Download 3.-Problemas con números racionales

NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números naturales: Se representan con la letra N
N  1,2,3,............
Números enteros: Se representan con la letra Z
Z  .............. - 3,.2,-1,0,1,2,3,.........
Son los naturales, los naturales con signo menos y el cero
N  Z se lee :N contenido en Z, es decir todo número natural es entero
Números racionales: Se representa con la letra Q
Son todos los que se pueden expresar en forma de razón o fracción: los enteros
(fracciones con denominador uno), decimales exactos y decimales periódicos.
Z  Q se lee Z contenido en Q, es decir todo número entero, y por eso también
todo número natural, es racional.
Números irracionales: Se representan con la letra I
Son los que no se pueden expresar como razón: decimales infinitos y no periódicos,
las raíces no exactas y los números  , e
Por su propia definición un número racional no es irracional y análogamente un
número irracional no puede ser racional
Números reales: Se representan con la letra R
Los números racionales y los irracionales forman los números reales R:
QI=R
Son números reales los naturales, enteros, fraccionarios (decimales exactos y
periódicos) e irracionales (decimales infinitos y no periódicos)
No son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y
radicando negativo
Todos los números reales se pueden representar en una recta
Ejercicios:
1) De los siguientes números:
3
-7
6
0
, 4, 0'23, - 7, 1'54777... , 5 - 3, 257, , 2'375892..., - 3'565656...., - 8, , - 37,
5
5
0
3
Escribe los que son racionales:
Escribe los que son irracionales:
Escribe los no reales:
Escribe los reales:
2) Escribe 5 números irracionales, 5 racionales, 5 reales y 5 no reales
NÚMEROS ENTEROS
El valor absoluto de un número es entero es el número prescindiendo del signo
Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos
de los números y se deja el signo que llevan
Para sumar números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de
los números y se deja el signo del de mayor valor absoluto
Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto y cambiado el signo
Para hallar el opuesto de un número le cambiamos el signo
Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo
Para multiplicar números enteros del mismo signo se multiplican los valores
absolutos y se pone el signo más +
Para multiplicar números enteros de distinto signo se multiplican los valores
absolutos y se pone el signo menos Para dividir números enteros del mismo signo se dividen los valores absolutos y se
pone el signo más +
Para dividir números enteros de distinto signo se dividen los valores absolutos y se
pone el signo menos Para sumar varios números enteros se puede hacer de dos formas:
a) Se hacen las operaciones sucesivamente en el orden que aparecen
b) Se suman los números que llevan el signo +. Se suman los números que llevan
el signo -. Por último se restan los valores absolutos de los resultados dejando
el signo del valor absoluto mayor
Para multiplicar varios números enteros se puede hacer de dos formas:
a) Se hacen las operaciones sucesivamente en el orden que aparecen
b) Se multiplican los números prescindiendo del signo. A continuación contamos
los números que llevan signo menos, si sale número par se pone signo + y si
sale número impar se pone signo -.
1.- Realizar las siguientes operaciones:
(+2) + (-5) + (-2) + (+6) + (-4) + (-2) =
(-8) + (+5) + (-7) + (+2) + (-10) + (+2) =
(+4) – (-6) =
(-7) – (-6) =
(+4) · (-6) =
(-7) · (-6) =
(+4) – (+6) =
(+2) · (+6) =
(-8) : (-2) =
(+4) : (+2) =
(-15) : (-3) =
(+12) : (-3) =
(+3) · (-5) · (-2) ·(-3) · (+10)=
(-4) – (+6) =
(-6) : (+2) =
(-1) · (+6) · (+4) ·(-5) ·(-3) · (-1)=
(2)·(3)·(5)·(4)

