Download Unidad Didáctica - Universidad Nacional de Costa Rica

UNIVERSIDAD NACIONAL
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Escuela de Matemática
Curso:
Historia de la Matemática
Tema:
UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE NÚMEROS
PRIMOS Y COMPUESTOS
Elaborado por:
Milagro Cordero Herrera. 243966-0
Profesora:
M.Sc. Jesennia Chavarría Vásquez
Fecha de entrega:
07 de Mayo del 2010
1
Índice
Índice ..................................................................................................................................... 2
Introducción .......................................................................................................................... 3
1. Presentación y Justificación de la Unidad Didáctica: ..................................................... 3
2. Contextualización del Centro Educativo: ....................................................................... 4
3. Contextualización del Grupo: ......................................................................................... 4
4. Tema en el Currículo: ..................................................................................................... 5
5. Temporalización: ............................................................................................................ 5
Objetivos Didácticos ............................................................................................................ 6
Objetivo General: ............................................................................................................... 6
Objetivos Específicos: ........................................................................................................ 6
Contenidos ............................................................................................................................ 7
1. Contenidos Conceptuales, procedimentales y actitudinales: .......................................... 7
a. Teoremas Básicos sobre Números Primos.................................................................. 7
b. Métodos para determinar números primos ............................................................... 10
2. Ejes transversales:......................................................................................................... 11
Metodología ........................................................................................................................ 12
1. Estrategia Metodológica: .............................................................................................. 12
2. Actividad: ..................................................................................................................... 13
Unidad Didáctica .............................................................................................................. 14
3. Atención a la diversidad: .............................................................................................. 25
Evaluación........................................................................................................................... 26
1. Criterios de Evaluación: ............................................................................................... 26
2. Momentos de Evaluación: ............................................................................................ 26
3. ¿Qué evaluar? ............................................................................................................... 27
4. Instrumentos de Evaluación: ........................................................................................ 27
Instrumento de Evaluación Sumativa Unidad Didáctica .............................................. 28
Números Primos y Números Compuestos .................................................................... 28
Conclusiones y Recomendaciones ................................................................................. 29
Bibliografía .......................................................................................................................... 31
2
Introducción
1. Presentación y Justificación de la Unidad Didáctica:
La Teoría de Números es la rama de la matemática que, como su nombre lo
indica, estudia las propiedades de los números, especialmente los enteros. En ella
y según las propiedades que presenten los números, éstos se pueden clasificar y
diferenciar unos de otros, uno de los más importantes, y de los cuales se
desprenden muchos teoremas y resultados sobresalientes, son los números
primos y compuestos.
Los números primos son estudiados en el Sistema de Educativo Costarricense
desde la primaria y hasta la secundaria, sin embargo, suele ocurrir que, debido a
la metodología magistral utilizada por el docente para su abordaje, el estudiante
no tiene claro su definición. Esto provoca que ciertos contenidos relacionados con
esta temática, vistos en secundaria, se le dificulten de gran manera al estudiante,
es por esto, que resulta de gran importancia buscar una manera alternativa que
permita que el estudiante domine la definición de número primo y número
compuesto.
Respecto a ello, la elaboración de guías o unidades didácticas representan un
