Download UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 6 Ecuaciones con Radicales

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Tel.: 958-5804
Nombre del Alumno o la Alumna: _______________________________
Grupo: 10º ______
Sección: Bachiller Industrial : Segundo Ciclo Industrial
Especialidad: _____________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 6
Ecuaciones con Radicales
6.0 ÁREA: Álgebra
6.1 OBJETIVOS

Resuelven ecuaciones con radicales reducibles a ecuaciones lineales.

Resuelven ecuaciones con radicales reducibles a ecuaciones cuadráticas.

Verifican las respuestas de las ecuaciones con radicales.
6.2 INTRODUCCIÓN
En lo que va del trimestre ya hemos estudiado las ecuaciones cuadráticas, y anteriormente las
ecuaciones, pero y ¿cómo se resolverán aquellas ecuaciones irracionales, es decir, aquellas que
contienen raíces?, a estas ecuaciones se les denomina ecuaciones con radicales o ecuaciones
irracionales, las cuales para resolverse se pueden reducir a ecuaciones lineales o a cuadráticas,
facilitando su solución.
Cualquier raíz de una ecuación dada, puede ser también raíz de otra ecuación que se obtenga al
igualar los cuadrados de los dos miembros de la ecuación propuesta.
Sin embargo, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtienen valores para
la incógnita que pueden resultar incorrectos para la ecuación original, tales valores se llaman
raíces extrañas de la ecuación. Esto es debido a que los radicales de índice par presentan
problemas de indefinición con subradicales negativos.
6.3 DEFINICIÓN: Una ecuación con radicales es aquella en la cual aparecen expresiones
racionales con raíces, en por lo menos uno de los miembros de la ecuación.
6.3.1 CONCEPTO: Se llaman ecuaciones irracionales a aquellas ecuaciones en las cuales la
incógnita aparece bajo el signo radical, por ejemplos:
 2 x  3  7 ,  5  2 x  3x 2  1 ,  x  3  3 x 
2x  1 ,

9 x 2  5  3x  1

2 x 2  2 x  3x  4  3 x 2  3x  1
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1
6.4 REDUCIR ECUACIONES CON RADICALES A ECUACIONES LINEALES
Reducir una ecuación con radicales a una ecuación lineal consiste en elevar la ecuación a un
exponente igual que el índice, con el objeto de eliminar la raíz; de tal forma que el resultado sea
una ecuación lineal y se pueda resolver como tal.
6.5 PROCEDIMIENTOS PARA REDUCIR ECUACIONES CON RADICALES
Para resolver una ecuación que comprende radicales se efectúan los siguientes pasos:
1) Paso1: Si la ecuación consta de un solo radical, esto se despeja y se eleva la ecuación a
una potencia igual a su índice.
Se deja en uno de los miembros, un solo radical,
trasladando al otro miembro los demás términos, es decir, se aísla la raíz.
2) Paso2: Realice las operaciones indicadas y reduzca términos semejantes. Se elevan al
cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre sí
(depende del índice de la raíz involucrada).
3) Paso3: Resuelva la ecuación resultante. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se
resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene uno o más radicales se repiten los
pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta última
ecuación.
4) Paso4: Compruebe el resultado obtenido, porque pueden aparecer valores que no
satisfacen a la ecuación dada y que son considerados soluciones extrañas o raíces
extrañas. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y
se determinan las raíces extrañas.
El proceso de liberar la ecuación de radicales se conoce con el nombre de racionalización de la
ecuación.
6.6 EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A
ECUACIONES DE PRIMER GRADO (O ECUACIONES LINEALES)
1)
x 3 4
Sol.:

x 3

2

 4 2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
x  3  16
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
x  16  3
Se despeja la x
x  13
Es la raíz o solución
Verificación:
Para x  13
13  3  4
16  4
4 4

S   x  13 
Es el conjunto solución de la ecuación
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2
2)
2x  1  3
Sol.:


2
2x  1
  3
2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
2x  1  9
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
2x  9  1
2x  8
Se despeja la x
8
2
x 
x  4
Es la raíz o solución
Verificación: Para x  4
24   1  3
8 1 3
9 3
3 3

S   x  3  Es el conjunto solución de la ecuación
3)
x 8  2
Sol.:

x  8

2
  2
2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros de la ecuación
x  8 4
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
x  4  8 Se despeja la x
x  12
Es la raíz o solución
Verificación: Para x  12
12  8  2
4 2
2 2

4)
Sol.:
S   x  12  Es el conjunto solución de la ecuación
x25

x 2
   5
2
2
x  2  25
Se eleva al cuadrado a ambos miembros de la ecuación
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
x  25  2
Se despeja la x
x  27
Es la raíz o solución
Verificación: Para
x  27
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3
27  2  5
25  5
5 5

S   x  27  Es el conjunto solución de la ecuación
5) 7  3 5x  2  9
Sol.:
5x  2  9  7
3
Se aísla la raíz
5x  2  2
3

3
5x  2

3
  2
3
Se elevan al cubo a ambos miembros de la ecuación
5x  2  8
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
5x  8  2
Se despeja la x
5 x  10
x 
10
2
5
Es la raíz o solución
Verificación: Para x  2
7
3
52   2  9
7  3 10  2  9
7 3 8  9
7 2  9
99
 S   x  2  Es el conjunto solución de la ecuación
6) 2 
Sol.:
3
3

3
3
2x  3  5
2x  3  5  2
Se aísla la raíz
2x  3  3
2x  3
   3
3
3
2 x  3  27
Se elevan al cubo a ambos miembros de la ecuación
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
2 x  27  3 Se despeja la x
2 x  24
x 
24
 12 Es la raíz o solución
2
Verificación: Para
x  12
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4
2
3
212   3  5
2
24  3  5
3
2
3
27  5
2 3 5
55
 S   x 12  Es el conjunto solución de la ecuación
9 x 2  5  3x  1
7)
Sol.:
9 x 2  5  1  3x
 9x
2

2
 5
Se aísla la raíz
  1  3x 
2
9x 2  5  1  6x  9x 2
5  1  6x
Se eleva al cuadrado a ambos miembros de la ecuación
Se resuelve el cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Se resuelve como ecuación lineal
4   6x
x 
4
2

6
3
Verificación: Para x  
9

2 2
3
Es la raíz o solución
2
3
 5  3 23   1
9 94   5 
6
3
 1
4 5  2  1
9 2  1
3 2  1
1 1
 S   x   2  Es el conjunto solución de la ecuación
3

x  10 
8)
x  19   1
Sol.:
x  10 


x  10
2


x  19  1

x  19  1
2
Se aísla la raíz
Se eleva al cuadrado a ambos miembros de la ecuación
x  10  x  19  2 x  19  1 Se resuelve el cuadrado de la diferencia de dos cantidades
x  10  20  x  2 x  19
 10   2 x  19
 2
 10

x  19
2
2
5  x  19
52 

x  19

2
Se realizan las operaciones
Se eleva al cuadrado a ambos miembros de la ecuación
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5
25  x  19
25  19  x
6  x
x  6
Es la raíz o solución
Verificación: Para x  6
6  10 
6  19   1
16 
25   1
4  5  1
1  1
 S   x  6  Es el conjunto solución de la ecuación
9)
18 x  8 
2x  4  2 2x  1  0
Sol.: 18 x  8 
 18x  8 
2


2x  4  2 2x  1
2x  4  2 2x  1

Se aísla la raíz

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros

18 x  8  2 x  4  4 2 x  4 2 x  1  4 2 x  1
Se resuelve el cuadrado de la diferencia
de dos cantidades
18x  8  2 x  4  4 4 x 2  6 x  4  8x  4
Se realizan las operaciones
18 x  8  10 x  4 4 x 2  6 x  4
18 x  10 x  8  4 4 x 2  6 x  4
8x  8  4 4x 2  6x  4
8x  8
4