(3)·(2)·(2)
El cálculo con paréntesis se puede hacer de dos formas:
a) Realizando las operaciones de dentro del paréntesis y luego quitar el
paréntesis.
b) Quitar primero el paréntesis y luego realizar las operaciones indicadas.
Antes de quitar el paréntesis debemos tener en cuenta qué signo le precede:
Cuando se suprime un paréntesis precedido del signo + se dejan los signos de los
números del interior del paréntesis como están. Cuando se suprime un paréntesis
precedido del signo - se cambian todos los signos de los números del interior del
paréntesis.
Si el paréntesis está multiplicado por un número, para suprimir el paréntesis se
aplica la propiedad distributiva multiplicando cada uno de los sumandos del interior
del paréntesis por el número.
RECUERDA: si hay paréntesis se realizan antes los paréntesis, después las
potencias, los productos y divisiones y finalizamos por las sumas y restas.
Si no hay paréntesis, se realizan antes las potencias, después los productos y
divisiones y finalizamos por las sumas y restas.
2.- Efectuar:
a ) (3)  (5)  (4)  (3)  (2)  (1)  (6 
b) 4  (5  3  7  2)  (3  2  1) 
c) 2  3(4  3  5)  (5  7) 
d ) (3  4)  (5.2  12) : 3·(1) 
e) 4·2  6  (9  6  14 : 2)·3 
f ) 1  2  3  4·5  ( 6)  ( 7)  9 
g ) ( 5)  ( 3)·4  ( 2) : 6  ( 8)·2  ( 3)·(4) 
 [(14  3  4)  (3)]  (5) 
  (11  13):(11  10) 
h) 
 (3)  [(7  2  9)  (10)] 
i)
 (5)  [(12)  (3)  14  (9)] 
 [3  (11)  4  (1)]  (2)   [(12  10)  (7  8)] 
j)
 [(4  5  8)  (10)]  (4) 
 (2)  [(10  4  3)  (8)]    (12  16)  (7  9) 
Fracciones y decimales
Si dividimos el numerador de una fracción por su denominador el resultado es un
número decimal exacto o periódico.
Un número decimal es exacto si su parte decimal tiene un número limitado de cifras
distintas de cero. 2’437
Un número decimal es periódico si su parte decimal es ilimitada repitiéndose
periódicamente. Las cifras que se repiten forman el periodo
Un número decimal es periódico puro o simple si su periodo comienza a partir de la
coma. 3’47474747......= 3’47
Un número decimal es periódico mixto si su periodo no comienza a partir de la coma.,
la parte decimal que no se repite se llama antiperiodo
1’5727272.....=1’572
Si tenemos un número decimal exacto o periódico podemos encontrar la fracción que
lo genera o fracción generatriz. (Ver apuntes de clase)
Ejercicios:
Hallar las fracciones generatrices de los siguientes números decimales:
2’37,
3’023023023023023........,
0’2787878.........,
3´4,
4’73555555............,
0’353535............
, 0’45
1.- REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
NOTA
Recuerda: Existen reglas de prioridad de cálculo : Primero paréntesis, segundo
potencias, tercero multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas.
Recuerda que una fracción impropia se puede escribir como un número natural más
una fracción propia:
15
1
1
 7  y se escribe 7
2
2
2
Ejercicios:
1) Calcula
2
de 750
5
2) Decir si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
6
9
4
10
y
d)
y
8
12
9
15
6
3) Escribe una fracción equivalente a
que tenga a 4 por numerador
15
2
4) Escribe una fracción equivalente a
que tenga por denominador 18
3
a)
8
3
y
16
6
b)
3
6
y
5
15
c)
5) Busca el término desconocido en cada par de fracciones equivalentes:
a)
3 18

5 x
b)
20
x

30 21
Calcula y simplifica el resultado:
6)
7
3 2  
  1   2   
5
4 5  
1 13 1

 1 
11 22 4


1
5
7) 
1 7 6 1
3 1 
7 
2 
1 3  
    5    ·     9)
 · 2 
·  2   
2 3  5 3
11 3  11 
7 
 2 10  
8) 1   : 
3 
9
· 1  
4  11 
10)

6  17 
· 1  
5  22 
11) Escribe 5 fracciones propias y 5 impropias
2.- Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:
a)
9 5
1
1
 3  2 
2 4
10
2
2  1 
d ) ·3    : 2  
4  2 
 4 8 1 3
b)    :

 5 9 3  12
7 5 5 1  2 1
 :  ·    
9 8 6 3  6 8
g) 
i)
2
 1
e)  2  
 3
c)
1  4 2  3 
·   : 
3  5 6  8 
 2 4   3

f)    ·   3  

 3 3   2
2
2 3 1  1 1 3
 :  2   · 
5 2 5  2 2 2
h) 
 3 2  
3    1

 2 4  25  :  2'25  8  : 1 :  2  0'75  
 
  



j)
k)



5
 
 4'3  2  : 0'1  0'16

6

· 19'4 
 1
 1 3

 2  0'45  :    0'6 
 5
 2 4

2  1 2 3 2 2
·    :    
3 4 7 6 5 3
 4  1 3 6  2
l)  :     · 
 3  3 8 9  3
 1 1   3  5   7 
n)    ·  -    ·  -  
 3 2   4  2   2 
 2 3 1 1 3 8 
m)  · :    · :  
8 8 9 5 7 9
 1  3 4   1
1 2
o)  ·     1  1   
2 5
 2  9 10   3
3.-Problemas con números racionales
1) He recorrido los 2/7 de un camino y aún me faltan 3 km. para llegar a su mitad.
¿Cuánto mide el camino?
2) Los 2/5 de mi dinero me permiten comprar 8 lapiceros a 15 céntimos. cada uno.
¿Cuánto tengo?
3) Hemos vendido los 2/5 de una parcela de terreno por 108.000 céntimos ganando en
la operación 36.000 céntimos. ¿Cuánto nos costó la parcela?
4) Hemos vaciado los 4/5 de un estanque y aún nos quedan por sacar 1.080 litros.
¿Cuál es la capacidad del estanque?
5) Las páginas de un libro de Sociales se distribuyen así: 3/5 Geografía, 2/3 del resto
Historia, 7/8 del nuevo resto Ética y las 8 páginas finales Vocabulario. ¿Cuántas
páginas tiene el libro y cuántas cada apartado?