apoyo tanto para el docente como para el estudiantado, pues permite sistematizar
las ideas en forma clara y ordenada desde un abordaje constructivista, siguiendo
una secuencia que va desde el conocer el contexto histórico de la temática hasta
la posibilidad de ir conjeturando y analizando la situación que se le presente, y con
esto lograr una mejor comprensión del tema que se este desarrollando.
Es por ello que en este documento se presenta una Unidad Didáctica en el tema
de números primos y compuestos, la cual consta de una guía que el estudiante
debe seguir con el fin que éste comprenda el contexto histórico, personajes
3
involucrados y a la vez logre identificar qué es un número primo y qué es un
número compuesto, logrando con ello su asimilación y aplicación a temas
relacionados vistos en secundaria, como factorización, máximo común divisor y
mínimo común múltiplo, entre otros.
2. Contextualización del Centro Educativo:
La Unidad Didáctica aquí presentada debido a su sencillez en cuanto a materiales
utilizados, está dirigida a estudiantes en general inmersos en el Sistema Educativo
Costarricense formal, por lo que, su implementación no está asociada al nivel
socioeconómico, ubicación geográfica o recursos de la zona donde se ubique la
institución.
No obstante, para la implementación de la Unidad Didáctica se requiere de un aula
amplia dotada de los pupitres necesarios para acomodar la totalidad del grupo y
donde los estudiantes puedan desplazarse para aclarar dudas, así como compartir
opiniones y resultados.
3. Contextualización del Grupo:
La Unidad Didáctica está dirigida a estudiantes de Sétimo Nivel del Sistema
Educativo Costarricense formal diurno, sin embargo, gran parte de ésta Unidad
bien podría ser implementada a nivel de primaria, donde los contenidos son
abordados inicialmente de una forma más sencilla.
Se procura que los estudiantes sometidos a la implementación de la Unidad
Didáctica se encuentren entre los doce y catorce años de edad; además se
recomienda que el grupo no sobrepase los treinta estudiantes quienes podrán
trabajar en forma individual o en subgrupos de máximo tres estudiantes
distribuidos a lo largo del espacio disponible.
4
En caso de existir algún estudiante con una necesidad educativa especial que
limite el desarrollo correcto de la Unidad Didáctica (por ejemplo, problemas
visuales severos o de movilidad en las manos) se recomienda asignar un
compañero que sirva como apoyo y guía durante el desarrollo de la misma.
4. Tema en el Currículo:
La Unidad Didáctica está diseñada, en principio, con el fin de dar a conocer y
reforzar los conocimientos previos que los estudiantes adquieren a nivel de
primaria referentes a la temática; no obstante, a la vez se pretende ampliar dichos
conocimientos y lograr con ello cubrir las expectativas propuestas en el programa
de estudio del Ministerio de Educación Pública Costarricense (MEP) a nivel de
Sétimo año, ya que abarca desde el contexto histórico, personajes, resultados y
aplicaciones del tema.
Con ello, se pretende que los estudiantes logren una correcta asimilación de los
contenidos y sean capaces de entablar una relación con otros contenidos
curriculares, a saber: Factorización, Máximo Común Divisor y Mínimo Común
Múltiplo.
5. Temporalización:
En relación al tiempo asignado para la implementación de la Unidad Didáctica, se
sugiere que ésta abarque dos lecciones en el desarrollo de la misma y una lección
adicional destinada a su revisión y discusión. Sin embargo, esta distribución puede
estar sujeta al tamaño del grupo y al interés y disposición que aporten los
estudiantes.
5
Objetivos Didácticos
Objetivo General: Desarrollar en el estudiante habilidades para la comprensión e
identificación de números primos y números compuestos.
Objetivos Específicos:
1. Conocer el contexto, personajes y aportes relacionados con la teoría existente
alrededor de los números primos y compuestos.
2. Introducir la noción de número primo y número compuesto, tomando como base
las reglas de divisibilidad, mediante la realización de una guía de trabajo.
3. Establecer pautas que permitan al estudiante diferenciar entre un número primo
y un número compuesto.
4. Aplicar métodos de trabajo (Criba de Eratóstenes y teoremas) para la
identificación de números primos y compuestos.
5. Formar una base sólida en relación los números primos y compuestos que
permitan al estudiante aplicar los conocimientos adquiridos a temas relacionados,
como factorización, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
6
Contenidos
1. Contenidos Conceptuales, Procedimentales y Actitudinales:
A continuación se expone las definiciones y teoremas formales relacionados con la
Unidad Didáctica que el docente debe dominar para lograr una buena y acertada
implementación de la misma. Se debe señalar que éste apartado está dirigido al
docente por su contenido y nivel de complejidad, no obstante, se deja a criterio de
cada docente buscar la mejor estrategia para dar a conocer su contenido de tal
forma que el estudiante lo entienda y domine antes de aplicar la Unidad Didáctica,
o bien, durante el desarrollo de ésta.
a. Teoremas Básicos sobre Números Primos
Definición: Sea n  IN . Se dice que
n
es primo si:
1
)n