4x 2  6x  4
4
4
2x  2 
2 x  22
4x 2  6x  4
 4x

2
 6x  4

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros de la ecuación
4x 2  8x  4  4 x 2  6 x  4
4 x 2  8x  4 x 2  6 x   4  4
 2x   8
x 
8
4
2
Verificación: Para x  4
184  8 
24  4  2 24  1  0
72  8 
8  4  2 8 1  0
64 
42 9  0
8  2  2 3  0
8  26  0
0  0
 S   x  4  Es el conjunto solución de la ecuación
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10) 9 x  10  2 x  3 
Sol.:

9 x  10 
9 x  10

2


x2
x2 2 x3
x2 2 x3

9 x  10  x  2  4
Se aísla la raíz

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros

x  3  4 x  3 Se resuelve el cuadrado de la diferencia
x2
de dos cantidades
9 x  10  x  2  4 x 2  x  6  4 x  12
Se realizan las operaciones
9 x  10  5 x  10  4 x 2  x  6
9 x  5 x  10  10  4 x 2  x  6
4x  4 x2  x  6
4x
4 2

x  x6
4
4
x  x2  x  6
x 

2

x2  x  6

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
x2  x2  x  6
x2  x2  x   6
 x  6
La raíz o solución
x  6
Verificación: Para x  6
96  10  2 6  3 
62
96   10  2 6  3 
54  10  2 9 
62
4
64  23  2
8  6 2
2 2

S   x  6  Es el conjunto solución de la ecuación
El mismo problema, pero ahora sin agruparlos:
9 x  10  2 x  3  x  2
Solución:

9 x  10  2 x  3
 
2
x2

2
9x  10  22 9 x  10x  3  4 x  3  x  2
9 x  10  4 9 x 2  37 x  30  4 x  12  x  2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
Se resuelve el cuadrado de la diferencia
Se realizan las operaciones
9 x  10  4 x  12  x  2  4 9 x 2  37 x  30
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12 x  24  4 9 x 2  37 x  30
3x  62


9 x 2  37 x  30

2
Se divide entre 4 y se eleva al cuadrado
9 x 2  36 x  36  9 x 2  37 x  30
9 x 2  36 x  9 x 2  37 x  30  36
 x  6
x 6
La raíz o solución
 S   x  6  Es el conjunto solución de la ecuación
11)
x 2  11  x  3
Sol.:
x 2  11  x  3

x 2  11
Se aísla la raíz
  x  3
2
2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
   3
x 2  11  x 2  2 x 3 
2
Se resuelve el cuadrado de la diferencia
x 2  11  x 2  2 x 3  3
Se realizan las operaciones
x 2  11  x 2  3  2 x 3
8  2x 3
2x 3  8
2x 3
8

2
2
x 3  4  x 
4

3
Verificación: Para x 
x 
4
3
4 3


3
3 3
La raíz o solución
4 3
3
2
4 3
4 3


 3   11  3 


3
163
4 3
 11 

9
3
3
48  99
4 3


9
3
3

147
4 3

9
3
147
4 3

9
3
147
4 3

3
9
7 3
4 3

3
3
7 34 3
3
3 3
3
3

3

3

3

3

3

3

3

4 3
 S x
 Es el conjunto solución de la ecuación
3 

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PRACTICA N°1
I.
Reduce las siguientes ecuaciones irracionales a ecuaciones lineales y verifica las respuestas.

