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El Conjunto de números reales En este curso se estudiará el conjunto de números reales, el cual se denota con la letra mayúscula R. Este conjunto se forma de la unión de los siguientes conjuntos: El conjunto de números Naturales denotado por N = {1,2,3,...} Se conoce como el conjunto de números que se usa para contar. El conjunto de números Cardinales denotado por W = {0,1,2,3,...} Observa que son los naturales más el cero. . El conjunto de números Enteros denotado por Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Observa que son los cardinales más los negativos. El conjunto de números Racionales denotado y definido por Ejemplos: El conjunto de números Irracionales denotado y definido por Q' = {decimales infinitos no repetitivos} Estos números no se pueden expresar COMO UN COCIENTE ENTRE DOS ENTEROS. Ejemplos: Anota y recuerda: Todo número entero se puede escribir como un número racional de la forma Ejemplos: . Un número racional equivalente a 1 se escribe de la forma Ejemplos: Todo número racional puede escribirse como un decimal finito o un decimal infinito repetitivo. Ejemplos: decimal finito repetitivo La relación entre los conjuntos antes mencionados es : R Q Z W N Q Q’ Q decimal infinito Propiedades de los números reales Si a, b y c son números reales entonces: Propiedad Operación Conmutativa Suma Multiplicación Propiedad Asociativa Operación Suma Multiplicación Propiedad Identidad Propiedad Operación Definición a+b = b+a Que dice El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado. ab = ba Ejemplo 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5 Definición Que dice a+(b+c)=(a+b)+c Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. a(bc) = (ab)c Definición Que dice Ejemplo 7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7 Ejemplo Suma a+0=a Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. -11 + 0 = -11 Multiplicación a x 1= a Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. 17 x 1 = 17 Operación Definición Que dice Ejemplo Inversos Suma a + ( -a) = 0 Operación Distributiva Suma respecto a Definición a(b+c) = ab + ac Multiplicación Identifica la propiedad: 5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2 14 + ( -14 ) = 0 3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11) ( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5) Aplica la propiedad indicada: 5(x + 8) ; (conmutativa de suma) (3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación) (9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva) 12(x + y) ; (distributiva) 9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación) (x + y) + z ; (asociativa de suma) ( RESPUESTAS ) Otras propiedades 15+ (-15) = 0 El producto de recíprocos es 1. Multiplicación Propiedad La suma de opuestos es cero. Que dice El factor se distribuye a cada sumando. Ejemplo 2(x+8) = 2(x) + 2(8) Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo -( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número. -(-9)=9 (-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo. ( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2) ( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo. ( -34) ( - 8) = 34 x 8 -1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real. -1 ( 7.6 ) = - 7.6 = - 30 Propiedades del cero Propiedad del cero Que dice Ejemplo ax0=0 Todo real multiplicado por 0 es 0. 16 x 0 = 0 a x b = 0 entonces Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0. (a+b)(a-b) = 0 entonces a=0ób=0 a+b=0óa–b=0 Recuerda Operación Resta Definición a – b = a + ( - b) Que dice La resta es la suma del opuesto del sustraendo. Ejemplo 2 – 8 = 2 + (-8) = - 6 División La división es la multiplicación por el recíproco del divisor. Intervalo (matemática) En Análisis matemático, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa, es decir a el subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad: si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I. Notación Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos los puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí. También existe una regla ERRONEA para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y [1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio. Clasificación Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos) o según sus características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita). Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud: Notación Intervalo Longitud (l) Descripción Intervalo cerrado de longitud finita. Intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto). intervalo abierto en a, cerrado en b. intervalo abierto. Intervalo (semi) abierto. Intervalo (semi) cerrado. Intervalo (semi) cerrado. Intervalo (semi) abierto. Intervalo a la vez abierto y cerrado. intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. x no existe Sin longitud conjunto vacío. Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y de su radio: Si I = ]a, b[, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B (c, r); B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico. De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto: _ B (c, r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B (c, r) = { x ε R, |x - c| < r }. Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es legítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunta permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos. Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d. podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ]. Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las inegualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - c. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - c ]. Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también sencillos: I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ]. Generalización Un entorno de centro a y radio δ es un conjunto de puntos cuya distancia a a es menor de δ. O sea: En particular si se denomina entorno reducido (E`). el cual no es un intervalo pues es un conjunto disconexo entonces se cambia la x por y o p Intervalos e inecuaciones lineales 1. Intervalos e inecuaciones lineales Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta. Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos. Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye. La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < o >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo (mayor o igual, o menor o igual). Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes: Ejemplo: Todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a, ni b. Todos los reales mayores que a, sin incluir a. Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n. Observa el esquema: 1.1 Propiedades de las desigualdades 1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: a<b /±c a±c<b±c ejemplo 2 + x > 16 x > 14 /–2 2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo: a<b a•c<b•c / • c (c > 0) a>b a•c>b•c / • c (c > 0) Ejemplo 3 5 • x / :5 3/5 x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5 3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo: a<b a•c>b•c / • c (c < 0) a > b / • c (c < 0) a•c<b•c Ejemplo 15 – 3• x 39 / -15 - 3• x 39 – 15 /: -3 x 24: (-3) x - 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8. 2. Inecuaciones de primer grado Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita. A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6 Método 1: Primero sumemos –3x a ambos lados x – 3x – 2 < – 6 sumemos 2 en ambos lados x – 3x < 2 – 6 multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3 -2x < -4 x > 2 Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo. Método 2: x – 2 < 3x – 6 Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados -2 < 3x – x – 6 Sumamos 6 en ambos lados -2 < 2x – 6 Propiedades del valor absoluto Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto. Propiedad 1 Demostración Hay dos posibles casos: Caso 1: Caso 2: Propiedad 2 Si Demostración:(ejercicio para el estudiante) Propiedad 3 Si Demostración Para demostrar esta propiedad conviene recordar que: en particular: Usando esta definición se tiene que: Propiedad 4 Demostración:(ejercicio para el estudiante) Propiedad 5 Si Demostración entonces Aquí también usaremos el hecho de que: Si Propiedad 6 Demostración , se tiene que: Propiedad 7 Sea una variable real y un número real positivo: Interpretación geométrica de esta propiedad Demostración Como Propiedad 8 Sea una variable real y un número real positivo entonces: Demostración Como , se tiene: Exponentes y Radicales Exponentes Si n es un entero positivo, la notación exponencial a2 que se define en la tabla, representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión a2 se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el numero real a, base. Notación exponencial Caso general (n es cualquier entero positivo) Casos especiales Ejemplos: es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an. Ejemplo Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos. Exponente