1
2
)
d

IN
,
d
/
n

d

1
ó
d

n
Definición: Si un entero positivo mayor que 1 no es primo, se llama compuesto,
a
,
b

IN
,
a
,
b

1
tq
n

a

b
es decir: n  IN , n > 1 es compuesto sii 
Teorema 1: 2 es el menor número primo.
Prueba:
a
,
b

IN
,
a
,
b

1
tq
2

a

b
Supóngase que dos es compuesto, entonces 
.
Observe que a > 2 pues si a = 2 se tendría que b =1 lo cual es una contradicción.
Ahora,
a
/
2
y
2

0

a

2

a

2
lo cuál
es una contradicción.
Por lo tanto, 2 es primo.
Teorema 2:
Sea n  IN , n > 2. Entonces:
7
1) Si  q primo, q  n tq q / n entonces
n no es número primo.

primo

q
,q
,q
ntq
2) Si 

r
,rprimo
,r

q
,r
/
n
a) 
b) q  es el primer número primo menor que
dividir
n
por q  cumple que a  q  .
Entonces
n
es número primo.
n
tq q  / n y el cociente a de
Prueba:
1) Es inmediato pues para tal q, q / n y q  n pues q < n además de que q  1
ya que q por hipótesis es primo. Luego
2) Para demostrar que
que
n
n
n
tendría un factor y es compuesto.
es primo, de acuerdo a la hipótesis, es suficiente probar
no es divisible por ningún número primo h tq q  h  n.Es decir


z
,
z
primo
tq
q

z

n
,z
/
n
Por contradicción:
w

ntq
w
/nentonces ,  IN tq n  w . Tenemos
Si w, w primo, q
w/nywq por lema, como  es el cociente de dividir
n
por
w
y a el
n
por
q  : aiea.
Afirmamos que   1 ya que si  1, wn y sería imposible la desigualdad

q
w

w

1


a
.






w

/
n
con
1


a

q
ie

q
Así n
. Sin embargo   q  dado que   q 
entonces q  / n y contradice la hipótesis b) del teorema. Así
/ny1q.
Tenemos dos posibilidades:  primo o  compuesto.
8
* Si  es primo,
sería divisible por un número primo menor que q  lo que
n
contradice la hipótesis a) que supone
n
no es divisible por primo alguno menor
que q  .
* Si  es compuesto, por teorema el menor divisor primo diferente de 1 es un
número primo, sea

primo; 




/,
1
,
/

y

/
n


/
n
y

/

,
 




con
1



q
/
n
y

q
  primo se contradice la hipótesis a) del
teorema.
Así,   1 no es primo ni compuesto lo que es imposible, por tanto
n
ha de ser
primo (de no ser así existe al menos un factor primo mayor que 1)
Teorema 3:
Sea n  IN , n > 1 compuesto. Entonces, el menor divisor positivo q, q  1 de
satisface que
q
n
n
.
Prueba:

Z tqn

q
a
Por hipótesis q / n y existe a
.
Ahora, a  1 pues si a = 1 se tendría q = n y por ende
n
sería primo, lo cual es
falso.
Además q  a pues por hipótesis q es el menor divisor positivo de
tiene que:
n , luego se
2
q

q

a

q

q

n

q

n

q

n
Teorema 4:
Sea
n
entero, n > 1. Entonces,
n
es primo o producto de primos.
Prueba:
Por inducción transfinita
9
* n = 2, se sabe que 2 es primo por lo tanto se cumple.
* Supongamos para todo entero k, 1 < k < n y mostremos para n.
** Si n es primo, se cumple.
a
,
b

IN
,
a
,
b

1
tq
n

a

b
** Si n no es primo, entonces n es compuesto y 
.
/n
,b
/n
ya
,b

n
Ahora a
(pues si uno es n el otro sería 1).

anybn(pues n

0ya
,b
,n

IN
)