x2 5

x5 7

4 x 2  3x  7  2 x  1

x  3  x  x2  3

x2  3  x  2

x 2  8  4 x

x  3  6 x  11

11  9 x 2  3x  5

x 2  7 x  10  x  2  3 x  2

4 x 2  3x  4  2 x  1
II. Respuestas

x  23

x  54
 x8  x
11
7
14
 5
 x
 x 3  x 
 x
 x  3  x  1
4
4
5
5
6.7 REDUCIR ECUACIONES CON RADICALES A ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación con radicales o una ecuación irracional es reducible a ecuación cuadrática
cuando al eliminar algebraicamente las raíces, se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual
se puede resolver por cualquiera de los métodos estudiados anteriormente: por factorización,
por completando cuadrado, por la fórmula general, por ensayo y error o por aspa simple.
6.8 EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A
ECUACIONES CUADRÁTICAS
1)
x  3 3 x
Sol.: x  3  x  3

Se aísla la raíz

x  3  x  3
2
2
x  3  x 2  6x  9
 x 2  6x  9  x  3  0
 1
Se elevan ambos miembros al cuadrado
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
Se transponen y se reducen los términos semejantes
x 2  6 x  9  x  3  0 Se multiplica por menos uno
x2  7x  6  0
Se factoriza el trinomio
x  1x  6
Se despeja la variable x
 0
x 1  0 ; x  6  0
x1  1 ; x2  6
Son las raíces
Verificación: Para x1  1
Para x2  6
1 3 3  1
6  3 3  6
4 3  1
9 3  6
23  1
33  6
5  1
6  6
 La solución es x  6 y la solución extraña es:
x 1
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9
2)
x 1  3  x
x 1  x  3
Sol.:

Se aísla la raíz

x  1  x  3
2
2
Se elevan ambos miembros al cuadrado
x  1  x 2  6x  9
 x 2  6x  9  x 1  0
 1
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
Se transponen y se reducen los términos semejantes
x 2  6 x  9  x  1  0 Se multiplica por menos uno
x 2  7 x  10  0
Se factoriza el trinomio
x  2x  5
Se despeja la variable x
 0
x 2  0 ; x5  0
x1  2 ; x2  5
Son las raíces
Verificación: Para x1  2
Para x2  5
2 1  3  2
5 1  3  5
13  2
4 3  5
1 3  2
23  5
4  2
5  5
 La solución es x  5 y la solución extraña es:
3)
x2 
x2
2x  3  2
Sol.:
2x  3  2  x  2
Se separan los radicales

  2 
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
2x  3
2
x2

2
2 x  3  4  4 x  2  x  2
2 x  3  x  2  4  4 x  2
Se resuelve el cuadrado
Se realizan las operaciones
x 3  4 x  2
x  32   4
x2

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
x 2  6 x  9  16 x  2
x 2  6 x  9  16 x  32
x 2  6 x  9  16 x  32  0
x 2  22 x  23  0
x  23x  1
Se factoriza el trinomio
 0
Se despeja la variable x
x  23  0 ; x  1  0
x1  23 ; x2   1
Verificación: Para x1  23
Son las raíces
Para x2   1
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10
23  2  223  3  2
 1  2  2 1  3  2
25  46  3  2
1 23  2
25  49  2
1 1  2
57  2
11  2
12  2
2 2
 La solución es x   1 y la solución extraña es:
2x 
4)

2x
x 1  1
2x  1  x  1
Sol.:
x  23
  1 
2
x 1
Se separan los radicales

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
2 x  1  2 x  1  x  1
Se resuelve el cuadrado
2x  1  2 x  1  x  1
2x  x 1 1  2 x  1
Se realizan las operaciones
x  2  2 x 1
x  2 2  2
x 1

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
x 2  4 x  4  4 x  1
x 2  4x  4  4x  4
x 2  4x  4  4x  4  0
x 2  8x  0
Se factoriza por factor común monomio
x x  8  0
Se despeja la variable x
x  0 ; x8  0
x1  0 ; x2  8
Son las raíces
Verificación: Para x1  0
Para x2  8
20   0  1  1
28  8  1  1
0 1  1
16  9  1
0 1  1
43  1
1  1
1 1
 La solución es x  8 y la solución extraña es:
x0
5) x  1  5x  11
Sol.: x  1 
2

