Download 3.-Problemas con números racionales
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NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES CONJUNTOS NUMÉRICOS Números naturales: Se representan con la letra N N 1,2,3,............ Números enteros: Se representan con la letra Z Z .............. - 3,.2,-1,0,1,2,3,......... Son los naturales, los naturales con signo menos y el cero N Z se lee :N contenido en Z, es decir todo número natural es entero Números racionales: Se representa con la letra Q Son todos los que se pueden expresar en forma de razón o fracción: los enteros (fracciones con denominador uno), decimales exactos y decimales periódicos. Z Q se lee Z contenido en Q, es decir todo número entero, y por eso también todo número natural, es racional. Números irracionales: Se representan con la letra I Son los que no se pueden expresar como razón: decimales infinitos y no periódicos, las raíces no exactas y los números , e Por su propia definición un número racional no es irracional y análogamente un número irracional no puede ser racional Números reales: Se representan con la letra R Los números racionales y los irracionales forman los números reales R: QI=R Son números reales los naturales, enteros, fraccionarios (decimales exactos y periódicos) e irracionales (decimales infinitos y no periódicos) No son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo Todos los números reales se pueden representar en una recta Ejercicios: 1) De los siguientes números: 3 -7 6 0 , 4, 0'23, - 7, 1'54777... , 5 - 3, 257, , 2'375892..., - 3'565656...., - 8, , - 37, 5 5 0 3 Escribe los que son racionales: Escribe los que son irracionales: Escribe los no reales: Escribe los reales: 2) Escribe 5 números irracionales, 5 racionales, 5 reales y 5 no reales NÚMEROS ENTEROS El valor absoluto de un número es entero es el número prescindiendo del signo Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los números y se deja el signo que llevan Para sumar números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de los números y se deja el signo del de mayor valor absoluto Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto y cambiado el signo Para hallar el opuesto de un número le cambiamos el signo Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo Para multiplicar números enteros del mismo signo se multiplican los valores absolutos y se pone el signo más + Para multiplicar números enteros de distinto signo se multiplican los valores absolutos y se pone el signo menos Para dividir números enteros del mismo signo se dividen los valores absolutos y se pone el signo más + Para dividir números enteros de distinto signo se dividen los valores absolutos y se pone el signo menos Para sumar varios números enteros se puede hacer de dos formas: a) Se hacen las operaciones sucesivamente en el orden que aparecen b) Se suman los números que llevan el signo +. Se suman los números que llevan el signo -. Por último se restan los valores absolutos de los resultados dejando el signo del valor absoluto mayor Para multiplicar varios números enteros se puede hacer de dos formas: a) Se hacen las operaciones sucesivamente en el orden que aparecen b) Se multiplican los números prescindiendo del signo. A continuación contamos los números que llevan signo menos, si sale número par se pone signo + y si sale número impar se pone signo -. 1.- Realizar las siguientes operaciones: (+2) + (-5) + (-2) + (+6) + (-4) + (-2) = (-8) + (+5) + (-7) + (+2) + (-10) + (+2) = (+4) – (-6) = (-7) – (-6) = (+4) · (-6) = (-7) · (-6) = (+4) – (+6) = (+2) · (+6) = (-8) : (-2) = (+4) : (+2) = (-15) : (-3) = (+12) : (-3) = (+3) · (-5) · (-2) ·(-3) · (+10)= (-4) – (+6) = (-6) : (+2) = (-1) · (+6) · (+4) ·(-5) ·(-3) · (-1)= (2)·(3)·(5)·(4) (3)·(2)·(2) El cálculo con paréntesis se puede hacer de dos formas: a) Realizando las operaciones de dentro del paréntesis y luego quitar el paréntesis. b) Quitar primero el paréntesis y luego realizar las operaciones indicadas. Antes de quitar el paréntesis debemos tener en cuenta qué signo le precede: Cuando se suprime un paréntesis precedido del signo + se dejan los signos de los números del interior del paréntesis como están. Cuando se suprime un paréntesis precedido del signo - se cambian todos los signos de los números del interior del paréntesis. Si el paréntesis está multiplicado por un número, para suprimir el paréntesis se aplica la propiedad distributiva multiplicando cada uno de los sumandos del interior del paréntesis por el número. RECUERDA: si hay paréntesis se realizan antes los paréntesis, después las potencias, los productos y divisiones y finalizamos por las sumas y restas. Si no hay paréntesis, se realizan antes las potencias, después los productos y divisiones y finalizamos por las sumas y restas. 