1a,bny por hipótesis inductiva son primos o producto de primos.
Por consiguiente, n es producto de primos.
b. Métodos para determinar números primos
En el desarrollo de la Unidad Didáctica se abordarán tres técnicas diferentes para
la determinación de números primos, las cuales se encuentran basadas, en su
mayoría, en las definiciones y teoremas antes incluidos. Dichas técnicas son las
siguientes:
1. Utilizando el teorema 2.
2. La Criba de Eratóstenes: Permite obtener una lista de primos menores a un
entero positivo dado en orden creciente.
3. Realizar el siguiente procedimiento: Un entero positivo
n , n >1, es primo
si al realizar sucesivas divisiones por los primos menores en orden
ascendente (siempre y cuando ninguna división sea exacta) se obtiene un
cociente menor o igual al divisor primo.
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2. Ejes transversales:
Como parte complementaria de la Unidad Didáctica se pretende desarrollar dos de
los cuatro ejes transversales estipulados por el MEP, a saber:
1. Valores y Actitudes: Al permitir la Unidad Didáctica la interacción entre los
estudiantes se pretende que esto posibilite el trabajo en equipo e incentive
con ello valores como el respeto, ayuda y comprensión, entre otros.
2. Ecología: La Unidad Didáctica está planteada de tal manera que no se
requiere de la compra de materiales o instrumentos, solamente se requiere
que cada estudiante (o grupo de trabajo) tenga en sus manos una Unidad
Didáctica para su seguimiento. Por ello, y en pro a la ecología, se
recomienda que el docente procure imprimir o fotocopiar el documento en
hojas recicladas o bien, procurar el reciclaje de éstas una vez finalizadas
las actividades.
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Metodología
1. Estrategia Metodológica:
La presente Unidad Didáctica se encuentra basada en el principio Constructivista
de Vigótsky; según el artículo publicado en Wikipedia Foundation, Inc (2007), la
idea fundamental de éste principio es que el desarrollo de los humanos
únicamente puede ser explicado en términos de interacción social, ya que la
inteligencia se desarrolla gracias a ciertos instrumentos o herramientas
psicológicas que el niño encuentra en su medio ambiente (entorno).
Según Molina; Z. (s.f) no hay un perfil claro que permita definir cuando una
práctica curricular y pedagógica se encuentra inmersa dentro del enfoque
constructivista, no obstante, sí existen algunos aspectos comunes dentro de las
muchas corrientes y propuestas que han dado pie a principios constructivistas, los
cuales se resumen a continuación:
1. El aprendizaje es continuo y progresivo.
2. El aprendizaje se construye a partir de la realización de actividades.
3. Las personas aprenden de manera significativa y permanente cuando
construyen activamente los conocimientos.
4. La inteligencia y estructuración del pensamiento son de carácter hereditario,
de construcción y evolución.
5. Los conceptos toman forma cuando se dirigen a la resolución de un
problema o un conflicto cognitivo.
6. El desarrollo del conocimiento se da por etapas.
7. La construcción de conocimientos se facilitan o inhiben con las experiencias
o aprendizajes previos.
8. Para construir el conocimiento se debe estar en contacto con la realidad.
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9. La mente es social y el carácter histórico y cultural.
10. El desarrollo cognitivo consiste en apropiarse de herramientas culturales.
11. El pensamiento y la conciencia está condicionado por el contexto socio
histórico y cultural.
12. Los procesos mentales se originan en la interacción social entre diferentes
edades.
13. El trabajo grupal y solidario fomenta el aprendizaje.
14. El pensamiento cambia conforme se transforman las condiciones sociales.
15. Para construir el conocimiento se requiere la mediación.
16. El error es fuente de aprendizaje.
Para efectos de la Unidad Didáctica, resulta importante rescatar que el ser
humano aprende en función de la interacción social, así como el hecho que el
aprendizaje se construye de manera constante y progresiva a través de la
realización de actividades que involucren el contacto con la realidad, historia y
cultura. Por tales razones, la Unidad Didáctica que se incluye en el siguiente
apartado, procura la interacción entre estudiantes y el contacto de éstos con
aspectos históricos y de construcción de conocimientos a partir de la realización
de actividades.
2. Actividad:
A continuación se presenta la Unidad Didáctica propuesta, la cual, de acuerdo a
Molina; E. (2006) corresponde al tipo Actividades de Conocimientos Previos,
entendiendo por ello aquellas que “tienen como finalidad que el profesor conozca
la información que poseen los alumnos y, a partir de ahí, adecuar toda la Unidad