5 x  11

2
Se elevan ambos miembros al cuadrado
x 2  2 x  1  5x  11
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
x 2  2 x  1  5x  11  0
Se transponen y se reducen los términos semejantes
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11
x 2  3x  10  0
Se factoriza el trinomio
x  5x  2
Se despeja la variable x
 0
x5  0 ; x  2  0
x 1  5 ; x2   2
Verificación: Para x1  5
Son las raíces
Para x2   2
55  11
5 1 
2 1 
6 
25  11
1 
 10  11
6 
36
1 
1
6  6
1  1
 La solución es x  5 y la solución extraña es:
x 1 
6)

2x  3 
x 1 
Sol.:
x 1 
8x  1
 

2
8x  1
Se separan los radicales
2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
x  1  2 x  12 x  3  2 x  3  8x  1
x 1  2
x  2
8x  1  0
2x  3 
2x  3
5  2  11
Se resuelve el cuadrado de la suma
2 x 2  5 x  3  2 x  3  8 x  1 Se realizan las operaciones
x  1  2 x  3  8x  1   2
 5x  3   2
2 x 2  5x  3
2 x 2  5x  3
Se reducen los términos semejantes
2 x 2  5x  3  5x  3
2
2
2 x 2  5x  3


2
 5 x  3
2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros

4 2 x 2  5 x  3  25 x 2  30 x  9
8 x  20 x  12  25 x 2  30 x  9
2
8 x 2  20 x  25 x 2  30 x  9 12
 17 x 2  50 x   3
 17 x 2  50 x  3  0
17 x 2  50 x  3  0
Se resuelve la ecuación cuadrática
Utilizaremos el método de la fórmula general: x 
17 x 2  50 x  3  0
x 
  50 
x1 
 502  4 17  3
2 17 
50  52
50  52
x2 
;
34
34
b 
b 2  4ac
2a
Se identifica los valores de a  17, b  50, c  3

50 
2 500  204
34

50 
2 704
34

50  52
34
Se buscan las raíces
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12
x1 
2
10 2
x

2
34
34 ;
1
; x 2   17
x1  3
Son las raíces
Verificación: Para x1  3
Para x2   171
 171  1 
23  3  83  1  0
3 1 
4 
1  17
17
6  3  24  1  0
4 
2 171   3  8 171   1  0
9  25  0
 2  51
17

16
17

2  35  0
00
 La solución es x  3 y la solución extraña es:
x

49
17
8  17
17

 0
16
17
 0
49
17
 0
7
17
0
1
17
2x  3  x   1
7)
Sol.:
2x  3  x  1
Se separan o aíslan los radicales


Se eleva al cuadrado a ambos miembros
2x  3
2
 x  1
2
2x  3  x 2  2x  1
Se resuelve el cuadrado
2 x  3  x 2  2x  1  0
Se realizan las operaciones
 x2  4 x  4  0
x2  4 x  4  0
Se multiplica por menos uno
x 2  4x  4  0
Se resuelve la ecuación cuadrática
x 2  4x  4  0
Se aplica factorización
x  2x  2
Se despeja la variable x
 0
x 2  0 ; x  2  0
Son las raíces
x 1  2 ; x2  2
Verificación: Para x1  x1  2
22   3  2   1
4  3  2  1
1  2  1
1 2  1
 1  1
 La solución es
8) 4 x 
x1  x2  2 y no hay solución extraña.
6 x  2  5x  1
Sol:  6 x  2  5 x  1  4 x
Se separa el radical
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13
 6x  2  x  1

6x  2

Se reducen términos semejantes
 x  1
2
2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
6x  2  x 2  2x  1
Se resuelve el cuadrado
6x  2  x 2  2 x  1  0
Se realizan las operaciones
 x 2  4x  3  0
 1
Se reducen los términos semejantes
x 2  4x  3  0
Se multiplica por menos uno
Se resuelve la ecuación cuadrática, vamos a utilizar el método de la fórmula general:
x 
b 
b 2  4ac
2a
x 2  4x  3  0
x 
  4 
x 
Se identifica los valores de a  1, b   4, c  3
 42  4 13
2 1