2.- Efectuar: a ) (3) (5) (4) (3) (2) (1) (6 b) 4 (5 3 7 2) (3 2 1) c) 2 3(4 3 5) (5 7) d ) (3 4) (5.2 12) : 3·(1) e) 4·2 6 (9 6 14 : 2)·3 f ) 1 2 3 4·5 ( 6) ( 7) 9 g ) ( 5) ( 3)·4 ( 2) : 6 ( 8)·2 ( 3)·(4) [(14 3 4) (3)] (5) (11 13):(11 10) h) (3) [(7 2 9) (10)] i) (5) [(12) (3) 14 (9)] [3 (11) 4 (1)] (2) [(12 10) (7 8)] j) [(4 5 8) (10)] (4) (2) [(10 4 3) (8)] (12 16) (7 9) Fracciones y decimales Si dividimos el numerador de una fracción por su denominador el resultado es un número decimal exacto o periódico. Un número decimal es exacto si su parte decimal tiene un número limitado de cifras distintas de cero. 2’437 Un número decimal es periódico si su parte decimal es ilimitada repitiéndose periódicamente. Las cifras que se repiten forman el periodo Un número decimal es periódico puro o simple si su periodo comienza a partir de la coma. 3’47474747......= 3’47 Un número decimal es periódico mixto si su periodo no comienza a partir de la coma., la parte decimal que no se repite se llama antiperiodo 1’5727272.....=1’572 Si tenemos un número decimal exacto o periódico podemos encontrar la fracción que lo genera o fracción generatriz. (Ver apuntes de clase) Ejercicios: Hallar las fracciones generatrices de los siguientes números decimales: 2’37, 3’023023023023023........, 0’2787878........., 3´4, 4’73555555............, 0’353535............ , 0’45 1.- REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES NOTA Recuerda: Existen reglas de prioridad de cálculo : Primero paréntesis, segundo potencias, tercero multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas. Recuerda que una fracción impropia se puede escribir como un número natural más una fracción propia: 15 1 1 7 y se escribe 7 2 2 2 Ejercicios: 1) Calcula 2 de 750 5 2) Decir si los siguientes pares de fracciones son equivalentes: 6 9 4 10 y d) y 8 12 9 15 6 3) Escribe una fracción equivalente a que tenga a 4 por numerador 15 2 4) Escribe una fracción equivalente a que tenga por denominador 18 3 a) 8 3 y 16 6 b) 3 6 y 5 15 c) 5) Busca el término desconocido en cada par de fracciones equivalentes: a) 3 18 5 x b) 20 x 30 21 Calcula y simplifica el resultado: 6) 7 3 2 1 2 5 4 5 1 13 1 1 11 22 4 1 5 7) 1 7 6 1 3 1 7 2 1 3 5 · 9) · 2 · 2 2 3 5 3 11 3 11 7 2 10 8) 1 : 3 9 · 1 4 11 10) 6 17 · 1 5 22 11) Escribe 5 fracciones propias y 5 impropias 2.- Efectuar las siguientes operaciones con fracciones: a) 9 5 1 1 3 2 2 4 10 2 2 1 d ) ·3 : 2 4 2 4 8 1 3 b) : 5 9 3 12 7 5 5 1 2 1 : · 9 8 6 3 6 8 g) i) 2 1 e) 2 3 c) 1 4 2 3 · : 3 5 6 8 2 4 3 f) · 3 3 3 2 2 2 3 1 1 1 3 : 2 · 5 2 5 2 2 2 h) 3 2 3 1 2 4 25 : 2'25 8 : 1 : 2 0'75 j) k) 5 4'3 2 : 0'1 0'16 6 · 19'4 1 1 3 2 0'45 : 0'6 5 2 4 2 1 2 3 2 2 · : 3 4 7 6 5 3 4 1 3 6 2 l) : · 3 3 8 9 3 1 1 3 5 7 n) · - · - 3 2 4 2 2 2 3 1 1 3 8 m) · : · : 8 8 9 5 7 9 1 3 4 1 1 2 o) · 1 1 2 5 2 9 10 3 3.-Problemas con números racionales 1) He recorrido los 2/7 de un camino y aún me faltan 3 km. para llegar a su mitad. ¿Cuánto mide el camino? 2) Los 2/5 de mi dinero me permiten comprar 8 lapiceros a 15 céntimos. cada uno. ¿Cuánto tengo? 3) Hemos vendido los 2/5 de una parcela de terreno por 108.000 céntimos ganando en la operación 36.000 céntimos. ¿Cuánto nos costó la parcela? 4) Hemos vaciado los 4/5 de un estanque y aún nos quedan por sacar 1.080 litros. ¿Cuál es la capacidad del estanque? 5) Las páginas de un libro de Sociales se distribuyen así: 3/5 Geografía, 2/3 del resto Historia, 7/8 del nuevo resto Ética y las 8 páginas finales Vocabulario. ¿Cuántas páginas tiene el libro y cuántas cada apartado?