cero y negativo Definición (a diferente de 0) Ejemplo Si m y n son enteros positivos, entonces En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión es igual a am+n ; es decir, De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación: Ley Ejemplo Las leyes de los exponentes pueden generalizarse: Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada numero real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero. Simplificar: a) b) Solución: a) b) El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos. Simplificación de expresiones con exponentes negativos. Simplifica: Solución: Radicales A continuación definiremos la principal raíz enésima de un numero real. Definición de Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a , un numero real. 1) Si , entonces 2) Si , entonces es el número real positivo b tal que . 3) a) Si y n es non, entonces es el numero real negativo b tal que b) Si y n es par, entonces no es un número real. Si n=2 se escribe en lugar de raíz cuadrada de a. El número y . se llama raíz cuadrada principal de o simplemente es la raíz cúbica de a. Ilustraciones: Observa que porque , por definición, las raíces de números reales positivos son positivas. El símbolo se lee "más o menos". Para completar nuestra terminología, la expresión radicando y n es el índice del radical. El símbolo Si , entonces ; esto es, es un radical, el número a se llama es el signo radical. . En general se presenta la siguiente tabla de propiedades. Propiedades de (n es un entero positivo). Propiedad De esta ultima propiedad vemos que: entonces sin embargo si Ejemplo para todo numero real x. En particular, si , entonces , que es positiva. Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales. Ley Ejemplo Advertencias respecto a errores comunes: Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical hasta que el radicando contenga sólo exponente igual o mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea posible. Eliminación de factores de radicales. Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos): a) Solución a) b) c) b) c) Si al denominador de un cociente contiene un factor de la forma entonces al multiplicar numerador y denominador por denominador porque: Este proceso se llama racionalización del denominador. Multiplicar Factor en el numerador y denominador denominador por Ejemplos Racionalización de denominadores Racionaliza: a) Solución a) b) b) Factor resultante con k < n y a > 0 eliminaremos el radical del Este proceso algebraico, en cursos avanzados puede complicar el calculo para la resolución del problema, es por ello que se recomienda analizar y seleccionar el procedimiento adecuado. Definición de exponentes racionales Sea m/n un numero racional, donde n es un entero positivo mayor de 1. Si a es un numero real tal que existe , entonces Nota: Las leyes de los exponentes son ciertas para exponentes racionales e irracionales. Simplificación de potencias racionales Simplifica: a) Solución a) b) b) Leyes de los exponentes Aquí están las leyes (las explicaciones están después): Ley Ejemplo x1 = x 61 = 6 x0 = 1 70 = 1 x-1 = 1/x 4-1 = 1/4 xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5 xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2 (xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6 (xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3 (x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2 x-n = 1/xn x-3 = 1/x3 Explicaciones de las leyes Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo: Ejemplo: potencias de 5 ... etc... 52 1×5×5 25 51 1×5 5 50 1 1 5-1 1÷5 0,2 5-2 1÷5÷5 0,04 ... etc... verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye). La ley que dice que xmxn = xm+n En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces. Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5 Así que x2x3 = x(2+3) = x5 La ley que dice que xm/xn = xm-n Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces. Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2 (Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.) Esta ley también te muestra por qué x0=1 : Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1 La ley que dice que (xm)n = xmn Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces. Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12 Así que (x3)4 = x3×4 = x12 La ley que dice que (xy)n = xnyn Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo: Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3 La ley que dice que (x/y)n = xn/yn Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3 La ley que dice que Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m): Ejemplo: Y eso es todo Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página. Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0? Exponente positivo (n>0) 0n = 0 Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0) Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo! El extraño caso de 00 Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado": x0 = 1, así que ... 00 = 1 0n = 0, así que ... 00 = 0 Cuando dudes... 00 = "indeterminado" Factorización de un trinomio de la forma x2 + mx + n ó ax2 + mx + n. Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n. de dos binomios, tales como (x + a)(x + b), es: Teniendo presente que el producto (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab, si se reemplaza a + b por m y ab por n, se puede escribir: x2 + mx + n = (x + a)(x + b). Un trinomio de la forma x2 + mx + n, proviene del producto de dos binomios cuyo primer término es x, y los segundos términos son tales que dan por suma el coeficiente de x, y por producto el término independiente de x. Ejemplos: a) Sea x2 + 7x +12. El producto +12 indica que los factores son del mismo signo, y la suma +7 indica que los dos son positivos. El producto 12, con factores enteros, puede obtenerse multiplicando 12 por 1, ó 6 por 2, ó 4 por 3 . Los dos últimos factores son los buscados, pues su suma es 4 + 3 = 7. Se tiene, por consiguiente, que: x2 + 7x +12 = (x + 4)(x + 3). b) Sea x2 - 5x - 14. El producto -14 indica que los dos factores son de signo contrario, y, puesto que su suma es negativa, el mayor en valor absoluto debe ser negativo. El producto -14 con factores enteros, puede obtenerse multiplicando -14 por 1, ó -7 por 2. La suma de estos dos últimos factores da -5; por consiguiente, los números buscados son -7 y 2. Por lo tanto: x2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2). Factorizar un trinomio de la forma ax2 + mx + n. Los trinomios de la forma ax2 + mx + n, proviene de la multiplicación de dos binomios, como se ve en los ejemplos que siguen: Examinando los productos anteriores, se observa que: 1º-. El primer término del trinomio es igual al producto de los primeros términos de cada factor. 2º-. El segundo término es igual a la suma algebraica de los productos del primer término de cada binomio por el segundo término del otro. 3º-. El tercer término es igual al producto de los segundos términos de los binomios. Un trinomio de la forma ax2 + mx + n puede presentarse en forma de dos factores binomios tales que el producto de los dos primeros términos sea ax2 , la suma algebraica de los productos del primer término de cada uno por el segundo término del otro dé mx, y el producto de los segundos términos sea n. Ejemplos: a) Factorizar 5x2 +16x +3. El primer término 5x2 es el producto de 5x por x; por lo tanto, los primeros términos de los binomios son 5x y x. Cuando el producto de los números que constituyen los segundos términos de los binomios es +3, deben ser de mismo signo, es decir, los factores de 3 pueden ser 3 y 1 ó -3 y -1. Los factores -3 y -1 deben desecharse, porque su producto, por los primeros términos daría el coeficiente de x negativo. Quedan por examinar 3 y 1. Resulta entonces que los binomios pueden ser 5x + 3 y x + 1 ó 5x + 1 y x + 3. Por multiplicación, se ve que los factores son 5x + 1 y x + 3. Por tanto: 5x2 +16x +3 = (5x + 1)( x + 3). b) Factorizar 6x2 - x - 15. El primer termino 6x2 puede provenir de multiplicar 3x por 2x, o bien 6x por x. El primer supuesto da, como primeros términos de los binomios, 3x y 2x. El término -15 del polinomio indica que los segundos términos de los binomios son de signo contrario, y el coeficiente de x del mismo polinomio requiere que el mayor, en valor absoluto, sea negativo; por tanto, dichos segundos términos pueden ser -15 y +1, ó -5 y +3. Desde luego, se ve que hay que desechar el primer par de valores, pues el término en x del trinomio propuesto tendría un coeficiente diferente de -1. Quedan por examinar los pares de binomios: 3x - 5 y 2x + 3, 3x + 3 y 2x - 5. Por multiplicación, se ve que los factores son 3x - 5 y 2x + 3, pues con ellos se obtiene, para término medio el trinomio propuesto: 9x - 10x = -x. Por tanto: 6x2 - x - 15 = (3x - 5)(2x + 3). Si la factorización buscada no se hubiera hallado, habría habido necesidad de ensayar otros factores, como: 6x - 15 y x + 1, ó 6x - 5 y x + 3, etc... Otro procedimiento. El procedimiento que se acaba de exponer para factorizar un trinomio de la forma ax2 + mx + n, resulta a veces un tanto largo, por el ensayo que deben hacerse de los diferentes pares de binomios. Puede seguirse otro más corto, que se indica a continuación, aunque sin demostrarlo, pero de cuyo resultado se da la comprobación. Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + mx + n, búsquese dos números cuya suma algebraica sea igual al coeficiente de x, y su producto sea igual al coeficiente de x2 multiplicado por el término independiente. Una vez hallados los dos números, sustitúyase el término mx por dos términos en x cuyos coeficientes sean dichos números, y póngase luego en factor, agrupando terminos. Ejemplos: a) Factorizar el trinomio: 3x2 + 14x + 8. Hay que buscar dos términos cuya suma sea 14, y su producto, 8·3 = 24. El producto 24 puede resultar de 24·1, 12·2, 8·3, ó 6·4. Los únicos factores cuya suma da 14, son 12 y 2; éstos son pues los números buscados, y se puede escribir: 3x2 + 14x + 8 = 3x2 + 12x + 2x + 8 = 3x(x + 4) + 2(x + 4). Poniendo el binomio (x + 4) en factor común, resulta: 3x2 + 14x + 8 = (x + 4) (3x + 2) Comprobación: (x + 4) (3x + 2) = 3x2 + 12x + 2x + 8 = 3x2 + 14x + 8. b) Factorizar el trinomio: 6x2 - 13x -5. Deben buscarse dos números cuya suma sea -13, y su producto, 6(-5)=-30. El producto de -30 puede resultar de -30·1, -15·2, -6·5, ó -10·3. Los únicos factores cuya suma es -13 son -15 y 2; luego: 6x2 - 13x -5 = 6x2 - 15x + 2x -5 = 3x(2x - 5) + (2x - 5), 6x2 - 13x -5 = (2x-5)(3x+1). Comprobación: (2x - 5)(3x + 1) = 6x2 - 15x + 2x -5 = 6x2 - 13x -5. Expresiones Algebraicas. Polinomios A) Traduce a lenguaje algebraico: 1. El triple de un número. 2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades. 3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos. 4. Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades Solución: 5(2x-5) 5. Expresa algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado x. x B) Asocia cada una de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponde: 1) La suma de los cuadrados de dos números 2) El espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad por el tiempo que está en movimiento 3) El área del circulo de radio x (x +y)2= x2+ y2+ 2xy 4) Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5 5) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto E = v .t x2+ y2 6) Media aritmética de tres números (1) x2 C) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican: 1. 2x +1 para x =0 2. x2 + y2 para x =1 , y =3 3. (1-2x)(1+ 2x) para x = 2 4. para x =3, y =2, z =4 Solución = 5. x2+ y2+ 2xy 6. –2x2y3 =3 para x =1, y =2 para x =2, y = 2 D) Identidades notables. Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia Diferencia de cuadrados 1) Desarrolla las siguientes expresiones: a) (x +2)2 b) (x -1)2 c) (2x +3)2 d) (x +2)(x –2) e) (2x –1)(2x +1) f) (3x – y)2 g) (2x –3y)(2x +3y) = 4x2 –9y2 h) (x -1)3 i) (x +5)2-(x-3)2 2) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) 3x4 -2x2 b) x2 –1 c) x2 +6x +9 Solución. No tiene ningún factor común , es una identidad notable: (x +3)2= x2 +6x +9 d) x2 + 4 +4x e) 4x2-y2 f) 9 –6x +x2 g) 2x –4x2y h) x2 +x y +x z +y z Solución: x(x +y) +z(x +y) =(x +z) (x + y) i) a x –ay –b x +by 3) Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos a) x2+ 2x+..... b) 4x2 + 8x+...... Solución: 4x2 + 8x +4 = (2x +2)2 c) 9x2 -....+ 16 E) Calcula el grado de los siguientes polinomios: 1. –2x2y3 3. 2. . x2+ y2+ 2xy Solución: 2+4+2 =8 4. (x +5)2-(x-3)2 5. 7x5-3x2-6x4+2+x F) Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante. 1) 3(x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4) 2) 3) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2 4) (3x3 –x + 5) (2x3 +1) 5) (x3y3 + 2) (x3y3 - 2) 6) (7x3 –5x+3) (2x2 +x-1) 7) Solución: = 4x-12 +21x-9-24 = 25x -45 8) 9) G) Operaciones con expresiones algebraicas: 1) Multiplica la siguiente expresión por 12 y simplifica el resultado: 2) Multiplica por 20 y simplifica el resultado: H) Divide los siguientes polinomios: 1) 15 a3b2c : 6 a2c = = 2) 5 x3y2z4 : 3 x2z2 3) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1) 4) (2x3 +6x2 +11x+4) : (x-3) 5) (x4 -6x3 +5x2-4x+1): (x2 –x +5) 6) (x3 +6x2 +5x+4): (x2 –3x +1) Solución x3 + 6x2 +5x +4 -x3 +3x2 -x / x2 –3x +1 x +9 9x2 + 4x +4 -9x2 + 27x-9 / 31x –5 7) (x4 -5x3 +3x2-2x+5): (x2 +x -3) Nota. Cuando el divisor es un binomio de la forma (x-a) se puede aplicar la regla de Ruffini, que utiliza sólo los coeficientes Ejemplo. Divide x3-3x2+ 5x-7 entre (x-3) Se hace la siguiente