4 
16  12
4  4 42


2
2
2
4  2
2
x1 
42
42
x

2
2 ;
2
x1 
Se buscan las raíces
6
2
x2 
;
2
2
x1  1 ; x2  3
Son las raíces
Verificación: Para x1  1
41 
4
Para x2  3
6 1  2  5 1  1
43 
6  2  5 1
12 
18  2  15  1
4 4 6
12  16  16
42  6
12  4  16
2 6
8  16
 Las soluciones extrañas son:
9)
4x 2  2x  3 
Sol.:
 4x
2
6 3  2  5 3  1
x1  1 y x2  3
x 2  4x  2
 
2
 2x  3 
x 2  4x  2
4x 2  2x  3  x 2  4x  2
4x 2  2x  3  x 2  4 x  2  0
3x 2  2 x  5  0

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
Se resuelve el cuadrado
Se realizan las operaciones
Se reducen los términos semejantes
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
14
Se resuelve la ecuación cuadrática, vamos a utilizar el método de la fórmula general:
x 
b 
b 2  4ac
2a
 2 
x 
entonces en 3x 2  2 x  5  0 Se identifica a  3, b  2, c   5
x 
22  4 3 5
2 3

2 
4  60
6

 2  64  2  8

6
6
2  8
6
x1 
28
28
x2 
;
6
6
x1 
Se buscan las raíces
6
 10
x2 
;
6
6
x1  
5
x2  1
3 ;
Son las raíces
Verificación: Para x1  
4 53   2 53   3 
4

100
9
10
3
Para x2  1
 53 2  4 53   2
 259   203  2
2
25
9
5
3
3 
 103  3 
25
9

20
3
41  21  3 
2
4  2  3  1 4  2
2
100  30  27
9

25  60  18
9
103
9

103
9
45 
1 
 Las soluciones son: x1   5 y
3
12  4 1  2
3 4
1
x2  1
10) 4 x 2  2 x  1  3 x 2  4 x  3

 
2
Sol.: 4 x 2  2 x  1  3 x 2  4 x  3

 

2

16 x 2  2 x  1  9 x 2  4 x  3
16 x 2  32 x  16  9 x 2  36 x  27
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
Se resuelve el cuadrado
Se resuelve el producto
16 x 2  32 x  16  9 x 2  36 x  27  0
7 x 2  4 x  11  0
Se realizan las operaciones
Se reducen los términos semejantes
Se resuelve la ecuación cuadrática, vamos a utilizar el método de la fórmula general:
x 
x 
b 
b 2  4ac
2a
  4 
x1 
 42
2 7 
entonces en 7 x 2  4 x  11  0
 4 7  11
4  18
4  18
x2 
;
14
14

4 
16  308
14

4 
324
14
Se identifica a  7, b   4, c   11

4  18
14
Se buscan las raíces
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
15
x1 
22
 14
x

2
14
14 ;
11
x1   1 ; x 2 
7
Son las raíces
Para x 2 
Verificación: Para x1   1
4
4  1  2 1  1  3  1  4 1  3
2
2
117 2  2117   1  3 117 2  4117   3
4
4 1 2 1  3 1 4  3
4
4 22  3 4 4
121
49
 227  1  3
x 1

3x  2
121  308  147
49
324
49
3
576
49
x1  1 y x 2 

72
7
11
7
3x  2

 

3x  2  1 3x  2 Se multiplica por la expresión denominadora
x  1  3x  2  3x  2
Se reducen los términos
x  1  3x  
Se resuelve las operaciones
1  2 x 2  
3
3x  2  1
 x 1 
3x  2 

 3x  2 
Sol.:
44
7
3
72
7
11)

4 187   3  247 
0 0
 Las soluciones son:
121
49
121  154  4 9
49
4
4 0 3 0
11
7
3x  2
3x  2