Didáctica al nivel real de los alumnos. “
Como ya se mencionó anteriormente la Unidad propuesta se encuentra dirigida a
estudiantes de sétimo nivel quienes pueden desarrollarla en forma individual o en
subgrupos cuyo tamaño no supere los tres estudiantes. Respecto al espacio, se
requiere de un aula lo suficientemente grande como para albergar la totalidad del
grupo y permitir la interacción entre los estudiantes. No se requiere de materiales
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adicionales, sin embargo, la actividad se presta a la utilización de confites u otros
elementos que llamen la atención de los estudiantes.
Unidad Didáctica
Objetivo General: Desarrollar en el estudiante habilidades para la comprensión e
identificación de números primos y números compuestos.
Instrucciones Generales: Realice cada una de las siguientes actividades
siguiendo el orden correspondiente y conteste las interrogantes que se le
plantean.
1) Los números primos y compuestos son estudiados dentro de la rama de la
matemática denominada Teoría de Números; lea el siguiente texto, el cual consta
de un extracto de los aportes hechos por Madrid (2008) y por Inictel (2001):
“Al hablar de números lo primero que pensamos es en la lista 1, 2, 3, 4....etc, estos son los que se conocen como
Números Naturales, los cuales son parte fundamental en el estudio de la Teoría de Números. Ésta
constituye una de las ramas más interesantes, útiles y complejas de las matemáticas, Carl Fiedrich Gauss,
considerado por muchos el matemático más importante de la historia, se refería a ella como la Reina de las
Matemáticas.
En la Teoría de Números, los números primos juegan un papel muy importante, ya que éstos y sus
propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia. Muestra
de ello, es como cerca del 200 a. C. el Griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular
números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes o Criba de Eratóstenes.
Se dice que los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en éstos
números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Por ejemplo, para el momento en que los
14
Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C., ya habían sido probados varios resultados importantes
acerca de números primos.
Muchos matemáticos realizaron aportes importantes respecto a los números primos, entre ellos Euclides,
quien, en el Libro IX de los Elementos prueba que hay infinidad de números primos y demuestra el Teorema
Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto único de primos.
A inicios del siglo XVII se da un gran descubrimiento realizado por Fermat: demostró que cada número
primo de la forma 4n+1 puede ser escrito de una manera única como la suma de 2 cuadrados y demostró
como cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados. También probó lo que se
conoce como El pequeño teorema de Fermat (para distinguirlo del llamado Último Teorema).
Otro matemático reconocido por sus aportes en varias áreas de la matemática, en particular en teoría de
números fue Euler el cual tuvo un gran impacto en la teoría numérica en general y sobre la de primos en
particular. Fue el primero en notar que la Teoría de Números puede ser estudiada utilizando las
herramientas del análisis y así fundo el objeto de la Teoría del Análisis Numérico.”
Con base en el texto anterior, extraiga cuatro personajes e incluya alguno de sus
aportes en el área de los Números Primos.
Personaje
Principal Aporte
15
2) Considere la ilustración
¿De cuántas maneras distintas, considera usted, que se pueden agrupar estos
rombos de manera que cada subgrupo sea un divisor de 6?
R/______________________________________________________.
Solución.
Primero: Se puede agrupar los rombos de dos en dos:
3 veces 2 rombos
3x2=6
Segundo: Se puede agrupara de tres en tres rombos:
2 veces 3 rombos
16
2x3=6
Tercero: Se pueden agrupar de uno en uno:
6 veces 1 rombo
6x1=6
Cuarto: Se puede agrupar en un grupo de 6 rombos:
1 vez 6 rombos
1x6=6
Por lo tanto 6 se puede representar como un producto de factores. Así:
6=1x6
6=2x3
6=3x2
6=6x1
17
3) Dada la siguiente ilustración
Realice subgrupos y determine de cuántas maneras distintas se pueden agrupar
estos rombos de manera que cada subgrupo sea un divisor, factor o submúltiplo
de 3.
a) ¿Cuántos subgrupos realizó?_____________________________________
b) ¿Cómo se puede representar 3 como producto de factores?_____________
c) ¿Cuántos divisores posee 3?_____________________________________
Definición: De llama número primo a aquel número que solo es divisible por uno y
por el mismo (tiene sólo 2 divisores)
Se llama número compuesto a aquel número que tiene más de dos divisores distintos.