disposición de la figura. El cociente es x2+5 y el resto 8 1) (x3 –x2 -16x -3): (x -3) Solución: Utilizando Ruffini quedaría Nos queda que el cociente es x2 +2x – 10 y el resto -33 2) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1) 3) (3x4 +6x2 +11x+4) : (x-2) 4) (x3 + 1) : (x +1) 5) (–x4 +2x3 +5x -3):(x+3) Ampliación Teorema del resto. El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a) es el valor numérico del polinomio en x =a, es decir el resto es el valor de P al sustituir la x por a, R =P(a). Ejemplo: El resto de la división ( x3 -2x2 +3x -4):(x-1) es: 13-2.12+3.1-4=1-2+3-4= -2 (comprobarlo) 1. Calcula el resto de la división (x3 –x2 -16x -3): (x -3) sin efectuarla 2. Calcula el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta: a) P(x) = x3 -x2 +k.x -4, Q(x) = (x-2) b) P(x) = x4 -2x3 +3x2 –k x -5; Q(x) = (x +1) 2. Calcula el valor de k, para que el resto de la división del polinomio x4 –k x3 +3x2 – x +4 entre el binomio x +2 nos dé15. Factorización Factorizar un polinomio es ponerle como producto de sus factores (se llama también descomposición en factores del polinomio). Para factorizar hay que tener en cuenta las identidades notables, el sacar factor común, la regla de Ruffini, y la resolución de ecuaciones (de 2º grado) para la búsqueda de raíces. Ejemplo: Factoriza x3-5x2+ 4x Solución En primer lugar se saca factor común x, x3-5x2+ 4x =x(x2-5x+4) El segundo factor es un polinomio de 2º grado, y para encontrar los otros factores se puede obtener las raíces aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado. x= por tanto los factores son (x-4) y (x-1) El polinomio factorizado es: x(x-4)(x-1). Nota: También podría haberse usado Ruffini para el cálculo de las raíces, ya que son enteras d) x3 -11x2 +34x -24 e) x4 -11x3 +33x2 -9x -54 Si necesitas mas ejercicios del tema de polinomios visita estos enlaces Polinomios o Ejercicios de profundización Fracciones Algebraicas A) Hallar el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas en los puntos que se indican: 1) en x = 1, x =3. 2) en x = 2, x = 0. 3) en x =1, x =2 Solución: En x=1 No existe este valor, no se puede dividir por cero, no se puede calcular el valor numérico en x =1. En x =2 4) en x =-2, 0, 1 y 2 B) Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes: 1) 2) y y Solución. Se tiene: (x-2)(x2-4) = x3 -4x -2x2+8 = x3 -2x2 -4x +8 (x +2)(x2-4x+4) = x3 -4x2 +4x+ 2x2 -8x +8 = x3 -2x2 -4x +8 Son equivalentes. C) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas, en los casos posibles: 1) 2) 3) 4) 5) Solución. Se tiene == 6) D) Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado en los casos que se pueda. 1) . 2) 3) 4) Solución. Primero reducimos a común denominador y después sumamos los numeradores: m .c. m (x, x +1) = x(x +1) =x2+ x = 5) 6) 7) 8) Si necesitas mas ejercicios del tema de polinomios visita estos enlaces Ejercicios operaciones con expresiones algebraicas Instrucciones; escoge la opción que convenga para que cada aseveración propuesta sea correcta. 1.- Producto de las potencias: m³x • mx: a) m ³x², b) m²x, c) m4x, d) m (³x)(x) 2.- Al elevar x5 a la segunda potencia; (x5)², obtenemos: a) x25, b) x7, c) x52, d)x10. 3.- La expresión a6/5 b9/5 proviene de elevar a la potencia: a) (a4 b6)3/5, b) (a²b³)3/5, c) (a³b²)3/5, d) (a6 b4)3/5 4.- Regla que define el cociente de potencias de la misma base: a) xm ÷ xn = xm-n, b) xm ÷ xn, c) xm/xn = xmn, d) xm/xn = mn. 5.- Resultado del cociente: m4/m6; a) m²/1, b) m10, c) 1/m-², d) 1/m². 6.- Si; a5 ÷ a8 = a-³, entonces su equivalente es: a) 3a/1, b) 1/3a, c) a³, d) 1/a³. 7.- Si; m² ÷ m² = m°, entonces su equivalente es: a) m, b) 1/m, c) 1, d) 1m. 8.- Al sumar los monomios: (5m³n²) + (´-7m³n²) obtenemos: a) 12m³n², b) –12m³n², c) –35m³n², d) –2m³n². 9.- El producto: 6a²b² + 3ab proviene de multiplicar: a) 3ab(2a²b² + 1), b) 3ab(6ab + 1), c) 3ab(2ab + 1), d) 3ab(2ab + 3) 10.- Los polinomios: (x² – xy + y²) (x + y) dan un producto igual a: a) x³ – y³, b) x³ + x²y² – y³, c) x³ + y³, d) x³ – x²y² + y³ Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3 1Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x) 2Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 3Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3 Resta de polinomios La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3 Multiplicación de polinomios Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. 3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. 