta 6.4. Conversión de Ecuación a función de la recta 6.5. Paralelismo entre dos rectas 6.6. Perpendicularidad entre dos rectas 6.7. Baricentro 6.7.1.Ecuación y obtención de la mediana 6.8. Circuncentro 6.8.1.Ecuación y obtención de la mediatriz 6.9. Ortocentro 6.9.1.Ecuación y obtención de las altura 6.10. Recta de Euler 6.11. Ecuación de la bisectriz 7. Ecuación General de Segundo Grado 7.1. Funciones Cónicas 7.2. Excentricidad 8. Circunferencia 8.1. Ecuación y propiedades de la Circunferencia 8.2. Conversión de ecuación a función de la circunferencia 8.3. Coordenada del Centro 8.4. Definición de Radio 8.5. Definición de diámetro 8.6. Puntos de intersección en el eje X 8.7. Puntos de intersección en el eje Y 8.8. Alteraciones y propiedades de la circunferencia 8.8.1.(ax-h)2 + (y-k)2= r2 8.8.2.(x-h)2 + (by-k)2= r2 8.8.3.(x-h)2 + (y-k)2= cr2 9. Parábola 9.1. Función y propiedades de la parábola 9.2. Definición y obtención del Vértice 9.3. Definición y obtención del Foco 9.4. Definición y obtención de Lado Recto 9.5. Definición y obtención de la Directriz 9.6. Punto de intersección en el eje Y 9.7. Punto de intersección en el eje X 9.8. Alteraciones y propiedades de la parábola 9.8.1. f(x) = Ax2+x+1 9.8.2.f(x) = -x2+x+1 9.8.3.f(x) = x2+Bx+1 9.8.4.f(x) = x2-x+1 9.8.5.f(x) = x2+x+C 9.8.6.f(x) = x2+x-1 9.9. Elipse 9.10. 9.11. 9.12. 9.13. 9.14. 9.15. 9.16. 9.17. 9.18. 9.19. 9.20. Función y propiedades de la Elipse Definición y obtención del valor a Definición y obtención del valor b Definición y obtención del valor c Definición y obtención de los Vértices horizontales Definición y obtención de los Vértices verticales Definición y obtención de los Focos Definición y obtención del centro Punto de intersección en el eje Y Punto de intersección en el eje X Alteraciones y propiedades de la elipse 9.20.1. 9.20.2. 9.21. 9.22. 9.23. 9.24. 9.25. 9.26. 9.27. 9.28. 9.29. 9.30. 9.31. (𝑨𝑥−ℎ)2 𝑎2 (𝑥−ℎ)2 𝑎2 + + (𝑦−𝑘)2 𝑏2 (𝑩𝑦−𝑘)2 𝑏2 =1 =1 Hipérbola Función y propiedades de la hipérbola Definición y obtención del valor a Definición y obtención del valor b Definición y obtención del valor c Definición y obtención de los Vértices Definición y obtención de los Focos Definición y obtención del centro Punto de intersección en el eje Y Punto de intersección en el eje X Alteraciones y propiedades de la hipérbola 9.31.1. 9.31.2. (𝑨𝑥−ℎ)2 𝑎2 (𝑥−ℎ)2 𝑎2 − − (𝑦−𝑘)2 𝑏2 (𝑩𝑦−𝑘)2 𝑏2 =1 =1