4) Considerando la definición anterior, clasifique a 3 y a 6 como primo o
compuesto
3 ___________
6 ___________
18
5) Considere el siguiente esquema donde se consideran todos los divisores de
cada número:
Ahora, realice un esquema similar para cada uno de los siguientes números, para
ello considere la cantidad total de divisores de cada uno de ellos:
2, 15, 27, 17, 8, 101, 22
Ahora, clasifique los números anteriores, tomando en cuenta la definición de primo
y compuesto, además anote todos divisores.
Número
Divisores
Primo
Compuesto
2
15
27
17
8
101
22
19
6) Dato Curioso:
Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia) el 276 a.C.
Entre otras cosas fue astrónomo y matemático. Estudió en Alejandría y
Atenas. Alrededor del año 255 a.C fue el tercer director de la Biblioteca de
Alejandría
Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método
para hallar números primos menores a 100 conocido como "CRIBA DE
ERATÓSTENES".
Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la
circunferencia de la Tierra.
Eratóstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia
voluntad en el año 194 a.C. en Alejandría.
Algoritmo para Identificar Números Primos: Utilice la Criba de Eratóstenes para
hallar los números primos menores a 100.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Procedimiento:
a) Los números divisibles por 2 (los números pares) aparecen en las columnas que
terminan con 2, 4, 6, 8 y 0. Por lo tanto, elimine todos los números de esas columnas, con
20
excepción del 2, con ello, elimina números compuestos pues todos ellos son divisibles por
2. Note que al eliminar los múltiplos 2 automáticamente elimina los múltiplos de 4, de 8 y
de 16.
b) Separe el 3 y tache los números cada tres casillas, eliminando de ésta forma los múltiplos
de tres. Observe que esas casillas están en diagonales que descienden hacia la izquierda
comenzando con 3, 6, 9, 30, 60 y 90.
c) Los números divisibles por 4 ya fueron eliminados cuando se tacharon los números
pares.
d) El siguiente número sin tachar es 5. Tache los números cada cinco casillas. Esos números
son compuestos porque son divisibles por 5; note que están en las columnas encabezadas
por 5 y 10.
e) Los números divisibles por 6 ya fueron eliminados al tachar los pares y al tachar los
múltiplos de 3; ya que si un número es divisible por 6, es divisible por 2 y también por 3.
f) Deje sin tachar el 7, ahora tache los números cada siete casillas: 14, 21, 28, 35, 42,...
Algunos de ellos ya estaban tachados pero otros no, como 49, es decir 7  7 .
g) Todos los números que aún no han sido tachados o eliminados son primos. Los números
divisibles por 8 ya fueron eliminados al tachar los números pares. Los números divisibles
por 9 también fueron eliminados así como los divisibles por 10.
Escriba todos los números primos menores que 100 que encontró en orden
ascendente: _______________________________________________________.
21
7) Para conocer si un número “n” mayor a 100 es primo o no, se realiza el
siguiente procedimiento:
“Un entero positivo n , n 1 , es primo si al realizar sucesivas divisiones por los primos
menores en orden ascendente (siempre y cuando ninguna división sea exacta) se obtiene un
cociente menor o igual al divisor primo.”
Ejemplos:
 n = 107
107 2
107 3
1 53
2
35
107 5
107 7
2 15
107 11
2 15
8
9
Como 9 < 11 entonces 107 es primo.
 n = 161
161 2
161 3
161 5
161 7
1 80
32 43
1 32
0 23
Como se obtuvo un residuo igual a 0 entonces 161 es compuesto.
Aplicando el algoritmo anterior, identifique mediante una equis (X) cuáles de los
siguientes números son primos:
117_____
2211_____
241_____
203_____
717_____
269_____
503_____
2309_____
715_____
105_____
840_____
53_____
1_____
1973_____
113_____
22
8) Dato Curioso:
Goldbach (1690-1764) conjeturó que todo número par mayor que 2 es suma de dos números
primos. Aunque se han conseguido avances notables, aún no se dispone de una demostración.
Encuentre dos números primos cuya suma sea:
a) 50 = _____ + _____
b) 30 = _____ + _____
c) 64 = _____ + _____
d) 88 = _____ + _____
9) Resuelva el siguiente problema:
“Dos viejos amigos se encuentran y entablan la siguiente conversación:
- ¿Cuántos años tienen ya tus 3 hijas?
- Seguro que lo aciertas. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al
número de tu casa.
- Me falta un dato.
- ¡Ah! ¡Es verdad! La mayor toca el piano.”
¿Cuáles son las edades de las 3 hijas?__________________________________
R/ 2 - 2 - 9
Solución:
Siga las siguientes pistas:
23
1. Descomponga el número 36 en producto de 3 factores (pueden ser repetidos) de todas las
formas posibles y anote las sumas de los 3 factores en todos los casos.
2. De todos los resultados posibles, sólo 2 suman 13 (el número de la casa pues si no fuese
este número, sobraría parte del diálogo)