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
1  4 x  4 x 2  3x  2
Se resuelve el cuadrado
1  4 x  4 x 2  3x  2  0
Se traspone los términos
4x 2  7x  3  0
Se realizan las operaciones
Se resuelve la ecuación cuadrática, vamos a utilizar el método de la fórmula general:
x 
x 
b 
b 2  4ac
2a
  7  
x 
 7 2
2 4
entonces en 4 x 2  7 x  3  0
 4 43

7 
49  48
8

Se identifica a  4, b   7, c  3
7  1
7 1

8
8
7 1
7 1
7  1
Se buscan las raíces
x1 
x2 
;
8
8
8

x1 
8
6
3
x

x1 
x2  1
2
;
8 
8
4 ;
Verificación: Para x1 
3
4
Son las raíces
Para x2  1
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
16
1

3   2
3
4
34
4
9
4
2
11

31  2
3 34   2  1
3
4

34
4
98
4
 2 1
9
4
98
4
1
1
4
1

1
2
1
 12 
1
2
1

1
2
1

1
4
1
4

1
4
1
2
1
4
1
2
31  2  1
0
 3 2 1
3 2
0
 1 1
1
0  11
1  1
0 1
 Las soluciones son raíces extrañas: x1  3 y
4
12)
4 x

3
2x  7 1

2
6
4 x
Sol.: 6 

 3 
2 4  x   3
x2  1

 2x  7 

6 

2


1
6 
6
Se multiplica toda la expresión por 6

2x  7  1
Se reducen los términos
8  2x  3 2x  7  1
Se resuelve las operaciones
 3 2x  7  2x  7
Se aísla el radical
 3
2x  7

2
 2 x  7 
2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
9 2 x  7  4 x 2  28x  49
Se resuelve el cuadrado
18x  63  4 x 2  28x  49  0
Se traspone los términos
 4 x 2  46 x  112  0
Se realizan las operaciones
 4 x 2 46 x 112


0
2
2 2
Se divide toda la expresión por – 2
2 x 2  23x  56  0
Se factoriza el trinomio
Se resuelve la ecuación cuadrática, vamos a utilizar el método de la fórmula general:
x 
x 
b 
b 2  4ac
2a
  23 
x 

 232
2 2
2 x 2  23x  56  0
 4 256

23 
529  448
4
23  9
23  9
23  9
x1 
x

2
;
4
4
4

Se identifica a  2, b   23, c  56

23  81
23  9

4
4
Se buscan las raíces
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
17
x1 
32
14
7
x

x1 
x2  8
2
;
4
4
2 ;
Verificación: Para x1 
4  72

3
2 72   7

2
77


3
2
1
0
2


3
2
87
2
1
2
 13  0 
1

6
Son las raíces
7
2
Para x2  8
28  7
48

3
2
4
16  7

3
2
4
9
 
3
2
4 3
 
3 2
8  9
6
 17
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
 La solución es x  7 y la solución extraña es:
2






1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
x8
PRACTICA N°2
I.
Reduce las siguientes ecuaciones irracionales a ecuaciones cuadráticas y verifica las
respuestas.

x  4  2 x
3x 2  13  x  5


3 x2  x  2  2 x2  x  3
 5x 

3 x

2


2x  1 1

3
6
6x  2  4x  1
3x  4 1
5
 
3x
2 6x

4 x 2  2 x  3  x 2  5x  3

x2
 2x  1  2
2x  1

x  1  x  2x  1  0
2 x  3  3x  1  5 x  2
II. Respuestas


Sol : x  5
Sol. ext. : x  0
Sol : x  1
Sol. ext. : x  13


Sol : x  1

x6
Sol ext. : x 
38
9
Sol. ext. : x  2

Sol : x   23
Sol. ext. : x  3
Sol : x1  x2  1


Sol : x 
2
5
x  3
Sol : x  1
Sol. ext. : x  0


Sol : x  1
x3
Sol : x 
1
3
Sol. ext. : x  4
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
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