3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2 Multiplicación de polinomios P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo: División de polinomios Resolver la división de polinomios: P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1 P(x) : Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 : x2 = x3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x4 : x2 = 2 x2 Procedemos igual que antes. 5x3 : x2 = 5 x Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x2 : x2 = 8 10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x3+2x2 +5x+8 es el cociente. División por Ruffini Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini. Resolver por la regla de Ruffini la división: (x4 −3x2 +2) : (x −3) 1.- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. 2.- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3.- Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor. 4.- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente. 5.- Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. 6.- Sumamos los dos coeficientes. 7.- Repetimos el proceso anterior. Volvemos a repetir el proceso. Volvemos a repetir. 8.- El último número obtenido, 56 , es el resto. 9.- El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. x3 + 3 x2 + 6x +18 Ejercicios y problemas resueltos de polinomios 1.- Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1 Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 R(x) = 6x2 + x + 1 S(x) = 1/2x2 + 4 T(x) = 3/2x2 +5 U(x) = x2 + 2 Calcular: 1.- P(x) + Q (x) = = (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) = = x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 = = x3 + x2+ 6x − 3 2.- P(x) − U (x) = = (4x2 − 1) − (x2 + 2) = = 4x2 − 1 − x2 − 2 = = 3x2 − 3 3.- P(x) + R (x) = = (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) = = 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 = = 10x2 + x 4.- 2P(x) − R (x) = = 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) = = 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 = = 2x2 − x − 3 5.- S(x) + T(x) + U(x) = = (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) = = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 = = 3x2 + 11 6.- S(x) − T (x) + U(x) = = (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) = = 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 = =1 2.- Dados los polinomios: P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1 Q(x) = x3 − 6x2 + 4 R(x) = 2x4 −2 x − 2 Calcular: P(x) + Q(x) − R(x) = = (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) = = x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 = = x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 = = −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5 P(x) + 2 Q(x) − R(x) = =(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)= = x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 = = x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 = = −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9 Q(x)+ R(x) − P(x)= = (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) = = x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1= = 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1= = x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3 1.- (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) = = x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6= = x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 = = x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6 2 .- (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) = = 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x = = 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x = = 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x 3 .- (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) = = 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 − − 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x + +18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 = = 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 + +8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 = = 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18 3.- Dividir los polinomios: 1.- (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2) 2.- (x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3) 3 .- P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 4 .- Dividir por Ruffini: 1.- (x3 + 2x +70) : (x+4) Q(x) = 3x2 −2 x + 1 2.- (x5 − 32) : (x − 2) C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 y R(x)= 0 3.- (x4 −3x2 +2 ) : (x −3) C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R(x)= 56