3. Utiliza el último dato "La mayor toca el piano."
Dato Curioso:
Gauss (1777-1855) demostró que: “Todo número compuesto se puede descomponer de forma
única (salvo el orden de los factores) en producto de factores primos.”
Reemplace la letra mayúscula por un número primo, de modo que cada uno quede
descompuesto en factores primos:
a) 21 = 3  A ;
A = _____
b) 18 = 2 3 D ;
D = _____
c) 24 = 232B;
B = _____
d) 210 = 237E;
E = _____
10) Finalmente, ¿Podría dar una lista completa que incluya la totalidad de
números primos? _________
¿Cuál?________________________________________________________
“Hay infinitos números primos”….
Esto fue demostrado por Euclides en el libro IX de sus Elementos de geometría.
24
3. Atención a la diversidad:
Como puede evidenciarse en la Unidad Didáctica, los contenidos fueron
abarcados de una forma sencilla, con un nivel bajo y procurando una interacción
de los estudiantes con los personajes y contexto que envuelven el tema, por lo
que, la presencia de adecuaciones curriculares no debiera representar algún tipo
de modificación en cuanto su implementación salvo dos excepciones:
1. Dificultades en la Motora Fina o Visuales: Aquellos estudiantes que
presenten problemas de movilidad o visión podrían ver limitada la ejecución
de la Unidad Didáctica en forma individual, ya que se requiere movilizar
objetos o confites (en caso de optar por esta modificación), realizar lecturas,
trasladarse en el aula, etc; por lo que, se recomienda la asignación de un
compañero, o grupo de compañeros, que le ayuden en la realización de las
actividades.
2. Adecuaciones Curriculares Significativas: Para realizar la Unidad Didáctica,
se requiere que el estudiante, al menos, domine las operaciones aritméticas
básicas (multiplicación, división, suma y resta) por lo que, en aquellos casos
en que se cuente con una adecuación curricular significativa cuyo nivel de
conocimiento no haya superado estos contenidos, se recomienda no ser
aplicada y optar por otra estrategia o guía más acorde a su condición.
25
Evaluación
1. Criterios de Evaluación:
Con el fin de verificar si la implementación de la Unidad Didáctica ha cumplido, o
no, con los objetivos establecidos una vez que ha sido aplicada a los estudiantes
se establecen los siguientes indicadores o parámetros para que el docente
procure su evaluación.
1. El estudiante conoce algunos aspectos básicos en cuanto al contexto,
personajes y aportes relacionados con la teoría existente alrededor de los
números primos y compuestos.
2. El estudiante domina los conceptos de número primo y número compuesto
tomando como base las reglas de divisibilidad.
3. El estudiante logra establecer pautas que le permitan diferenciar entre un
número primo y un número compuesto.
4. El estudiante aplica métodos de trabajo (Criba de Eratóstenes y teoremas) para
la identificación de números primos y compuestos.
5. El estudiante aplica los conocimientos adquiridos sobre números primos y
compuestos a temas relacionados como factorización, máximo común divisor y
mínimo común múltiplo.
2. Momentos de Evaluación:
Para efectos de evaluación de la Unidad Didáctica se recomiendan dos momentos
esenciales donde se pretende verificar que el estudiante efectivamente va
construyendo el conocimiento requerido a través de la realización de la Unidad, se
26
debe señalar que, durante la elaboración de ésta por parte de los estudiantes, el
docente toma el papel de guía.
1. Evaluación Formativa: A lo largo de la realización de la Unidad Didáctica
por parte de los estudiantes, el docente debe corroborar de manera
constante que los estudiantes (o grupos de estudiantes) estén realizando
de manera correcta cada una de las actividades, dar las explicaciones
necesarias, aclarar dudas, etc. Para ello, se recomienda que el docente
frecuente a los estudiantes en el lugar donde se ubican y solicite el material
trabajado hasta el momento con el fin de ir verificando las respuestas.
2. Evaluación Sumativa o Final: Se recomienda que una vez finalizada la
Unidad Didáctica por cada uno de los estudiantes (o grupos de estudiantes)
se realice una revisión oral de ésta encabezada por el docente, donde se
procure la participación total de cada estudiante (o grupo). Lo anterior con
el fin de verificar los datos aportados por los estudiantes y aclarar las dudas
aún existentes, así como incentivar la participación en el aula y el respeto
por la opinión ajena. Para su evaluación se propone un instrumento sencillo
el cual se incluirá en un apartado posterior.
3. ¿Qué evaluar?
A nivel general se pretende la evaluación y verificación de los conocimientos
adquiridos por los estudiantes; así mismo, se procura evaluar la realización y
revisión de la Unidad Didáctica de una forma conjunta y participativa, donde el
respeto por los compañeros y su opinión juega un papel esencial.
4. Instrumentos de Evaluación:
En éste apartado se propone un instrumento sencillo que brinde una guía al
docente a la hora de realizar la evaluación sumativa de la Unidad Didáctica, dicho
27
instrumento puede ser aplicado ya sea en forma individual a cada estudiante o en
forma grupal.
Cabe señalar, que, de acuerdo a los criterios de evaluación establecidos por el
MEP, cada evaluación debe ser parte de alguno de los rubros establecidos por
ésta instancia. Por ello, se recomienda incluirlo como parte del Trabajo Cotidiano
de cada estudiante.
Instrumento de Evaluación Sumativa Unidad Didáctica
Números Primos y Números Compuestos
Institución: _________________________________________________________
Fecha de y hora de la Evaluación: ______________________________________
Nombre del (los) Estudiante(s):_________________________________________
Criterios a Evaluar
Criterio a Evaluar
Si
No
Intercambia opiniones o preguntas con los compañeros o docente de
manera respetuosa durante la realización de la Unidad Didáctica.
Completó la Unidad Didáctica en el tiempo establecido
Participa activamente en la revisión de la Unidad Didáctica
Responde correctamente a las interrogantes hechas por el docente
Aclara dudas durante la revisión de la Unidad Didáctica
Muestra respeto hacia la opinión, dudas o comentarios de los demás
estudiantes durante la revisión de la Unidad Didáctica.
Conoce aspectos básicos en cuanto al contexto, personajes y aportes
relacionados con la temática.
Domina el concepto de número primo y número compuesto
Diferencia entre un número primo y un número compuesto
Aplica diferentes estrategias para determinar si un número dado es primo
o compuesto
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Conclusiones y Recomendaciones
Después de elaborar la Unidad Didáctica antes presentada se considera que, para
alcanzar los objetivos propuestos, al igual que cualquier otra actividad se requiere
tomar en consideración varios aspectos antes, durante y después de su
aplicación, los cuales se señalan a continuación:
1. Toda actividad realizada en clase debe tener un respaldo histórico, teórico y
veraz que brinde a éste calidad y a la vez llame la atención de los estudiantes. Por
tal motivo, se incluye parte del contexto, personajes, teoremas y sus respectivas
demostraciones que dan respaldo a cada una de las actividades realizadas en la
Unidad Didáctica.
2. Conocer la historia y contenidos propios de cada tema es indispensable ya que,
además de ser un elemento propio de una buena formación de los docentes de
matemática, constituyen la base de los temas desarrollados en secundaria y a
nivel universitario.
3. Antes de iniciar cualquier tema (como por ejemplo factorización) es pertinente
aplicar una Actividad o Unidad Didáctica que sea capaz de retomar y fortalecer
aquellos conocimientos previos que los estudiantes ya poseen y a la vez ligue los
temas ya estudiados, evidenciando con ello la continuidad existente entre los
contenidos matemáticos.
Es por ello, que la Unidad Didáctica aquí presentada retoma los conceptos de
números primos y compuestos a través de la puesta en práctica de actividades
simples y tomando como base las reglas de divisibilidad que el estudiante ya debe
conocer, con el fin de aclarar los vacíos existentes en torno a la temática y, a partir
de allí, entablar una relación con otros temas matemáticos.
29
4. El trabajo en equipo permite a los estudiantes asimilar los contenidos de una
mejor manera al permitir explicaciones y comentarios al respecto entre ellos de
una forma más informal y de confianza; así mismo, permite al docente mantener el
interés de los estudiantes por más tiempo. No obstante, se debe ser conciente que
cada docente emplea su propia metodología, por lo que hay quienes prefieren
llevar a cabo actividades donde los estudiantes trabajen de forma individual, o
bien, puede darse el caso que los estudiantes prefieran trabajar individualmente.
Por tales razones, consideramos oportuno realizar actividades (como la aquí
presentada) que puedan ser trabajadas tanto a nivel grupal como individual. Así
mismo, se recuerda a los docentes que para llevar a cabo una actividad en forma
grupal se debe tomar en consideración que esto requiere de un amplio dominio y
control del grupo.
5. La implementación de Unidades Didácticas requiere de un estricto control del
tiempo por parte del docente, ya que de lo contrario, su utilización puede resultar
muy extensa, fomentar el desorden y no permitir el logro de los objetivos. Por tal
motivo, recomendamos a los docentes tomar en consideración la temporalización
aquí incluida.
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